D06 góc muc do 3

Câu [HH11.C2.1.E06.c] Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB 3a, BC 4a Tam giác SAC nằm mặt phẳng vng góc với đáy, Điểm K thuộc đoạn SA cho tam giác AKC vng K AK 3a Tính góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) ? Lời giải S K D A I B H C +) Tam giác ABC vng B có AB 3a , BC 4a suy AC 5a 12 16 BI  a AI  a IC  a , , Gọi I chân đường cao từ B ABC , suy +) Tam giác AKC vng K có AK 3a Suy AKC ABC I chân đường 12 IK BI  a cao từ K AKC Mà ( SAC )  ( ABCD) nên KI  ( ABCD )  KI  BI  BI  AC  BI  ( AKC )  BI  K I  +) Có Suy AKI hình chiếu tam giác AKB mặt phẳng (SAC) S cos  ( SAB ), ( SAC )  cos  ( KAB), ( KAI )   KAI S KAB Ta có 54 S KAI  AI IK  a 2 25 Tam giác KAI vuông I có 12 BK BI  a Tam giác KBI vng cân I có Tam giác KAB cân A Có S KAB Vậy Câu 1 18 34  KB   KB KA2   a  cos  ( SAB),( SAC )  3 34   25   34  34    34   ( SAB), ( SAC )  arccos  [HH11.C2.1.E06.c] Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng tâm O , cạnh a SO vng góc với mặt phẳng  ABCD  Gọi M, N trung điểm SA BC Biết góc đường thẳng MN mặt phẳng  ABCD  600 Tính độ dài đoạn thẳng SO , MN tính cosin  SBD  góc đường thẳng MN với mặt phẳng Lời giải  ABCD  Gọi I trung điểm OA  MI / / SO  MI  ( ABCD) Do góc MN   góc MNI  MNI 60 IN =IC + NC −2 IC NC cos450 √2a a √ 2a a √2 5a2 = + −2 = 4 2 ( )() NI a 10 a √10 MN = = √ cos60 , a 30 a 30 MI=NI tan 600 = √ ⇒ SO=2 MI= √ ⇒ NI = Ta có { AC ⊥BD ¿¿¿¿ Gọi H, K trung điểm SO OB ⇒ MH // KN // AC ⇒ MH ⊥( SBD ), KN ⊥( SBD )  SBD  E=MN ∩HK HK MN Do hình chiếu lên Gọi suy góc ϕ MN   SBD  góc MEH 1 a MH= OA = OC=KN= √ 2 , nên MHNK hình bình hành Do a 10 ⇒ ME= MN = √ ⇒ E trung điểm MN MH a √ a √ 10 sin ϕ= = : = ME 4 √5 Do tam giác MHE vuông H nên cos ϕ=√1−sin ϕ= ⇒ √5 Câu [HH11.C2.1.E06.c] Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cạnh a ( a  ) tam giác BCD cân D với DC  a Gọi G trọng tâm tam giác BCD Tính góc hai đường  ABC   BCD  30 thẳng AG CD theo a biết góc hai mặt phẳng Lời giải A D C G M N B  ABC   BCD  góc -Ta có MA MD vng góc với BC nên góc mp MA MD Suy góc MA MD 30 -Trong MCD kẻ GN / /CD , nối AN hì góc AG CD góc AG GN  *TH1: Góc AMD 30 a  MG  MD  3 - BCD cân D nên tính MD a - ABC cạnh a nên MA  a AG  a 13 -Áp dụng định lí cơsin cho AMG , ta tính a a  60  AN  a GN  CD  NC  ; AC a; C ANC có 3 - MCD có AGN có AN  a a a 13 ; GN  ; AG  6 cos G  Áp dụng hệ định lí cơsin tính cos  65 Gọi góc ( AG; CD)   * TH2: Góc AMD 150 5 65 26 Hoàn toàn tương tự tính được: góc ( AG; CD)  26 cos  cos  65 Vậy góc ( AG; CD )  thỏa mãn cos  Câu [HH11.C2.1.E06.c] Cho hình vng ABCD , H trung điểm AB , K trung điểm AD Trên đường thẳng vng góc với  ABCD  lấy điểm S khác H Tính góc CK với mặt phẳng  SDH  Lời giải Câu CDK DAH  c.g c   CKD DHA Ta có 0      HDA  DHA 90  CKD  HDA 90  KID 900  CK  DH I  Mà hay CK  DH (1) SH   ABCD   SH  CK Mặt khác (2) CH   SDH   SDH  900 Từ (1) (2) , ta có hay góc CK với mặt phẳng [HH11.C2.1.E06.c] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A với AB a , mặt bên tam giác cân đỉnh S Hai mặt bên (SAB) (SAC) tạo với mặt phẳng đáy  SAB   SBC  góc 60 Tính cosin góc hai mặt phẳng Lời giải Gọi M, N, P trung điểm BC, AB AC Ta có SA SB SC nên hình chiếu S lên mặt phẳng (ABC) tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Ngồi ra, tam giác ABC vuông A nên M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tức SM   ABC   SBC    ABC  Do  Ta có SN  AB MN  AB nên góc tạo hai mặt phẳng (SAB) (ABC) SNM 60  Tương tự, góc tạo hai mặt phẳng (SBC) (ABC) SPM 60   Hai tam giác vuông SMN SMP có SM cạnh chung SNM SPM nên SMN SMP  MN MP suy AB=AC hay tam giác ABC vuông cân A, suy AM  BC AM   SBC   AM  SB Do đó: SB   AMH  Gọi H hình chiếu M lên SB, tức MH  SB mà AM  SB nên , suy góc tạo MHA hai mặt phẳng (SAB) (SBC) a a , MN  2 SNM 600 nên SN a Ta có : a SB  NS  NB  Suy AB  AC a  AM  1 2a 2a S SAB  SN AB  AH SB  AH   2 a Do Ngồi ra, AM  SM nên tam giác AHM vuông M nên HM  AH  AM  4a a  a 10 HM cos AHM   10  AH 2a 5 Do a Câu Vậy: cosin góc tạo hai mặt phẳng (SAB) (ABC) [HH11.C2.1.E06.c] Cho hình chóp S ABCD , ABCD hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Góc SB mặt phẳng ABCD 60 Gọi N trung điểm BC Mặt phẳng (P) qua A vng góc SC Tính cosin góc hai đường thẳng SC AN Lời giải S L B C D I A K a O B N a D C   ABCD  SBA 60 Từ tính SA a Góc SB Gọi K , L trung điểm AD SK  KL //SD CK //AN Do góc  SD AN góc KL CK Tính CK  a a 11 LC  , KL a , CK  KL2  LC  cos CKL   2CK KL 10 Do  cos   Câu 10 a  60 , BAD [HH11.C2.1.E06.c] Cho hình hộp đứng ABCD ABC D có AB AD a , Gọi M N trung điểm AD AB , E giao điểm MN AC  Tính AA=  ACC A cosin góc tạo đường thẳng BE mặt phẳng Lời giải A B O C D I A' B' N E O' M C' D' Gọi O giao điểm AC BD Suy AC vng góc với BD ; CC  vng góc với BD theo giả thiết BD   ACC A  ACC A Vậy OE hình chiếu BE mặt phẳng  BE,  ACC A  BE, OE  BEO Xét tam giác EOO vng O , tính EO  Trong tam giác BEO vuông O Tính a 15  tan BEO  15 15  ACC A Vậy cosin góc đường thẳng BE mặt phẳng Câu 15 19 [HH11.C2.1.E06.c] Cho hình lăng trụ ABC A1B1C1 có M trung điểm cạnh AB, BC 2a ,  ACB 90  ABC 60 , cạnh bên CC1 tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 45 , hình chiếu vng góc C1 lên mặt phẳng ( ABC ) trung điểm CM Tính cơsin góc tạo hai mặt phẳng ( ABC ) ( ACC1 A1 ) Lời giải Gọi  góc tạo hai mặt phẳng ( ABC ) ( ACC1 A1 ) Kẻ HK  AC  đường xiên  KH C K  AC   C 1 Tam giác MCA cân M a    MCA MAC 300  HK HC.sin 30  a HK  C1K  C1H  HK   cos    C1K Câu [HH11.C2.1.E06.c] Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình vng cạnh a Đường thẳng SA  ABCD  Góc SB  ABCD  600 Gọi N trung điểm vng góc với mặt phẳng BC Tính cosin góc hai đường thẳng SD AN Lời giải S L A C D K N B S BA  SB,  ABCD   600  Ta có nên SA  AB tan SBA a Gọi K , L trung điểm cạnh AD, SA Khi đó, LK song song SD , CK song song AN Vậy góc  SD AN góc LK CK a a 11 CK  , LK a, LC  2 Tính tốn ta CK  LK  CK 5  cos   2CK LK 10 Suy 10 [HH11.C2.1.E06.c] Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh AA ' vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , đường thẳng BC ' hợp với mặt phẳng ( ABB ' A ') góc 30  cos CKL  Câu Gọi M , N trung điểm AC BB ' Tính góc đường thẳng MN mặt phẳng ( BA ' C ') Lời giải C A M B E O N A' J C' B' Gọi J trung điểm A ' C ' , ta có A ' C '  ( BMJB ') Gọi O MN  BJ Dựng ME  BJ Suy ME  A ' C '  ME  ( BA ' C ')  ;( BA ' C ')  MN  ; OE MOE   MN     a MO  MN  3 Ta có : 1 11 ME 54  sin MOE         ME a 2 ME MB MJ 3a 2a 6a 11 ; MO 55 00    900  ;( BA ' C ')  ,   MN  54 sin   55  [HH11.C2.1.E06.c] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , tâm O ,  Câu  SO   ABCD  Mặt phẳng  P  qua A vng góc với SC cắt hình chóp theo thiết diện có diện S  a2 Tính góc SC  ABCD  tích Lời giải Từ giả thiết suy S ABCD hình chóp tứ giác thiết diện tứ giác AMNF có hai đường chéo MN , AF vng góc với nhau; MN song song với BD   ABCD  góc SCO  Góc SC mặt phẳng a a SO  tan  KO  cot  AF  a sin  2 Ta tính , , Suy SK    MN SK a  tan   cot    BD  SO 1  tan   MN a   tan   Câu 1  2  sin  S  AF MN  a 2a   tan    Diện tích thiết diện  33  33 sin     arcsin 8 Giải phương trình [HH11.C2.1.E06.c] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân với AD //BC , AB BC a , AD 2a ; tam giác SAD vuông cân S SB a Tính góc hai đường thẳng BM CD Lời giải S M G N A J B H D K P I C Tính góc hai đường thẳng BM CD BM , CD  BN BM    Do BN //CD   Vì tam giác SAD vng cân S có cạnh huyền AD 2a nên SA SD a SAB có SA2  AB 2a  a 3a SB  SAB vuông A a2 a  a a MN  SD  2 BN CD a ; 2 Ta cos BM  BN  MN 2  cos MBN   2.BM BN Áp dụng định lí côsin tam giác BMN ta :   MBN arccos BM  AM  AB   arccos BM , CD  MBN Câu Vậy [HH11.C2.1.E06.c] Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O , cạnh AB a, AD 2a Gọi M , N trung điểm cạnh SA, BC Biết  SA SB SC SD góc đường thẳng MN mặt phẳng  ABCD  60  SBD  Tính sin góc đường thẳng MN mặt phẳng Lời giải Gọi P trung điểm SD , ta có tứ giác MPCN hình bình hành suy MN //CP  SBD  , ta thấy  góc đường thẳng Gọi  góc đường thẳng MN mặt phẳng CP mặt phẳng  SBD  ` Kẻ  CI  BD  CI   SBD    CPI Tam giác BCD vng C có CI đường cao, suy 1 1 2a  2     CI  2 CI CB CD 4a a 4a Ta có CP MN 2 NH  sin   Câu a 13 CI  CP 65 [HH11.C2.1.E06.c] (HSG Tốn 12 - Hịa Bình năm 1718) Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình chữ nhật với AB a , BC a SA SB SC SD 2a Gọi K hình chiếu vng góc điểm B AC H hình chiếu vng góc K SA Chỉ K trọng tâm tam giác BCD , KA 2 KC Lời giải SO   ABCD  Gọi O  AC  BD Ta có AC a 3a 13a a 13  SO SA2  OA2 4a   SO  2 4 Suy SA   BKH  Chứng minh   BKH  góc SBH Do góc SB OA  BK  Tính Từ ta suy BH  Câu a SO.AC a 39 ,KH   3 SA Tam giác BKH vuông K 2a 39a a a BH     BH  cos SBH   36 SB [HH11.C2.1.E06.c] Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh 4a , cạnh bên SA vng góc với đáy có độ dài a Gọi M , N trung điểm AB BC Tìm số đo góc hai đường thẳng SM AN Lời giải     AS  s AB  b Đặt , , AC c    s b  s c  b Suy ; c 8a  Câu       1 1  SM  AM  AS  b  s AN  AB  AC  b  c   SM ; AN  2 Tìm góc , ta có:          b  b.c  s.b  s.c SM AN  cos       45 2 SM AN 2a  4a 2a Suy [HH11.C2.1.E06.c] (HSG Tốn 11 – Quảng Ngãi năm 1516) Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có cạnh a Gọi I tâm hình vng CDC’D’, K trung điểm CB  AKI  CC’ Tính góc tạo hai đường thẳng A’D’ AQ với Q giao điểm     Lời giải Vì A’D’ / / AD nên góc tạo A’D’, AQ góc tạo AQ, AD     AC '  AB  AD  AA '  AC ' a Tính được: AQ  a 19 a 10 ; AD a; QD  3     cos QAD  AQ  AD  QD  AQ AD 19 Câu [HH11.C2.1.E06.c] (HSG11-HÀ NAM-2013-2014) Cho hình lập phương ABCD ABC D có cạnh a Gọi I tâm hình vng CDDC  , K trung điểm cạnh CB Tính góc tạo hai đường thẳng AD AQ với Q giao  AKI  CC  điểm Lời giải D' C' B' A' I Q J N D C K B A Vì AD // AD nên góc tạo AD , AQ góc tạo AQ , AD     AC   AB  AD  AA  AC  a a 19 a 10 AQ  QD  ; AD a ; Tính AQ  AD  QD   cos QAD  AQ AD 19 Câu  Vậy QAD 46 30 '30.53" [HH11.C2.1.E06.c] (SỞ GD-ĐT HẢI PHỊNG) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình  ABCD  thang vng A B , AB BC a, AD 2a , SA 2a vng góc với mặt phẳng  SBC   SCD  Tính cos  Gọi  góc hai mặt phẳng Lời giải Gọi H , K hình chiếu vng góc A SB SC Ta có BC   SAB   BC  AH Ngoài AH  SB  AH   SBC   SBC   SCD  góc hai đường Do góc hai mặt phẳng AH  AK  HK  cos  cos HAK  AH AK thẳng AH AK , hay Tương tự AK   SCD  AH  Ta có SA AB 2a SA AC 2a  , AK   SB SC Mặt khác SHK  SCB nên Vậy cos   15 HK  BC.SH 4a  SC 30