De 3 sở giáo dục và đào tạo ha nam hsg toan 11(17 18) cthuc

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM (Hướng dẫn chấm có 06 trang) KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT NĂM HỌC 2017 - 2018 Hướng dẫn chấm môn: Mơn Tốn – Lớp 11 Lưu ý: 1) Các cách giải khác đáp án cho điểm tương ứng biểu điểm 2) Điểm tổng tồn khơng làm tròn Câu (5,0 đ) ý Nội dung 5 Điều kiện: cos x   x   m2 , m   PT  2sin x  cos x  5sin x  2cos x  0  2cos x  2sin x  1  2sin x  5sin x  0  2cos x  2sin x  1   2sin x  1  sin x   0   2sin x  1  2cos x  sin x  3 0  sin x     2cos x  sin x  0   x   k 2  , k   +) sin x      x   k 2 (2,5 đ)  +) 2cos x  sin x  0 (Phương trình vô nghiệm)  Đối chiếu với điều kiện  x   k 2 , k     1 k 50 0   k 2 100  Vì x   0;100    k   k   Suy có 50 nghiệm  0;100  lập thành cấp số cộng với 11 x1  ; d 2 50  11  7625  49.2   Tổng nghiệm S50   2   Vì 2sin x cos x  2cos x  sin x  cos x   0, x   (2,5 đ) Nên hàm số xác định x     sin x  cos x   cos x  m 0, x        sin 2 x     cos x   m 0, x     2  2cos x  cos x  2m  0, x    2cos 2 x  cos x 2m  1, x   (1) Đặt t cos x, t    1;1 Khi  1  2t  t 2m  1, t    1; 1 (2) Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 Xét hàm số f  t  2t  t , t    1; 1 Bảng biến thiên 0,5 Khi    2m   f  t  , t    1; 1 Từ bảng biến thiên  2m  3  m 2 Kết luận m 2 Ckn 1 k! Xét k  k  k  k n  ! k  n  ! ( k n  1)           (4,0 đ)  Suy VT  (2,0đ)  k  2 !  Ckn 21 n  n  1  n  1 !  k    n  1  ! n  n  1 1  Cnn11  Cnn  Cnn11   Cnn 2016  n  n  1 Áp dụng công thức Cnk  Cnk 1 Cnk11  Cnk Cnk11  Cnk 1 n  Cnn11   Cnn1  Cnn    Cnn2  Cnn1     Cnn2017  C2016   Có VT   n  n  1  C9 Cnn2017  92017  n 9 n  n  1 9.10 1 18 k k k 18  x     C18 x  k 9 26 26 k 0 Hệ số số hạng chứa x 23 C189 8C189 Ta có P  x   (2,0đ) Gọi số có chữ số khác abcdef Mà tổng chữ số 18 nên tập  a, b, c, d , e, f  tập hợp sau:  0,1, 2,3, 4,8 ;  0,1, 2,3,5,7 ;  0,1, 2, 4,5,6 Ứng với trường hợp có cách chọn chữ số a , chữ số cịn lại có 5! cách chọn  có 3.5.5! 1800 số tự nhiên có chữ số khác mà tổng 18  n    1800 Gọi A: " Số tự nhiên chọn số chẵn"  A : " Số tự nhiên chọn số lẻ" TH1: a, b, c, d , e, f   0,1, 2,3, 4,8  có 2.4.4! 192 (số) TH2: a, b, c, d , e, f   0,1, 2,3,5,7  có 4.4.4! 384 (số) TH3: a, b, c, d , e, f   0,1, 2, 4,5,6  có 2.4.4! 192 (số)   Suy n A 768 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25    P A  n  A  32  n    75 0,25 43 75 Ta có un  0, n  * 9un 1 un    2un   Vậy P  A 1  P A  0,25 0,25  18un 1 2un    2un     2un 1    2un   0,25   2un1   2un  3  0,25   2un 1    2un  * Đặt   2un  2, n   (2,0đ) v1 1  * Ta có  , n   vn 1  0,25  dãy số   cấp số nhân có cơng bội q  , số hạng đầu v1 1 n 1     3  v  2  n 1 1    2n  n   2 3  1  * Kết luận un   n   n    , n   2 3   un (2,0đ) 0,25 0,25 0,25   Ta có AG 2 AO  G trọng tâm ABC      GA   GB   GC  0  IA  IB  IC 3IG (1) M, I lần lượt  điểm AD OM  là trung  IA  IB  IC  ID    (2) Từ (1) (2)  3IG  ID 0  1  GI  GD 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 V Mà D   C   I   C ' ảnh đường tròn  C  qua  G ; 14   I ảnh điểm D qua phép vị tự tâm G tỉ số k   0,25  0,25 0,25 (5,0đ) (3,5đ) Dựng thiết diện mp    cắt hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' +) Trong mp  ABCD  , vẽ đường thẳng qua M song song với BD cắt CD, AB, AD N, J K +) Trong mp  ADD ' A ' , vẽ đường thẳng qua K song song với A ' D cắt D ' D, D ' A ', AA ' P, Q I +) Trong mp  ABB ' A ' , đường thẳng IJ cắt A ' B ', BB ' R S Thiết diện lục giác MNPQRS Do mặt đối diện hình hộp song song MN  RQ  BD; NP  RS  A ' B; SM  PQ  A ' D  Các tam giác IJK, A'BD, IRQ, SJM, PNK đồng dạng * Chứng minh: MJS NKP QRI MJ MB ND NK     MJ  NK Ta có: +) MN MC NC MN +) SPNJ hình bình hành  SJ PN +) SPKM hình bình hành  SM PK Suy MJS NKP  c.c.c  Tương tự có NKP QRI  c.c.c   MJS NKP QRI    * Có AB  AD  AA ' a BAD ' 900 , BAA ' 1200 600 , DAA 0,5 0,25 0,25 nên  A ' B a, A ' D a 2, BD a  A ' BD vuông A Đặt S1 S IRQ S JMS S NPK , S SIJK , S S A ' BD a 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 2 BM m,   m  1 BC 2 S1  JM   BM   BM  2 Có       m  S1 m S S  BD   AD   BC  Đặt 2 0,25 S2  JK   JM  MK   JM MK  2         m  1  S2  m  1 S S  BD   BD   BD BD  2  Diện tích thiết diện S S  3S1   2m  2m  1 a  3a  m  Vậy M trung điểm BC 0,25 0,25 0,25 Gọi O, O ' trung điểm A ' C ', BD  G trung điểm OO '  G trọng tâm tứ diện C ' A ' BD  1    C ' G  C ' A '  C ' B  C ' D (1)   Vì A1 nằm đoạn C ' A ' C ' A '  x.C ' A1  C ' A ' x.C ' A1     Tương tự ta có C ' B  y.C ' B1 ; C ' D  z.C ' D1    1 Nên  1  C ' G  x.C ' A1  y.C ' B1  z.C ' D1 Lại có A1 , B1 , D1 , G đồng phẳng nên  x  y  z  1  x  y  z 4 Mặt khác 16  x  y  z  3  xy  yz  zx   (1,5đ)   0,25  16 Suy P  xy  yz  zx  16  max P  x  y z  3 Khi A1 B1 D1 có 3 3 3 A1 B1  A ' B  a, B1D1  BD  a, A1D1  A ' D  a 4 4 4 Vậy chu vi tam giác A1 B1 D1   a   Đặt x tan A, y tan B, z tan C ,   A, B, C   2  y z tan B  tan C  tan A  tan  B  C   A B  C  k Có x   yz  tan B tan C  Do   A  B  C    k 0  A B  C  A  B  C 1 tan C 3tan C   P 2     2 2   tan A  tan B   tan C   tan C   tan C  (2,0đ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25  0,25 0,25 2  cos A  cos B   4sin C  3sin C cos C 2 cos A  cos B  4sin C  3sinCcos C 0,25  2sin  A  B  sin  A  B   4sin C  3sinCcos C 2sin C sin  A  B   4sin C  3sinCcos C 2sin C  4sin C  3sinCcos C 0,25 sin C  3cos C   sin C   3sin C   P 0 3 * Nếu sin C  sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: * Nếu sin C  P  sin C   3sin C   2 0,25 6sin C   3sin C    3sin C   6sin C   3sin C   3sin C        0,25 Đẳng thức xảy 2 sin C   tan C  , tan A  , tan B  2  x  2, y  , z  2 Vậy giá trị lớn P x  2, y  ,z  -HẾT - 0,25 0,25