Trờng T.H.P.T Chuyên Thái Bình Kỳ thi HSG C10 lần thứ Đề Thi Đề Nghị Môn Toán Lớp 10 Năm học 2009-2010 Thời gian: 180 phút Giáo viên đề: Phạm Công Sính Câu 1:(4 điểm) Giải hệ phơng tr×nh: x x3 8y 2 xy (1 y) ( K 10 2014) Câu2: (4 điểm) Cho a,b,c số thực dơng thoả mÃn a b c 3 Chøng minh r»ng : 4 ab 4x 1 4 bc 2 y 1 4 ca 1 C©u3: (4 điểm) Cho x,y số nguyên dơng thoả mÃn x3 x xy số nguyên dơng Chứng minh tồn số nguyên dơng z cho x+y+z = xyz Câu 4: (4 điểm) Trên mặt phẳng cho hai đờng tròn không cắt kẻ tới chóng mét tiÕp tun chung ngoµi vµ mét tiÕp tun chung Các tiếp điểm tới đờng tròn thứ A,B tới đờng tròn thứ hai C,D Chứng minh giao điểm AB CD nằm đờng nối tâm hai đờng tròn Câu5: (4 điểm) Cho tËp A N* cã tÝnh chÊt : Trong n số tự nhiên liên tiếp (N>1) tån t¹i mét sè thuéc A Chøng minh r»ng tån hai số A cho số chia hÕt cho sè _HÕt Hớng dẫn chấm môn toán lớp 10-c10 Câu 1:(4 Điểm) x y 2 xy (1 y ) (1) y 1 x3 4x 1 ( 2) Giải: ĐK: từ pt (2) ,suy x> (1) x( x y) 4 y (2 y x) Thay vào phơng trình (2) có ( x y )( x y ) 0 x 2 y ( x 4x x 2x (*) v× x+4y2> ) Ap dơng bÊt d¼ng thøc AM-GM tacã x2 x2 3 x x 2x ( x 4) x x ( x x ) x 4 4 x2 ( x) x x 3 x x 2 Dấu đẳng thức xảy x = Hệ phơng trình có nghiệm (2,1) (Chú ý :Cách khác : Bình phơng vÕ cđa pt (*) ( x C©u 2: (4 điểm) Cho a,b,c số thực dơng thoả m·n a b c 3 Chøng minh r»ng : 4 ab 4 bc 2) ( x x 4) 0 ) 1 4 ca 1 ab Gi¶i: Ta cã 4 ab 1 2 ab 4 ab 1 Suy : 4 2 ab (4 ab ) ab ) 9 ( ab 1) 0) (vi ( ab )(4 Suy ra: ab ab ab bc ca ab a2 b2 c2 2 (dpcm) Dêu b»ng x¶y a = b = c = Câu3: (4 điểm) Cho x,y số nguyên dơng thoả mÃn x3 x xy số nguyên dơng Chứng minh tồn số nguyên dơng z cho x+y+z = xyz Gi¶i Theo gØa thiÕt ta cã : x x ( xy 1) x ( x 1) ( xy 1) x 1( xy 1) 2 (do ( x, xy 1) 1) ( x xy 1) ( xy 1) ( x xy) ( xy 1) x ( x y ) ( xy 1) ( x y ) ( xy 1) ( do( x, xy 1) 1) ) Tån t¹i mét sè z Z cho x+ y = z(xy-1) , suy x + y + z = xyz (Để chứng minh (x,xy-1) =1 ,ta giả sử (x, xy-1) = d ,ta sÏ chøng minh d =1 ThËt vËy : ( xy 1) x d 1d d ) Câu 4: (4 điểm) Trên mặt phẳng cho hai đờng tròn không cắt kẻ tới chóng mét tiÕp tun chung ngoµi vµ mét tiÕp tun chung Các tiếp điểm tới đờng tròn thứ A,B tới đờng tròn thứ hai C,D Chứng minh giao điểm AB CD nằm đờng nối tâm hai đờng tròn Giải: C A E B O2 O1 K D Ta cã AB O1E , O1E O2E , O2E CD, suy AB CD Gọi K giao điểm hai đờng tròn đờng kính AC BD Ta chứng minh O1O2 trục đẳng phơng hai đờng tròn Thật O1A O1B tiếp tuyến đờng tròn đờng kính ACvà BD O1thuộc trục đẳng phơng đờng tròn đờng kính ACvà BD, Tơng tự ta có O2thuộc trục đẳng phơng đờng tròn đờng kính AC BD Vậy suy O1, O2,K thẳng hàng Câu5: (4 điểm) Cho tËp A N* cã tÝnh chÊt : Trong n số tự nhiên liên tiếp (N>1) tồn t¹i mét sè thuéc A Chøng minh r»ng tån t¹i hai sè A cho sè nµy chia hÕt cho số Giải: Xét bảng (N+1) N ((N+1) dòng ,N cột ) đợc xây dựng nh sau Hàng 1: N Hµng 2: 1+1.2.3 N 2+1.2.3 N 3+1.2.3 N 4+1.2.3 N 1.2.3 N Hµng i : 1+k 2+k 3+k 4+k N+k Hµng i+1: 1+k+M 2+k+M 3+k+M 4+k+M N+k+M (Víi M = (k+1)(k+2) (k+N).) Theo giả thiết hàng tồn phần tử A Do N+1 hàng N cột nên có cột chứa hai phần tử A hai phần tử phần tử thuộc hàng sau chia hết cho phần tử thuộc hµng tríc nã _HÕt _