Duyen hai toan 10 hai phong

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÙNG DUYÊN HẢI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ Mơn Tốn – Lớp 10 – Năm học 2010 – 2011 (Đề thi đề nghị Hải Phịng) Câu 1: Giải phương trình: x 1  1 1 x  2011  2010  2010  2010  2010 3 3 Câu 2: Cho a,b,c,d  : abcd 1 Chứng minh rằng: 1 1    2  a  1 bc  b  1 cd  c  1 da  d  1 ab Câu 3: Cho điểm A, B, C, D, E nằm đường tròn (O) Chứng minh rằng: 10 đường thẳng qua trực tâm tam giác tạo điểm vng góc với đường thẳng nối điểm lại qua điểm Câu 4: Tìm số nguyên dương x, y cho x y 4022  x y số dương nhỏ Câu 5: Cho bảng 2011 2011 vng, có 2010 ô viết số 1, lại viết số Mỗi lần đi, người chơi chọn ô tùy ý, trừ cộng thêm vào cịn lại dịng, cột với Hỏi đến lúc tất số ô bảng không? ĐÁP ÁN Câu 1: Đặt t x  , phương trình tương đương với: 1 1 t t  2010  2010  2010  2010  2010 3 3  t f5  t  , f1  t   t  2010,f n 1  t  f  f n  t   n 1 Rõ ràng t  , ta có: t  f1  t   3t  t  2010  9t  t  2010  9t  t  2010    t  15   9t  134    t  15 Dễ thấy f1  t  đồng biến nên:  ) t  15  t  f1  t   f1  t   f  t   f  t   f  t   f  t   f  t   f  t   f  t   t  f  t   VN  ) t  15  t  f1  t   f1  t   f  t   f  t   f  t   f  t   f  t   f  t   f  t   t  f  t   VN KL : t f5  t   t f1  t   t 15  x 14 x y z t Câu 2: Đặt a  ,b  ,c  ,d  ; x, y,z, t  y z t x BĐT cần chứng minh tương đương với: x y z t    2 yz zt t x x y Ta có: x2 y2 z2 t2 VT     x  y  z y z  t  z t  x  t  x  y  x  y  z  t  x  y  z  y z  t   z  t  x   t  x  y x  y  z  t  CM : 2 x  y  z  y z  t   z  t  x   t  x  y   x  y  z  t  2  x  y  z   y  z  t   z  t  x   t  x  y   2   x  z    y  t  0  x z 1  a  c  Đẳng thức xảy  b d  y t Câu 3: Gọi H trực tâm tam giác ABC, M điểm thỏa mãn       OM OA  OB  OC  OD  OE Khi đó:      HM.ED  OM  OH OD  OE             OA  OB  OC  OD  OE  OA  OB  OC  OD  OE         2  OD  OE OD  OE OD  OE 0             HM  DE Suy đường thẳng qua H vng góc DE qua M Tương tự suy điều phải chứng minh 4022  x  y  4022  Câu 4:  x y   4022  x  y  xy Gọi z số nguyên dương bé thỏa mãn z  xy Khi đó:  2 z  4xy  z  4xy  z  2 xy  4022  x  y  xy  4022  x  y z  4 xy  x  y  4022  z 2011     4022  x  y  xy z    2011  2011  2011   x y    4022  x 4xy 2011   y  4022   x 1005  z  z2  20112  2011  20112    x  y z 2011  z2    y 1006 x  y  2011  20112  2011  20112  Câu 5: Không Gọi a ij số viết dịng i, cột j Khi số Cijkl a ij  a kl  a il  a kj không đổi theo môđun suốt q trình chơi: chọn Cijkl tăng thêm giảm 3, cịn chọn khác dịng i k hay ô khác cột j l Cijkl khơng đổi Ban đầu bảng có 2010 viết số 1, cịn lại viết số nên tồn dòng i gồm tất số 0, dòng k gồm từ đến 2010 số 1, từ tồn a ij 0,a kl 1,a il 0,a kj 0  Cijkl 1 , khơng thể gồm số