SỞ GD – ĐT NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT A HẢI HẬU ĐỀ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MƠN TỐN LỚP 10 - NĂM HỌC 2014 – 2015 Thời gian làm bài: 120 phút Câu I (2,0 điểm) Cho parabol (P): y x x m Tìm tất cá giá trị m để đường thẳng d: y 2 x cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A, B cho AB=2 Câu II (4,0 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: m x 2mx m 0 Chứng minh 2sin a b tan b t ana cos a b cos a b Câu III ( 6,0 điểm) x2 Giải bất phương trình: 3 x Giải phương trình: x x x 1 x x3 x x y y x, y R Giải hệ phương trình: 2 2 x 3 y y 3 x AB AC BC Câu IV ( 1,0 điểm) Chứng minh tam giác ABC ta có AB AC Câu V( 5,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có đỉnh trùng với đỉnh elip , bán kính đường trịn nội tiếp hình thoi Viết phương trình tắc elip biết tỉ 2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d1 : x y 0, d : x y 0 cắt tai I; điểm A thuộc d1 , A có hồnh độ dương khác Lập phương số tiêu cự độ dài trục lớn elip trình đường thẳng qua A, cắt d B cho diện tích IAB IB 3IA 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm J ; , đường thẳng d : x y 0 2 2 đường tròn C : x y x y 0 Gọi M điểm thuộc đường thẳng d nằm ngồi đường trịn (C) Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C) (A, B tiếp điểm) Gọi (J) đường tròn tâm J tiếp xúc với đường thẳng AB Tìm tọa độ điểm M cho đường trịn (J) có chu vi lớn Câu VI( 2,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b c b6 a c -hết SỞ GD – ĐT NAM ĐỊNH ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT A HẢI HẬU MƠN TỐN LỚP 10 - NĂM HỌC 2014 – 2015 CÂU Câu I điểm ĐÁP ÁN * PT hoành độ giao điểm: x x m 0 (1) * d cắt (P) điểm phân biệt PT (1) có nghiệm phân biệt ' m m (*) A( x1 ;2 x1 1); B( x2 ;2 x2 1) với x1 ; x2 nghiệm pt (1) x1 x2 4 Theo hệ thức Viet: x1.x2 m * Ta có 2 AB x1 x2 x1 x2 1 5 x1 x2 5 x1 x2 x1 x2 5 16 m 1 5 20 4m 24 * AB 2 AB 4 20 4m 4 m 24 Đối chiếu đk (*) ta có giá trị m m CâuII.1 * Đặt t x 0 , pt cho trở thành: điểm m 2 t ĐIỂM 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0,25 2mt m 0 (*) * Phương trình cho có nghiệm phân biệt pt (*) có nghiệm dương nghiệm 0,25 * Phương trình (*) có nghiệm t=0 0,25 m 0 hay m 2 Với m=2, phương trình (*) trở thành -4t=0 Trong trường hợp này, (*) có nghiệm Với m=-2, phương trình (*) trở thành 4t 4t 0 Phương trình có hai nghiệm t=0 t=1 * Kết luận: PT cho có ba nghiệm phân biệt m=-2 0,5 0,5 0,25 Câu II.2 * Ta có điểm sin a b sin a cos b cos a sin b 0,25 cos a b cos a cos b sin a sin b 0,25 cos a b cos a cos b sin a sin b VT= sin a cos b cos a sin b tan b cos a cos b sin a sin b cos a cos b sin a sin b sin a cos b cos a sin b sin b 2cos a cos b cos b 0,25 0,25 0,25 sin a cos b cos a sin b sin b cos a cos b cos b 0,25 sin a cos b t ana VP cos a cos b 0,5 Câu III 1 x 0 1 * ĐK: hay x ; \ 0 2 x 0 điểm * Thực phép nhân liên hợp ta thu BPT 0,5 0,5 x 3(1 x ) x x x 4 x x 1 1 x 0 x x 0 x 9(1 x ) (4 x 3) 2 9(1 x ) (4 x 3) 1 Kết hợp ĐK thu nghiệm ; \ 0 2 Câu III.2 điểm Biến đổi phương trình: 0,5 0,5 ĐK: x 0 x 0.5 x x 10 2 x 1 x x 3 x 2 x 1 x 1 0.5 Đặt x t t 2 Khi phương trình 1 có dạng: t 1 l t x 1 t x 0 t 4 x 10 x x tm Với t 4 x x x 3 x x 0 Vậy phương trình có nghiệm x Câu III.3 4 x 0 x 2 Điểu kiện: 3 y y 0 y 3 điểm Biến đổi phương trình đầu hệ, ta có: 0.5 0.5 10 0,5 0,5 x 1 x 1 y y x y x 1 y x 1 y 3 0 y x 1 2 x 1 y x 1 y 0 *) Với y x thay vào phương trình thứ hai ta có: x x x 2 3x x 0 10 x 12 x 0 x 0 tm x l Vậy hệ phương trình có nghiệm x, y 0,1 Câu IV y 3y2 0 VN *) Với x 1 y x 1 y 0 x 2 AB AC AB AC cos BAC AB AC.cos BAC * Ta có 0,5 0,5 (1) 0,5 điểm * Theo định lí cosin tam giác ABC ta có AB AC BC cos BAC AB AC * Thế (2) vào (1) suy điều phải chứng minh 0,25 (2) 0,25 2 Câu V.1 Gọi (E) có dạng x y 1 a b a2 b2 điểm Theo gt: AC=2a y BD=2b Tâm hình thoi ABCD gốcBtoạ độ O tâm đường trịn nội tiếp hình thoi Ta có: A 1 S AOB OA.OB C AB O x 2 ab a b a 2b 2(a b )(*) 0,5 0,25 D 0,25 c Mặt khác : e 0,5 a 2c a 3a b a c (**) 0,5 14 Thay (**) vào (*) ta 3a 14a a (do a 0) b x2 y 1 Vậy ptct (E) : 14 0,25 0,25 Câu V.2 Gọi I = d1 d2 điểm 0,25 x y 0 x 1 I Vậy I(1;1) x y 0 y 1 Từ gt d1, d2 có VTPT n1 (2; 1); n2 (2;1); Gọi góc d1 d2 A 4 sin 5 IA IA.3IA 5 cos S IAB I B IB=3IA Từ gt: S IAB 6 IA 5 IB 45 A d1 A(a, 2a 1) với a > 0, a a 0 l 2 2 Pt IA 5 (a 1) (2a 2) 5 5(a 1) 5 a 2 tm Vậy a = A(2;3) B d B(a,3 2b) IB (b 1) (2 2b) 5(b 1) 0,25 b 4 B(4; 5) IB 45 (b 1) 9 b B ( 2;7) 0,25 Với A(2;3); B(4;5) pt cần tìm x y 11 0 0,25 Với A(2;3); B(-2;7) pt cần tìm x y 0 Câu V.3 Đường trịn (C) có tâm I 2;1 bán kính R=3 điểm Do M thuộc d nên M(a ;1-a) Điều kiện M nằm (C) : IM>R IM 2a 4a (*) 0,5 0,5 Ta có MA2 MB MI IA2 2a 4a A, B thuộc đường trịn tâm M bán kính MA : 2 x a y a 1 2a 4a 0,5 (học sinh chọn A, B thuộc đường trịn khác) 2 A, B thuộc đường tròn C : x y x y 0 Suy phương trình AB: a x ay 3a 0 0,25 Do (J) tiếp xúc với AB nên (J) có bán kính d(J,AB) Chu vi (J) lớn d(J,AB) lớn 11 AB qua điểm cố định K ; 2 2 d(J,AB) lớn K hình chiếu vng góc J AB Đường thẳng AB có vecto phương AB a; a JK AB 0 a 2 (thỏa mãn (*)) 0,25 Vậy M 2; 1 Câu VI điểm Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: a b 3 a 6b 3a 2b a b 3a 2b 3ab 1 c b6 3 c 6b 3c 2b c b6 3c 2b 3cb a c 3 a 6c 3a 2c a c 3a 2c 3ac 3 1,0 Cộng 1 , , 3 theo vế tương ứng ta có: P a b c b a c ab bc ca 0.5 P 3 Vậy GTNN P 3 Dấu bẳng xảy a b c 1 hết 0.5