TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC ĐỀ ĐỀ XUẤT KÌ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2019 MƠN: TỐN 10 Câu 1: -(4,0 điểm) Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x x m 2019 2018m x 2018 x x 2018 4036 Lời giải x x Biến đổi phương trình dạng m 2019 +) Nếu x x2 m x x x2 m 2019 +) Nếu x x2 m x x x2 m 2019 2018 x x m x x 2019 x 2019 2019 2018 x (1) từ suy (1) khơng xảy từ suy (1) khơng xảy 2 Do từ (1) ta x x m x x x m 0 (2) Để phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt phương trình (2) phải có hai ' 1 m m nghiệm thực phân biệt hay Câu 2:(4,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB AC , điểm D, E , F nằm cạnh BC , CA, AB cho DE || AB, DF || AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF điểm A, G Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF điểm H H E Đường thẳng qua G vng góc với GH cắt đường tròn ngoại tiếp K K G tam giác ABC điểm , đường thẳng qua G vng góc với GC cắt đường trịn ngoại L L G tiếp tam giác AEF điểm Gọi P, Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác GDK , GDL Chứng minh điểm D thay đổi cạnh BC thì: a) Đường trịn ngoại tiếp tam giác GEF ln qua hai điểm cố định b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác GPQ qua điểm cố định Lời giải L A O' E' G E Q M K P H O F B D C a) Gọi O, O’ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, AEF Gọi E ' điểm đối xứng với E qua đường thẳng AO Khi EE ' || BC vng góc với AO suy tứ giác BDEE’ hình bình hành suy DE BE ' , kết hợp với DE AF ta BF AE OAE ' OBF OE OF Kết hợp với OA phân giác góc EAF O AEF Vậy đường trịn ngoại tiếp tam giác GEF ln qua hai điểm cố định A, O 1 1 GBF GOA GFA FGB 2 b) Dễ thấy tam giác FBD cân F suy FB FD , cân F suy FB FG Từ suy F tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FGB Chứng minh tương tự ta E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DGC Từ EF trung trực GD, kết hợp với AG vng góc với GD suy EF//AG FHD EAF EDF FHD cân F suy FH FD H GBD P giao điểm đường thẳng qua O song song với GH EF, Q giao điểm đường thẳng qua O’ song song với GC EF E tâm đường tròn (GDC) O tâm đường tròn ngoại tiếp (AGC) suy OE GC, kết hợp OE O ' Q QE QO 1 với GC vuông góc với GL suy GL song song OE Do Tương tự ta PO PF Mặt khác OE OF , kết hợp với (1) (2) ta QOE POF OP OQ OO ' trung trực PQ, kết hợp với OO’ trung trực GA nên tứ giác AQPG hình thang cân hay nội tiếp suy (GPQ) qua điểm A cố định g n số ước nguyên tố số nguyên n ước nguyên tố lớn số nguyên n Chứng minh tồn vô hạn số nguyên dương n cho: Câu 3: Kí hiệu a) f n g n g n 1 ; b) f n f n 1 f n Lời giải m k gcd p 1, p 2, m, n * , m n a) Gọi p số nguyên tố lẻ Khi Xét dãy số 2m am p 1, m 1, 2,3, Từ kết ta dãy am có vơ hạn số hạng có ước g ah p nguyên tố lớn p Gọi ah số hạng Khi ta có h g ah 1 g p p g ah 1 g ah Do chọn n ah g n g n 1 Do tập hợp số nguyên tố lẻ vô hạn nên suy đpcm k b) Lấy n 2 , k số nguyên dương khác không lũy thừa Khi f 2k f k 1 f 2k f 2k 1 f 2k 1 f 2k 1 1 Thật vậy, k m Từ có số nguyên tố lẻ p cho 1 p , kết hợp với k số nguyên dương khác không lũy thừa suy đẳng thức không xảy f 2k f 2k 1 k Như có vô hạn số nguyên dương cho (1) Xét tất số nguyên dương k thỏa mãn (1), giả sử có hữu hạn số nguyên dương k f 2k f 2k 1 thỏa mãn bất đẳng thức suy tồn số nguyên dương h đủ lớn cho k k f 1 f , k h Khi ta có đánh giá sau: f 22 h 1 f 22 h 1 f 2 h 1 1 f 22 h 2 f 2 h 1 h f 2h 1 h f 22 h 1 có h ước ngun tố phân biệt Khi với cách chọn h số nguyên 2h h 2h h dương đủ lớn ta được: p1 p2 ph 2.3.5.7.11 p6 ph 4 2 Suy Điều không xảy suy giả sử không hay có vơ hạn số ngun dương k thỏa mãn k f 2k f 2k 1 f 2k bất đẳng thức , lấy n 2 từ suy đpcm * * f 1 1; Câu 4: Cho hàm số f : thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: f a b ab a b f ab , a, b * a) Tính f 2 b) Tìm tất hàm f thoả mãn điều kiện Lời giải f 2n 1 n f n Thay a n, b 1 ta được: f 3n n f 2n Thay a n, b 2 ta được: f 4n 3 n f 3n Thay a n, b 3 ta được: , kết hợp với f 4n 3 f 2n 1 1 2n f 2n 1 2n n f n 3n f n ta được: Từ 3n f n n f 3n f 3n 2n f n Như ta đẳng thức sau: f 3n 2n f n (1) f 3n 1 2n f n (2) f 3n n f 2n (3) f 2n 1 n f n Vậy ta tính f n (4) f 1 , f , f 3 , f , f từ (1), (2), (3) pp quy nạp ta f 1 1, f 3 2 f 1 3, f 2.1 1 f 1 4 Ta có f f 3.1 3 f f 23 f 3.5 3 f 15 8 f 2.7 1 8 f 15 f 1.3 23 f 23 f 11 1.11 1 11 f 11 12 f 2.5 1 12 f Từ hai cách tính suy f n n Vậy f 5 f 2 Câu 5:Cho bảng vng kích thức n n Điền vào ô bảng số thực Nếu số dòng i t t tn t1 , t2 , , tn số gọi giá trị dòng i Ta thực việc đổi dấu sau: lần đổi dấu ta chọn một vài cột bảng n n đổi dấu tất số cột Giả sử tất các bảng thu thỏa mãn tổng giá trị n dòng không vượt 2019 Chứng minh tất bảng thu tổng số đường chéo khơng vượt q 2019 Chú ý số đường chéo số nằm ô 1,1 , 2, , , n, n Lời giải Xét số x1 , x2 , , xn 1;1 Khi số chọn có thứ tự x1 , x2 , , xn a Mỗi dịng i cột j ta điền số ij Khi theo giả thiết ta có: n xa j1 x2 a j xn a jn 2019 j 1 Suy 2n n xa x1 , x2 , , xn 1,1 j 1 j1 với x1 , x2 , , xn 1;1 x2 a j xn a jn 2019 n 2n n x1a j1 x2 a j xn a jn 2019 j 1 x1 , x2 , , xn 1,1 Sj (1) x1a j1 x2 a j xn a jn n n có số hạng Ta chia số hạng thành x , x , , x j , x j 1 , , xn cặp giá trị cho cặp giá trị có giá trị giá trị Xét tổng x1 , x2 , , xn 1,1 2n x jj khác Khi tổng hai số cặp có dạng: x a jj x a jj a jj x x a jj 2 a jj 2019 Từ (1) (2) ta được: 2n Từ suy n n j 1 j 1 S j a jj S j 2n 1.2 a jj 2n a jj (2) Do ta có đpcm