SỞ GD&ĐT NGHỆ AN ĐỀ THI CHỌN HSG MƠN TỐN LỚP 11 –LẦN NĂM HỌC 2017 – 2018 Câu 1: -Giải phương trình sau: 4sin x cos x 1 cos ( x 3 ) Lời giải Phương trình cho tương đương với cos x sin(2 x cos x sin x 2(1 cos x) cos x 1 cos(2 x 3 ) sin x cos x cos x 2 ) cos x sin(2 x ) sin( x) 3 5 2 x k 2 x k 18 (k ) 5 x k 2 x k 2 Giải bất phương trình sau: 5( x x 6) 5x 19 ( x 2)( x x 3)( x 2) 2x 2x Câu 2: Lời giải 19 x x2 Điều kiện xác định: Bpt 5( x 2)( x 3) 5x 19 ( x 2)( x x 3)( x 2) 5( x 3) 5x 19 ( x x 3)( x 2) Đặt a 5x 19, b x 2, a 0, b Bpt (a 4) a (b 4)b a b x 5 a b x x x 7 x 11x 28 0 Vậy nghiệm bpt: x 7 Câu 3: Trong khách sạn có làm việc tiếp tân có A hot-gơ Biết ngày có ca trực, ca vào buổi sáng, ca buổi chiều, ca khơng trùng , tự chia cơng việc cho ca có người trực người trực tối đa ca ngày Vào buổi sáng nọ, anh X làm ngang khách sạn nhìn thấy tiếp tân khơng phải A Tính xác suất để buổi chiều anh X nhìn thấy A làm khách sạn, biết ngày hơm ca có người trực Lời giải Xác suất để chọn cô làm buổi sáng cô A : Xác suất để cô làm buổi chiều có A : 3 Vậy xác suất thỏa yêu cầu toán : Câu 4: u ;( n 2) un n 2un1 ( n 1)unun 1 , n * ( u ) Cho dãy số n xác định bởi: Tìm cơng thức số hạng tổng quát un theo n Lời giải * Ta có un 0n N (n 2) un n 2un1 (n 1)unun 1 (n 2) (n 1)2 n (n 1) (n 1)3 un 1 un (n( n 1)) xn x1 3 un Đặt 3 Ta có: xn1 xn ( n 1) , xn xn n , , x2 x1 16 n (n 1) xn x1 (23 33 n3 ) Suy Câu 5: un 4(n n) 16 (n n)2 Cho hình chóp S.ABC, mặt phẳng (P) di động cắt cạnh SA, SB,SC A’, B’, C’ Gọi G trọng tâm tam giác ABC a) Tìm giao điểm SG với mp(P) b) Biết SA SB SC 8 SA ' SB ' SC ' Chứng minh mp (P) qua điểm cố định Lời giải S C' A' G' I' A B' C G I B a Gọi I giao AG BC nên I trung điểm BC SI cắt B’C’ I’ Trong tam giác SAI: A’I’ cắt SG G’ Khi G’ giao SG mặt phẳng (P) SB SC SI 2 (1) SI ' b Ta có SB ' SC ' Thật vậy: từ B kẻ BM//B’C’ cắt SI M, từ C kẻ CN// B’C’ cắt SI N Khi I trung điểm BC nên SM+SN=2SI SB SC SM SN SM SN 2.SI SB ' SC ' SI ' SI ' SI ' SI ' SA SB SC SA SI 8 2 8 (*) SA ' SB ' SC ' SA ' SI ' Gọi O trung điểm AI, A’I’ cắt SO O’ mặt phẳng (P) qua O’ Mặt khác từ (*) ta chứng minh tương tự (1) có SA SI SO 2 4 SA ' SI ' SO ' O’ trung điểm SO Hay O’ điểm cố định nên (P ) qua điểm cố định O’ Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn có đường cao BE CF Gọi H trực tâm tam giác ABC M trung điểm cạnh BC Tìm tọa độ đỉnh A biết đường thẳng EF cắt đường thẳng BC D( 0; ), đường thẳng MH có phương trình 4x + y – = đỉnh A thuộc đường thẳng d: x - 2y + = Lời giải A E N F D H B M C A' Gọi ( T ) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, kẻ đường thẳng qua H vng góc với AD N cắt ( T ) A’, tứ giác ANFE nội tiếp nên DN DA DF DE Mặt khác, tứ giác EFBC nội N T tiếp nên DF DE DB.DC , DN DA DB.DC hay tứ giác ANBC nội tiếp AA’ đường kính ( T ) HCA’B hình bình hành M thuộc đường thẳng HN hay HM AD Phương trình đường thẳng AD: x – 4y + = x y 0 x y Tọa độ A nghiệm hệ x 4 y 3 Vậy, A(4;3) Câu 7: Cho ba số thực x, y, z thoả mãn x + y + z = x + > 0; y + > 0; z + > Tìm giá trị lớn P biểu thức: x y z x 1 y 1 z Lời giải Đặt a = x + 1; b = y + 1; c = z + Ta có a, b, c > a + b + c = a b c 1 4 3 b c a b c Khi P = a 1 Ta có a b a b với a, b > dấu đẳng thức xảy a = b 1 Tương tự a b c a b c , dấu đẳng thức xảy a + b = c 16 1 4 1 16 P 3 3 1 a b c a b c Suy a b c a b c Hay Đẳng thức xảy a = b = c = Vậy maxP =