Thông tin tài liệu
CHUN ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Bài Xét hình chóp n – giác S A1 A2 An ( n số tự nhiên tùy ý lớn ) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: a/ Đáy A1 A2 An có tất cạnh A SA A SA A 60 b/ SA 2 n Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ độ dài đường cao SH hình chóp nêu Hướng dẫn giải Chứng minh hình chóp S A1 A2 An tồn hình chóp đều: Chứng minh cạnh bên Đặt : SA1 = x1 ; SA2 = x2 ; ; SAn = xn Dùng định lý cosin tam giác SA1 A2 ; SA2 A3 ; ; SAn A1 ta có: x22 = + x12 - x1 cos 600 = + x12 - x1 x32 = + x22 - x2 cos600 = + x22 - x2 xn2 = + xn2- - xn- 1cos600 = + xn2- - xn- x12 = + xn2 - xn cos600 = + xn2 - xn ìï x22 = f ( x1 ) ïï ïï x = f ( x ) ïï é3 ï ê ; +¥ x , x , , x Ỵ f ( x ) = x x + = ( x ) + Đặt , ta có hệ: í với n ê2 ïï ê ë ïï xn2 = f ( xn- ) ïï ïïỵ x1 = f ( xn ) ÷ ÷ ÷ ÷ ø ; f x đồng biến Trên Do đó: x1 x2 vơ lý Thật vậy: x1 x2 f x1 f x2 x 22 x 32 x x x n x1 Ta có x1 x1 ( vơ lý) Tương tự x1 x suy điều vô lý: x1 x1 Vậy x1 x2 2 Do x1 x2 ta x1 x1 x1 1 x1 1 Từ ta được: x1 x2 xn 1 Chứng minh đáy A1 A2 An đa giác Từ SA1 SA2 SAn 1 suy hình vng góc H S lên đáy cách đỉnh đáy Đa giác A1 A2 An có cạnh nội tiếp đường tròn nên đa giác a) Tìm SH lớn nhất, nhỏ b) Chứng minh n Ta có mặt bên hịnh chóp tam giác cạnh 0 Ngoài ra: 60 A1SA2 A1 HA2 ; 60 A2 SA3 A2 HA3 ; ; 60 An SA1 An HA1 0 Do đó: n.60 360 n n 2 Tính SH tìm giá trị lớn nhất, nhỏ SH : Xét tam giác vuông SHA1 : SH SH 1 4sin n 3 : SH n 1 SA12 HA12 SA1 1; HA1 2sin n 1 1 cot g n 3; 4;5 cot g cot g , SH= 4 4 4 4 ; n 4 : SH 2; n 5 : SH 1 2 1 , giá trị nhỏ SH 2 Bài Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Gọi E , G , K trung điểm cạnh A ' D ', B ' C ' AA' H tâm hình vng DCDC ' M , N hai điểm hai đường thẳng AD EG cho MN vng góc với KH cắt KH Tính độ dài đoạn MN theo a Hướng dẫn giải Do giá trị lớn SH D’ C’ E G A’ H I1 E1 E1 A H1 D I1 N1 C G1 B C M B’ I M H1 D N1 A G1 B Xác định đoạn MN Gọi E1 , N1 , G1 , H1 hình chiếu vng góc E , N , G , H mặt phẳng ABCD Do KH MN (gt) K KH NN1 suy KH MN1 , suy AH1 MN1 I1 Mà theo giả thiết MN cắt KH I suy II1 // NN1 mà I trung điểm đoạn MN nên I1 phải trung điểm MN1 Từ suy cách dựng hai điểm M , N Tính độ dài MN Đặt DAH1 H1 AN1 E1 N1M 1 AE1 tg cos2 AN1 a 5 cos 2 a a MN1 Xét tam giác vng AIN1 , ta có: IN1 AN1 sin a 6 (Cách khác: Gọi P trung điểm CG1 , suy N1 AP , suy E1 N1 a ) Xét tam giác vng DAH , ta có: sin E1 N1 a 5 14 a 14 MN NN12 MN12 a a a MN cos 9 Cách khác: Dùng phương pháp tọa độ khơng gian MN1 Bài Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a 12,54 (cm) ,các cạnh bên nghiên với đáy góc 720 Tính thể tích diện tích xung quanh hình chóp S ABCD Hướng dẫn giải Chiều cao hình chóp: SH a tg 72 27, 29018628 2 Thể tích hình chóp: V a h 1430, 475152 cm Trung đoạn hình chóp a2 d SH 28, 00119939 Diện tích xung quanh hình chóp: Sxq 4a.d 702, 2700807 cm Bài Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a 12,54 (cm) , a 12,54 (cm) ,các cạnh bên nghiên với đáy góc 720 a) Tính thể tích hình cầu S1 nội tiếp hình chóp S ABCD b) Tính diện tích hình trịn thiết diện hình cầu S1 cắt mặt phẳng qua tiếp điểm mặt cầu S2 với mặt bên hình chóp S ABCD S Hướng dẫn giải SH 27.29018628; IH SH MH 4.992806526 R (bán kính mặt cầu nội tiếp) MH MS K 720 I A D H B M C 3 Thể tích hình chóp S1 : V R 521.342129 (cm ) SM 28, 00119939 MH 6, 27; IK IH Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng qua tiếp điểm S1 với mặt bên hình chóp: d EI S IH 4.866027997 SH IH Bán kính đường tròn giao tuyến: r EK R d 1,117984141 E K I Diện tích hình trịn giao tuyến: S 74,38733486 (cm ) Bài Một thùng hình trụ có đường kính đáy ( bên trong) 12, 24 cm đựng nước H M cao lên 4,56 cm so với mặt đáy Một viên bi hình cầu thả vào thùng mực nước dâng lên sát với điểm cao viên bi (nghĩa mặt nước tiếp diện mặt cầu) Hãy tính bán kính viên bi Hướng dẫn giải 2 2 Ta có phương trình : R h x R x x R x 3R h 0 (0 x R ) Với R, x, h bán kính đáy hình trụ, hình cầu chiều cao ban đầu cột nước Bấm máy giải phương trình: x 224, 7264 x 512,376192 0 (0 x 6,12) Ta có: x1 2,588826692; x2 5,857864771 ( AB) : x y 0; ( AC ) : x y 42 0; ( BC ) : x y 0 B Xét hai độ dài khác a, b Tìm điều kiện a, b để tồn tứ diện T có cạnh a cạnh lại b Với tứ diện T này, xác định mặt phẳng cho thiết diện mặt phẳng tứ diện T hình vng V Tính diện tích hình vng V theo a b Điều kiện độ dài a, b : + Giả sử tứ diện T tồn Gọi AB cạnh a , cạnh AC , AD, BC , BD, CD b Gọi I trung điểm cạnh CD Tam giác AIB tam giác cân: AB a; AI BI b Từ AB AI BI Suy ra: 0a b +Ngược lại với: 0a b Dựng tam giác BCD cạnh b với chiều cao BI BCD Ta Dựng tam giác cân AIB có AB a , nằm mặt phẳng chứa BI vng góc với mặt phẳng có: A mp BCD Tứ diện ABCD thỏa điều kiện toán A a Q M P B D I N C Xác định mặt phẳng : + Giả sử thiết diện MNPQ hình vng Các mặt tứ diện T chứa đoạn giao tuyến MN , NP, PQ, QM gọi tên mặt I , mặt II , mặt III , mặt IV Do MN // PQ; MQ // NP nên cạnh chung mặt I mặt III ; cạnh chung mặt II mặt IV nằm hai đường thẳng song song với mp Ngoài hai đường thẳng vng góc với nhau, MN vng góc MQ + Do a khác b nên tứ diện T có cặp cạnh đối vng góc , AB CD Vì mặt phẳng phải song song với AB CD + Gọi giao điểm mp với AC , BC , BD, AD , M , N , P, Q Đặt: k MA MC Ta có: a ; kb Từ a MN MQ ta có : k MN MQ 1 k 1 k b + Diện tích hình vng MNPQ : ( ab ) a b Bài Cho hình chóp tứ giác S ABCD , có đáy hình bình hành Gọi G trọng tâm tam giác SAC M điểm thay đổi miền hình bình hành ABCD Tia MG cắt mặt bên hình chóp điểm N MG NG Đặt Q NG MG 1/ Tìm tất vị trí điểm M cho Q đạt giá trị nhỏ 2/ Tìm giá trị lớn Q Hướng dẫn giải s N C' D' N' H G D A O C M B 1/ + Q MG NG MG NG 2 Dấu 1 NG MG NG MG + SG cắt mp ABCD tâm O hình bình hành ABCD Gọi K trung điểm SG Từ K dựng mặt phẳng song song với mp ABCD cắt SA, SB, SC , SD A1 , B1 , C1 , D1 Từ N dựng mặt phẳng song song với mp ABCD cắt SG N ' Ta có : N ' G NG NG ; 1 N ' trùng K N thuộc cạnh hình bình hành A1 B1C1 D1 MG OG MG Nối NK cắt cạnh hình bình hành A1 B1C1 D1 P , ta có : PM // SG + Từ Q 2 M thuộc cạnh hình bình hành A1' B1' C1' D1' A1' B1' C1' D1' hình chiếu song song hình bình hành A1 B1C1 D1 lên mp ABCD theo phương SG 2/ + Miền hình bình hành ABCD hợp miền tam giác OAB, OBC , OCD, ODA M thuộc miền hình bình hành ABCD nên M thuộc bốn miền tam giác Chẳng hạn M thuộc miền OAB M A N C ' ; M B N D ' ; M O N S Do N thuộc miền SC ' D ' N ' thuộc đoạn SH , với C ', D ' H trung điểm SC , SD SO Do đó: HG N ' G SG Vì vậy: +Đặt : x Q ' 0 vàø HG OG N 'G OG NG SG hay 2 OG MG 1 Ta có : Q x với x ; x 2 NG MG 2 x ; x 1 +Giá trị lớn Q : 1 MaxQ Max Q ; Q ; Q 1 2 Đạt M trùng với O đỉnh A, B, C , D Cho tứ diện ABCD có diện tích tam giác ADB ADC Sb Sc Mặt phẳng phân giác nhị diện tạo hai mặt ADB ADC cắt BC M góc hai mặt ADB ADC Chứng minh: Bài a/ MB Sb MC Sc b/ Diện tích Sm tam giác ADM là: S m 2Sb Sc cos Sb Sc Hướng dẫn giải Câu a: + Do M mặt phẳng phân giác góc nhị diện cạnh AD nên khoảng cách từ M đến hai mặt phẳng ADB , ADC kí hiệu d + Do đó: MB dt(DBM) VADBM Sb d Sb MC dt(DCM) VADCM Sc d Sc Câu b: + Tính cơng thức thể tích tứ diện: 1 sin 2Sb Sc sin VABCD Sc BH Sc BK.sin Sc BK.AD 3 AD 3AD A + VABCD VADBM VADCM , áp dụng cơng thức tính thể tích ta suy ra: 2Sb Sc sin 2Sb Sm sin 2Sc Sm sin 3AD 3AD 3AD Rút gọn, được: S m 2Sb Sc cos K C D Sb Sc M S Bài Với hai đường thẳng MN , PQ chéo khơng gian, kí hiệu d MN , PQ MN , PQ khoảng cách góc hai đường thẳng MN , PQ a/ Chứng minh tứ diện ABCD thỏa điều kiện: d AB, CD d AC , BD d AD, BC ba số: cotg AB, CD ; cotg AC , BD ; cotg AD, BC có số tổng hai số lại b/ Chứng minh tứ diện ABCD thỏa điều kiện: d AB, CD d AC , BD d AD, BC AB, CD AC , BD AD, BC hình chóp tam giác Hướng dẫn giải C a/ Dựng hình hộp ngoại tiếp tứ diện AC1 BD1 B1 DA1C Giả thiết d AB, CD d AC , BD d AD , BC A1 D1 suy mặt hình hộp diện tích S Đặt a AB, a1 CD, AC b, BC b1 , AD c, BC c1 , AD1 z, AC1 y, AB1 x D B1 A C1 Từ hình bình hành AC1 BD1 ta có: a a12 y2 4 a a12 2 y2 z ; cos AB, CD a.a1 B cos AB, CD y2 z2 a.a1 Chú ý: S dtAC1 BD1 a1a sin AB, CD Do đó: cot g AB, CD Tương tự: cot g AC, BD z x 2S 2 ; x y y2 z2 2S 2S Nếu x y z cotg AB, CD cotg AC , BD cotg AD, BC cotg AD, BD Các trường hợp khác có kết Từ kết câu a/ thêm AB, CD AC , BD AD, BC b/ cotg AB, CD cotg AC , BD cotg AD, BC 0 Suy cặp cạnh đối tứ diện ABCD vng góc đơi a a12 b b12 c c12 (Do x = y = z) Lúc ta có: a.a b.b1 c.c1 Suy a, a1 b, b1 c, c1 Vì phải có mặt tứ diện ABCD tam giác Từ ABCD hình chóp tam giác Bài Trong khơng gian cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng ba điểm A, B, C ( khác điểm O ) Ox, Oy, Oz Dãy số (an) an cấp số cộng có a1 công sai d Với số n nguyên dương, tia Ox, Oy, Oz theo thứ tự lấy điểm An , Bn , Cn cho OA an OAn ; OB an 1.OBn ; OB an 2 OCn Chứng minh mặt phẳng An , Bn , Cn luôn qua đường thẳng cố định Hướng dẫn giải + Phát biểu chứng minh mệnh đề: Nếu hai điểm X , Y phân biệt Điều kiện cần đủ để điểm S thuộc đường thẳng XY tồn cặp số thực x, y thỏa: OS xOX yOY , với điểm O tùy ý x y 1 +Từ giả thiết: an cấp số cộng công sai d nên: a n 1 a n d + áp dụng nhận xét trên, ta có: a a OI n 1 OBn n OA n I An Bn d d a n 1 a n 1 d d OA a n OA n ; OB a n 1 OBn ( a n , a n 1 0) OB OA 1 Thế vào ta được: OI AB , n=1,2 suy I cố định, nên đường thẳng An Bn d d d qua điểm cố định I + Tương tự, chứng minh được: 1 Bn Bn qua điểm cố định J xác định bởi: OJ BC d 1 AnCn qua điểm cố định K xác định bởi: OK AC 2d A B , B C , A C I , J , K Vậy đường thẳng n n n n n n qua ba điểm cố định +Chứng minh ba điểm thẳng hàng: 1 1 1 Ta có: OI AB , OJ BC , OK AC d d 2d 1 1 1 Do đó: OK AC (AB BC) (d.OI d.OJ) (OI OJ) 2d 2d 2d Vậy I , J , K thẳng hàng Điều chứng tỏ mặt phẳng An Bn Cn qua đường thẳng cố định Bài 10 Trong khơng gian cho ba mặt phẳng cố định có điểm chung M điểm không gian, đường thẳng qua M song song với hai mặt phẳng cắt mặt phẳng lại A, B, C Biết MA MB MC 1998 Tìm tập hợp trọng tâm tam giác ABC Hướng dẫn giải + Gọi O giao điểm mặt phẳng a, b, c giao tuyến Dùng tính chất hình hộp tính chất trọng uuuur uuur tâm, ta có: OM ' = OM , với M " trọng tâm ABC U _ B _ C _ M' _ M _ C _ O _ A _ V _
Ngày đăng: 18/10/2023, 19:33
Xem thêm:
