Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 61 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
61
Dung lượng
7,02 MB
Nội dung
CHUN ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Bài Xét hình chóp n – giác S A1 A2 An ( n số tự nhiên tùy ý lớn ) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: a/ Đáy A1 A2 An có tất cạnh � A SA � A SA � A 600 b/ SA 2 n Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ độ dài đường cao SH hình chóp nêu Hướng dẫn giải Chứng minh hình chóp S A1 A2 An tồn hình chóp đều: Chứng minh cạnh bên Đặt : SA1 = x1 ; SA2 = x2 ; ; SAn = xn Dùng định lý cosin tam giác SA1 A2 ; SA2 A3 ; ; SAn A1 ta có: x22 = + x12 - x1 cos 600 = + x12 - x1 x32 = + x22 - x2 cos600 = + x22 - x2 xn2 = + xn2- - xn- 1cos600 = + xn2- - xn- x12 = + xn2 - xn cos600 = + xn2 - xn �x22 = f ( x1 ) � � � x32 = f ( x2 ) � � �3 � � � � � � x , x , , x � ; +� f ( x ) = x x + = ( x ) + Đặt , ta có hệ: � với � n �2 � � � � � � x = f ( x ) n n- � � � � �x1 = f ( xn ) �3 � Trên � ; �� �f x đồng biến �2 � Do đó: x1 �x2 vơ lý Thật vậy: x1 x2 � f x1 f x2 � x 22 x 32 � x x � � x n x1 Ta có x1 x1 ( vô lý) Tương tự x1 x suy điều vô lý: x1 x1 Vậy x1 x2 2 Do x1 x2 ta x1 x1 x1 � x1 Từ ta được: x1 x2 xn Chứng minh đáy A1 A2 An đa giác Từ SA1 SA2 SAn suy hình vng góc H S lên đáy cách đỉnh đáy Đa giác A1 A2 An có cạnh nội tiếp đường tròn nên đa giác a) Tìm SH lớn nhất, nhỏ b) Chứng minh n Ta có mặt bên hònh chóp tam giác cạnh 0 Ngoài ra: 60 A1SA2 A1HA2 ; 60 A2 SA3 A2 HA3 ; ; 60 An SA1 An HA1 0 Do đó: n.60 360 � n n 2 Tính SH tìm giá trị lớn nhất, nhỏ SH : Xét tam giác vuông SHA1 : SH SH SA12 HA12 SA1 1; HA1 2sin n 1� � 1� � 1 � cot g � � cot g � , SH= cot g n 3; 4;5 4� 4� 4� 4� 4sin n n : SH ; n : SH 2; n : SH 1 2 1 , giá trị nhỏ SH 2 Bài Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Gọi E , G, K trung điểm cạnh A ' D ', B ' C ' AA' H tâm hình vng DCDC ' M , N hai điểm hai đường thẳng AD EG cho MN vng góc với KH cắt KH Tính độ dài đoạn MN theo a Hướng dẫn giải Do giá trị lớn SH D’ C’ E G A’ H I M B’ E1 E1 M A H1 D I1 N1 C B G1 H1 D C I1 N1 A G1 B Xác định đoạn MN Gọi E1 , N1 , G1 , H1 hình chiếu vng góc E , N , G, H mặt phẳng ABCD Do KH MN (gt) K KH NN1 suy KH MN1 , suy AH1 MN1 I1 Mà theo giả thiết MN cắt KH I suy II1 // NN1 mà I trung điểm đoạn MN nên I1 phải trung điểm MN1 Từ suy cách dựng hai điểm M , N Tính độ dài MN Đặt DAH1 � H1 AN1 E1 N1M 1 AE1 � tg � cos2 � AN1 a 5 cos 2 a a � MN1 Xét tam giác vng AIN1 , ta có: IN1 AN1 sin a 6 (Cách khác: Gọi P trung điểm CG1 , suy N1 AP , suy E1 N1 a ) Xét tam giác vuông DAH , ta có: sin E1 N1 a 5 14 a 14 � MN NN12 MN12 a a a � MN cos 9 Cách khác: Dùng phương pháp tọa độ khơng gian MN1 Bài Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a 12,54 (cm) ,các cạnh bên nghiên với đáy góc 720 Tính thể tích diện tích xung quanh hình chóp S ABCD Hướng dẫn giải Chiều cao hình chóp: SH a tg720 �27,29018628 2 Thể tích hình chóp: V a h �1430,475152 cm Trung đoạn hình chóp a2 d SH �28,00119939 �702,2700807 cm2 Diện tích xung quanh hình chóp: Sxq 4ad Bài Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a 12,54 (cm) , a 12,54 (cm) ,các cạnh bên nghiên với đáy góc 720 a) Tính thể tích hình cầu S1 nội tiếp hình chóp S ABCD b) Tính diện tích hình tròn thiết diện hình cầu S1 cắt mặt phẳng qua tiếp điểm mặt cầu S với mặt bên hình chóp S ABCD S Hướng dẫn giải SH 27.29018628; IH SH MH 4.992806526 R (bán kính mặt cầu nội tiếp) MH MS K 720 I A D H B M C 3 Thể tích hình chóp S1 : V R �521.342129 (cm ) SM �28, 00119939 MH 6, 27; IK IH Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng qua tiếp điểm S1 với mặt bên hình chóp: d EI S IH 4.866027997 SH IH Bán kính đường tròn giao tuyến: r EK R d �1,117984141 E K I Diện tích hình tròn giao tuyến: S �74,38733486(cm ) Bài Một thùng hình trụ có đường kính đáy ( bên trong) 12, 24 cm đựng nước H M cao lên 4,56 cm so với mặt đáy Một viên bi hình cầu thả vào thùng mực nước dâng lên sát với điểm cao viên bi (nghĩa mặt nước tiếp diện mặt cầu) Hãy tính bán kính viên bi Hướng dẫn giải 22 Ta có phương trình : R h x R x � x R x 3R h (0 x R ) Với R, x, h bán kính đáy hình trụ, hình cầu chiều cao ban đầu cột nước Bấm máy giải phương trình: x 224, 7264 x 512,376192 (0 x �6,12) Ta có: x1 �2,588826692; x2 �5,857864771 ( AB) : x y 0; ( AC ) : 3x y 42 0; ( BC ) : x y B Xét hai độ dài khác a, b Tìm điều kiện a, b để tồn tứ diện T có cạnh a cạnh lại b Với tứ diện T này, xác định mặt phẳng cho thiết diện mặt phẳng tứ diện T hình vng V Tính diện tích hình vng V theo a b Điều kiện độ dài a, b : + Giả sử tứ diện T tồn Gọi AB cạnh a , cạnh AC , AD, BC , BD, CD b Gọi I trung điểm cạnh CD Tam giác AIB tam giác cân: AB a; AI BI b Từ AB AI BI Suy ra: a b +Ngược lại với: a b Dựng tam giác BCD cạnh b với chiều cao BI BCD Ta Dựng tam giác cân AIB có AB a , nằm mặt phẳng chứa BI vng góc với mặt phẳng có: A mp BCD Tứ diện ABCD thỏa điều kiện toán A a Q M P B D I N C Xác định mặt phẳng : + Giả sử thiết diện MNPQ hình vng Các mặt tứ diện T chứa đoạn giao tuyến MN , NP, PQ, QM gọi tên mặt I , mặt II , mặt III , mặt IV Do MN // PQ; MQ // NP nên cạnh chung mặt I mặt III ; cạnh chung mặt II mặt IV nằm hai đường thẳng song song với mp Ngồi hai đường thẳng vng góc với nhau, MN vng góc MQ + Do a khác b nên tứ diện T có cặp cạnh đối vng góc , AB CD Vì mặt phẳng phải song song với AB CD + Gọi giao điểm mp với AC , BC , BD, AD , M , N , P, Q Đặt: k MA MC Ta có: MN a ; kb Từ a MN MQ ta có : k MQ 1 k 1 k b + Diện tích hình vng MNPQ : ( ab ) a b Bài Cho hình chóp tứ giác S ABCD , có đáy hình bình hành Gọi G trọng tâm tam giác SAC M điểm thay đổi miền hình bình hành ABCD Tia MG cắt mặt bên hình chóp điểm N MG NG Đặt Q NG MG 1/ Tìm tất vị trí điểm M cho Q đạt giá trị nhỏ 2/ Tìm giá trị lớn Q Hướng dẫn giải s N C' D' N' H G D A O C M B 1/ + Q MG NG MG NG �2 Dấu 1 NG MG NG MG + SG cắt mp ABCD tâm O hình bình hành ABCD Gọi K trung điểm SG Từ K dựng mặt phẳng song song với mp ABCD cắt SA, SB, SC , SD A1 , B1 , C1 , D1 Từ N dựng mặt phẳng song song với mp ABCD cắt SG N ' Ta có : NG N ' G NG ; � N ' trùng K � N thuộc cạnh hình bình hành A1 B1C1D1 MG OG MG Nối NK cắt cạnh hình bình hành A1B1C1 D1 P , ta có : PM // SG + Từ Q M thuộc cạnh hình bình hành A1' B1' C1' D1' A1' B1' C1' D1' hình chiếu song song hình bình hành A1 B1C1D1 lên mp ABCD theo phương SG 2/ + Miền hình bình hành ABCD hợp miền tam giác OAB, OBC , OCD, ODA M thuộc miền hình bình hành ABCD nên M thuộc bốn miền tam giác Chẳng hạn M thuộc miền OAB M �A N �C ' ; M �B N �D ' ; M �O N �S Do N thuộc miền SC ' D ' N ' thuộc đoạn SH , với C ', D ' H trung điểm SC , SD SO Do đó: HG �N ' G �SG Vì vậy: +Đặt : x NG MG Ta có : Q �1 �2 � � � � x với x �� ; � x � � Q ' vàø x �� ; �� x +Giá trị lớn Q : HG N ' G SG NG hay � �2 MG OG OG OG � �1 � � MaxQ Max � Q� � ; Q ; Q 1 � � �2 � Đạt M trùng với O đỉnh A, B, C , D Cho tứ diện ABCD có diện tích tam giác ADB ADC Sb Sc Mặt phẳng phân giác nhị diện tạo hai mặt ADB ADC cắt BC M góc hai mặt ADB ADC Chứng minh: Bài a/ MB Sb MC Sc b/ Diện tích Sm tam giác ADM là: S m 2Sb Sc cos Sb Sc Hướng dẫn giải Câu a: + Do M mặt phẳng phân giác góc nhị diện cạnh AD nên khoảng cách từ M đến hai mặt phẳng ADB , ADC kí hiệu d + Do đó: MB dt(DBM) VADBM Sb d Sb MC dt(DCM) VADCM Sc d Sc Câu b: + Tính cơng thức thể tích tứ diện: 1 sin 2Sb Sc sin VABCD Sc BH Sc BK.sin Sc BK.AD 3 AD 3AD A + VABCD VADBM VADCM , áp dụng cơng thức tính thể tích ta suy ra: 2Sb Sc sin 3AD 2Sc Sm sin 2 3AD 3AD 2Sb Sm sin Rút gọn, được: S m 2Sb Sc cos Sb Sc K C D M S Bài Với hai đường thẳng MN , PQ chéo khơng gian, kí hiệu d MN , PQ MN , PQ khoảng cách góc hai đường thẳng MN , PQ a/ Chứng minh tứ diện ABCD thỏa điều kiện: d AB, CD d AC , BD d AD, BC ba số: cotg AB, CD ; cotg AC , BD ; cotg AD, BC có số tổng hai số lại b/ Chứng minh tứ diện ABCD thỏa điều kiện: d AB, CD d AC , BD d AD, BC AB, CD AC , BD AD, BC hình chóp tam giác Hướng dẫn giải a/ D B1 Dựng hình hộp ngoại tiếp tứ diện AC1 BD1 B1 DA1C Giả thiết d AB, CD d AC , BD d AD, BC A1 D1 suy mặt hình hộp diện tích S Đặt a AB, a1 CD, AC b, BC b1 , AD c, BC c1 , AD1 z , AC1 y , AB1 x C Từ hình bình hành AC1BD1 ta có: A C1 a a12 y2 4 a a12 y z ; cos AB, CD a.a1 cos AB, CD B y2 z a.a1 Chú ý: S dtAC1 BD1 a1a sin AB, CD Do đó: cot g AB, CD Tương tự: cot g AC, BD z x 2S x y ; y2 z2 2S 2S Nếu x �y �z cotg AB, CD cotg AC , BD cotg AD, BC cotg AD, BD Các trường hợp khác có kết Từ kết câu a/ thêm AB, CD AC , BD AD, BC b/ cotg AB, CD cotg AC , BD cotg AD, BC Suy cặp cạnh đối tứ diện ABCD vng góc đơi � a a12 b b12 c c12 (Do x = y = z) Lúc ta có: � a.a b.b c.c � 1 Suy a, a1 b, b1 c, c1 Vì phải có mặt tứ diện ABCD tam giác Từ ABCD hình chóp tam giác Bài Trong không gian cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng ba điểm A, B, C ( khác điểm O ) Ox, Oy, Oz Dãy số (an) an cấp số cộng có a1 công sai d Với số n nguyên dương, tia Ox, Oy, Oz theo thứ tự lấy điểm An , Bn , Cn cho OA an OAn ; OB an 1.OBn ; OB an OCn Chứng minh mặt phẳng An , Bn , Cn luôn qua đường thẳng cố định Hướng dẫn giải + Phát biểu chứng minh mệnh đề: Nếu hai điểm X , Y phân biệt Điều kiện cần đủ để điểm S thuộc đường thẳng XY tồn cặp số thực x, y thỏa: uuu r uuur uuur OS xOX yOY � , với điểm O tùy ý � �x y +Từ giả thiết: an cấp số cộng công sai d nên: a n 1 a n d a n 1 a n 1 d d + áp dụng nhận xét trên, ta có: uur a uuuur a uuuur OI n 1 OBn n OA n I �An Bn d d uuur uuuur uuur uuuur OA a n OA n ; OB a n 1 OBn ( a n , a n 1 0) uuur uuur uur OB OA uuur Thế vào ta được: OI AB , n=1,2 suy I cố định, nên đường thẳng An Bn d d d qua điểm cố định I + Tương tự, chứng minh được: uur uuu r Bn Bn qua điểm cố định J xác định bởi: OJ BC d uuur uuur AC AnCn qua điểm cố định K xác định bởi: OK 2d Vậy đường thẳng An Bn , BnCn , AnCn qua ba điểm I , J , K cố định +Chứng minh ba điểm thẳng hàng: uur uuur uur uuu r uuur uuur AC Ta có: OI AB , OJ BC , OK d d 2d uuur uuur uuur uuu r uur uur uur uur AC (AB BC) (d.OI d.OJ) (OI OJ) Do đó: OK 2d 2d 2d Vậy I , J , K thẳng hàng Điều chứng tỏ mặt phẳng An BnCn qua đường thẳng cố định Bài 10 Trong không gian cho ba mặt phẳng cố định có điểm chung M điểm không gian, đường thẳng qua M song song với hai mặt phẳng cắt mặt phẳng lại A, B, C Biết MA MB MC 1998 Tìm tập hợp trọng tâm tam giác ABC Hướng dẫn giải + Gọi O giao điểm mặt phẳng a, b, c giao tuyến Dùng tính chất hình hộp tính chất trọng uuuur uuur tâm, ta có: OM ' = OM , với M_U" trọng tâm ABC B _ C _ M' _ M _ C _ O _ A _ V _ 1/ Tam giác ABD nên BE AD ; OF//BE � OF AD (1) SO ( ABCD) � SO AD (2) Từ (1) (2) � AD (SOF) � ( SAD ) (SOF) 2/ Kẻ OH SF H � OH ( SAD ) � d (O;( SAD)) OH 1 1 64 3a � OH 2 9a 3a OH SO OF 9a 16 16 O trung điểm AC nên d (C;( SAD)) 2d (O; (SAD)) 3a 3/ Gọi K hình chiếu C mp(SAD) � H trung điểm AK mp ( ) �mp ( BCK ) ; BC//AD nên mp(BCK) cắt mp(SAD) theo giao tuyến song song với AD Từ K kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD, SA M N Thiết diện tạo thành hình thang BCMN 12a a 12 � SF 16 SH SO SO SH SF � SF SF � MN cắt SF trung điểm I � MN đường trung bình tam giác SAD AD a � MN 2 a 3a ( a) ( MN BC )CK 9a � Std 2 16 SF SO OF2 Bài 82 [VĨNH PHÚC -2010-2011] Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có tất mặt hình vng cạnh a a) Chứng minh AC ' vng góc với mặt phẳng A ' BD đường thẳng AC ' qua trọng tâm tam giác A ' BD b) Hãy xác định điểm M , N nằm cạnh A ' D, CD ' cho MN vng góc với mặt phẳng CB ' D ' Tính độ dài đoạn MN theo a Hướng dẫn giải a) Ta có BD AC BD AA ' nên BD ACC ' A ' � AC ' BD Tương tự ta chứng minh AC ' A ' D Từ ta suy AC ' A ' BD Gọi I giao điểm AC BD Khi G AC '�A ' I giao điểm AC ' mặt phẳng A ' BD Do AC / / A ' C ' � GI AI suy G trọng tâm tam giác A ' BD GA ' A ' C ' uuuur ur uuuuur r uuuuu r ur ur r ur ur r r ur ur ur b) Đặt A ' A m, A ' D ' n, A ' B ' p � m n p a; m.n n p p.m uuuuur uuuur uuuuu r uuuur A ' M x A ' D; D ' N y.D ' C ur r ur uuuuur ur r uuuuu r ur ur uuuu r uuuur uuuuur uuuuu r Ta có A ' M x.m x.n; D ' N y.m y p � MN MA ' A ' D ' D ' N y x m x n y p Do đường thẳng MN vng góc với mặt phẳng (CB’D’) nên ta có ur r ur ur r � uuuu r uuuur x � y x m x n y p m n � � y 2x � �MN B ' C � � �� �� �� r uuuur ur r ur ur ur �uuuu 2y x � y x m x n y p m p � �y �MN D ' C � � uuuuur uuuur uuuuu r uuuur Vậy M, N điểm cho A ' M A ' D; D ' N D ' C 3 uuuu r ur r ur a2 a Do ta có MN m n p � MN � MN 3 3 A B I G D C M A' B' N D' C' Bài 83 [Cao Văn Bá – THPT Diễn Châu – 2009-2010] Cho hình chóp S ABCD , có đáy hình thang với AD / / BC M điểm di động bên tứ giác ABCD Qua M vẽ đường thẳng song song với SA, SB cắt mặt phẳng SBC SAD theo thứ tự N P a) Nêu cách dựng điểm N , P b) Chứng minh: MN MP không đổi SA SB c) Tìm tập hợp điểm M cho diện tích tam giác MNP có giá trị lớn Bài 84 [TRƯỜNG THPT CẨM THUỶ I 2008-2009] Cho tam giác S ABCD đáy hình thang, đáy lớn BC 2a , đáy bé AD a , AB b Mặt bên SAD tam giác M điểm di động AB , mp P qua điểm M song song với SA, BC a) Tìm thiết diện S ABCD với mặt phẳng mp P Thiết diện hình gì? b) Tính diện tích thiết diện theo a x AM x b Tìm giá trị x để diện tích thiết diện lớn Hướng dẫn giải a) Từ M kẻ đường thẳng song song BC SA , cắt DC N , SQ Q Từ Q kẻ đường thẳng song song với BC cắt SC P suy MNPQ thiết diện Dễ dàng chứng minh hình thang cân S Q P 2a C B M b x N D A a b) * Tính diện tích thiết diện MNPQ Sử dụng định lý Talets ta suy MQ NP Từ tính QK bx x ab ax a ; PQ 2a , MN b b b ba ax b Áp dụng công thức S MNPQ 3a MN PQ QK b x b 3x 4b N *Tìm x để S MNPQ đạt giá trị lớn P Q H K M S MNPQ 3a 3a �3b x b x � 3a 3b 3x b 3x � � � 12b 12b � � 12 Dấu "=" xảy x b Bài 85 [THPT Quảng Xương THANH HỐ 2009- 2010] Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a đường cao SO a a) Tính góc tạo hai mặt phẳng ABCD SCD b) Gọi I trọng tâm tam giác ABO , xác định hình chiếu H I lên mp SCD tính độ dài IH theo a Hướng dẫn giải a) Gọi M trung điểm CD suy góc ABCD SCD góc SMO , Tam giác SMO vng O , SO a , OM a suy tan SMO hay SMO 63, 4� b) Kẻ OK đường cao tam giác SOM suy OK vng góc mp SCD , từ I kẻ đường thẳng song song với OK mp SOM cắt SM H H điểm cần tìm 5 a a Ta có IH OK 3 Bài 86 Cho tứ diện ABCD có đường cao AA ', BB ', CC ', DD ' đồng qui điểm thuộc miền tứ diện Các đường thẳng AA ', BB ', CC ', DD ' lại cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo thứ AA ' BB ' CC ' DD ' � tự A1 , B1 , C1 , D1 Chứng minh: AA1 BB1 CC1 DD1 Bài 87 a Cho tứ diện ABCD Gọi I J trung điểm AC BC Trên cạnh BD lấy điểm K cho BK KD Tìm giao điểm E đường thẳng CD với mặt phẳng IJK Chứng minh DE DC b Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Hai điểm M N thay đổi BM NC x, x 0, x �1 , Gọi G trọng tâm tam giác SCD Chứng đoạn thẳng SB, AC cho MS NA minh MN song song với mặt phẳng cố định x thay đổi tìm x để NG / / SAD Bài 88 [ÔN THI ĐỘI TUYỂN FESTIVAL – ĐỀ SỐ 3] Cho hình chóp S ABC cạnh a , cạnh bên a Gọi P mặt phẳng qua A song song với BC vng góc với mặt phẳng SBC Gọi I trung điểm BC a) Xác định thiết diện hình chóp với (P).Tính khoảng cách từ điểm I đến P b) Tính sin với góc AB P Bài 89 [ÔN THI ĐỘI TUYỂN FESTIVAL – ĐỀ SỐ 2] Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có AB a , AC 2a, AA’ 2a góc BAC 120O Gọi M trung điểm CC ' a) CMR: MB MA ' b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng A’BM Bài 90 [HỌC SINH GIỎI TỈNH NAM ĐỊNH, LỚP 11, 2005] Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với O Gọi A1 , B1 , C1 thứ tự trung điểm cạnh BC , CA, AB a) Chứng minh tam giác A1B1C1 tam giác nhọn b) Biết số đo góc tam giác ABC A, B, C Gọi số đo góc nhị diện C1 , OA1 , B1 , tìm cos theo B C c) Gọi d độ dài lớn độ dài cạnh OA, OB, OC gọi h độ dài lớn độ dài đường cao tam giác ABC Chứng minh rằng: h �d h Bài 91 [HỌC SINH GIỎI TỈNH NAM ĐỊNH, LỚP 11, 2004] Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a a) Ta coi hình chóp cho tứ diện SABC có trọng tâm O , gọi góc mp SAB mp ABC Hãy tính cos để O cách tất mặt SABC b) Biết � ASB 30� Xét mặt phẳng P thay đổi qua A , cho mp P cắt đoạn thẳng SB, SC thứ tự B ', C ' Tìm giá trị nhỏ chu vi tam giác AB ' C ' theo a Bài 92 [HỌC SINH GIỎI LỚP 11 TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2011-2012] Cho tứ diện S ABC Gọi P mặt phẳng qua đường cao SO tứ diện; mặt phẳng P cắt mặt phẳng SBC , SCA SAB theo giao tuyến SM , SN , SP Các giao tuyến tạo với mặt phẳng ABC góc , , Chứng minh: tan tan tan 12 � 600 , AB 2a Gọi H trung Bài 93 [NGHỆ AN 2015-2016] Cho hình thoi ABCD có góc BAD điểm AB Trên đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ABCD H lấy điểm S thay đổi khác H Trên tia đối tia BC lấy điểm M cho BM BC a a) Khi SH , chứng minh đường thẳng SM vng góc với mặt phẳng SAD b) Tính SH theo a để góc SC SAD có số đo lớn Bài 94 [TRƯỜNG THPT TRƯNG VƯƠNG - BÌNH ĐỊNH] Trong khơng gian cho khối đa diện có số cạnh qua đỉnh số chẵn Một thiết diện tạo mặt phẳng không qua đỉnh khối đa diện với khối đa diện Chứng minh số cạnh thiết diện số chẵn Hướng dẫn giải m Giả sử số đỉnh thiết diện ;Ta xét tron 2k Tổng cạnh qua m đỉnh 3m Vậy số cạnh khối đa diện 2k 3m �Z � m số chẵn Bài 95 [VĨNH PHÚC 2009-2010] Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình chữ nhật với AB a 2, BC a SA SB SC SD 2a Gọi K hình chiếu vng góc B AC H hình chiếu vng góc K SA a) Tính độ dài HK theo a b) Gọi M , N trung điểm đoạn thẳng AK , CD Chứng minh đoạn thẳng BM MN vng góc với Bài 96 [TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU NGHỆ AN 2016 - 2017] Cho tứ diện S ABC đều, gọi I , K trung điểm cạnh AC SB Trên đường thẳng AS CK ta chọn điểm P, Q cho PQ / / BI Tính độ dài PQ biết cạnh tứ diện có độ dài Hướng dẫn giải Ta có PQ giao tuyến hai mặt phẳng : Mặt phẳng chứa CK song song với BI mặt phẳng chứa SA song song với BI Trong mặt phẳng SBI kẻ KE / / BI , CE cắt SA P Qua A kẻ A F / / BI ( F thuộc BC ) , CK cắt SF Q Vậy PQ / / BI Ta có I , E trung điểm AC SI � Mà SP SA PQ SP 1 � PQ AF AF SA 3 Ta có AF BI Vậy PQ Bài 97 [TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU NGHỆ AN 2016 - 2017] Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vng SA SB SC SD Mặt phẳng P thay đổi cắt cạnh SA, SB, SC , SD A� , B� ,C� , D� ( A� , B� , C� , D� không trùng với đầu mút đoạn thẳng SB� SD� SB� SD� SA, SB, SC , SD Chứng minh rằng: SA� SC � SA� SC � Hướng dẫn giải A�� C �B�� D Ta có S , O , O� Gọi O tâm đáy ABCD , O� thẳng hàng (do chúng thuộc giao tuyến hai mặt phẳng SAC SBD ) � BSD � 2 Trong tam giác SA�� C , ta có: Đặt ASC S SA�� C S SA�� O S SC �� O � 1 SA� SC � sin 2 SA� SO � sin SO � SC � sin 2 SA� SC � cos (1) SA� SC � SO� SB� SD� cos (2) D ta Tương tự với tam giác SB�� SB� SD� SO � SB� SD� SA� SC � SB� SD� SB� SD� � Ta có ĐPCM Từ (1) (2) ta suy SB� SD� SA� SC � SA� SC � SA� SC � � SA� SC � cos SO� SA� SC� � Bài 98 [THPT QUỲNH LƯU – HOÀNG MAI NGHỆ AN 2016 - 2017] Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD nửa lục giác với BC 2a , AB AD DC a a Mặt bên SBC tam giác Gọi O giao điểm AC BD Cho biết SD vng góc với AC a) Tính SD b) Mặt phẳng ( ) qua điểm M thuộc đoạn OB ( M không trùng với B ), song song với SD AC Xác định thiết diện hình chóp S ABCD với mặt phẳng ( ) Tính diện tích thiết diện theo a x biết BM x Tìm x để diện tích thiết diện lớn Hướng dẫn giải a) Tính SD +) Dựng OI song song SD ( I thuộc cạnh SB ); AC BD a OA AD 2a � OC AC OC BC 3 2a � SI BS � OI BI BO � 3 �� +) Mặt khác: SD BS BD �SD OI � Ta có: +) Áp dụng định lý cosin tam giác SIC , tính IC 28a +) Do SD AC OI / / SD nên OI AC 4a � SD OI 2a b) Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD với mặt phẳng ( ) +) Xác định thiết diện tam giác NPQ (với N, P, Q nằm cạnh BA, BC, BS) �MQ / / SD, NP / / AC � NP MQ +) Ta có: � �SD AC Trong tam giác vuông OIC , tính OI NP.MQ +) Trong tam giác SBD , tính MQ x +) Trong tam giác BAC , tính NP x � Diện tích thiết diện: S NPQ +) Diện tích thiết diện: S NPQ 3x 2 +) Vì M thuộc đoạn BO ( M � B ) nên x �BO 2a 2a �0 x � 3 3 �2a � 2a 2a S � Do đó, NPQ Vậy, S NPQ � � �3 � 3 Bài 99 Cho tứ diện SABC Hai điểm I, J thứ tự chuyển động AB, AC cho AB AC Chứng AI AJ minh mặt phẳng (SIJ) qua đường thẳng cố định Hướng dẫn giải uuu r r uuur r Đặt AB b; AC c Gọi M trung điểm BC, gọi G trọng tâm tam giác ABC Gỉa sử uur r r uuu r uur r r AB AC 3k uuu k r uu k r AI kb � � 3 � AJ c � IJ AJ AI c kb AI k AJ k k 3k 3k r r uur uuu r uur uuur r r r r 3k r r uuuu b c Ta có: GI GA AI AG kb AM kb kb b c Ta thấy 3 3 uur 3k r r 3k � k r r r � 3k uu GI b c c kb IJ Vậy G, I, J thẳng hàng Hay IJ qua � 3 3k � 3k � � 3k điểm G cố định, hay mặt phẳng (SIJ) qua đường thẳng cố định SG Bài 100 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vng góc với đơi Gọi A, B, C ba góc tam giác ABC rằng: , , góc tạo OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC) Chứng minh cos 2 cos cos 2 sin A sin B sin 2C Hướng dẫn giải Gọi H hình chiếu vng góc O mặt phẳng (ABC) � H trực tâm tam giác ABC � ; OBH � ; OCH � � OAH AH AH AH Gọi AK đường cao tam giác ABC Ta có: cos OA AH AK AK 1 AB AC BC 2OA2 Mặt khác: cos A 0 AB AC AB AC Tương tự: cos B,cos C nên tam giác ABC nhọn - Gọi R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có: BC BC � R ; sin A sin BHC � R � R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam � sin A sin BHC giác BHC - Trong tam giác ABH: AH R.sin � ABH R.cos A Nên: sin A 2sin A.cos A BC AH BC AH 2R 2R R2 2 cos A R2 Từ (1) (2) ta có: sin A SABC cos B R2 cos2C R2 ; Chứng minh tương tự ta có: sin B S ABC sin 2C SABC Vậy ta có ĐPCM Bài 101 Cho tam giác ABC vng A có AB=c, AC=b.Gọi (P) mặt phẳng qua BC vng góc với mặt phẳng (ABC) ; S điểm di động (P) cho S.ABC hình chóp có hai mặt bên SAB, SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo Gọi H, I, J hình chiếu vng góc S BC, AB, AC a Chứng minh SH HI HJ b Tìm giá trị lớn SH tìm giá trị Hướng dẫn giải Bài 102 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tất cạnh bên a Gọi điểm M thuộc cạnh SD cho SD = 3SM, điểm G trọng tâm tam giác BCD a) Chứng minh MG song song với mp(SBC) b) Gọi ( ) mặt phẳng chứa MG song với CD Xác định tính diện tích thiết diện hình chóp với mp( ) c) Xác định điểm P thuộc MA điểm Q thuộc BD cho PQ song song với SC Tính PQ theo a Hướng dẫn giải Gọi I trung điểm BC Ta có DG DM � MG / / SI DI DS Mà SI �( SBC ) nên MG //(SBC) Qua G kẻ đường thẳng song song với CD cắt AD BC E F Qua M kẻ đường thẳng song song với CD cắt SC H Thiết diện hình chóp với mp( ) tứ giác EFHM Ta có HM//EF song song với CD MD HC 2a a , DE CF , �MDE �HCF 600 nên tam giác DME tam giác CHF 3 suy ME = HF EFHM hình thang cân 4a a 2a a a Ta có: EM DM DE DM DE.cos60 2 9 3 2 a MH ,EF = a EF HM � a2 a2 a � Gọi h độ dài đường cao hình thang ta có h EM � � � � Diện tích thiết diện S EFHM 1 a a 2a 2 h.(EF HM ) 2 3 Qua M dựng đường thẳng song song với SC cắt CD N Nối A với N cắt BD Q Trong mp (AMN) từ Q dựng đường thẳng song song với MN cắt AM P Ta có PQ//MN, MN//SC nên PQ//MN Suy hai điểm P, Q thỏa mãn điều kiện tốn Ta có AQ MN DM AQ AB � , AN SC DS QN DN PQ AQ , MN AN Suy PQ PQ PQ MN 2 SC MN SC 5 2a Bài 103 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi M, N trung điểm AB B’C’ Dựng tính đoạn vng góc chung AN DM D’ ’ Gọi I trung điểm BC NI A B mp(ABCD) � NI DM (1đ) Chứng minh được: AI � DM mp ( AIN ) K DM ’ D C H A N M C’ B I Gọi H giao điểm AI DM, từ H hạ HK AN ,HK đoạn vng góc chung AN DM, Tính AH a a 3a AN AI AKH đồng dạng AIN KH AH IN AN KH a a 2a 3a Vậy khoảng cách AN DM là: 2a 15 Bài 104 Cho tứ diện ABCD, Chứng minh mặt phẳng ,mỗi mặt phẳng qua trung điểm cạnh vng góc với cạnh đối diện đồng quy điểm Bài 105 Cho hình chóp SABC có SC ABC tam giác ABC vuông B Biết AB a; AC a 13 góc hai mặt phẳng (SAB), (SAC) với sin Tính độ dài SC theo a 19 Hướng dẫn giải Xét hai trường hợp: +) B C không tù Khi A 2 � sin C , cos C 5 BB ' BC cos �CBB ' B’ cos �CBB ' Suy sin B CC ' , cos B BC 5 � sin A sin B cos C sin C cos B +) B C tù C’ H C B BB ' 5 � AB � S AB.CC ' sin A 2 Do BB ' CC ' nên B C C tù � sin C , cos C 5 25 25 , AB Còn sin B , cos B (giống trường hợp 1) � sin A Suy S 5 5 Bài 106 Cho tứ diện ABCD , O điểm nằm miền tam giác BCD Từ O kẻ đường thẳng song song với AB, AC , AD cắt mặt phẳng ACD , ABD , ABC tai M , N , P OM ON OP Chứng minh rằng: khơng đổi AB AC AD Bài 107 Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ có tất mặt hình vng cạnh a a) Chứng minh AC’ vng góc với mặt phẳng A’BD đường thẳng A’C qua trọng tâm tam giác A’BD b) Hãy xác định điểm M , N nằm cạnh A’D, CD’ cho MN vng góc với mặt phẳng CB’D’ Tính độ dài đoạn MN theo a Bài 108 Cho hình chóp S ABCD Tứ giác đáy có AB CD cắt E AD BC cắt F AC BD cắt G P mặt phẳng cắt SA, SB, SC A’, B’, C’ a) Tìm giao điểm D’ SD P b) Với điều kiện P A’B’C’D’ hình bình hành Bài 109 Cho tứ diện ABCD , mặt phẳng ( ) song song với hai đường thẳng AD BC Gọi M , N , P, Q tương ứng giao điểm ( ) với đường thẳng AB, AC , CD, DB Xác định tất vị trí ( ) để: a) Tứ giác MNPQ hình thoi b) Diện tích thiết diện ( ) tứ diện ABCD lớn Bài 110 Cho tam giác ABC vng A có AB c, AC b Gọi P mặt phẳng qua BC vng góc với mặt phẳng ABC ; S điểm di động P cho S ABC hình chóp có hai mặt bên SAB , SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo Gọi H , I , J hình BC , AB , AC chiếu vng góc S a) Chứng minh SH HI HJ b) Tìm giá trị lớn SH tìm giá trị Bài 111 Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A’B’C’D’ Một mặt phẳng (P) thay đổi song song với hai đáy lăng trụ, cắt đoạn thẳng AB’, BC’, CD’, DA’ tương ứng điểm M, N, P, Q Hãy xác định vị trí mặt phẳng (P) cho tứ giác MNPQ có diện tích lớn Bài 112 Cho hình chóp S.ABCD, ABCD hình vng SAB tam giác đều, mặt phẳng qua ba điểm A, B, C vng góc với mặt phẳng chứa tam giác SAB Gọi M điểm di động đoạn AB P hình chiếu vng góc S lên CM a) Tìm quỹ tích điểm P M di động b) Xác định vị trí điểm M để độ dài đoạn thẳng nối M với trung điểm đoạn SC đạt giá trị lớn Bài 113 Gọi O điểm cạnh AB tứ diện ABCD (O không trùng với A B) Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AOCD cắt cạnh BC BD tứ diện ABCD M N (M �C, N �D) Mặt cầu ngọai tiếp tứ diện BOCD cắt cạnh AC AD tứ diện ABCD P Q (P �C, Q �D) Chứng minh tam giác OMN đồng dạng với tam giác OQP Bài 114 Cho P điểm cố định nằm bên hình cầu cho trước Ba đoạn thẳng PA, PB, PC đơi vng góc với nhau, có ba đầu mút A, B, C nằm mặt cầu Gọi G trọng tâm tam giác ABC a) Tính PG theo PA, PB, PC b) Tìm quỹ tích điểm G A, B, C thay đổi Bài 115 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD đỉnh S, cạnh đáy hình chóp có độ dài 2, chiều cao h Gọi C1 (O; r ) hình cầu tâm O bán kính r nội tiếp hình chóp; gọi C2 (K;R) hình cầu tâm K bán kính R tiếp xúc với cạnh hình chóp Biết khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABCD) khoảng cách từ K đến mặt phẳng (ABCD) h2 a) Chứng minh rằng: r h b) Tính giá trị h, từ suy thể tích hình chóp Bài 116 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có cạnh a Xét đoạn thẳng MN có hai đầu mút M, N nằm đoạn thẳng BC’, CA’ song song với mặt phẳng(ABB’A’) Tìm theo a độ dài đoạn thẳng ngắn đoạn thẳng Khi MN ngắn hỏi MN có vng góc với BC’ CA’ hay không? Chứng minh Bài 117 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi H chân vng góc hạ từ O đến (ABC) a) Chứng minh H trực tâm tam giác ABC abc b) Chứng minh a.S HBC b.S HAC c.S HAB � Bài 118 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB=2CD=2AD, SA vng góc với đáy A Gọi M trung điểm SC, K điểm di động AB Tìm tập hợp hình chiếu H M lên CK Bài 119 Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G Tìm điểm M cho tổng: MA MB MC MD đạt giá trị bé GB.GC.GD GA.GC.GD GA.GB.GD GA.GB.GC ... Chiều cao hình chóp: SH a tg 720 27 ,29 018 628 2 Thể tích hình chóp: V a h �1430,4751 52 cm Trung đoạn hình chóp a2 d SH 28 ,00119939 �7 02, 2700807 cm2 Diện tích xung quanh hình chóp:... giải SH 27 .29 018 628 ; IH SH MH 4.9 928 06 526 R (bán kính mặt cầu nội tiếp) MH MS K 720 I A D H B M C 3 Thể tích hình chóp S1 : V R � 521 .3 421 29 (cm ) SM 28 , 00119939 MH 6, 27 ; IK... A nên: 1 a b2 � BK BK AB2 BC a b2 + SAB cân đỉnh S , BH đường cao nên HB SI.AB SA c2 a2 a c + Do HBK vuông K nên: HK HB2 BK HK (4c a )a a 2b2 4c2 a b2 (4c a