Một số hiệu ứng lượng tử trong các hệ nanô trên cơ sở chấm lượng tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN VĂN HỢP MỘT SỐ HIỆU ỨNG LƯỢNG TỬ TRONG CÁC HỆ NANÔ TRÊN CƠ SỞ CHẤM LƯỢNG TỬ LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ HÀ NỘI - 2011 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN VĂN HỢP MỘT SỐ HIỆU ỨNG LƯỢNG TỬ TRONG CÁC HỆ NANÔ TRÊN CƠ SỞ CHẤM LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết vật lí tốn Mã số: 62.44.01.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.VS NGUYỄN VĂN HIỆU HÀ NỘI - 2011 MỞ ðẦU Lý chọn ñề tài Tiến vật lý chất rắn năm qua ñược ñặc trưng chuyển hướng đối tượng nghiên cứu từ khối tinh thể sang màng mỏng, cấu trúc nhiều lớp chấm lượng tử Trong ñối tượng ñược nêu trên, hầu hết tính chất ñiện tử ñều thay ñổi cách ñáng kể ðặc biệt, ñã xuất số tính chất khác, gọi hiệu ứng kích thước Trong cấu trúc có kích thước lượng tử, nơi hạt dẫn bị giới hạn vùng có kích thước đặc trưng vào cỡ bậc bước sóng de Broglie, tính chất vật lí điện tử thay đổi đầy kịch tính Ở đây, qui luật học lượng tử bắt đầu có hiệu lực, trước hết thơng qua việc biến ñổi ñặc trưng hệ ñiện tử phổ lượng Phổ lượng trở thành gián ñoạn dọc theo hướng toạ ñộ giới hạn Dưới ảnh hưởng trường hay tâm tán xạ (phonon, tạp chất, ) thường hai, mà khơng phải ba thành phần động lượng hạt dẫn biến đổi Do đó, dáng điệu hạt dẫn cấu trúc kích thước lượng tử tương tự khí điện tử hai chiều, chí hệ qui mơ xác ñịnh theo tất ba chiều toạ ñộ Chuyển ñộng electron hồn tồn bị lượng tử hố bị bẫy giả không gian không chiều (quasi-zero-dimensional) hay chấm lượng tử (quantum dot QD) ðiều ñạt ñược ñầu tiên nhà khoa học Texas Instruments Incorporated Các electron QD bị giam cầm mạnh theo ba chiều khơng gian nên hệ QD xem tương tự nguyên tử nhân tạo (artificial atoms), siêu nguyên tử (superatoms), quantum-dot atoms ðiều làm cho QD khơng giống hệ thơng thường là: khả điều chỉnh hình dạng nó, khơng gian nó, cấu trúc mức lượng số electron bị giam cầm Một loạt nghiên cứu thực nghiệm có liên quan tới QD đề cập tính chất quang học chúng (hấp thụ phát xạ ánh sáng vùng khả kiến vùng hồng ngoại xa, tán xạ Raman ánh sáng) tính chất điện (điện dung truyền dẫn) Vì hấp thụ phát xạ ánh sáng QD vùng phổ hẹp hồn tồn điều khiển cách sử dụng từ trường kết sớm ñược ứng dụng ñể xây dựng ñiều khiển laser bán dẫn Sự lượng tử hoá mạnh mức lượng electron với tham số thích hợp ñối với laser action, ñặc biệt QD self-assembled, sở cho laser hoạt động nhiệt độ cao dịng bơm thấp QD có kích thước nhỏ tạo thành ma trận chấm lượng tử với mật ñộ lớn cho phép sử dụng nhớ có dung lượng lớn máy tính Nghiên cứu tính truyền dẫn QD, đơn giản dịng qua chấm, điều nghiên cứu từ lâu chưa hoàn chỉnh mặt lý thuyết Các nghiên cứu chủ yếu tính số mà chưa đưa biểu thức giải tích chúng Sự chuyển dời electron qua QD mức (single-level quantum dot) liên kết với hai ñiện cực vấn ñề thời nghiên cứu lí thuyết thực nghiệm nhiều cơng trình năm gần lĩnh vực vật lí nanơ [27, 28, 29, 32, 37, 42, 43, 44, 60, 63, 75, 82, 83, 84, 88, 92] Hai đại lượng vật lí ño ñược thực nghiệm dựa chuyển vận electron dịng electron qua QD giá trị trung bình số electron QD Tất đại lượng tính qua số hạng hàm Green electron Trong việc nghiên cứu lý thuyết ñầu tiên chuyển vận electron qua QD đơn mức, phương trình vi phân ñối với hàm Green thời gian thực ñã ñược ñưa với việc sử dụng phương trình Heisenberg tốn tử sinh hủy electron [37, 60] Do tính đến tương tác Coulomb mạnh electron QD, nên phương trình vi phân hàm Green electron có chứa hàm Green nhiều electron tất phương trình liên kết hàm Green với tạo thành hệ vơ hạn phương trình vi phân ðể thu hệ đóng gồm hữu hạn phương trình, phải sử dụng số phương pháp gần để tách hệ vơ hạn phương trình vi phân Hơn nữa, trình chuyển vận electron qua QD q trình khơng cân bằng, phải sử dụng hàm Green thời gian phức khơng cân hình thức luận Keldysh [26, 49] Trong việc nghiên cứu hàm Green thời gian phức không cân bằng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn ñối với tương tác Coulomb, người ta thường giữ lại số chuỗi giản ñồ hình thang thừa nhận phương pháp gần không chéo (non-crossing approximation NCA) Các hệ phương trình hàm Green giải nhiều phương pháp số khác nhau, ví dụ: kỹ thuật Quantum Monte Carlo [82] tính số phương pháp nhóm tái chuẩn hóa [28, 29, 43, 44] Các kết tính số hàm Green electron hai điểm có cộng hưởng cộng hưởng có liên hệ với hiệu ứng Kondo Bên cạnh cộng hưởng Kondo này, trạng thái chuẩn liên kết Fano phổ lượng hệ electron QD ñiện cực ñóng góp số cộng hưởng Trong luận án này, khác với nghiên cứu trước, chúng tơi đưa biểu thức giải tích xác số hạng cộng hưởng Kondo Fano cách giải phương trình dạng ma trận hàm Green để tìm nghiệm giải tích tường minh Từ biểu thức giải tích chúng tơi thu tồn cộng hưởng ñiều kiện ñể tồn cộng hưởng ðặc biệt, chúng tơi khác biệt cộng hưởng Kondo cộng hưởng Fano, chúng tồn [62, 66] Nghiên cứu tính truyền dẫn chấm lượng tử làm sở thơng tin lượng tử máy tính lượng tử Trong máy tính điện tử lượng tử tương lai, phép tính tốn dùng để tính khơng cịn phép tính tốn thơng thường dùng máy tính cổ điển mà phép tốn học lượng tử Vì thế, đơn vị ñể chứa tin tức mẩu tin lượng tử - quantum bit hay gọi tắt qubit Một qubit trạng thái chứa trị số trạng thái chứa trị số hay trạng thái vừa chứa trị số với tỷ số xác xuất trị số với tỷ số xác suất lại Trong thực vật lí tên gọi qubit dành cho hệ lượng tử có hai trạng thái Cho nên, hai trạng thái lượng tử hệ xem qubit Nhưng trường hợp cụ thể qubit hệ lượng tử hai mức với giả thiết hai mức lượng khơng suy biến Có nhiều hệ vật lí khác thực mơ hình qubit, chẳng hạn như: hai mức lượng hạt có mơmen từ spin 1/2 từ trường khơng đổi, nguyên tử hai mức, hai trạng thái phân cực phơtơn, mức lượng kích thích thấp trạng thái chấm lượng tử bán dẫn, Cho tới nay, người ta chưa biết nên chọn hệ vật lí hệ kể để làm qubit hệ có ưu ñiểm nhược ñiểm khác Thông tin lượng tử ñược mã hóa vào qubit hai thành phần hàm sóng qubit trạng thái lượng tử ma trận mật độ × ñối với trạng thái pha trộn Tương tự máy tính điện tử cổ điển, máy tính lượng tử ñiều khiển qubit chứa não máy tính cách tác động qubit loạt cổng logic lượng tử Như vậy, qubit có vai trị quan trọng việc tạo máy tính lượng tử thơng tin lượng tử nên thập kỉ qua nhà lý thuyết thực nghiệm quan tâm ñến nghiên cứu ñộng lực học qubit hệ qubit ñã ñạt ñược nhiều kết quan trọng Trên thực tế hệ lượng tử tương tác với môi trường (environment) quanh nó, điều gây giảm kết hợp (decoherence) hệ lượng tử [61] Các trình suy giảm kết hợp qubit cho chế cản trở q trình tính tốn lượng tử thông tin lượng tử trở thành thực Hiểu triệt tiêu q trình nhiệm vụ quan trọng khoa học thơng tin lượng tử Việc nghiên cứu động lực học qubit hệ qubit có tương tác với mơi trường chưa xét cách đầy đủ Gần ñây, vấn ñề nghiên cứu hệ nguyên tử giống nguyên tử hai mức có chức bit lượng tử tích điện (charge qubits) điện động lực học lượng tử cavity ñược quan tâm nhiều sử dụng giống phần tử hệ xử lý thông tin lượng tử (quantum information QI) [8, 9, 20, 36, 52, 79, 80, 90, 91] ðiện ñộng lực học lượng tử cavity lý thuyết lượng tử hệ nguyên tử giống nguyên tử tương tác với trường ñiện từ microcavity Do ñiều kiện biên nên trường ñiện tử microcavity có phổ lượng gián đoạn Liên kết mạnh hệ electron hai mức tương tác với ñơn mode lượng tử trường ñiện từ microcavity ñã ñược quan sát thực nghiệm [30, 38, 50, 56, 57, 74, 76] Sự giảm kết hợp bit lượng tử tích điện điện động lực học lượng tử cavity tương tác chúng với môi trường ảnh hưởng lên xử lý thơng tin lượng tử ñã ñược nghiên cứu Tuy nhiên, việc giải tồn hệ phương trình tốc độ bit lượng tử tích điện với suy giảm kết hợp ñiện ñộng lực học lượng tử cavity chưa ñược nghiên cứu ñầy ñủ Mặt khác, việc nghiên cứu tồn diện tính chất vật lí hệ liên kết mạnh, hệ bit lượng tử tích điện photon microcavity, cần phải xác ñịnh tiến triển theo thời gian ma trận mật ñộ rút gọn hệ tính đến tương tác với mơi trường vấn ñề ñược nghiên cứu luận án Phần tử hệ xử lý QI qubit Sự trao ñổi trạng thái lượng tử hai qubit chế vật lí để chuyển giao, truyền thơng tin lượng tử từ qubit ñến qubit khác [4, 13, 14, 24, 25, 33, 47, 48, 54, 64, 67, 78, 85] ðặc biệt Lloyd [54] Bose [13] ñã ñề xuất sử dụng chuỗi spin tương tác để truyền thơng tin lượng tử hai spin-qubit vị trí đầu cuối chuỗi Sự truyền thông tin lượng tử từ ñầu ñến cuối chuỗi spin ñã ñược nghiên cứu nhiều tác giả [4, 24, 33, 48, 85] Bên cạnh tương tác hai spin-qubit liền kề, tương tác chuỗi spin-qubit với môi trường nguyên nhân giảm kết hợp ðộng lực học lượng tử hệ hai spin-qubit có tương tác, với suy giảm kết hợp ñã ñược nghiên cứu nhiều tác giả, trình suy giảm kết hợp chuỗi gồm có nhiều hai spin-qubit chưa xem xét kĩ Với mục đích đó, luận án chúng tơi tập trung vào nghiên cứu động lực học lượng tử chuỗi gồm ba spin-qubit với trình suy giảm kết hợp Từ biểu thức giải tích ma trận mật ñộ rút gọn hệ qubit, chúng tơi áp dụng nghiên cứu tính đan rối lượng tử ñộ tin cậy lượng tử hệ truyền qua kênh suy giảm kết hợp ðan rối lượng tử khơng điều quan tâm học lượng tử mà cịn nguồn quan trọng việc xử lý thông tin lượng tử [39, 61] ðan rối lượng tử tính chất hệ lượng tử, tính chất hệ có nhiều tiềm để sử dụng viễn tải lượng tử (quantum teleportation), mật mã lượng tử (quantum crytography) ứng dụng khác [61] Viễn tải lượng tử hay truyền thông lượng tử trình truyền trạng thái lượng tử khơng xác định đến nơi nhận xa ðiểm quan trọng trình dựa sở ñan rối lượng tử Khởi ñầu q trình áp dụng để tạo giao thức (protocol) truyền thơng hai đối tượng chia sẻ ñan rối lượng tử trạng thái Bell hai qubit [15, 31] Sự thực thành cơng thí nghiệm giao thức truyền thơng lượng tử dựa sở trạng thái hệ hai qubit [19] thơi thúc nghiên cứu mặt lí thuyết giao thức dựa trạng thái ñan rối nhiều qubit Trong trường hợp tổng quát, thực ñầy ñủ xếp theo hệ thống viễn tải lượng tử cần địi hỏi: số lượng trạng thái ñan rối lượng tử ñược sử dụng giao thức trạng thái ñan rối pha trộn tương tác với môi trường Giá trị ñan rối lượng tử trạng thái pha trộn ban ñầu phân bố ñối tượng ñể xác ñịnh hiệu giao thức kèm theo viễn tải lượng tử [16, 17, 86] Tuy nhiên khơng tránh tương tác qubit mơi trường dẫn đến tính đan rối lượng tử hệ khơng bảo tồn theo thời gian Hiện tượng đan rối lượng tử hai qubit hồn tồn biến sau khoảng thời gian hữu hạn, gọi hiệu ứng ''ñan rối lượng tử ñột ngột chết'' (entanglement sudden death ESD) tiên đốn trước lý thuyết [94, 95] sau kiểm tra thực nghiệm [6, 53] ðiều tính chất đặc biệt đan rối lượng tử khác với tính kết hợp hệ Từ điểm vậy, ESD điều bất lợi q trình sử lý thơng tin lượng tử Gần ñây Bellomo ñồng tác giả [10, 11] ñã tính đan rối lượng tử hồi sinh sau khoảng thời gian chết, ñã mở rộng ý nghĩa thời gian ñan rối lượng tử qubit Hiện tượng vật lí đáng ý ñã ñược thực nghiệm quan sát thấy [89] Tuy nhiờn [93], Muhammed Yửnaỗ v cỏc ủng tỏc giả xét hiệu ứng ESD ñối với hai hệ qubit-cavity giống khơng kể đến tương tác với môi trường Trong [94], tác giả xét ứng ESD kể ñến ảnh hưởng tượng phát xạ tự phát chân không mà chưa kể ñến ảnh hưởng suy giảm kết hợp khác Trong luận án này, chúng tơi xét đan rối lượng tử qubit, photon, qubit photon với trạng thái ban ñầu trường điện từ cavity chân khơng, xét ñồng thời ảnh hưởng ba chế làm suy giảm kết hợp hệ là: hồi phục, lật pha photon ðã có nhiều nghiên cứu ñộng lực học ñan rối lượng tử trạng thái nhiều qubit ảnh hưởng môi trường [23, 58] Trong [81], Michael Siomau tác giả ñã nghiên cứu ñộng lực học ñan rối lượng tử trạng thái ba qubit kênh nhiễu ñã rằng: trạng thái GHZ bảo tồn đan rối lượng tử mạnh trạng thái W , truyền qua kênh σ x , σ y kênh khử phân cực Nhưng kênh σ z ngược lại ñan rối lượng tử trạng thái W chống lại giảm kết hợp mạnh tính đan rối trạng thái GHZ Tuy nhiên, tác giả chưa xét đến chất vật lí kênh, ñồng thời chưa xét tới kênh suy giảm kết hợp hồi phục suy giảm kết hợp lệch pha hồi phục ñồng thời Trong luận án này, chúng tơi xét đan rối lượng tử trạng thái GHZ W kênh suy giảm kết hợp lệch pha, hồi phục lệch pha hồi phục đồng thời Từ suy trạng thái ñan rối lượng tử chống lại suy giảm kết hợp mơi trường mạnh để làm sở vật lí nghiên cứu viễn tải lượng tử với giao thức qubit-cavity spin-qubit Viễn tải lượng tử trình mà người gửi gọi Alice, gửi trạng thái lượng tử chưa xác ñịnh cho người xa, gọi Bob, qua hai kênh cổ ñiển lượng tử [15,18, 19] Nếu cặp hạt có đan rối lượng tử lớn tạo thành kênh lượng tử tốt ñể sử dụng viễn tải lượng tử Tuy nhiên, trạng thái ñan rối lượng tử ñược phân bố lưu giữ Alice Bob trạng thái bị tính kết hợp trở thành trạng thái pha trộn tương tác hệ với mơi trường Bennett đồng tác giả [15] ñã kênh đan rối lượng tử độ tin cậy viễn tải lượng tử giảm Popescu [77] ñã phát mối liên hệ viễn tải lượng tử, bất đẳng thức Bell tính khơng định xứ ðiều ñã chứng minh ñược trạng thái pha trộn trạng thái khơng vi phạm bất đẳng thức Bell sử dụng viễn tải lượng tử Horodecki ñồng tác giả ñã trạng thái pha trộn hai spin 1/2, trạng thái vi phạm bất ñẳng thức Bell-CHSH, dùng cho viễn tải lượng tử Horodecki ñồng tác giả [40] ñã chứng minh ñược mối liên hệ ñộ tin cậy tối ưu viễn tải lượng tử phần ñơn lớn kênh lượng tử Trong [7], Banaszek ñã phát ñộ tin cậy viễn tải lượng tử sử dụng trạng thái đan rối khơng lớn Ishizaka [41] ñã nghiên cứu kênh lượng tử có tương tác với mơi trường địa phương hai mức Mặc dù nghiên cứu ñược ñề cập ñã phát mối tương quan trọng yếu mức ñộ ñan rối lượng tử kênh lượng tử viễn tải lượng tử, dường nghiên cứu ñến mối liên hệ trực tiếp viễn tải lượng tử tốc ñộ suy giảm kết hợp Thật thú vị biết ñược cách mà loại nhiễu cường ñộ nhiễu tác ñộng lên kênh lượng tử ảnh hưởng ñến ñộ tin cậy viễn tải lượng tử Trong [72], Sangchul Oh ñồng tác giả ñã sử dụng hai qubit EPR (Einstein-Podolsky-Rosen) để làm kênh lượng tử có tương tác với kênh nhiễu khác Sangchul Oh ñã phát ñộ tin cậy viễn tải lượng tử hàm thời gian kết hợp góc trạng thái khơng xác định truyền ðồng thời khảo sát tính chất độ tin cậy trung bình phụ thuộc vào loại nhiễu tác động lên qubit giai ñoạn viễn tải lượng tử Eylee Jung [45] ñồng tác giả ñã xét viễn tải lượng tử với trạng thái GHZ W tương ứng, kênh nhiễu làm cho kênh lượng tử trở thành trạng thái pha trộn Eylee Jung ñã phát hai loại kênh bị nhiễu GHZ W , kênh làm thơng tin lượng tử cịn tùy thuộc vào loại kênh nhiễu Tuy nhiên [45] [72], tác giả khơng gắn qubit với hệ vật lí cụ thể để thực nhiệm vụ ñó, ñồng thời tác giả bỏ qua Hamiltonian hệ qubit Trong luận án này, xét viễn tải lượng tử với trạng thái Bell, GHZ W , tương ứng, kênh nhiễu 135 Từ so sánh trên, ñể ñơn giản việc phân tích miền trạng thái chuẩn bị ban ñầu ψ in cho viễn tải lượng tử xác, chúng tơi vẽ đồ thị độ tin cậy contour trường hợp hệ ba spin-qubit mà spin-qubit hệ ñộc lập tương tác với OLIB ñộ suy giảm kết hợp lật pha spin-qubit F=3/4 F=2/3 F=3/4 F=2/3 Hình 4.34: ðộ tin cậy viễn tải lượng tử trạng thái GHZ ñược sử dụng làm kênh lượng tử, kênh chịu ảnh hưởng kênh nhiễu ba spin-qubit tương tác với OLIB với suy giảm kết hợp lật pha Contour nó, với α dp t = 0.35 Hình 4.34 cho thấy độ tin cậy FGHZ,S ( θ, φ ) trường hợp ln ln đạt giá trị lớn θ = θ = π với giá trị α dp t Các giá trị góc trạng thái trạng thái riêng σ z Từ ñồ thị contour ta thấy: ≤ θ ≤ 0.27 π 0.73π ≤ θ ≤ π , ứng với miền trạng thái viễn tải lượng tử có độ tin cậy F ≥ 3/ Khi 0.27π ≤ θ ≤ 0.334π 0.68π ≤ θ ≤ 0.73π , ứng với miền trạng thái viễn tải lượng tử có độ tin cậy / ≤ F ≤ 3/ , nghĩa ñộ tin cậy ñạt giá trị nhỏ giá trị trung bình độ tin cậy cổ điển Khi 0,334π ≤ θ ≤ 0,68π khơng truyền thơng độ tin cậy nhỏ giá trị trung bình độ tin cậy cổ điển 136 Hình 4.35 ñộ tin cậy FW,S ( θ, φ ) trường hợp ñạt giá trị lớn cỡ 0.756 θ = θ = π , giá trị phụ thuộc vào α dp t Các giá trị góc trạng thái trạng thái riêng σ z Từ ñồ thị contour ta thấy: ≤ θ ≤ 0.08π 0.92π ≤ θ ≤ π , ứng với miền trạng thái viễn tải lượng tử có độ tin cậy F ≥ 3/ Khi 0.08π ≤ θ ≤ 0.4π 0.59π ≤ θ ≤ 0.92π , ứng với miền trạng thái ñộ tin cậy viễn tải lượng tử thỏa mãn ñiều kiện / ≤ F ≤ 3/ , nghĩa ñộ tin cậy ñạt giá trị nhỏ giá trị trung bình truyền thơng cổ điển Khi 0.4π ≤ θ ≤ 0.59π khơng truyền thơng độ tin cậy nhỏ giá trị trung bình độ tin cậy cổ điển F=3/4 F=3/4 F=2/3 F=2/3 Hình 4.35: ðộ tin cậy viễn tải lượng tử trạng thái W ñược sử dụng làm kênh lượng tử, kênh chịu ảnh hưởng kênh nhiễu ba spin-qubit tương tác với OLIB, với suy giảm kết hợp lật pha Contour nó, với α dp t = 0.35 Tóm lại, trạng thái GHZ ñược sử dụng làm kênh lượng tử chịu ảnh hưởng kênh nhiễu ba spin-qubit mà spin-qubit hệ ñộc lập tương tác với OLIB, với giảm kết hợp lệch pha, miền trạng thái ban ñầu cho viễn tải lượng tử xác với độ tin cậy F ≥ 3/ rộng nhiều so với trạng thái W 137 Ngược lại, miền trạng thái ban ñầu cho viễn tải lượng tử xác với độ tin cậy / ≤ F ≤ 3/ ñối với trạng thái W lại rộng nhiều so với trạng thái GHZ 4.6 Kết luận chương Trong chương chúng tơi nghiên cứu vấn đề sau: + ðộng lực học lượng tử hệ ñối xứng gồm ba spin-qubit giống nhau, tương tác hai spin-qubit liền kề tương tác trao ñổi theo kiểu XY Heisenberg ñã ñược nghiên cứu gần ñúng Markov với tương tác hệ môi trường tương tác yếu Chúng tơi nghiên cứu hai trường hợp là: hệ ba spin-qubit mà spin-qubit hệ ñộc lập tương tác với OLIB hệ ba spin-qubit tương tác với OCB Các công thức Lindblad với hai chế vật lý tính kết hợp hồi phục lệch pha ñã ñược sử dụng ñể xét ñến ảnh hưởng môi trường lên hệ Hệ phương trình tốc độ hệ giải, biểu thức giải tích phần tử ma trận mật ñộ rút gọn hệ ba spin-qubit ñã ñược viết tường minh gần ñúng bậc theo giá trị nhỏ số giảm kết hợp + Tính kết hợp lượng tử hệ ba spin-qubit tương tác với OCB mạnh ñối với trường hợp hệ mà spin-qubit hệ ñộc lập tương tác với OLIB Trạng thái ổn ñịnh qubit trạng thái mà trạng thái pha trộn ñối với trường hợp hệ ba spin-qubit tương tác với OCB + Nhìn chung với kênh nhiễu, trạng thái W bảo tồn đan rối lượng tử mạnh hay yếu trạng thái GHZ tùy thuộc vào loại kênh nhiễu, khoảng thời gian tác dụng nhiễu chất vật lí kênh + Với kênh nhiễu, sử dụng trạng thái GHZ trạng thái W làm kênh lượng tử trạng thái GHZ bảo tồn nhiều thơng tin hay trạng thái W cịn tùy thuộc vào chất vật lí kênh, loại kênh nhiễu khoảng thời gian tác ñộng nhiễu Về mặt vật lí thấy kết độ tin cậy trung bình viễn tải lượng tử trạng thái GHZ W phù hợp với ñan rối lượng tử trạng thái lượng tử 138 KẾT LUẬN Các kết luận án gồm: ðã thiết lập hệ phương trình Dyson hàm Green khơng cân ñiện tử chấm lượng tử nối với hai ñiện cực kim loại nhiệt ñộ mật ñộ khác khơng Chúng tơi thu biểu thức giải tích xác số hạng cộng hưởng Kondo Fano cách giải phương trình Dyson dạng ma trận ñối với hàm Green Từ biểu thức giải tích chúng tơi thu tồn cộng hưởng điều kiện để tồn cộng hưởng ðặc biệt, khác biệt cộng hưởng Kondo cộng hưởng Fano, chúng tồn Các kết phát triển mà chúng tơi thu phù hợp với tính số tác giả trước việc nghiên cứu hàm Green electron QD Các nghiên cứu lý thuyết ñối với dạng tổng quát ma trận mật ñộ rút gọn hệ liên kết mạnh qubit-photon MC đơn mode trình bày cách đầy đủ với ba chế kết hợp hệ tính ñến ðộng lực học lượng tử hệ ñối xứng gồm ba spin-qubit giống nhau, tương tác hai spin-qubit liền kề tương tác trao ñổi theo kiểu XY Heisenberg ñã ñược nghiên cứu gần ñúng Markov với tương tác hệ môi trường tương tác yếu Chúng tơi nghiên cứu hai trường hợp ñó là: hệ ba spin-qubit mà spin-qubit hệ ñộc lập tương tác với OLIB hệ ba spin-qubit tương tác với OCB Các công thức Lindblad với hai chế vật lý tính kết hợp hồi phục lật pha ñã ñược sử dụng ñể xét ñến ảnh hưởng môi trường lên hệ Hệ phương trình tốc độ giải, biểu thức phần tử ma trận mật ñộ rút gọn hệ ba spin-qubit ñã ñược viết tường minh gần ñúng bậc theo giá trị nhỏ số suy giảm kết hợp Nghiên cứu ñộng lực học ñan rối lượng tử viễn tải lượng tử hệ qubit với trạng thái lượng tử ban ñầu ñược chuẩn bị khác truyền qua kênh suy giảm kết hợp hệ qubit-cavity ñộc lập spin-qubit, rằng: 139 a) Khi bỏ qua chế lệch pha C trạng thái giống Bell thứ không xuất hiệu ứng ESD, kết phù hợp với [12] ðối với hai trạng thái giống Bell truyền qua kênh suy giảm kết hợp có tính đến chế lật pha C giảm theo thời gian nhanh so với khơng tính đến ðiều chứng tỏ chế lật pha không làm lượng hệ lại làm thông tin, nên chế chế quan trọng khơng thể bỏ qua b) Trong trường hợp kênh suy giảm kết hợp ảnh hưởng ñồng thời ba chế ñan rối trạng thái giống Bell thứ xuất hiệu ứng ESD hai qubit hai photon, nhiên trạng thái giống Bell thứ hai không xuất hiệu ứng lượng tử Ứng với trạng thái giống Bell ta thấy ñan rối lượng tử cặp qubit cặp photon ln biến đổi ngược pha Do tương tác qubit với trường ñiện từ cavity, tương tác hệ qubit-cavity với môi trường mà ñan rối lượng tử qubit photon lại ñược hồi sinh c) Các kết vật lí hệ qubit-cavity biểu tính nhớ mơi trường, nghĩa lí thuyết khơng Markov ðiều liên quan tới hàm C(t) c(t), hàm khơng liên hệ trực tiếp với phân rã trạng thái kích thích photon, lại liên hệ với trao đổi trạng thái kích thích ban đầu qubit với qubit, qubit với cavity qubit với mơi trường d) Nếu chọn vị trí thích hợp qubit trường điện từ cavity đan rối trạng thái lượng tử truyền qua kênh nhiễu bảo tồn e) Nhìn chung với kênh nhiễu, trạng thái W bảo tồn đan rối lượng tử mạnh hay yếu trạng thái GHZ tùy thuộc vào loại kênh nhiễu, khoảng thời gian tác dụng nhiễu chất vật lí kênh f) Với kênh nhiễu, sử dụng trạng thái GHZ trạng thái W làm kênh lượng tử trạng thái GHZ bảo tồn nhiều thơng tin hay trạng thái W cịn tùy thuộc vào chất vật lí kênh, loại kênh nhiễu khoảng thời gian tác ñộng nhiễu Về mặt vật lí thấy kết độ tin cậy trung bình viễn tải lượng tử trạng thái GHZ W phù hợp với ñan rối lượng tử trạng thái lượng tử 140 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ Nguyen Van Hop, Nguyen Hung Son, and Nguyen Tri Lan (2006), ''On the twoelectron cotunneling transport through single-level quantum dot'', Communications in Physics, Vol 16, No 3, pp 151-156 Nguyen Van Hieu, Nguyen Bich Ha and Nguyen Van Hop (2006), ''Dyson equations for Green functions of electrons in open single-level quantum dot'', Advances in Natural Sciences, Vol 7, No 1&2, pp 1-12 Nguyen Van Hieu, Nguyen Bich Ha, V P Gerdt, O Chuluunbaatar, A A Gusev, Yu G Palii and Nguyen Van Hop (2008), ''Analytical Asymptotic Expressions for the Green’s Function of the Electron in a Single-Level Quantum Dot at the Kondo and the Fano Resonances'', Journal of the Korean Physical Society, Vol 53, No 6, pp 3645-3649 Nguyen Van Hop (2009), ''Density matrix of strongly coupled quantum dot microcavity system'', Journal of Physics: Conference Series 187 012066, IOP Publishing Nguyen Bich Ha and Nguyen Van Hop (2009), ''Analytical determination of Kondo and Fano resonances of electron Green's function in a single-level quantum dot'', Journal of Physics: Conference Series 187 012030, IOP Publishing Nguyen Van Hop, Nguyen Van Hieu, Nguyen Bich Ha, and Duong Hai Trieu (2009), ''Cavity quantum electrodynamics of charge qubits with decoherence'', Advances in Natural Sciences, Vol 10, No.1&2 , pp 265-276 Nguyen Van Hop (2010), ''Quantum dynamics of a three-spin-qubit system'', Adv Nat Sci: Nanosci Nanotechnol., 035007 (22pp), IOP Publishing 141 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Văn Hiệu (2000), Phương pháp lý thuyết trường lượng tử vật lí chất rắn vật lý thống kê, Nxb ðại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2003), Cơ sở lý thuyết vật lý lượng tử, Nxb ðại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Hữu Mình, ðỗ Hữu Nha (2008), Vật lí thống kê lượng tử, Nxb ðại học Sư phạm Tiếng Anh Albanese C., Christandl M., Datta N and Ekert A (2004), ''Mirror Inversion of Quantum States in Linear Registers'', Phys Rev Lett 93 pp 230502 Agrawal P., Pati A (2006), ''Perfect teleportation and superdense coding with W states'', Phys Rev A 74, pp 062320 Almeida M P., de Melo F., Hor-Meyll M., Salles A., Walborn S P., Ribeiro P H S., and Davidovich L (2007)., ''Environment-Induced Sudden Death of Entanglement'', Science 316, pp 579 Banaszek K (2001), ''Fidelity Balance in Quantum Operations'', Phys Rev Lett 86, pp 1366 Blais A., Gambetta J., Wallraff A., Schuster D I., Girvin S M., Devoret M H., and Schoelkopf R J (2007), ''Quantum-information processing with circuit quantum electrodynamics'', Phys Rev A 75, pp 032329 Blais A., Huang R S., Wallraff A., Girvin S M., and Schoelkopf R J (2004), ''Cavity quantum electrodynamics for superconducting electrical circuits: An architecture for quantum computation'', Phys Rev A 69, pp 062320 10 Bellomo B., Lo Franco R., and Compagno G (2007), ''Non-Markovian effects on the dynamics of entanglement'', Phys Rev Lett 99, pp 160502 142 11 Bellomo B., Lo Franco R., and Compagno G (2008)., ''Entanglement dynamics of two independent qubits in environments with and without memory'', Phys Rev A 77, pp 032342 12 Bellomo B., Compagno G., LoFranco R., Ridolfo A., and Savasta S (2011), ''Entanglement Dynamics of Two Independent Cavity-Embedded Quantum Dots'', Phys Scr 2011, pp 014004 (quant-ph/1011.4862v1) 13 Bose S (2003), ''Quantum Communication through an Unmodulated Spin Chain'', Phys Rev Lett 91, pp 207901 14 Bose S (2007), ''Quantum communication through spin chain dynamics: an introductory overview'', Comtemp Phys 48, pp 15 Bennett C H., Brassard G., Crepeau C., Jozsa R., Peres A., Wootters W K (1993), ''Teleporting an unknown quantum state via dual classical and EinsteinPodolsky-Rosen channels'', Phys Rev Lett 70, pp 1895 16 Bennett C H., Divincenzo D P., Smolin J A., Wootters W K (1996), ''Mixedstate entanglement and quantum error correction'', Phys Rev A 54, pp 3824 17 Bennett C H., Brassard G., Popescu S., Schumacher B., Smolin J A., Wootters W K (1996), ''Purification of Noisy Entanglement and Faithful Teleportation via Noisy Channels'', Phys Rev Lett 76, pp 722 18 Boschi D., Branca S., De Martini F., Hardy L., Popescu S (1998), ''Experimental Realization of Teleporting an Unknown Pure Quantum State via Dual Classical and Einstein-Podolsky-Rosen Channels'', Phys Rev Lett 80, pp 1121 19 Bouwmeister D., Pan J W., Mattle K., Eible M., Weinfurther H., Zeilinger A (1997), ''Experimental quantum teleportation'', Nature 390, pp 575 20 Boissonneault M., Gambetta J M , and Blais A (2008), ''Nonlinear dispersive regime of cavity QED: The dressed dephasing model'', Phys Rev A 77, pp 060305 21 Bonzom V., Bouzidi H and Degiovanni P (2008), ''Dissipative dynamics of circuit-QED in the mesoscopic regime'', Eur Phys J D 1, pp 47-133 143 22 Breuer H P and Petruccione F (2002), The Theory of Open Quantum Systems, Oxford University Press, Oxford 23 Carvahlo A R R., Mintert F., Buchleitner A (2004), ''Decoherence and Multipartite Entanglement'', Phys Rev Lett 93, pp 230501 24 Christandl M., Datta N., Ekert A and Landahl A J (2004), ''Perfect State Transfer in Quantum Spin Networks'', Phys Rev Lett 92, pp 187902 25 Cirac J I., Zoller P., Kimble H J and Mabuchi H (1997), ''Quantum State Transfer and Entanglement Distribution among Distant Nodes in a Quantum Network'', Phys Rev Lett 78, pp 3221 26 Chou K C., Su Z B., Hao B L and Yu L (1985), ''Equilibrium and nonequilibrium formalisms made unified'', Physics Reports 118, pp 27 Craco L and Kang K (1999), ''Perturbation treatment for transport through a quantum dot'', Phys Rev B 59, pp 12244 28 Choi M S., Sa’nchez D and Lo’pez R (2004), ''Kondo effect in a quantum dot coupled to ferromagnetic leads: a numerical renormalization group analysis'', Phys Rev Lett 92, pp 056601 29 Costi T A., Hewson A C and Zlatic V (1994), ''Transport coefficients of the Anderson model via the numerical renormalization group'', J Phys.: Condens Matter 6, pp 2519 30 Chang W H., Chen W Y., Chang H S., Hsieh T P., Chyi J I., and Hsu T M (2006), ''Efficient Single-Photon Sources Based on Low-Density Quantum Dots in Photonic-Crystal Nanocavities'', Phys Rev Lett 96, pp 117401 31 Ekert A K (1991), ''Quantum cryptography based on Bell’s theorem'', Phys Rev Lett 67, pp 661 32 Fujii T and Ueda K (2003), ''Perturbative approach to the nonequilibrium Kondo effect in a quantum dot'', Phys Rev B 68, pp 155310 33 Gagnebin P K., Skinner S R., Behrman E C and Steck J E (2007), ''Quantum state transfer with untunable couplings'', Phys Rev A 75, pp 022310 144 34 Greenberger D M., Horne M A., Shimony A., Zeilinger A (1990), Am J Phys 58, pp 1131 35 Gorini V., Kossakowskii A and Sudarshan E C G (1976), ''Completely positive dynamical semigroups of N-level'', J Math Phys 17 pp 821 36 Gambetta J., Blais A., Schuster D I., Wallraff A., Frunzio L., Majer J., Devoret M H , Girvin S M., and Schoelkopf R J (2006), ''Qubit-photon interactions in a cavity: Measurement-induced dephasing and number splitting'', Phys Rev A 74, pp 042318 37 Hershfield S., Davies J H and Wilkins J W (1991), ''Probing the Kondo resonance by resonant tunneling through an Anderson impurity'', Phys Rev Lett 67, pp 3720 38 Hood C J., Chapman M S., Lynn T W., and Kimble H J (1998), ''Real-Time Cavity QED with Single Atoms'', Phys Rev Lett 80, pp 4157 39 Horodecki R., Horodecki P., Horodecki M., Horodecki K (2009), Quantum entanglement, Rev Mod Phys 81, pp 865 40 Horodecki M., Horodecki P., and Horodecki R (1999), ''General teleportation channel, singlet fraction, and quasidistillation'', Phys Rev A 60, pp 1888 41 Ishizaka S (2001), ''Quantum channel locally interacting with environment'', Phys Rev A 63, pp 034301 42 Inoshita T., Shimizu A., Kuramoto Y and Skaki H (1993), ''Correlated electron transport through a quantum dot: The multiple-level effect'', Phys Rev B 48, pp 14725 43 Izumida W., Sakai O and Suzuki S (2001), ''Kondo Effect in Tunneling through a Quantum Dot'', J Phys Soc Jpn 70, pp 1045 44 Izumida W., Sakai O and Shimizu Y (1997), ''Many Body Effects on Electron Tunneling through Quantum Dots in an Aharonov-Bohm Circuit'', J Phys Soc Jpn 66, pp 717 45 Jung E., Hwang M R., Ju Y H., Kim M S., Yoo S K., Kim H., Park D., Son J W., Tamaryan S., Cha S K (2008), ''Greenberger-Horne-Zeilinger versus W 145 states: Quantum teleportation through noisy channels'', Phys Rev A 78, pp 012312 46 Jaynes E T and Cummings F W (1963), ''Comparision of Quantum and Semiclassical Radiation Theories with Application to the Beam Maser'', Proc IEEE 51, pp 89 47 Joynt R, Nguyen Van Hieu and Nguyen Bich Ha (2010), ''Theory of decoherence of N-state quantum systems in the Born–Markov approximation'', Adv Nat Sci: Nanosci Nanotechnol 48 Karbach P and Stolze J (2005), ''Spin chains as perfect quantum state mirrors'', Phys Rev A 72, pp 030301 49 Keldysh L V., Eksp Teor Fiz Jh (1965), 20, pp 1018 50 Kaniber M., Laucht A., Neumann A., Villas-Bôas J M., Bichler M., Amann M C., and Finley J J (2008), ''Investigation of the nonresonant dot-cavity coupling in two-dimensional photonic crystal nanocavities'', Phys Rev B 77, pp 161303 (R) 51 Lindblad G (1976), ''On the generators of quantum dynamical semigroups'', Commun Math Phys 48, pp 119 52 Lee J., Park J., Lee S M., Lee H W., and Khosa A H (2008), ''A scalable cavity-QED-based scheme of generating entanglement of atoms and of cavity fields'', Phys Rev A 77, pp 032327 53 Laurat J., Choi K S., Deng H., Chou C W., Kimble H J (2007), ''Heralded Entanglement between Atomic Ensembles: Preparation, Decoherence, and Scaling'', Phys Rev Lett 99, pp 180504 54 Lloyd S (2003), ''Quantum information processing with spin'', Phys Rev Lett 90, pp 167902 55 Li M., Fei S M., Wang Z X (2009), ''A lower bound of concurrence for multipartite quantum states'', J Phys A 42, pp 145303 56 Mabuchi M and Doherty A C (2002), ''Cavity Quantum Electrodynamics: Coherence in Context'', Science 298, pp 1372 146 57 Muller A., Flagg E B., Bianucci P., Wang X Y., Deppe D G., Ma W., Zhang J., Salamo G J., Xiao M., and Shih C K (2007), ''Resonance Fluorescence from a Coherently Driven Semiconductor Quantum Dot in a Cavity'', Phys Rev Lett 99, pp 187402 58 Mintert F., Carvahlo A R R., Kus M., Buchleitner A (2005), ''Measures and dynamics of entangled states'', Phys Rep 415, pp 207 59 Maniscalco S., Francica F., Zaffino R L., LoGullo N., and Plastina F (2008), ''Protecting Entanglement via the Quantum Zeno Effect'', Phys Rev Lett 100, pp 090503 60 Meir Y., Wingreen N S and Lee P A (1991), ''Transport through a strongly interacting electron system: Theory of periodic conductance oscillations'', Phys Rev Lett 66, pp 3048 61 Nielsen M A and Chuang I L (2000), Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press 62 Nguyen Bich Ha and Nguyen Van Hop (2009), ''Analytical determination of Kondo and Fano resonances of electron Green's function in a single-level quantum dot'', Journal of Physics: Conference Series 187 pp 012030, IOP Publishing 63 Nguyen Van Hieu and Nguyen Bich Ha (2005), ''Time-dependent Green functions of quatum dots at finite temperature'', Adv Nat Sci 6, pp 64 Nguyen Van Hieu (2009), ''Quantum dynamics of two-spin-qubit systems'', Phys.: Condens Matter 21, pp 273201 65 Nguyen Van Hieu, Nguyen Bich Ha and Nguyen Van Hop (2006), ''Dyson equations for Green functions of electrons in open single-level quantum dot'', Advances in Natural Sciences, Vol 7, No 1&2, pp 1-12 66 Nguyen Van Hieu, Nguyen Bich Ha, V P Gerdt, Chuluunbaatar O., Gusev A A., Palii Yu G and Nguyen Van Hop (2008), ''Analytical Asymptotic Expressions for the Green’s Function of the Electron in a Single-Level Quantum 147 Dot at the Kondo and the Fano Resonances'', Journal of the Korean Physical Society, Vol 53, No 6, pp 3645-3649 67 Nguyen Van Hieu, Nguyen Bich Ha and Duong Hai Trieu (2010), ''The quantum dynamics of two qubits inside two distant microcavities connected via a single-mode optical fiber'', Adv Nat Sci.: Nanosci Nanotechnol pp 015001 68 Nguyen Van Hop, Nguyen Hung Son, and Nguyen Tri Lan (2006), ''On the twoelectron cotunneling transport through single-level quantum dot'', Communications in Physics, Vol 16, No 3, pp 151-156 69 Nguyen Van Hop (2009), ''Density matrix of strongly coupled quantum dot microcavity system'', Journal of Physics: Conference Series 187 pp 012066, IOP Publishing 70 Nguyen Van Hop, Nguyen Van Hieu, Nguyen Bich Ha, and Duong Hai Trieu (2009), ''Cavity quantum electrodynamics of charge qubits with decoherence'', Advances in Natural Sciences, Vol 10, No.2, pp 265-276 71 Nguyen Van Hop (2010), ''Quantum dynamics of a three-spin-qubit system'', Adv Nat Sci: Nanosci Nanotechnol 035007 (22pp), IOP Publishing 72 Oh S., Lee S and Lee H (2002), ''Fidelity of quantum teleportation through noisy channels'', Phys Rev A 66 pp 022316 73 Park D., Tamaryan S., and Son J W., ''Role of Three-Qubit Mixed-States Entanglement in Teleportation Scheme'', e-prient arXiv:quant-ph/0808.4045v1 74 Press D., Götzinger S., Reitzenstein S., Hofmann C., Löffler A., Kamp M., Forchel A., and Yamamoto Y (2007), ''Photon Antibunching from a Single Quantum-Dot-Microcavity System in the Strong Coupling Regime'', Phys Rev Lett 98, pp 117402 75 Plustilnik M and Glasman L (2004), ''Kondo effect in quantum dots'', J Phys.: Condens Matter 16, pp 513 76 Pelton M., Santori C., Vuckovic J., Zhang B., Solomon G S., Plant J., and Yamamoto Y (2002), ''Efficient Source of Single Photons: A Single Quantum Dot in a Micropost Microcavity'', Phys Rev Lett 89, pp 233602 148 77 Popescu S (1994), ''Bell’s inequalities versus teleportation: What is nonlocality?'', Phys Rev Lett 72, pp 797 78 Serafini A., Mancini S and Bose S (2006), ''Distributed Quantum Computation via Optical Fibers'', Phys Rev Lett 96, pp 010503 79 Scala M., Militello B., Messina A., Piilo J., and Maniscalco S (2007), ''Microscopic derivation of the Jaynes-Cummings model with cavity losses'', Phys Rev A 75, pp 013811 80 Scala M., Militello B., Messina A., Maniscalco S., Piilo J., Suominen K A (2007), ''Cavity losses for the dissipative Jaynes–Cummings Hamiltonian beyond rotating wave approximation'', J Phys A: Math Theor 40, pp 14527 81 Siomau M and Fritzsche S (2010), ''Entanglement dynamics of three-qubit states in noisy channels'', Eur Phys J D 60, pp 397-403 82 Sakai O., Suzuki S., Izumida W and Oguri A (1999), ''Kondo Effect in Electron Tunneling through Quantum Dots - Study with Quantum Monte Carlo Method'', J Phys Soc Jpn 68, pp 1640 83 Swirkowicz R., Barnas J and Wilczyuski M (2003), ''Nonequilibrium Kondo effect in quantum dots'', Phys.Rev B 68, pp 195318 84 Torio M E., Hallberg K., Ceccatto A H and Proetto C R (2002), ''Kondo resonances and Fano antiresonances in transport through quantum dots'', Phys Rev B 65, pp 085302 85 Tufarelli T and Giovannetti V (2009), ''High-fidelity state transfer in binarytree spin networks'', Phys Rev A 79, pp 022313 86 Vedral V., Plenio M B (1998), ''Entanglement measures and purification procedures'', Phys Rev A 57, pp 1619 87 Wootters W K (1998), ''Entanglement of Formation of an Arbitrary State of Two Qubits'', Phys Rev Lett 80, pp 2245 88 Wingreen N S., Meir Y (1994), ''Anderson model out of equilibrium: Noncrossing-approximation approach to transport through a quantum dot'', Phys Rev B 49, pp 11040 149 89 Xu J S., Li C F., Gong M., Zou X B., Shi C H., Chen G., and Guo G C (2010), ''Experimental Demonstration of Photonic Entanglement Collapse and Revival'', Phys Rev Lett 104, pp 100502 90 Xiao Y F., Lin X M., Gao J., Yang Y., Han Z F., and Guo G C (2004), ''Realizing quantum controlled phase flip through cavity QED'', Phys Rev A 70, pp 042314 91 Yang C P., Chu S I., and Han S (2003)., ''Possible realization of entanglement, logical gates, and quantum-information transfer with superconducting-quantuminterference-device qubits in cavity QED'', Phys Rev A 67, pp 042311 92 Yeyati A L., Martin-Rodero A and Flores F (1993), ''Electron correlation resonances in the transport through a single quantum level'', Phys Rev Lett 71, pp 2991 93 Yửnaỗ M., Yu T., and Eberly J H (2007), ''Pairwise concurrence dynamics: a four-qubit model'', J Phys B 40, pp S45 94 Yu T and Eberly J H (2004), ''Finite-Time Disentanglement Via Spontaneous Emission'', Phys Rev Lett 93, pp 140404 95 Zyczkowski K., Horodecki P., Horodecki M., and Horodecki R (2001), ''Dynamics of quantum entanglement'', Phys Rev A 65, pp 012101