Tối ưu hóa một tập

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TÔ THỊ HỒI NGỌC TỐI ƯU HĨA MỘT TẬP Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số:60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đỗ Văn Lưu Thái Nguyên: 05/2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Chương NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU MỘT TẬP 1.1 Điểm cực tiểu điểm cực đại 1.2 Các điểm cực tiểu cực đại mạnh yếu Chương ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU 15 2.1 Điều kiện cần tối ưu 15 2.2 Điều kiện đủ tối ưu 32 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý thuyết tối ưu vectơ có nhiều ứng dụng kinh tế, kĩ thuật V Pareto đưa khái niệm nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu Từ lý thuyết tối ưu vectơ phát triển mạnh mẽ thu nhiều kết đẹp đẽ Khái niệm cực tiểu thường Kuhn - Tucker đưa phát triển bởi: A.M Geoffrion, H.P Benson, J.M Borwein, M.I Henig, Để nghiên cứu toán tối ưu vectơ, người ta thường dùng phương pháp vô hướng hóa, tức thay tốn tối ưu vectơ tốn tối ưu vơ hướng thích hợp sử dụng kết tối ưu vô hướng Các kết điều kiện cần đủ cho nghiệm hữu hiệu cho ta điều kiện vơ hướng hóa tốn tối ưu vectơ Các điều kiện cần đủ cho nghiệm hữu hiệu toán tối ưu vectơ đề tài nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Chính tơi chọn đề tài: "Tối ưu hóa tập" Đề tài có tính thời Luận văn trình bày lý thuyết tối ưu hóa tập bao gồm nghiên cứu loại nghiệm hữu hiệu toán tối ưu tập (cực tiểu, cực tiểu mạnh, cực tiểu thường cực tiểu yếu), điều kiện cần điều kiện đủ cho loại nghiệm hữu hiệu Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Nghiệm hữu hiệu toán tối ưu tập Trình bày khái niệm cực tiểu, cực tiểu mạnh, cực tiểu thường, cực tiểu yếu khái niệm cực đại tương ứng tập khơng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn gian tuyến tính có thứ tự phận với số ví dụ minh họa, số tính chất chúng Các kết trình bày chương tham khảo từ tài liệu [1] - [5] Chương Điều kiện tối ưu Trình bày điều kiện cần cho cực tiểu, cực tiểu mạnh, cực tiểu thường, cực tiểu yếu tập, điều kiện đủ để phần tử cực tiểu tập Các điều kiện đủ cho cực tiểu thường cực tiểu yếu tập trình bày chương Các kết trình bày chương tham khảo từ tài liệu [3], [5] Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Đỗ Văn Lưu, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa tốn, phịng đào tạo sau đại học trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thầy cô giáo tham gia giảng dạy khóa học Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học tốn K5 ln quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm luận văn Thái Nguyên, tháng 06 năm 2013 Tác giả Tơ Thị Hồi Ngọc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU MỘT TẬP Chương trình bày khái niệm cực tiểu, cực đại, cực tiểu mạnh, cực đại mạnh, cực tiểu thường, cực đại thường, cực tiểu yếu cực đại yếu tập hợp khơng gian tuyến tính có thứ tự phận với ví dụ minh họa số tính chất chúng Các kết trình bày chương tham khảo từ tài liệu [1] - [5] 1.1 Điểm cực tiểu điểm cực đại Định nghĩa 1.1 Cho S tập hợp không rỗng khơng gian tuyến tính có thứ tự phận với nón thứ tự C a) Phần tử x ∈ S gọi cực tiểu (minimal element) tập S, ({x} − C) ∩ S ⊂ {x} + C (1.1) b) Phần tử x ∈ S gọi cực đại (maximal element) tập S, ({x} + C) ∩ S ⊂ {x} − C Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.2) Nếu nón thứ tự C nhọn bao hàm thức (1.1) (1.2) thay ({x} − C) ∩ S = {x} (hoặc: x ≤C x, x ∈ S ⇒ x = x), ({x} + C) ∩ S = {x} (hoặc: x ≤C x, x ∈ S ⇒ x = x) Bởi phần tử cực đại S cực tiểu với nón thứ tự lồi −C, khơng tính tổng qt ta nghiên cứu khái niệm cực tiểu đủ Ví dụ 1.1 Cho X khơng gian tuyến tính thực gồm hàm xác định khơng gian tuyến tính thực E thứ tự phận theo thứ tự điểm Hơn nữa, cho S tập X bao gồm tất hàm tuyến tính E Khi đó, không gian đối ngẫu đại số E tập hợp tất phần tử cực tiểu S Khẳng định chứng minh Bổ đề 3.7[3] Ví dụ 1.2 Cho X Y khơng gian tuyến tính có thứ tự phận với nón thứ tự CX CY , cho T : X → Y ánh xạ tuyến tính Giả thiết tồn q ∈ Y cho S := {x ∈ CX | T (x) + q ∈ CY } khác rỗng Khi đó, tốn bù trừu tượng dẫn đến tốn tìm phần tử cực tiểu tập hợp S Trong lý thuyết thống kê lý thuyết kiểm định, có nhiều toán nghiên cứu phần tử cực tiểu tập hợp (xem [3]) Ví dụ sau hiểu tốn tìm ma trận hiệp phương sai cực tiểu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.3 Cho X khơng gian tuyến tính thực (n, n) - ma trận đối xứng thực thứ tự phận X xác định sinh nón lồi C := {A ∈ X | A bán xác định dương} Khi đó, tìm phần tử cực tiểu tập không rỗng S C Chẳng hạn, có ma trận A ∈ S có vết nhỏ số tất ma trận S, A phần tử cực tiểu tập hợp S Ví dụ 1.4 Cho X Y khơng gian tuyến tính thực, CY nón lồi Y Hơn nữa, cho S tập hợp không rỗng X, cho ánh xạ f : S → Y Khi đó, toán tối ưu trừu tượng f (x) (1.3) x∈S hiểu sau: Nghiệm cực tiểu x ∈ S xác định nghịch ảnh phần tử cực tiểu f (x) tập ảnh f (S) Nếu f chuẩn vectơ, tốn (1.3) gọi toán xấp xỉ vectơ Bây giờ, xét toán tối ưu vectơ phát sinh lý thuyết trị chơi Ví dụ 1.5 Xét trị chơi hợp tác có n người chơi Cho X, Y1 , , Yn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn khơng gian tuyến tính thực, S tập hợp không rỗng X, cho CY1 , , CYn nón lồi Y1 , , Yn , tương ứng Ngoài ra, với người chơi ta cho ánh xạ mục tiêu fi : S → Yi (với i ∈ {1, , n}) Mỗi người chơi cố gắng để tối thiểu hóa ánh xạ mục tiêu fi S Tuy nhiên, họ chơi hợp tác họ làm tổn thương lẫn Để đưa vào khái niệm tối ưu, ta xác định không n n Q Q gian tích Y := Yi , nón thứ tự tích C := CYi , ánh xạ f : X → Y i=1 i=1 xác định f = (f1 , , fn ) Khi đó, phần tử x ∈ S gọi nghiệm cực tiểu (hoặc nghiệm tối ưu Edgeworth – Pareto), x nghịch ảnh phần tử cực tiểu tập f (S) Thứ tự tích cho phép mơ tả hợp tác phần tử x ∈ S ưa thích, ưa thích tất người chơi Do đó, trị chơi hợp tác n người chơi tốn tối ưu hóa trừu tượng Bổ đề sau phần tử cực tiểu tập S phần tử cực tiểu tập hợp S + C, C ký hiệu nón thứ tự, liên quan chặt chẽ với Bổ đề 1.1 Cho S tập hợp không rỗng không gian tuyến tính có thứ tự phận với nón thứ tự C (a) Nếu nón thứ tự C nhọn phần tử cực tiểu tập hợp S + C phần tử cực tiểu tập hợp S (b) Mọi phần tử cực tiểu tập hợp S phần tử cực tiểu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tập hợp S + C Chứng minh (a) Cho x ∈ S + C phần tử cực tiểu tập hợp S + C Nếu x ∈ / S , tồn phần tử x 6= x với x ∈ S x ∈ {x} + C Do đó, ta có x ∈ ({x} − C) ∩ (S + C) Điều mâu thuẫn với giả thiết x phần tử cực tiểu tập hợp S + C Vì vậy, nhận x ∈ S ⊂ S + C Do đó, x phần tử cực tiểu tập hợp S (b) Lấy phần tử cực tiểu tùy ý x ∈ S tập hợp S, lấy x ∈ ({x} − C) ∩ (S + C) Khi đó, tồn phần tử s ∈ S c ∈ C cho x = s + c Kết quả, nhận s = x − c ∈ {x} − C Bởi x phần tử cực tiểu tập hợp S, kết luận s ∈ {x} + C Nhưng nhận x ∈ {x} + C Đó điều phải chứng minh  1.2 Các điểm cực tiểu cực đại mạnh yếu Định nghĩa 1.2 Cho S tập hợp khơng rỗng khơng gian tuyến tính có thứ tự phận với nón thứ tự C (a) Một phần tử x ∈ S gọi cực tiểu mạnh (strongly minimal element) tập hợp S, S ⊂ {x} + C (hay : x ≤C x, ∀x ∈ S ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.4) (b) Một phần tử x ∈ S gọi cực đại mạnh (strongly maximal element) tập hợp S, S ⊂ {x} − C (hay : x ≤C x, ∀x ∈ S ) (1.5) Khái niệm cực tiểu mạnh chặt thường không áp dụng thực tế Ví dụ 1.6 Với giả thiết ví dụ 1.2 xét tập hợp S := {x ∈ CX | T (x) + q ∈ CY } Hiển nhiên, q ∈ CY 0X phần tử cực tiểu mạnh tập hợp S Bổ đề cho mối quan hệ cực tiểu mạnh phần tử cực tiểu tập hợp S Bổ đề 1.2[3] Cho S tập hợp không rỗng không gian tuyến tính có thứ tự phận Khi đó, phần tử cực tiểu mạnh tập hợp S phần tử cực tiểu S Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Cho x ∈ S cực tiểu yếu tập S Theo Bổ đề 1.3, x cực tiểu yếu tập s + CX , tức ({x} − cor(CX )) ∩ (S + CX ) = ∅ Từ Định lý 3.14[3], ta suy tồn phiếm hàm tuyến tính l ∈ X \ {0X } số thực α với l (x − c1 ) ≤ α ≤ l(s + c2 ), ∀c1 ∈ CX , s ∈ S c2 ∈ CX Bởi CX nón, ta nhận l ∈ CX \ {0X } suy điều phải chứng  minh 2.2 Điều kiện đủ tối ưu Mục đích phần nghiên cứu giả thiết để điều kiện cần trình bày phần 2.1 điều kiện đủ tối ưu Bổ đề 2.4 Cho S tập hợp không rỗng không gian tuyến tính có thứ tự phận với nón nhọn thứ tự C Hơn nữa, giả sử f : S → R phiếm hàm, cho phần tử x ∈ S có tính chất f (x) ≤ f (x), ∀x ∈ S (2.10) (a) Nếu hàm f tăng đơn điệu S, x xác định (2.10), 32 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x phần tử cực tiểu tập hợp S (b) Nếu hàm f tăng đơn điệu mạnh S x phần tử cực tiểu tập hợp S Chứng minh Để chứng minh hai phần giả sử x không phần tử cực tiểu tập hợp S Khi đó, tồn phần tử x ∈ ({x} − C) ∩ S với x 6= x Điều kéo theo f (x) ≤ f ( x) Trong phần (a), điều mâu thuẫn với tính giải tốn tối ưu hóa vơ hướng xét Trong phần (b) nhận f (x) < f ( x) Điều mâu thuẫn với tính cực tiểu f x  Sau đây, áp dụng Bổ đề 2.4 cho lớp hàm đặc biệt f Định lý 2.9 Cho S tập không rỗng khơng gian tuyến tính có thứ tự phận X với nón thứ tự nhọn C Hơn nữa, giả sử k · k nửa chuẩn X, phần tử x b ∈ X x ∈ S với S ⊂ {b x} + C, (2.11) bk≤kx − x b k, ∀x ∈ S kx − x (a) Nếu nửa chuẩn k · k tăng đơn điệu C x xấp xỉ tốt nhất từ tập hợp S tới x, x phần tử cực tiểu tập hợp S 33 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (b) Nếu nửa chuẩn k · k tăng đơn điệu mạnh C, x phần tử cực tiểu tập hợp S Chứng minh Chúng ta chứng minh phần (a) Chứng minh phần (b) tương tự Để áp dụng Bổ đề 2.4.(a) chứng minh tính đơn điệu hàm k·−x b k S Từ (2.11), với x ∈ S nhận x} + C) = [b x, s] = {b x} + [0X , s − x b] ({s} − C) ∩ S ⊂ ({s} − C) ∩ ({b Vì vậy, có với x ∈ ({s} − C) ∩ S, x − x b ∈ [0X , s − x b] Do đó, tính đơn điệu nửa chuẩn k · k C, ta có bk kx − x bk≤ks − x Vì vậy, hàm k · − x b k tăng đơn điệu S Định lý chứng minh  Định lý 2.1 Định lý 2.9.(a) dẫn đến tính chất đặc trưng cực tiểu tập Hệ 2.1 Cho S tập hợp không rỗng không gian tuyến tính có thứ tự phận X với nón thứ tự đóng đại số, nhọn C có phần đại số không rỗng Hơn nữa, cho phần tử x b ∈ X với S ⊂ {b x} + cor(C) Một phần tử x ∈ S cực tiểu tập S tồn chuẩn k · k X hàm tăng đơn điệu C với tính chất kx − x bk cho λx ∈ {b x − x} + C Vì vậy, ta nhận λx ∈ (−C) ∩ T (S + C, x) ∩ ({b x − x} + C) Do đó, ta có λx ∈ (−C) ∩ T Điều mâu thuẫn với 0X phần tử cực tiểu tập hợp T Do đó, 0X phần tử cực tiểu nón tiếp liên T (S + C, x) Định lý chứng minh  Trong Định lý 2.5 ta không cần giả thiết cor(C) 6= ∅ x b ∈ {x} − cor(C) Giả thiết đóng vai trị quan trọng Định lý 2.12 Mặt khác Định lý 2.12, khơng địi hỏi x xác định bất đẳng thức (2.13) Với Định lý 2.5 Định lý 2.12 ta nhận đặc trưng cực tiểu thường 38 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hệ 2.2 Cho S tập hợp không rỗng khơng gian định chuẩn có thứ tự phận (X, k ·kX ) với nón thứ tự C có phần đại số khơng rỗng sở compact yếu Hơn nữa, cho phần tử x b ∈ X thỏa mãn S ⊂ {b x} + cor(C), với x thuộc S giả sử tập cone (T (S + C, x) ∪ (S − {x})) đóng yếu Khi đó, x phần tử cực tiểu thường tập hợp S tồn chuẩn liên tục k · k X tăng đơn điệu mạnh C có tính chất =kx − x bk