Điều kiện tối ưu cấp một và cấp hai cho bài toán tối ưu trong không gian vectơ tôpô

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  - ĐỖ THANH PHÚC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP MỘT VÀ CẤP HAI CHO BÀI TỐN TỐI ƯU TRONG KHƠNG GIAN VECTƠ TƠPƠ LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 Thái Nguyên, năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý thuyết điều kiện tối ưu cấp cấp phận quan trọng lý thuyết toán cực trị Người ta xây dựng điều kiện tối ưu cấp ngơn ngữ nón phương giảm cấp cho hàm mục tiêu, nón phương chấp nhận cho ràng buộc nón nón phương tiếp xúc cấp cho ràng buộc đẳng thức (theo phương d đó) Với d = 0, nón cấp trở thành nón cấp tương ứng từ điều kiện tối ưu cấp ta nhận điều kiện tối ưu cấp trường hợp riêng Vì nhiều nghiên cứu tập trung vào lý thuyết hợp điều kiện tối ưu cấp cấp cho toán tối ưu Cơng trình tiếng A Dubovitskii A.A Milyutin [5] đời, cho ta lý thuyết điều kiện tối ưu cấp ngôn ngữ giải tích hàm Phát biểu ý tưởng Dubovitskii - Milyutin [5], [4] A Ben-Tal J Zowe xây dựng điều kiện tối ưu cấp ngôn ngữ nón phương giảm cấp nón phương chấp nhận cấp nón phương tiếp xúc cấp (theo phương d) mà trường hợp riêng kết (với d = 0) ta nhận lại điều kiện cần tối ưu cấp Dubovitskii Milyutin Luận văn trình bày lý thuyết điều kiện tối ưu cấp Ben Tal - Zowe [4] cho toán tối ưu đa mục tiêu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn với ràng buộc nón ràng buộc bất đẳng thức ngơn ngữ nón phương giảm cấp hàm mục tiêu, nón phương chấp nhận cấp cho ràng buộc nón nón phương tiếp xúc cấp cho ràng buộc đẳng thức Khi nón cấp lấy theo phương ta nhận điều kiện tối ưu cấp Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày điều kiện tối ưu cấp tổng quát cho cực tiểu địa phương toán tối ưu đa mục tiêu khơng gian vectơ tơpơ thực ngơn ngữ nón phương giảm cấp hàm mục tiêu, nón phương chấp nhận cấp ràng buộc nón nón phương tiếp xúc cấp ràng buộc đẳng thức Các kết trình bày chương Ben Tal - Zowe [4] Chương trình bày cách tiếp cận áp dụng điều kiện cần cấp tổng quát chương bao gồm kết tính tốn nón phương giảm cấp cấp 2, nón phương chấp nhận cấp cấp nón phương tiếp xúc cấp cấp 2, với điều kiện cần cấp cấp cho toán tổng quát (P) toán với hữu hạn ràng buộc bất đẳng thức (MP) Các kết trình bày chương Ben Tal - Zowe [4] Chương trình bày điều kiện đủ tối ưu cấp cho toán tổng quát (P) trường hợp không gian X hữu hạn chiều Ben Tal - Zowe [4] X vô hạn chiều Maurer - Zowe Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Điều kiện cần tổng quát cho cực tiểu yếu địa phương 1.1 Các khái niệm định nghĩa Ta xét tốn tối ưu có dạng (P ) M in f (x), g(x) ∈ K, h(x) = 0, x ∈ X Ánh xạ f : X → U, g : X → V, h : X → W ánh xạ liên tục, Ở X, U, V W khơng gian vectơ tơpơ thực, K nón lồi V với phần không rỗng (intK 6= ∅), U nón nhọn C với intK 6= ∅ Theo quy ước thông thường ta viết: u1 ≥ u2 (hoặc u2 ≤ u1 ) u1 −u2 ∈ C, u1 > u2 (u2 < u1 ) u1 −u2 ∈ intC Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khi đó, ≥ có tính chất bất biến với phép tịnh tiến phép nhân vô hướng dương Ta quan tâm tới tốn tìm cực tiểu yếu địa phương, tức ta tìm điểm x0 thuộc tập chấp nhận F := {x ∈ X : −g(x) ∈ Kvà h(x)=0} mà tồn lân cận N (x0 ) điểm x0 cho f (x) 6∈ f (x0 ) − intC, với ∀x ∈ N (x0 ) ∩ F (1.1) Ta xét x0 nghiệm tối ưu địa phương toán (P ) Nếu U đường thẳng thực R C nửa đường thẳng không âm R+ = {λ ∈ R : λ không âm}, (P ) tốn cực tiểu địa phương thông thường Thật vậy, (1.1) tương đương với (≥ kí hiệu thứ tự thơng thường R) f (x) ≥ f (x0 ) với x0 ∈ N (x0 ) ∩ F (1.2) Trường hợp quan trọng toán (P ) toán quy hoạch toán học hữu hạn chiều: U = R, C = R+ K = Rn+ (n ∈ N) Nếu gi , i = 1, 2, , n, thành phần g, tốn (P ) trở thành: f (x), (M P ) gi (x) ≤ 0, với i = 1, 2, · · · , n, h(x) = 0, x ∈ X Như ví dụ cho tốn (P ), f khơng phải hàm thực, ta xét trường hợp U = Rn lấy C nón thứ tự từ điển Rn , nghĩa C tập tất vectơ Rn mà thành phần khác không dương, với 0Rn Ta kí hiệu cl C bao đóng tơpơ C Khi đó, Rn = (cl C) ∪ (−int C) (cl C) ∩ (−int C) = ∅ Khi đó, (1.1) tương đương với f (x) ∈ f (x0 ) + cl C, với x ∈ N (x0 ) ∩ F Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.1.1 Một phương d ∈ X gọi phương tựa giảm x hàm mục tiêu f : X → U x với ∀u > 0, u ∈ U , tồn số thực T > cho f (x + td) ≤ f (x) + tu, < t ≤ T Định nghĩa 1.1.2 Một phương d gọi phương tựa chấp nhận x hàm g : X → V với ∀v ∈ intK, tồn số thực T > cho g(x + td) ∈ −K + tv, với < t ≤ T Nón phương tựa giảm phương tựa chấp nhận x kí hiệu Df (x) Dg (x) Định nghĩa 1.1.3 Ta gọi z ∈ X phương giảm cấp hai f x tương ứng với d ∈ X tồn u > 0, lân cận N (z) z số thực T > cho f (x+td+t2 z¯) ≤ f (x)−t2 u, với z¯ ∈ N (z) < t ≤ T (1.3) Định nghĩa 1.1.4 Phần tử z ∈ X gọi phương chấp nhận cấp hai g x tương ứng với d ∈ X tồn v ∈ intK, lân cận N (z) z số thực T > cho g(x+td−t2 z¯) ∈ −K −t2 v, với z¯ ∈ N (z), < t ≤ T (1.4) Tập tất z thoả mãn (1.3) (1.4) kí hiệu Qf (x, d) Qg (x, d) Hiển nhiên, Qf (x, d) Qg (x, d) tập mở Ta đặt Df< (x) := Qf (x, 0), Dg< (x) := Qg (x, d) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.5) http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.1.5 Vectơ z gọi phương tiếp xúc cấp hai hàm h : X → W x tương ứng với d ∈ X tồn số thực T > đường cong r(t) ∼ o(t2 ) cho h(x + td + t2 z + r(t)) = 0, với < t ≤ T1 Tập vectơ z kí hiệu Vh (x, d) Ta đặt Th (x) := Vh (x, 0) (1.6) Lấy d ∈ X, ta gọi f d-chính quy x Qf (x, d) tập không rỗng lồi Tương tự, ta nói g dchính quy x Qg (x, d) tập không rỗng lồi h d-chính quy x Vh (x, d) tập khơng rỗng lồi Nếu f d-chính quy x với ∀d ∈ Df (x), f gọi quy x (do (1.6) ta cần, với d ∈ Df¯(x)) Tương tự, g gọi quy x g d-chính quy x với ∀d ∈ Dg (x), h gọi quy x h d-chính quy x với ∀d ∈ Th (x) Với tập S X, hàm tựa δ ∗ (.|S) xác đinh không gian vectơ topô đối ngẫu X ∗ X với giá trị đường thẳng thực mở rộng R ∪ {∞} định nghĩa sau: δ ∗ (x∗ |S) = sup x∗ x với x∗ ∈ X ∗ (1.7) x∈S (Nếu S = ∅, ta quy ước δ ∗ (·|S) = −∞ ) Miền hữu hiệu δ ∗ (.|S) kí hiệu Λ(S) Λ(S) = {x∗ ∈ X ∗ : δ ∗ (x∗ |S) < ∞} Kí hiệu S + tập cực S S + = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ x ≥ (∀x ∈ S)} Ta có S nón Λ(S) = −S + , ( 0, x∗ ∈ Λ(S), δ ∗ (x∗ |S) = ∞, x∗ 6∈ Λ(S) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.8) http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2 Điều kiện cần tổng quát cho cực tiểu yếu địa phương Định lý 1.2.1 Giả sử x0 nghiệm tối ưu địa phương tốn (P ) Khi đó, với d ∈ Df (x0 ) ∩ Dg (x0 ) ∩ Th (x0 ), (1.9) f, g h d-chính quy, tồn hàm tuyến tính liên tục X: lf ∈ Λ(Qf (x0 , d)), lg ∈ Λ(Qg (x0 , d)), lh ∈ Λ(Vh (x0 , d)) (1.10) không đồng thời không thoả mãn phương trình Euler Lagrange lf + lg + lh = 0, (1.11) bất đẳng thức Legendre δ ∗ (lf | Qf (x0 , d)) + δ ∗ (lg | Qg (x0 , d)) + δ ∗ (lh |Vh (x0 , d)) ≤ (1.12) Bổ đề 1.2.2 Giả sử S1 , · · · , Sn tập lồi X x∗ ∈ Λ(∩nn=1 Si ) Nếu (∩n−1 n=1 intSi ) ∩ Sn 6= ∅, (1.13) ∗ δ (x ∗ |∩ni=1 Si ) = min{ n X δ ∗ (x∗i |Si ) : x∗ = x∗1 +· · · +x∗n ∈ Λ(Si )} i=1 Bổ đề 1.2.3 Giả sử S1 , · · · , Sn+1 tập lồi, không rỗng X, S1 , · · · , Sn tập mở Khi ∩n+1 i=1 Si = ∅ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.14) http://www.lrc-tnu.edu.vn tồn x∗i ∈ Λ(Si ), ß = 1, · · · , n + 1, không đồng thời không, cho x∗1 + x∗2 + · · · + x∗n+1 = 0, δ ∗ (x∗1 |S1 ) + δ(x∗2 |S2 ) + · · · + δ(x∗n+1 |Sn + 1) ≤ (1.15) (1.16) ∗ Chú ý 1.2.4 Nếu ∩n+1 i=2 Si 6= ∅ x1 6= bổ đề 1.2.3 Hệ 1.2.5 Giả sử S1 , S2 , · · · , Sn nón lồi không rỗng X giả sử S1 , S2 , · · · , Sn tập mở Khi đó, ∩n+1 i=1 Si = ∅ tồn x∗i ∈ Si+ , i = 1, 2, · · · , n + 1, không đồng thời không, cho x∗1 + · · · + x∗n = Bổ đề 1.2.6 Giả sử A : X −→ U tốn tử tuyến tính với miền giá trị R(A) S tập lồi không rỗng U Đặt A−1 S := {x ∈ X : AX ∈ S}, giả sử x∗ ∈ Λ(A−1 S) Giả sử điều kiện sau đúng: (i) R(A) ∩ intS 6= ∅ (điều kiện Slater), (ii) A tập mở Khi đó, ˙ u∗ ∈ Λ(S)} δ ∗ (x∗ |A−1 S) = min{δ ∗ (u∗ |S) : x∗ = u∗ A, (Ở δ ∗ (·|A−1 S) xác định X ∗ δ ∗ (·|S) U ∗ ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Từ định lý 1.2.1 ta suy điều kiện tối ưu cấp trường hợp đặc biệt Ta phát biểu điều hệ sau Hệ 1.2.7 Giả sử x0 nghiệm tối ưu địa phương toán (P ) giả sử f, g, h - quy x0 Khi tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục X lf ∈ Df< (x0 )+ , lg ∈ Dg< (x0 )+ , lh ∈ Th (x0 )+ , (1.17) không đồng thời không thoả mãn lf + lg + lh = (1.18) Chú ý 1.2.8 Sự khác điều kiện tối ưu cấp cấp hai phản ánh khác bổ đề 1.2.3 hệ 1.2.5 Chú ý 1.2.9 Giả sử d thoả mãn giả thiết định lý 1.2.1 Nếu Qg (x0 , d) ∩ Vh (x0 , d) 6= ∅ lf (1.10) (1.11) khác Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Chương Áp dụng điều kiện cần tối ưu tổng quát 2.1 Các ràng buộc tích cực Mệnh đề 2.1.1 Giả sử v ∈ intK Khi đó, (i) λv ∈ int K, với số thực λ > 0, (ii) v + K ⊂ int K, (iii) [-v,v] lân cận gốc V Kí hiệu Ka bao đóng bao nón K + a tức (kí hiệu cone A bao nón A): Ka = cl cone(K + a) = cl{λ(k + a) : k ∈ K, λ ≥ 0} Với b ∈ V , ta kí hiệu Ka,b bao đóng bao nón Ka+b , tức Ka,b = cl{(ka + b) : ka ∈ Ka , λ ≥ 0} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 Bổ đề 2.1.2 Cho a ∈ −K; b ∈ −Ka Khi đó, Ka,b = cl(K + {λa + µb : λ ≥ 0, µ ≥ 0}) Mệnh đề 2.1.3 [4] Giả sử V = Rn , K = Rn+ x, d ∈ X Giả sử g (x) tồn (i) Nếu g(x) ∈ −K Kg(x) ( R+ , i ∈ I(x), = Si , Si = R, i 6∈ I(x) i=1 n Y (ii) Nếu g(x) ∈ −K g (x)d ∈ −Kg(x) ( n Y R+ , i ∈ J(x, d), Kg(x),g0 (x)d = Si , Si = R, i 6∈ J(x, d) i=1 Ví dụ 2.1.4 Cho V = R3 K nón, K = {v ∈ R3 : v12 + v22 ≤ v32 , v3 ≥ 0} Cho g : X −→ R3 hàm khả vi xét ràng buộc g(x) ∈ −K Ta cho hàm q : X −→ R2 xác định   g1 (x) + g22 (x) − g32 (x) q(x) := −g3 (x) Khi đó, tồn g(x) ∈ −K qi (x) ≤ với i = 1, (2.1) Giả sử intK 6= Ta có kết sau phần Ka Ka,b Bổ đề 2.1.5 Cho a ∈ −K b ∈ −Ka Khi đó, intKa = intK + {λa : λ ≥ 0}, intKa,b = intK + {λa + µb : λ ≥ 0, µ ≥ 0} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.2) (2.3) http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 2.2 Tập phương giảm tập phương chấp nhận Ta bắt đầu với việc phân tích Df< (x) Dg< (x) ngôn ngữ đạo hàm theo phương f (x; d) := lim t−1 [f (x + td) − f (x)] t→0+ 0 Mệnh đề 2.2.1 Cho x ∈ X Giả sử f (x, d) g (x, d) tồn với ∀d ∈ X.Khi đó, (i) Df (x) = {d ∈ X : f (x, d) ≤ 0}, (ii) Nếu g(x) ∈ −K, Dg (x) = {d ∈ X : g (x, d) ∈ −Kg(x) } Mệnh đề 2.2.2 Giả sử X, U V không gian định 00 00 chuẩn Lấy x, d ∈ X giả sử f (x, d; z) g (x, d; z) tồn với z ∈ X Giả sử f, g thoả mãn điều kiện Lipschitz địa phương x Khi đó, (i) Nếu f (x, d) ≤ 0, 00 Qf (x; d) = {z ∈ X : f (x, d; z) ∈ −int Cf (x;d) }; (ii) Nếu g(x) ∈ −K g (x; d) ∈ cone(K + g(x)) (= −Kg(x) cone(K + g(x)) đóng, 00 Qg (x, d) = {z ∈ X : g (x, d, z) ∈ −intKg(x),g0 (x;d) }; (ii) Nếu g(x) ∈ −K g (x; d) ∈ −Kg (x), 00 Qg (x, d) ⊂ {z ∈ X : g (x, d; z) ∈ −int Kg(x),g0 (x;d) } Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 Hệ 2.2.3 Cho X, U, V không gian định chuẩn, giả sử f, g thoả mãn điều kiện Lipschitz địa phương 0 x Giả sử tồn f (x; d) g (x, d) với d ∈ X Khi đó, (i) Df< x = {d ∈ X : f (x; d) < 0}, (ii) Nếu g(x) ∈ −K Df< x = {d ∈ X : g (x; d) ∈ −int Kg(x) } Bổ đề 2.2.4 Giả sử f F- khả vi liên tục lân cận x, với d cho trước hàm Φd (t) := f (x + td) khả vi cấp hai 00 t = Khi đó, f (x, d; z) tồn với ∀z ∈ X, 00 00 f (x, d; z) = f (x; z) + Φd (0) 2.3 (2.4) Tập phương tiếp xúc Bổ đề 2.3.1 Giả sử X W không gian Banach, h : X → W F- khả vi liên tục lân cận x, h (x) toàn ánh, h(x) = Lấy k số tự nhiên Giả sử tồn dãy số thực → 0+ {ti }i=1,2,··· dãy tương ứng {y(ti )}i=1,2,··· X cho y(ti ) −→ 0, ||h(x + y(ti ))|| = o(||y(ti )||k ) t→∞ Khi đó, với i, tồn {r(ti )} cho h(x + y(ti )) + r(ti ) = 0, ||r(ti )|| = o(||y(ti )||k ) Chú ý 2.3.2 Từ chứng minh ta thấy dạng liên tục bổ đề 2.3.1 đúng, dãy y(ti )i=1,2,··· r(ti )i=1,2,··· thay hàm y(t) r(t) xác định khoảng (0, t0 ] với số dương t0 thích hợp Ta sử dụng điều để chứng minh: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 Mệnh đề 2.3.3 Cho h ánh xạ từ không gian Banach X vào không gian Banach W , F - khả vi cấp hai lân cận điểm x với h(x) = Giả sử với h (x) tồn ánh Khi đó, Th (x) = {d ∈ X : h (x)d = 0}, (2.5) 00 Vh (x, d) = {z ∈ X : h (x)z+ h (x)(d, d) = 0} với d ∈ Th (x) (2.6) Nói riêng, h quy tai x 2.4 Điều kiện cần cho cực tiểu yếu toán khả vi Mệnh đề 2.4.1 Giả sử X, U, V W không gian định chuẩn; f, g h hàm F- khả vi cấp hai Cho x, d ∈ X (i) Giả sử f (x)d ≤ Qf (x, d) 6= ∅ Khi đó, với lf ∈ Λ(Qf (x, d)), tồn u∗ ∈ C + cho 0 lf = u∗ · f (x), u∗ f (x)d = 0, δ ∗ (lf |Qf (x, d)) = −1 ∗ 00 u f (x)(d, d) (ii) Giả sử g(x) ∈ −K, g (x)d ∈ −cone(K + g(x)) Qg (x, d) 6= Khi đó, với lg ∈ Λ(Qg (x, d)), tồn v ∗ ∈ K + cho 0 lg = v ∗ · g (x), v ∗ g (x)d = 0, v ∗ g(x) = 0, δ ∗ (lg |Qg (x, d)) = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên −1 ∗ 00 v g (x)(d, d) http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 (iii) Giả sử X W không gian Banach, h (x) ánh xạ lên, h(x) = h (x)d = Khi đó, với lh ∈ Vh (x, d), tồn w∗ ∈ W ∗ cho lh = w∗ · h (x), δ ∗ (lh |Vh (x, d)) = −1 ∗ 00 w h (x)(d, d) Định lý 2.4.2 Giả sử x0 nghiệm tối ưu địa phương toán (P ); X W không gian Banach, U V không gian định chuẩn Giả sử f, g h F-khả vi cấp 0 Miền giá trị R(h (x0 )) h (x0 ) đóng Khi đó, với d thoả mãn 0 f (x0 )d ≤ 0, g (x0 )d ∈ −cone(K + g(x0 )), h (x0 )d = 0, (2.7) ∗ + ∗ tồn hàm tuyến tính liên tục u ∈ C , v ∈ K + w∗ ∈ W ∗ không đồng thời cho 0 u∗ f (x0 )d = 0, v ∗ g(x0 ) = 0, v ∗ g (x0 )d = 0, 0 (2.8) u∗ · f (x0 ) + v ∗ · g (x0 ) + w∗ · h (x0 ) = 0, 00 00 00 (u∗ · f (x0 ) + v ∗ · g (x0 ) + w∗ · h (x0 ))(d, d) ≥ (2.9) (2.10) Ta thêm điều kiện quy h (x0 ) ánh xạ lên tồn z ∈ X cho 00 00 CQ(d) g (x0 )z + g (x0 )(d, d) ∈ −int Kg(x0 ),g0 (x0 )d , h (x0 )z + h (x0 )(d, d) = Hệ 2.4.3 Nếu cho vectơ d (2.8) thoả mãn điều kiện CQ(d) u∗ tương ứng (2.9)-(2.11) khác Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 2.5 Điều kiện cần tối ưu cho toán (MP) Ta đặc biệt hoá định lý 1.2.1 cho toán (MP) Để làm điều ta ký hiệu Dgi (x) tập phương tựa chấp nhận thành phần gi g (thay K R+ định nghĩa), tương tự cho Qgi (x, d) Dg (3.4) Giả thiết dimX < ∞ cốt yếu phát biểu trên.Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 3.1.2 Lấy X khơng gian l2 thực I = R Chọn s ∈ X với thành phần sn > với ∀n Ta xét toán: X∞ X∞ x4i si x2i − f (x) = i=1 i=1 3.2 Điều kiện đủ tối ưu cho trường hợp vô hạn chiều Với X vô hạn chiều, ta có điều kiện đủ cấp hai sau đây: Định lý 3.2.1 Xét toán (P) với U = R, không gian Banach thực X, V, W hàm F- khả vi cấp hai Lấy x0 điểm chấp nhận toán (P) giả sử tồn ánh xạ x → d(x) tập chấp nhận F vào tập xấp xỉ tuyến 0 tính {d ∈ X : g (x0 )d ∈ −Kg(x0 ) , h (x0 )d = 0} F cho ||d(x)−(x−x0 )|| = o(||x−x0 ||), với x chấp nhận (3.5) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Giả sử tồn nhân tử w ∈ W , v ∈ K với v g(x0 ) số thực dương α, β cho 0 f (x0 ) + v ∗ · g (x0 ) + w∗ · h (x0 ) = 0, 00 00 00 (f (x0 ) + v ∗ g (x0 ) + w∗ h (x0 ))(d, d) ≥ δ||d||2 với 0 d ∈ {y ∈ X|g (x0 )y ∈ −Kg(x0 ) , h (x0 )y = 0, v ∗ ·g (x0 ) ≥ −β||y||} Khi đó, x0 cực tiểu địa phương chặt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 22 KẾT LUẬN Luận văn trình bày lý thuyết điều kiện tối ưu cấp hai Ben Tal-Zowe [4] cho toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón khơng gian vectơ tơpơ thực Các điều kiện cấp trình bày ngơn ngữ nón phương giảm cấp hàm mục tiêu, nón phương chấp nhận cấp cho ràng buộc nón nón phương tiếp xúc cấp cho ràng buộc đẳng thức (theo phương d đó) Chú ý với d = 0, từ nón cấp ta nhận nón phương giảm, nón phương chấp nhận nón phương tiếp xúc Khi đó, từ điều kiện cần tối ưu cấp ta nhận lại điều kiện cần tối ưu cấp Dubovitskii - Milyutin [5] Khi hàm mục tiêu ràng buộc khả vi Fréchet cấp , từ kết tổng quát ta nhận lại điều kiện tối ưu cấp biết trước Điều kiện tối ưu cấp cấp cao cho toán tối ưu đa mục tiêu đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn