Về các điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương của a d ioffe

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THANH LOAN VỀ CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO CỰC TIỂU ĐỊA PHƯƠNG CỦA A D IOFFE LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun, năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Möc löc Möc löc Mð ¦u ành l½ quy gồn v iÃu kiằn tối ữu cĐp 1.1 ành l½ quy gån 1.2 X§p x¿ c§p cõa h m 1.3 i·u ki»n c¦n tối ữu cĐp 11 1.3.1 Tr÷íng hđp dimY < ∞ 11 1.3.2 Tr÷íng hđp F kh£ vi 12 i·u ki»n tèi ÷u kiºu Levitin - Miljutin - Osmolovskii 15 2.1 2.2 2.3 2.4 X§p x¿ kiºu Levitin - Miljutin - Osmolovskii ối ngău hõa iÃu kiằn cỹc tiu Tẵnh chĐt c trững cừa nghiằm Tẵnh chuân t­c cõa b i to¡n iÃu kiằn tối ữu cĐp 15 21 23 28 37 3.1 Ph¡t biºu b i to¡n 37 3.2 iÃu kiằn cƯn v ừ tối ữu cĐp 38 3.2.1 iÃu kiằn cƯn cĐp 39 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.2.2 i·u ki»n õ c§p 3.3 nh lẵ hm phÔt ch½nh x¡c trìn 3.4 B i to¡n trỡn vợi cĂc rng buởc ng thực v bĐt ng thực Kát luên T i li»u tham kh£o 53 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn 40 43 47 52 http://www.lrc-tnu.edu.vn M Ưu Lỵ thuyát c¡c b i to¡n tèi ÷u âng mët vai trá quan trång to¡n ùng döng v  câ nhi·u ùng döng kinh tá, k thuêt  dăn cĂc iÃu kiằn tối ữu, ngữới ta thữớng xĐp x cĂc Ănh xÔ v têp hủp cõ bi toĂn bơng nhỳng Ănh xÔ v têp hủp ỡn giÊn hỡn (thữớng l tuyán tẵnh hoc lỗi) v sau õ Ăp dửng cĂc kát quÊ  biát cho bi toĂn trỡn hoc lỗi A D Ioffe [2]  ữa phữỡng phĂp thiát lêp iÃu kiằn cƯn rĐt hiằu quÊ vợi mởt nh lẵ quy gồn cỡ bÊn  ữa bi toĂn xuĐt phĂt v· b i to¡n khæng câ r ng buëc C¡c i·u ki»n cƯn tối ữu ữủc Ioffe thiát lêp dữợi ngổn ngỳ cĂc xĐp x cĐp cừa hm mửc tiảu, cĂc hm rng buởc v hm khoÊng cĂch án têp rng buởc Vợi ỵ tững ữa bi toĂn xuĐt phĂt và b i to¡n khæng câ r ng buëc, A D Ioffe [3]  nghiản cựu cĂch tiáp cên iÃu kiằn tối ữu kiu Levitin - Miljutin - Osmolovskii dữợi ngổn ngỳ cĂc LMO - xĐp x, dỹa trản nh lẵ quy gồn [2] C¡c i·u ki»n chu©n t­c v  chu©n t­c mÔnh ữủc ữa vo nghiản cựu  xõa bọ sỹ sai khĂc giỳa tẵnh chĐt nghiằm bi toĂn xuĐt phĂt v  b i to¡n khæng r ng buëc Trong [4], A D Ioffe nghiản cựu bi toĂn tối ữu khổng cõ rng buởc vợi hm mửc tiảu l hủp cừa mởt Ănh xÔ khÊ vi liản tửc v mởt hm dữợi tuyán tẵnh, v dăn cĂc iÃu kiằn tối ữu cĐp Sỷ dửng nh lẵ quy gồn [2], cĂc kát quÊ õ Ăp dửng ữủc cho bi toĂn vợi rng 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn buëc ¯ng thùc v  b§t ¯ng thực thổng thữớng Luên vôn trẳnh by lẵ thuyát cĂc i·u ki»n tèi ÷u cõa A D Ioffe [2] - [4] bao gỗm cĂc iÃu kiằn cƯn tối ữu cĐp dữợi ngổn ngỳ cĂc xĐp x cĐp 1, LMO - xĐp x cho bi toĂn tối ữu vợi c¡c r ng buëc ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v  r ng buởc têp, v cĂc cĂc iÃu kiằn tối ữu cĐp cho b i to¡n khỉng r ng bc vỵi h m mưc tiảu l hủp cừa mởt Ănh xÔ khÊ vi liản tửc v mởt hm dữợi tuyán tẵnh vợi cĂc ¡p dưng cho b i to¡n trìn vỵi r ng bc ¯ng thực v bĐt ng thực nhớ nh lẵ quy gồn [2] Luên vôn bao gỗm phƯn m Ưu, ba chữỡng, kát luên v danh mửc cĂc ti liằu tham khÊo Chữỡng trẳnh by cĂch tiáp cên iÃu kiằn cƯn cừa Ioffe [2] trản cỡ s thiát lêp mởt nh lẵ quy gồn  ữa bi toĂn gốc và b i to¡n khỉng câ r ng bc C¡c i·u ki»n c¦n ữủc thiát lêp dữợi ngổn ngỳ dữợi vi phƠn cừa xĐp x cĐp cừa hm mửc tiảu, cĂc hm rng buởc v hm khoÊng cĂch án têp rng buởc Chữỡng trẳnh by cĂch tiáp cên iÃu kiằn tối ÷u kiºu Levitin Miljutin - Osmolovskii cõa Ioffe [3] düa trản cổng cử LMO - xĐp x v nh lẵ quy gồn cừa Ioffe Vợi iÃu kiằn chuân tưc mÔnh thẳ s khổng cõ sỹ sai khĂc và tẵnh chĐt nghi»m cõa b i to¡n gèc v  b i to¡n khæng câ rng buởc Chữỡng trẳnh by cĂc iÃu kiằn tối ữu cĐp cƯn v ừ cừa Ioffe [4] cho bi toĂn khổng rng buởc vợi hm mửc tiảu l hủp cừa mởt Ănh xÔ khÊ vi liản tửc v mởt hm dữợi tuyán tẵnh Sỷ dửng nh lẵ quy gồn cừa Ioffe chữỡng s dăn ữủc cĂc iÃu kiằn tối ữu cĐp cƯn v ừ cho bi toĂn trỡn vợi rng buởc ng thực v bĐt ¯ng thùc 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tæi xin b y tä lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi thƯy giĂo PGS TS ộ Vôn Lữu, ngữới  tên tẳnh hữợng dăn, giúp ù tổi hon thnh luên vôn ny Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn Ban chừ nhiằm Khoa Sau Ôi hồc, Ban chừ nhiằm Khoa ToĂn - Tin, trữớng Ôi hồc Khoa hồc thuởc Ôi hồc ThĂi Nguyản cĂc thƯy giĂo, cổ giĂo  tham gia giÊng dÔy khoĂ hồc Xin chƠn thnh cÊm ỡn gia ẳnh, bÔn b, ỗng nghiằp v cĂc bÔn lợp cao hồc ToĂn K3  luổn quan tƠm, ởng viản v giúp ù tổi suốt thới gian hồc têp v lm luên vôn ThĂi Nguyản, ngy 15 thĂng nôm 2011 TĂc giÊ Tr¦n Thanh Loan 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch÷ìng ành lẵ quy gồn v iÃu kiằn tối ữu cĐp Chữỡng trẳnh by cĂch tiáp cên iÃu kiằn cƯn cừa Ioffe [2] trản cỡ s thiát lêp mởt nh lẵ quy gồn  ữa bi toĂn gốc và bi toĂn khổng cõ rng buởc CĂc iÃu kiằn cƯn ữủc thiát lêp dữợi ngổn ngỳ dữợi vi phƠn cừa xĐp x cĐp cừa hm mửc tiảu, cĂc hm rng buởc v hm khoÊng cĂch án têp rng buởc Xt b i to¡n minimizef0(x), (1.1) F (x) = 0, (1.2) fi (x) ≤ 0, i = 1, , n, (1.3) x ∈ S, (1.4) â f0, , fn l  c¡c h m gi¡ trà thüc tr¶n khỉng gian Banach X, F l Ănh xÔ tứ khổng gian Banach X vo khổng gian Banach Y v  S ⊂ X Trong ch÷ìng ny ta ch quan tƠm tợi cỹc tiu a phữỡng Do vêy, ta ch cƯn xt nhỳng hm fi v Ănh xÔ F ữủc xĂc nh mởt lƠn cên cõa iºm z ∈ S Ta gi£ thi¸t fi v F Lipschitz mởt lƠn cên 6S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn cõa z ∈ S v  S l  tªp âng 1.1 ành l½ quy gån Gi£ sû f l  h m Lipschitz a phữỡng tÔi z Khi õ hm h f (z; h) = lim sup u→z t↓0 f (u + th) f (u) t l lỗi v liản tửc trản X, v têp f (z) = {x ∈ X ∗ : f (z; h) ≥ hx∗ , hi, ∀h ∈ X} = ∂f (z; 0) l khĂc rộng v compact yáu*, nõ ữủc gồi l gradient suy rởng cừa f tÔi z (xem [6]) Gồi dS (x) l  h m kho£ng c¡ch tø x tỵi S v  z ∈ S Tªp TS (z) = {h X|d0S (z, h) = 0} l nõn lỗi õng v ữủc gồi l nõn tiáp tuyán cừa S tÔi z Nân cüc NS (z) = {x∗ ∈ X ∗ |hx∗ , hi ≤ 0, ∀h ∈ TS (z)} gåi l nõn phĂp tuyán cừa S tÔi z Chú ỵ r¬ng ∂dS (z) ⊆ NS (z) v  clcone∂dS (z) = NS (z), â clcone∂dS (z) l  bao âng cõa nõn sinh bi dS (z) Nhưc lÔi: im z ữủc gồi l im chẵnh quy cừa F ối vợi S náu tỗn tÔi k>0 v lƠn cên U cừa z cho vỵi måi x ∈ U ∩ S , dQ (x) ≤ kkF (x) − F (z)k, â Q = {x ∈ S|F (x) = F (z)} 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trong ph¦n n y, gi£ sû z thäa mÂn (1.2), (1.3) v (1.4) trữớng hủp F (z) = 0, v  k½ hi»u I = {i ∈ {1, 2, , n}|fi (z) = 0} nh lỵ 1.1.1 GiÊ sỷ z l im chẵnh quy cừa F ối vợi S Khi õ, náu z l nghiằm a phữỡng (a phữỡng cổ lêp) cừa (1.1) - (1.4) thẳ vợi mồi r > õ lỵn, h m Mr (x) = max{f0 (x) − f0 (z), max fi (x)} + r(kF (x)k + dS (x)) iI Ôt cỹc tiu a phữỡng (a phữỡng cht) tÔi z Ngữủc lÔi, náu Mr (x) Ôt cỹc tiu a phữỡng cht tÔi z vợi mởt r no õ thẳ z l nghiằm a phữỡng cổ lêp cõa b i to¡n (1.1) - (1.4) Chùng minh Ph¦n thù hai cừa nh lẵ l hin nhiản nản ta ch cƯn chựng minh phƯn thự nhĐt Náu z l nghiằm a phữỡng (a phữỡng cổ lêp) cừa bi toĂn (1.1) - (1.4) thẳ z l nghiằm a phữỡng (a phữỡng cỉ lªp) cõa b i to¡n sau: minimizef (x), (1.5) F (x) = 0, (1.6) x ∈ S, (1.7) â f (x) = max{f0 (x) − f0 (z), max fi (x)} iI Chồn q > v lƠn cên V cõa z cho vỵi méi x ∈ V u ∈ S thäa m¢n hai i·u ki»n sau: ∩ S, tỗn tÔi f (u) f (z), (1.8) F (u) = 0, kx − uk ≤ qkF (x)k (1.9) 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Gåi c > l  h¬ng sè Lipschitz cừa F v f trản V LĐy r1 ≥ qc, â n¸u x ∈ V ∩ S v u S thọa mÂn (1.8) v (1.9) thẳ f (x) ≥ f (x) − f (u) + f (z) ≥ −ckx − uk + f (z) ≥ −cqkF (x)k + f (z) ≥ −r1 kF (x)k + f (z) i·u n y chùng tä z l  nghi»m àa ph÷ìng cõa b i to¡n: minimize{f (x) + r1kF (x)k : x ∈ S} (1.10) Trong tr÷íng hđp z l  nghi»m àa phữỡng cổ lêp cừa (1.5) - (1.7), ta cõ th chồn r1  z l nghiằm a phữỡng cổ lêp cừa bi toĂn (1.10) Chú ỵ rơng x S tữỡng ữỡng vợi dS (x) = iÃu ny chựng tä z l  iºm ch½nh quy cõa dS (.) èi vỵi X v  f (x) + r1kF (x)k l  Lipschitz Chựng minh hon ton tữỡng tỹ nhữ trản, ta cõ th tẳm ữủc r2 > cho z l nghiằm a phữỡng (a phữỡngcổ lêp) cừa bi toĂn: minimize{f (x) + r1kF (x)k + r2dS (x)} Khi â, ành lẵ ữủc chựng minh vợi r = max{r1, r2} 1.2 XĐp x cĐp cừa hm nh nghắa 1.2.1 GiÊ sû f (x) l  mët h m thüc x¡c ành mởt lƠn cên cừa z Hm thỹc (x) ữủc gồi l xĐp x cĐp cừa hm f tÔi z n¸u φ(tx) = tφ(x), v  lim sup t↓0 ∀t ≥ 0, ∀x ∈ X, f (z + th) − f (z) − tφ(h) ≤ 0, t ∀h ∈ X (1.11) 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn khk ≤ 1, h ∈ KD } ∗ = sup{hvk , F (z)hi khk ≤ 1, h ∈ KD } kvk∗ k ≥ = 2C(F (z), KD ) 2c Gi£ thi¸t ||yk∗|| → ∞ cơng ÷đc chùng minh l  sai M»nh · 2.4.5 ([3]) Gi£ sû z l  nghi»m àa ph÷ìng cõa bi toĂn (1.1) - (1.4) v tỗn tÔi h X cho vỵi i = 1, , n ta câ fi0 (z, h) < 0, kF (.)k0 (z, h) = 0, d0S (z, h) = Khi â, b i toĂn (1.1) - (1.4) l chuân tưc tÔi z 36 36Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chữỡng iÃu kiằn tối ữu cĐp Chữỡng trẳnh by cĂc iÃu kiằn tối ữu cĐp cƯn v ừ cừa Ioffe [4] cho bi toĂn khổng rng buởc vợi hm mửc tiảu l hủp cừa mởt Ănh xÔ khÊ vi liản tửc v mởt hm dữợi tuyán tẵnh Sỷ dửng nh lẵ quy gồn cừa Ioffe s dăn ữủc cĂc iÃu kiằn tối ữu cĐp cƯn v ừ cho bi toĂn trỡn vợi r ng buëc ¯ng thùc v  b§t ¯ng thùc 3.1 Ph¡t biºu b i to¡n X²t b i to¡n minimizef (x) := g(G(x)), (3.1) õ g l hm dữợi tuyán tẵnh trản Y , G : X → Y kh£ vi li¶n tửc theo nghắa Frchet lƠn cên cừa z X , X v  Y l  c¡c khæng gian Banach Náu f (x) Ôt cỹc tiu a phữỡng tÔi z thẳ f (z), hay tỗn tÔi y ∈ ∂g(G(z)) cho G0∗ (z)y ∗ = Tø â suy y ∗ ∈ ∂g(G(z)); Lx (z, y ∗ ) = 0, (3.2) â L(x, y∗) = hy∗, G(x)i l  h m Lagrangian cõa b i to¡n (3.1) K½ 37 37Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn hiằu l têp tĐt cÊ cĂc vc tỡ y thọa mÂn (3.2) LĐy > 0,  > v  °t  Ωη = y ∗ ∈ Y ∗ kG0∗ (z)y ∗ k ≤ η; y ∗ ∈ ∂ g(G(z)) , â ∂g(y) l   - dữợi vi phƠn cừa g tÔi y:  ∂ g(y) = y ∗ y ∗ ∈ ∂g(0), hy ∗ , yi − g(y) ≥ − °c biằt, náu =  = thẳ ta nhên ÷đc Ω0 X²t h m ϕη (x) = max{L(x, y ∗ )| y  } é Ơy, cỹc Ôi nhên ữủc bi vẳ  l têp õng cừa têp g(0) compact yáu* Ta cõ 6= ko theo ϕη (z) = f (z) ∀η,  (3.3) Thªt vªy, Ωη ⊂ ∂g(0) ta câ ϕη (z) ≤ ∗max hy ∗ , G(z)i = g(G(z)) y ∈∂g(0) M°t khĂc, náu y thẳ y  v y∗ ∈ ∂g(G(z)) i·u n y chùng tä g(G(z)) = hy ∗ , G(z)i ≤ ϕη (z) Do â, ϕη(z) = f (z) vợi mồi ,  3.2 iÃu kiằn cƯn v ừ tối ữu cĐp Mằnh à 3.2.1 GiÊ sỷ G khÊ vi cht tÔi z Khi õ, cĂc i·u ki»n sau l  t÷ìng ÷ìng: 38 38Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (a) f(x) Ôt cỹc tiu a phữỡng (tữỡng ựng cỹc tiu a phữỡng cht) tÔi z; (b) 6= v  Ôt cỹc tiu a phữỡng (tữỡng ựng cỹc tiu a phữỡng cht) tÔi z vợi mồi > 0,  > 0; (c) Ω0 6= ∅ v  ϕη Ôt cỹc tiu a phữỡng (tữỡng ựng cỹc tiu a phữỡng cht) tÔi z vợi > 0,  > n o â Chùng minh Vỵi måi  > 0, h m ρ (x, h) = g (G0 (z)h + G(x)), â g(y) = sup{hy∗, yi| y∗ ∈ ∂g)G(z))} l  LMO - xĐp x cừa f tÔi z (theo Vẵ dư 2.2 v  V½ dư 2.5) p dưng M»nh · 2.2.1, ta suy i·u ph£i chùng minh 3.2.1 i·u kiằn cƯn cĐp GiÊ sỷ G l hm khÊ vi liản tửc cĐp lƠn cên cừa z nh lỵ 3.2.2 Náu f Ôt cỹc tiu a phữỡng tÔi z thẳ max{Lxx (z, y )(h, h)| y ∗ ∈ Ω0 } ≥ 0, (3.4) â h ∈ X thäa m¢n (3.5) g(G(z) + G0 (z)h) ≤ g(G(z)) Chùng minh Theo M»nh · 3.2.1 v  (3.3), Ω0 6= ∅ v  ϕη(x) ≥ ϕη(z) = f (z) lƠn cên cừa z vợi mồi > 0,  > L§y h ∈ X Do Ωη l  compact, ta câ f (z) ≤ ϕη (z + th) = max{hy ∗ , G(z + th)i y ∗ ∈ Ωη } t2 ≤ max{hy , G(z) + tG (z)h + Lxx (z, y ∗ )(h, h)i y ∗ ∈ Ωη } + o(t2 ) ∗ 39 39Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn N¸u ≤ t ≤ v  h thọa mÂn (3.5) thẳ  g(0) ta cõ hy ∗ , G(z) + tG0 (z)hi ≤ g(G(z) + tG0 (z)h) ≤ f (z) Tø â suy (3.6) max{Lxx (z, y ∗ )(h, h)| y ∗ ∈ Ω0 } 0, vợi h thọa mÂn (3.5) Theo nh ngh¾a \ Ωη = Ω0 6= ∅ η→0 →0 Do  l compact yáu* nản vợi mồi y Y ta câ lim max{hy ∗ , yi| y ∗ ∈ Ωη } = max{hy ∗ , yi| y ∗ ∈ } 0 Kát hủp vợi (365) ta suy iÃu phÊi chựng chựng minh Nõn lỗi Kc sinh bi têp {h| g(G(z) + G0 (z)h) g(G(z))} ữủc gồi l nõn tợi hÔn cừa f tÔi z v mội phƯn tỷ cừa nõ ữủc gồi l cĂc vc tỡ tợi hÔn Trong nh lẵ 3.2.1, iÃu kiằn (3.5) cõ th thay thá bi iÃu kiằn tữỡng ữỡng l h Kc Chú ỵ rơng náu y th¼ g(G(z) + G0 (z)h) ≥ g(G(z)) + hy ∗ , G0 (z)hi = g(G(z)) Do vêy náu 6= , nõn tợi hÔn ữủc xĂc nh bi Kc = {h ∈ X| g(G(z) + tG0 (z)h) = g(G(z)) vỵi t > n o â} 3.2.2 i·u ki»n õ c§p Gồi W l khổng gian Banach vợi chuân |||.||| Ta nõi rơng X ữủc nhúng trũ mêt vo W náu tỗn tÔi Ănh xÔ tuyán tẵnh - v  li¶n tưc 40 40Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn