Điều kiện tối ứu cho bài toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -***** PHẠM VĂN NGỌC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÁN HỌC VỚI RÀNG BUỘC CÂN BẰNG Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2013 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ***** PHẠM VĂN NGỌC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÁN HỌC VỚI RÀNG BUỘC CÂN BẰNG Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU Thái Nguyên – 2013 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -***** PHẠM VĂN NGỌC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÁN HỌC VỚI RÀNG BUỘC CÂN BẰNG Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2013 Cơng trình hồn thành TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU Phản biện 1: ……………………………………………………… ……………………………………………………… ………………… Phản biện 2:……………………………………………… ………………………………………………………………………………… Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Ngày tháng năm 2013 Có thể tìm hiểu luận văn thư viện Đại học Thái Nguyên Mục lục Mở đầu Điều kiện tối ưu cấp cho toán với ràng buộc cân 1.1 Điều kiện quy điểm dừng 1.2 Điều kiện tối ưu Fritz John Điều kiện quy Guignard cho toán với ràng buộc cân 14 2.1 Điều kiện quy thơng thường 2.2 Điều kiện quy Guignard 2.3 Điều kiện đủ cho điều kiện quy Guignard 14 17 22 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học PGS.TS Đỗ Văn Lưu Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, PGS.TS Đỗ Văn Lưu, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu tác giả Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn - Tin học trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện cho tác giả tài liệu thủ tục hành để tác giả hồn thành luận văn Tác giả gửi lời cảm ơn đến gia đình, BGH trường PTDT nội trú cấp II – III Bắc Quang bạn lớp Cao học, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2013 Người thực Phạm Văn Ngọc 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lý thuyết điều kiện tối ưu phát triển mạnh mẽ thu nhiều kết phong phú Với toán tối ưu có ràng buộc cân (MPEC), việc dẫn điều kiện tối ưu Karush - Kuhn - Tucker (KKT) nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu đưa vào điều kiện quy thích hợp cho MPEC Hầu hết điều kiện quy thơng thường cho quy hoạch phi tuyến lại không sử dụng MPEC Điều kiện quy độc lập tuyến tính MPEC - LICQ, điều kiện quy Mangasarian - Fromovitz MPEC - MFCQ điều kiện quy Mangasarian - Fromovitz chặt MPEC - SMFCQ đưa vào Flegel - Kanzow [3] tỏ thích hợp để dẫn đến điều kiện tối ưu KKT cho cực tiểu địa phương MPEC cách tiếp cận Fritz John Flegel - Kanzow [4] điều kiện quy Abadie thỏa mãn cho MPEC với điều kiện chặt đưa vào điều kiện quy Guignard (GCQ) cho MPEC Flegel - Kanzow [4] với điều kiện quy Guignard, tính dừng mạnh điều kiện cần tối ưu Đây vấn đề nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Chính thế, tơi chọn đề tài: "Điều kiện tối ưu cho toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân bằng" Đề tài có tính thời sự, tác giả nước quan tâm nghiên cứu Luận văn trình bày kết Flegel - Kanzow [3], [4] điều kiện quy, điểm dừng điều kiện tối ưu cho toán với ràng buộc cân Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Điều kiện tối ưu cấp cho toán với ràng buộc cân Trình bày điều kiện quy độc lập tuyến tính MPEC - LICQ, điều kiện quy Mangasarian - Fromovitz MPEC - MFCQ, điều kiện quy Mangasarian - Fromovitz chặt MPEC - SMFCQ cho toán tối ưu với ràng buộc cân (MPEC), trình bày điều kiện cần Karush Kuhn - Tucker cho toán MPEC với điều kiện đủ để tồn điểm M- dừng dương mạnh Các kết trình bày chương Flegel - Kanzow ([3], 2003) Chương Điều kiện quy Guignard cho tốn với ràng buộc cân Trình bày điều kiện quy Guignard (GCQ) cho tốn tối ưu với ràng buộc cân (MPEC) số điều kiện đủ cho điều kiện GCQ Chương điều kiện cần tối ưu điều kiện GCQ Kết với điều kiện GCQ, điểm z ∗ B- dừng tồn nhân tử Lagrange λ∗ cho (z ∗ , λ∗ ) dừng mạnh, (z ∗ , λ∗ ) điểm KKT Các kết trình bày chương Flegel - Kanzow ([4], 2005) 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Điều kiện tối ưu cấp cho toán với ràng buộc cân Chương trình bày kết Flegel - Kanzow ([3], 2003) điều kiện quy độc lập tuyến tính MPEC - LICQ, điều kiện quy Mangasarian - Fromovitz MPEC - MFCQ, điều kiện quy Mangasarian - Fromovitz chặt MPEC - SMFCQ cho toán tối ưu với ràng buộc cân (MPEC) điều kiện cần Karush - Kuhn - Tucker cho toán MPEC với điều kiện để tồn điểm M- dừng dừng manh 1.1 Điều kiện quy điểm dừng Xét toán với ràng buộc cân sau: minf (z), g(z) ≤ 0, h(z) = (1.1) G(z) ≥ 0, H(z) ≥ 0, G(z)T H(z) = 0, f : Rn → R, g : Rn → Rm , h : Rn → Rp , G : Rp → Rl H : Rn → Rl hàm khả vi, liên tục Do có ràng buộc bù nên tốn loại đơi gọi quy hoạch toán học với ràng buộc bù Tuy nhiên, thông dụng hơn, người ta thường gọi (1.1) toán với ràng buộc cân Vì ta kí hiệu tốn (1.1) MPEC (viết tắt Mathematical 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Programs with equilibrium constraints) Bây ta nhắc lại vài điều kiện quy điều kiện tối ưu cấp cho MPEC (1.1) Cho vectơ z ∗ toán MPEC(1.1), ta định nghĩa tập số sau: α := α(z ∗ ) := {i | Gi (z ∗ ) = 0, Hi (z ∗ ) > 0}, (1.2) β := β(z ∗ ) := {i | Gi (z ∗ ) = 0, Hi (z ∗ ) = 0}, (1.3) γ := γ(z ∗ ) := {i | Gi (z ∗ ) > 0, Hi (z ∗ ) = 0.} (1.4) Tập β hiểu tập suy biến Nếu tập β rỗng vectơ z ∗ gọi bù chặt Ta tách β thành phân hoạch sau: P(β) := {(β1 , β2 ) | β1 ∪ β2 = β, β1 ∩ β2 = ∅} (1.5) Để định nghĩa điều kiện quy thay đổi ta đưa vào toán sau, phụ thuộc vào z ∗ gọi toán quy hoạch phi tuyến chặt (tightened nonlinear program) T N LP := T N LP (z ∗ ) : minf (z), g(z) ≤ 0, h(z) = 0, Gα∪β (z) = 0, Gγ (z) ≥ 0, (1.6) Hα (z) ≥ 0, Hγ∪β (z) = Bài toán phi tuyến gọi chặt miền chấp nhận tập miền chấp nhận toán MPEC(1.1) Từ suy z ∗ cực tiểu địa phương tốn MPEC(1.1) z ∗ cực tiểu địa phương toán phi tuyến chặt TNLP(z ∗ ) tương ứng Bài toán TNLP(1.6) sử dụng để định nghĩa điều kiện quy độc lập tuyến tính, điều kiện quy Mangasarian - Fromovitz Mangasarian - Fromovitz chặt (viết tắt LICQ, MFCQ SMFCQ) thích hợp cho MPEC Định nghĩa 1.1.1 Bài toán MPEC(1.1) gọi thỏa mãn MPEC-LICQ (MPEC-MFCQ, MPEC-SMFCQ) vectơ chấp nhận z ∗ T N LP (z ∗ ) thỏa mãn LICQ (MFCQ, SMFCQ ) tương ứng z ∗ 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn điều trường hợp hạn chế Do đó, ta xét điều kiện quy yếu ACQ Một điều kiện quy GCQ Định nghĩa 2.2.1 Điều kiện quy Guignard điểm chấp nhận (z ∗ ) (2.1) đẳng thức sau T G (z ∗ ) := conv(T (z ∗ )) = T lin (z ∗ ) (2.11) Như biết, bao hàm T (z ∗ ) ⊆ T lin (z ∗ ) Điều tương tự cho T G (z ∗ ), nêu Bổ đề sau Bổ đề 2.2.1 Bao hàm thức sau đúng: T G (z ∗ ) ⊆ T lin (z ∗ ) (2.12) Chứng minh Vì T (z ∗ ) ⊆ T lin (z ∗ ) T lin (z ∗ ) lồi đóng, từ (2.12) ta suy điều cần chứng minh  Bây trình bày tính chất nón T G (z ∗ ) Xét nón lồi C tùy ý Khi đó, tập C ∩ −C gọi khơng gian tuyến tính C Khơng gian tuyến tính C biểu diễn {y|C + y = C}(xem [10]) Bổ đề 2.2.2 [10] Cho C1 , , Cm nón lồi khác rỗng Rn Khi (i) C1 + + Cm = conv(C1 ∪ ∪ Cm ) (ii) Cho C1 , , Cm thỏa mãn điều kiện sau: di ∈ Ci , (2.13) i = 1, , m d1 + + dm = 0, di gọi khơng gian tuyến tính Ci Khi đó, C1 + + Cm = C1 + + Cm (2.14) Ta sử dụng bổ đề để chứng minh kết sau 18 18Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bổ đề 2.2.3 Cho z ∗ điểm chấp nhận (2.1), điều kiện (A1) Khi đó, conv(T (z ∗ )) đóng, tức ta có T G (z ∗ ) = conv(T (z ∗ )) = conv(T (z ∗ )) Chứng minh Bởi theo giả thiết (A1), ACQ với NLP ∗ (β1 , β2 ) T (z ∗ ) viết dạng (2.10) [ TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) T (z ∗ ) = (2.15) (β1 ,β2 )∈P(β) Tiếp theo, ta muốn áp dụng Bổ đề 2.2.2 (ii) cho TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) Nhắc lại TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) đa diện, đó, nón lồi đóng Bây giờ, cho d(β1 ,β2 ) ∈ TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) với (β1 , β2 ) ∈ P(β) mà X d(β1 ,β2 ) = (2.16) (β1 ,β2 )∈P(β) Ta d(β1 ,β2 ) không gian tuyến tính TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) với ∀(β1 , β2 ) ∈ P(β) Nhân (2.16) với 5Gi (z ∗ )T ta X 5Gi (z ∗ )T d(β1 ,β2 ) = 0, ∀i = 1, , l (2.17) (β1 ,β2 )∈P(β) Vì d(β1 ,β2 ) ∈ TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ), (2.17) đúng.Nói riêng, 5Gi (z ∗ )T d(β1 ,β2 ) ≥ 0, ∀i ∈ α ∪ β Do đó, (2.17) kéo theo 5Gi (z ∗ )T d(β1 ,β2 ) = 0, ∀i ∈ α ∪ β (β1 , β2 ) ∈ P(β) Với phân hoạch (β1 , β2 ) ∈ P(β), ta có TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) + d(β1 ,β2 ) = TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ), tức là, d(β1 ,β2 ) thuộc không gian tuyến tính TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) Với bao hàm ngược lại, cho d cho d + d(β1 ,β2 ) ∈ TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) 19 19Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khi đó, 5Gi (z ∗ )T d = 5Gi (z ∗ )T d + 5Gi (z ∗ )T d(β1 ,β2 ) = 5Gi (z ∗ )T (d + d(β1 ,β2 ) ), | {z } =0 (2.18) thỏa mãn điều kiện (2.9) TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) với ∀i ∈ α ∪ β Đẳng thức tương tự cho gI0 g (z ∗ )d, h0 (z ∗ )d, Hγ∪β (z ∗ )d Điều chứng tỏ d ∈ TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) Ngược lại, ta chọn d ∈ TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) Vì d(β1 ,β2 ) ∈ TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) lồi, theo tính chất nón lồi d + d(β1 ,β2 ) ∈ TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) Điều chứng tỏ TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) + d(β1 ,β2 ) = TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) Do đó, d(β1 ,β2 ) thuộc khơng gian tuyến tính TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) ta áp dụng Bổ đề 2.2.2 (ii) Chú ý ta có TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) lồi Xét: conv(T (z ∗ )) (2.15) =  conv [  TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) (β1 ,β2 )∈P(β) (2.13) = X TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) (β1 ,β2 )∈P(β) (2.14) = X TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) (β1 ,β2 )∈P(β) = X TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) (β1 ,β2 )∈P(β) (2.13) =  conv [  TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) (β1 ,β2 )∈P(β) (2.15) = conv(T (z ∗ )) Từ ta suy điều phải chứng minh  Ta đưa phát biểu tương đương GCQ, điều tiện cho 20 20Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn chứng minh kết sau Nhắc lại: Cho nón C bất kỳ, nón đối ngẫu C ∗ định nghĩa sau: C ∗ := {v ∈ Rn |v T d ≥ ∀d ∈ C} Chú ý vectơ z ∗ có tính chất B-dừng cho MPEC(2.1), tức 5f (z ∗ )T d ≥ 0, ∀d ∈ T (z ∗ ), tương đương với 5f (z ∗ ) thuộc nón đối ngẫu T (z ∗ ), tức 5f (z ∗ ) ∈ T (z ∗ )∗ Bổ đề 2.2.4 Cho C C˜ nón khơng trống Khi đó, C ∗ nón lồi đóng; (ii) C ⊆ C˜ suy C˜∗ ⊆ C ∗ ; (i) (iii) C ⊆ C ∗∗ ; (iv) Nếu C lồi, C ∗∗ = C; (v) C ∗∗ = conv C Chúng ta sử dụng nón đối ngẫu để suy dạng tương đương GCQ Hệ 2.2.1 Bổ đề 2.2.5 Ta có đẳng thức sau: T (z ∗ )∗ = T G (z ∗ )∗ Chứng minh Theo bổ đề 2.2.4 (v), T G (z ∗ )∗ = conv T (z ∗ ) = T (z ∗ )∗∗ Hơn nữa, (i),(iv) (i) T G (z ∗ )∗ = T (z ∗ )∗∗∗ = T (z ∗ )∗ = T (z ∗ )∗  Hệ 2.2.1 Giả sử z ∗ điểm chấp nhận tốn MPEC (2.1) Khi đó, 21 21Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn điều kiện quy GCQ z ∗ nếu T (z ∗ )∗ = T lin (z ∗ )∗ (2.19) Chứng minh Từ (2.11) sử dụng Bổ đề 2.2.5 ta suy T (z ∗ )∗ = T G (z ∗ )∗ = T lin (z ∗ )∗ , tức GCQ dạng(2.11) kéo theo (2.19) Để chứng minh điều ngược lại, ta sử dụng Bổ đề 2.2.4 Hơn nữa, đẳng thức đánh dấu (*) suy từ (2.19) (iv) (∗) (v) T lin (z ∗ ) = T lin (z ∗ )∗∗ = T (z ∗ )∗∗ = conv(T (z ∗ )) = T G (z ∗ )∗ Chú ý: Các phần bổ đề 2.2.4 sử dụng ta viết dấu Trong đẳng thức đầu tiên, ta ý T lin (z ∗ ) đa diện lồi đóng  2.3 Điều kiện đủ cho điều kiện quy Guignard Định lí sau kết quy hoạch phi tuyến có [5] Định lí 2.3.1 [5] Cho z ∗ điểm B-dừng MPEC (2.1) Nếu GCQ z ∗ , tồn nhân tử Lagrange λ∗ cho (z ∗ , λ∗ ) điểm KKT (2.1) ˆ MPEC (2.1) với λ ˆ = (λ ˆg , λ ˆh, λ ˆG, λ ˆH , λ ˆ θ ) Xét điểm KKT (z, λ) Vì z điểm chấp nhận được, không ý đến điều kiện nói đến tính chấp nhận Đặt θ(z) := G(z)T H(z) ta suy điều kiện cốt yếu cho điểm KKT: = 5f (z) + m X ˆg λ i gi (z) + i=1 p X ˆ h hi (z) λ i i=1 l X  G  ˆ Gi (z) + λ ˆ H Hi (z) + λ ˆ θ θi (z), − λ i i i i=1 22 22Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn H(z) ≥ 0, ˆ G ≥ 0, λ ˆ H ≥ 0, λ ˆ G )T G(z) = 0, (λ ˆ H )T H(z) = 0, (λ g(z) ≤ 0, ˆ g ≥ 0, λ ˆ g )T g(z) = (λ G(z) ≥ 0, (2.20) Chú ý l X   5θ(z) = Gi (z) Hi (z) + Hi (z) Gi (z) i=1 Coi tổng dòng (2.20) gradien hàm ˆ g , λh := λ ˆ h , λG := λ ˆG −λ ˆ θ Hα (z), λG := λ ˆ G , λH := Đặt λg := λ α α γ∪β γ∪β α∪β H H H θ ˆ ˆ ˆ λ , λ := λ − λ Gγ (z) Khi (2.20) trở thành: α∪β γ = 5f (z)+ γ m X λgi 5gi (z)+ i=1 p X λhi 5hi (z)− i=1 i=1 |α| λG , α ∈R λG β ≥ 0, |γ| λH , γ ∈R λH β ≥ 0, g(z) ≤ 0, l X  G  λi 5Gi (z)+λH 5H (z) , i i λG γ = 0, (2.21) λH α = 0, ˆ g )T g(z) = λg ≥ 0, (λ Chú ý khai thác số hạng bù (2.20) chất H tập α β để nhận λG γ = λα = Từ (2.21), điểm (z, λ) với λ = (λg , λh , λG , λH ) gọi điểm dừng mạnh điểm dừng gốc - đối ngẫu z chấp nhận MPEC (2.1) (z, λ) thỏa mãn điều kiện (2.21) Chúng ta điều kiện KKT MPEC kéo theo tính dừng mạnh Điều ngược lại đúng, Mệnh đề sau Mệnh đề 2.3.1 Giả sử z ∗ điểm chấp nhận MPEC (2.1) Khi tồn tại, nhân ˆ cho (z ∗ , λ) ˆ thỏa mãn điều kiện KKT (2.20) tử Lagrange λ tồn nhân tử Lagrange λ∗ cho (z ∗ , λ∗ ) thỏa mãn điều kiện dừng mạnh (2.21) 23 23Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Chiều xuôi chứng minh thảo luận dẫn Mệnh đề Chiều ngược lại, xét điểm (z ∗ , λ∗ ) với λ∗ = (λg , λh , λG , λH ) thỏa mãn ˆ g := λg , λ ˆ h := λh , λ ˆ G := λG λ ˆ H := λH (2.21) Ta đặt λ γ∪β γ∪β α∪β α∪β Hơn nữa, ta đặt ˆ θ := max λ    H  −λG −λ i i max , max ∗ i∈α i∈γ Hi (z ) Gi (z ∗ )  ˆ θ xác định, theo định nghĩa α γ, ta có Chú ý λ ˆ θ cho ta λ ˆ G := λG +λ ˆ θ Hα (z ∗ ) ≥ Hα (z ∗ ) > Gγ (z ∗ ) > Sự lựa chọn λ α α ˆ H := λH + λ ˆ θ Gγ (z ∗ ) Do với điều kiện (2.21), ta có điểm (z ∗ , λ) ˆ λ γ γ thỏa mãn điều kiện (2.20) Từ suy điều cần chứng minh  Bởi điểm KKT tương đương với điểm dừng mạnh, từ Định lí 2.3.1 ta suy tính dừng mạnh điều kiện cần tối ưu với điều kiện GCQ Điều phát biểu định lí sau Định lí 2.3.2 Giả z ∗ điểm B-dừng MPEC (2.1) Nếu điều kiện quy GCQ z ∗ , tồn nhân tử Lagrange λ∗ cho (z ∗ , λ∗ ) dừng mạnh (Xem 2.2.1) Bây ta đưa vào điều kiện quy độc lập tuyến tính Định nghĩa 2.3.1 Giả sử z ∗ điểm chấp nhận MPEC (2.1) Khi điều kiện quy MPEC-LICQ (điều kiện quy độc lập tuyến tính) vectơ gradient 5gi (z ∗ ), ∀i ∈ Ig := {i|gi (z ∗ ) = 0}, 5hi (z ∗ ), ∀i = 1, , p, 5Gi (z ∗ ), ∀i ∈ α ∪ β, 5Hi (z ∗ ), ∀i ∈ γ ∪ β (2.22) độc lập tuyến tính 24 24Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ta MPEC-LICQ kéo theo GCQ Để làm điều đó, trước hết ta phát biểu bổ đề sau Bổ đề 2.3.1 [1] Cho nón ( K1 := K2 := d ∈ Rn | aTi d ≥ 0, ∀i = 1, , k bTj d = 0, ∀j = 1, , l     v ∈ Rn | v = k X αi + i=1    αi ≥ 0, l X βi bi )     i=1 , (2.23) (2.24)   ∀j = 1, , k  Khi K1 = K2∗ K1∗ = K2 Bây ta sử dụng bổ đề 2.3.1 để chứng minh định lí sau Định lí 2.3.3 Nếu điểm chấp nhận z ∗ MPEC (2.1) thỏa mãn MPEC-LICQ, z ∗ thỏa mãn GCQ Chứng minh Ta MPEC-LICQ kéo theo định nghĩa tương đương GCQ Hệ 2.2.1 Ta biết T (z ∗ ) ⊆ T lin (z ∗ ) Lấy đối ngẫu ta nhận T lin (z ∗ )∗ ⊆ T (z ∗ )∗ Do đó, ta cần T (z ∗ )∗ ⊆ T lin (z ∗ )∗ (2.25) Như chứng minh Mệnh đề 2.1.1, ta có [ T (z ∗ ) = TN LP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) (β1 ,β2 )∈P(β) Lấy đối ngẫu ta nhận ∗ ∗ T (z ) = \ TN LP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ )∗ (2.26) (β1 ,β2 )∈P(β) 25 25Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bởi MPEC-LICQ cho MPEC (2.1), LICQ ACQ với N LP ∗ (β1 , β2 ), tức ta có TN LP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) = TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) (2.27) với (β1 , β2 ) ∈ P(β) Do đó, ta áp dụng Bổ đề 2.3.1 cho biểu diễn (2.9) TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ), ta có TN LP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) = TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ), =     v ∈ Rn |      v=− X ugi gi (z ∗ ) − i=1 i∈Ig X +         p X ∗ uG i Gi (z ) + i∈α∪β ugIg ≥ 0,    uhi hi (z ∗ )      ∗ uH i Hi (z ),    i∈γ∪β    G H uβ2 ≥ 0, uβ1 ≥ 0 (2.28) X Lấy v ∈ T (z ∗ )∗ bất kỳ, từ (2.26) ta nhận v ∈ TN LP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ )∗ v ∈ TN LP ∗(β2 ,β1 ) (z ∗ )∗ với phân hoạch (β1 , β2 ) ∈ P(β) (β2 , β1 ) ∈ P(β) Bởi tất vectơ gradient (2.28) độc lập tuyến tính, H ugIg , uh , uG α∪β uγ∪β xác định Do đó, từ kiện: v thuộc H TN LP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ )∗ TN LP ∗(β2 ,β1 ) (z ∗ )∗ , ta suy uG β ≥ uβ ≥ Do đó, v∈     v ∈ Rn |              v=− X ugi gi (z ∗ ) − i=1 i∈Ig + X p X ∗ uG i Gi (z ) + i∈α∪β ugIg ≥ 0, Từ suy (2.25)    uhi hi (z ∗ )      =T ∗ uH i Hi (z ),    i∈γ∪β    G H uβ2 ≥ 0, uβ1 ≥ 0 X lin (z ∗ )∗  26 26Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Xét nón MPEC- tuyến tính hóa:   n ∗ T ∗   d ∈ R | g (z ) d ≤ 0, ∀i ∈ I := {i|g (z ) = 0}, i g i         ∗ T   5h (z ) d = 0, ∀i = 1, , p,   i         ∗ T  5Gi (z ) d = 0, ∀i ∈ α,       lin ∗ ∗ T TM P EC (z ) = 5Hi (z ) d = 0, ∀i ∈ γ,       ∗ T   5G (z ) d ≥ 0, ∀i ∈ β,   i         ∗ T   5H (z ) d ≥ 0, ∀i ∈ β,   i         (5Gi (z ∗ )T d).(5Hi (z ∗ )T d) = 0, ∀i ∈ β (2.29) Chú ý TMlinP EC (z ∗ ) khác với nón tuyến tính hóa T lin (z ∗ ), ta ln có T (z ∗ ) ⊆ TMlinP EC (z ∗ ) Do đó, định nghĩa MPEC-ACQ T (z ∗ ) = TMlinP EC (z ∗ ) (2.30) có ý nghĩa Ta tính A-dừng điều kiện cần tối ưu với điều kiện quy MPEC-ACQ Chú ý TMlinP EC (z ∗ ) biểu diễn sau: TMlinP EC (z ∗ ) = [ TN LP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) (2.31) (β1 ,β2 )∈P(β) Định nghĩa 2.3.2 Cho hệ tuyến tính Ax ≤ b, Cx = d, (2.32) bất đẳng thức x ≤ bi gọi khơng kì dị tồn nghiệm chấp nhận hệ (2.32) mà thỏa mãn bất đẳng thức chặt chẽ Ở kí hiệu hàng thứ i ma trận A Chúng ta áp dụng tính khơng kì dị cho nón tuyến tính hóa T lin (z ∗ ) điểm z ∗ Ta xây dựng hai tập mới: β G kí hiệu tập β bao gồm số i ∈ β cho bất đẳng thức 5Gi (z ∗ )T d ≥ khơng kì dị hệ xác địnhT lin (z ∗ ) Tương tự, kí hiệu β H tập khơng kì dị liên quan đến bất đẳng thức 5Hi (z ∗ )T d ≥ Chú ý β H β G phụ 27 27Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thuộc vào z ∗ Sử dụng tập β H β G biểu diễn T lin (z ∗ ):  d ∈ Rn | gi (z ∗ )T d ≤ 0,       5hi (z ∗ )T d = 0,       5Gi (z ∗ )T d = 0, lin ∗ T (z ) =  5Hi (z ∗ )T d = 0,       5Gi (z ∗ )T d ≥ 0,      5Hi (z ∗ )T d ≥ 0,  ∀i ∈ Ig ,     ∀i = 1, , p,     G  ∀i ∈ α ∪ β \ β , ∀i ∈ γ ∪ β \ β H ,     G  ∀i ∈ β ,     H ∀i ∈ β (2.33) Chúng ta sử dụng tập β H β G để xác định giả thiết (A2) (A2) Cho điểm chấp nhận z ∗ , tồn phân hoạch (β1GH , β2GH ) ∈ P(β G ∩ β H ) cho (A2a) với i0 ∈ β1GH tồn vectơ d cho 5Gi0 (z ∗ )T d > 0, 5Gi (z ∗ )T d = 0, ∀i ∈ α ∪ β \ {i0 }, 5Hi (z ∗ )T d = 0, ∀i ∈ γ ∪ β, 5gi (z ∗ )T d = 0, ∀i ∈ Ig , 5hi (z ∗ )T d = 0, ∀i = 1, , p; (2.34) (A2b) Với i0 ∈ β2GH , tồn vectơ d cho 5Hi0 (z ∗ )T d > 0, 5Hi (z ∗ )T d = 0, ∀i ∈ γ ∪ β \ {i0 }, 5Gi (z ∗ )T d = 0, ∀i ∈ α ∪ β, 5gi (z ∗ )T d = 0, ∀i ∈ Ig , 5hi (z ∗ )T d = 0, ∀i = 1, , p; (2.35) Cuối chứng minh định lí sau 28 28Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lí 2.3.4 Nếu điểm chấp nhận z ∗ MPEC (2.1) thỏa mãn điều kiện quy MPEC-ACQ giả thiết (A2), z ∗ thỏa mãn điều kiện quy GCQ Chứng minh Cũng chứng minh Định lí 2.3.3, ta cần chứng minh bao hàm thức: T (z ∗ )∗ ⊆ T lin (z ∗ )∗ (2.36) Bởi MPEC-ACQ đúng, ta có [ T (z ∗ ) = TMlinP EC (z ∗ ) = TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) (2.37) (β1 ,β2 )∈P(β) Tương tự (2.26), lấy đối ngẫu (2.37) ta có \ T (z ∗ )∗ = TMlinP EC (z ∗ )∗ = TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ) (2.38) (β1 ,β2 )∈P(β) Bây ta chứng minh (2.36), ta lấy điểm v ∈ T (z ∗ )∗ Do (2.38) ta có v ∈ TNlinLP ∗(β1 ,β2 ) (z ∗ ), ∀(β1 , β2 ) ∈ P(β) (2.39) βˆ1 := β \ βˆ1 (2.40) Xét phân hoạch β: βˆ1 := β H \ β2GH , Ở (β1GH , β2GH ) ∈ P(β G ∩ β H )là phân hoạch β G ∩ β H thỏa mãn giả thiết (A2) Chú ý β G \ β GH ⊆ βˆ2 Vì v ∈ TNlinLP ∗(βˆ ,βˆ ) (z ∗ ), ta áp dụng Bổ đề 2.3.1 suy tồn vectơ u = (ug , uh , uG , uH ) với ugi ≥ 0, uG i ≥ 0, ∀i ∈ Ig , ∀i ∈ βˆ2 , uH ≥ 0, i ∀i ∈ βˆ1 29 29Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn cho v=− X p X ugi 5gi (z ∗ )− i∈Ig X X ∗ ∗ uH uG uhi 5hi (z ∗ )+ i 5Hi (z ) i 5Gi (z )+ i=1 i∈γ∪β i∈α∪β (2.41) Do cách chọn tập βˆ1 i ∈ βˆ2 ta có G GH H GH uG uH i ≥ i ∈ β \ β1 i ≥ i ∈ β \ β2 Do biểu diễn (2.33) T lin (z ∗ ) sử dụng Bổ đề 2.3.1 biểu diễn T lin (z ∗ )∗ , ta cần GH GH uG uH i ≥ i ∈ β1 i ≥ i ∈ β2 (2.42) Vì chứng minh tương tự cho uG uH , ta chứng minh cho uG i , giả sử uG i0 < 0, i0 ∈ β1GH Tương ứng cho số này, cho d vectơ thỏa mãn (2.34) giả thiết (A2a) Nhân vectơ v (2.39) với d ta nhận ∗ T v T d = uG i0 (z ) d < i0 5G {z } |{z} | (2.43) >0