Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 13 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
13
Dung lượng
308,27 KB
Nội dung
CHUYÊN ĐỂ : ĐA THỨC Bài 1: TÍNH CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC A Các kiến thức cần nhớ Giả sử f(x) g(x) đa thức bậc f(x) lớn bậc g(x) Khi ln tồn đa thức q(x) r(x), thỏa mãn: f(x) = g(x) q(x) + r(x) Trong đó: Bậc r(x) nhỏ bậc g(x) Nếu r(x) ta nói f(x) chia hết cho g(x) Xét phép chia đa thức f(x) cho đa thức bậc x – a f(x) = (x-a) q(x) + r Cho x = a f(a) = r - Kết luận: Phần dư phép chia đa thức f(x) cho x – a số f(a) - Nếu f(a) = hay x = a nghiệm đa thức f(x) f(x) chia hết cho x – a - Định lý Bơ Đu: Số dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a giá trị f(x) x = a f ( x)( x a ) f (a ) 0 Ví dụ: Khơng đặt tính chia, xét xem đa thức A = x3 – 9x2 + 6x + 16 có chia hết cho x + 1; x – hay không? Lời giải: Ta có: f(-1) = suy A chia hết cho B f(3) = -20 ≠ nên A không chia hết cho C - Chú ý: +) Nếu f(x) có tổng hệ số chia hết cho x – +) Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ chia hết cho x + +) an – bn chia hết cho a – b (a -b) +) an + bn ( n lẻ) chia hết cho a + b (a -b) n n n n n n n +) a b (a b)(a a b a b ab b ) n n n n n n n +) a b (a b)(a a b a b ab b ) B Bài tập dạng toán Dạng 1: Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức ( Xét đa thức biến ) Cách 1: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có thừa số đa thức chia f ( x)g ( x) f ( x) g ( x ).h( x ) f ( x)h( x) Nếu Bài 1: Chứng minh a f ( x) 8 x x 1g ( x) ( x 1) 8n 4n 2n n c f ( x) x x 1; g ( x ) x x 99 98 b f ( x) x x x 1; g ( x) x x x x 100 20 40 20 d f ( x) x x 1; g ( x) x x 10 e f ( x) x 10 x 9; g ( x) ( x 1) Lời giải: a f ( x ) 8 x x8 8 x x8 8( x 1) 9( x8 1) 8( x 1)( x x 1) 9( x 1)( x x x 1) ( x 1)(8 x8 x x 1) Cách 1: Ta có x x x có tổng hệ số = ( x 1) f ( x)( x 1) Cách 2: ( x 1)(8 x8 x x 1) ( x 1)(8 x8 x x x x 1) ( x 1) (8 x x x 1) ( x 1)2 99 98 99 95 4 95 90 b f ( x) x x x ( x x ) ( x x x 1) ( x 1)( x x x 1) g ( x) Cách 2: Ta có ( x 1) f ( x) x100 [( x ) 20 1](x 1) ( x 1).g ( x) f ( x) g ( x) 8n 4n 4n 4n 4n 4n 2n 4n 2n 4n 2n c Ta có f ( x) x x ( x ) 2.x x ( x 1) ( x ) ( x x 1)( x x 1) 4n 2n 2n n 2n n Lại có: x x ( x x 1)( x x 1) f ( x)g ( x) 20 d Đặt t x f (t ) t t 1; g (t ) t t 2 2 Ta có: f (t ) t t t t t (t 1) (t t 1) (t t 1)(t t 1) f ( x) g ( x) f ( x ) ( x10 1) (10 x 10) ( x 1)( x x8 x 10) ( x 1)[(x 1) ( x 1)] e =(x-1) ( x x x 9) f ( x) g ( x) Cách 2: Biến đổi đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia Nếu f(x) = g(x) + h(x) + k(x), mà g ( x )q ( x ) h( x )q ( x ) f ( x)q( x) k ( x )q ( x ) Bài 2: Chứng minh 50 10 20 10 a f ( x) x x 1g ( x) x x 199 27 2 b f ( x ) x x x g ( x) x x 99 88 11 c f ( x) x x x 1; g ( x) x x x m 1 m 2 d f ( x) x x 1; g ( x) x x 1n N m 4 n 2 e f ( x) x x 1; g ( x) x x 1m.n N Lời giải: 50 10 50 20 20 10 a f ( x) x x ( x x ) ( x x 1) 50 20 20 30 20 10 20 10 20 10 Lại có: x x x ( x 1) x [(x ) 1] x ( x 1)( x x 1) f ( x)g ( x) 199 27 199 27 199 27 1998 27 b f ( x) x x x x x x x x x x x ( x x 1) x( x 1) ( x 1) g ( x ) x[(x 999 )2 1] ( x )9 g ( x) x ( x 999 1)( x 999 1) ( x )9 g ( x) f ( x ) g ( x ) x999 1 x3 1 x3 1 10 c Ta có: ( x 1).g ( x) x f ( x ) x 99 x88 x11 ( x 99 x ) ( x88 8) ( x11 x) x9 x x x9 ( x 90 1) x8 ( x 80 1) x ( x10 1) g ( x) x [(x10 )9 1] x8 [(x10 )8 1] x( x10 1) g ( x) f ( x) g ( x) x10 x10 x10 3m 1 m 2 m 1 m 2 2 d Ta có f ( x) x x ( x x) ( x x ) ( x x 1) x 3m1 x x( x3m 1) x[(x ) m 1]x3 ( x 1)( x x 1) x 3m2 x x ( x3m 1) x [(x ) m 1]x3 ( x 1)( x x 1) f ( x )g ( x) e f ( x ) x m 4 x n2 x m 4 x x n 2 x x x x [(x ) m 1] x [(x ) n 1] ( x x 1) x x6 x ( x )2 ( x 1)( x 1); x x ( x x 1)( x x 1) f ( x) g ( x) x x 1 x x 1 Cách 3: Sử dụng phép biến đổi tương đương Muốn chứng minh f(x) chia hết cho g(x) ta chứng minh f ( x) g ( x)g ( x) f ( x) g ( x)g ( x) f ( x) g ( x) 99 88 11 Bài 3: Chứng minh f ( x) x x x 1g ( x) x x x Lời giải: Ta có: f ( x) g ( x) x99 ( x 90 1) x ( x 80 1) x( x10 1) x10 x10 x10 10 Mà x ( x 1)( x x x x 1) f ( x) g ( x)g ( x) Lại có: g ( x)g ( x) f ( x)g ( x ) Cách 4: Chứng tỏ nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia - Cách áp dụng với toán mà đa thức chia dễ tìm nghiệm Bài 4: Chứng minh 10 10 a [f ( x) ( x x 1) ( x x 1) 2]g ( x) x x 2n 2n b f ( x) ( x 1) x x 1; g ( x) x( x 1)(2 x 1)n N 2n 2n * c f ( x) ( x 2) ( x 3) 1g ( x) x x 6n N 1945 d f ( x) x x x g ( x ) x x Lời giải: x 0 g ( x) 0 x x 0 x 2 , Vậy g(x) có hai nghiệm x = ; x = a f (1) 0; f (0) 0 f ( x) ( x 1); f ( x) x , mà x x -1 không chứa nhân tử chung Vậy 1 1 g ( x ) 0 x 0; 1; ; f (0) 0; f ( 1) 0; f ( ) 0 f ( x) g ( x) 2 b c g ( x) 0 x 2;3 ; f (2) f (3) 0 f ( x) g ( x) 1945 1945 d Ta có: f ( x) x x x x x ( x 1) ( x x) x x 1x x 1(1); x9 [( x3 )3 1]( x 1)x x 1(2); x1945 x x( x1944 1) x 1(conghiemx 1)(3) Từ (1)(2)(3) ta có f(x) chia hết cho g(x) CHUYÊN ĐỂ 3: ĐA THỨC Bài 2: PHẦN DƯ TRONG PHÉP CHIA ĐA THỨC A Tìm dư phép chia đa thức mà không thực phép chia Cách 1: Tách đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia cịn dư Bài 1: Tìm dư phép chia a f ( x) x x x 1; g ( x) x 27 b f ( x) x x x x; g ( x) x 41 c f ( x) x ; g ( x) x 43 d f ( x) x ; g ( x) x 100 99 e f ( x) x x x 1; g ( x) x x 100 90 10 f f ( x) x x x 1; g ( x) x x 100 99 g f ( x) x x x 1; g ( x) ( x 1)( x 1) 10 h f ( x) x x x 1; g ( x ) x x Lời giải: 5 3 2 a f ( x) ( x x ) (2 x x ) (3x 3x) (3 x 1) x ( x 1) x ( x 1) x( x 1) 3x Vậy đa thức dư là: 3x + 27 13 b f ( x) ( x x) ( x x) ( x x) x x[(x ) 1] x[(x ) 1] x( x 1) x , dư : 4x c d e f ( x ) x 41 ( x 41 x) x x[(x )10 1] x x 1 x 1 f ( x ) x 43 ( x 43 x) x x[(x ) 21 1] x x 1 , Vậy dư : x , Vậy dư : -x f ( x ) x100 x 99 x ( x100 x 99 x 98 ) ( x 1) ( x x 1)( x 98 x 95 x ) x du ( x x 1) f f ( x ) x100 x90 x10 ( x100 x) ( x90 1) ( x80 x ) ( x 70 x) ( x 60 1) ( x50 x ) ( x 40 x) ( x30 1) ( x 20 x ) ( x10 x) x x x[(x )33 1] [(x )15 1] x [(x )13 1] x[(x )33 1] 3( x x 1) x du g g(x) có 101 số hạng, nhóm số hạng nhóm, dư : f ( x ) x10 x x ( x10 x) ( x9 1) ( x8 x ) ( x x) ( x 1) ( x5 x ) ( x x) ( x3 1) x h du Bài 2: Tìm số dư phép chia Lời giải: f(x)=(x+2)(x+4)(x+60(x+8)+2008;g(x)=x 10 21 f(x)=(x+2)(x+4)(x+60(x+8)+2008 ( x 10 16)( x 10 x 24) 2008 t x 10 x 21(t 3; t 7) P (t ) t 2t 1993 du Đặt Cách 2: Xét giá trị riêng ( phép chia ảo ) Bài 3: Tìm số dư f(x) cho g(x), biết a f ( x) x x x 1; g ( x) x 10 b f ( x) x x x 1; g ( x) x x 2 c f ( x) ( x 1)( x 3)( x 5)( x 7) 1999; g ( x) x x 12 Lời giải: a Gọi thương phép chia q(x) dư là: ax + b , ta có” x x5 x ( x 1).q ( x ) ax+bx Vì đẳng thức với x nên ta chọn x = x = -1, được: x 1 a b x a b a 3 du : x b 1 b Ta có : g ( x) x x ( x 1)( x 2) Thực phép chia f(x) cho g(x) ta được: f ( x ) ( x 1)( x 2).q ( x ) ax+b x a b x 2047 a b Cho a 682 du : 682 x 683 b 683 c Cách 1: f ( x) ( x 1)( x 7)( x 3)( x 5) 1999 x 16 x 86 x 176 x 2014 ( x 2)( x 6).q( x) ax+b x 1984 b 2a a 0 du :1984 Cho x 1984 b 6a b 1984 Cách 2: Đặt t x x f (t ) t (t 8) 1999 (t 8t 15) 1984 (t 3)(t 5) 1984 du Bài 4: Tìm đa thức f(x) biết : a f(x) chia cho x – dư 7, chia cho x – dư 5, chia cho (x-2)(x-3) thương 3x dư b f(x) chia cho x – dư 5, chia cho x – dư 7, chia cho (x-2)(x-3) thương x2 - dư c f(x) chia cho x + dư -5, chia cho x – dư 5, chia cho x2 + x - thương x2 + cịn dư Lời giải: a f ( x ) ( x 3).g ( x) 7(1); f ( x) ( x 2).h( x ) 5(2); f ( x) ( x 2)( x 3) ax+b(3) (2) f (2) 5 2a b 5(*) (3) f (2) a b Cho x = (2) f (3) 7 3a b 7(**).Tu : (*)(**) a 2; b 1 f ( x) (3) f (3) a b Cho x = b f ( x) x x x x 2 c f ( x) ( x x 6)( x 2) ax+b=(x+3)(x-2)(x 2) ax+b Cho x = 2, f (2) 2a b 5; f ( 3) 3a b a 2; b 1 f ( x) x x x x 11 Bài 5: Giả sử đa thức f(x) chia x – dư 11, chia x2 – x + dư 3x + Tìm phần dư chi f(x) cho g(x) = x3 – 3x2 + 3x -2 Lời giải: g(x) = x3 – 3x2 + 3x -2 = ( x – )( x2 – x + 1); 2 Thực phép chia f(x) cho g(x) ta được: f ( x) ( x 2)( x x 1) ax bx c f ( x) ( x 2).h( x) 11 Cho x = f (2) 4a 2b c 11(1) f ( x) ( x 2)( x x 1) a( x x 1) ( a b) x c a ( x a)( x x 1) (a b) x c a du 3 x c a 2(2) Tu (1)(2)(3) ( a; b; c) (1; 2;3) du : x x a b 3(3) Mặt khác: Bài 6: Giả sử f(x) chia cho x + dư chia cho x2 + dư 2x + Tìm phần dư phép chia f(x) cho ( x + )( x2 + 1) Lời giải: f ( x) ( x 2)( x 1) ax bx c +) f ( 2) 4 4a 2b c 4(1) b 2(2) f ( x ) ( x 2)( x 1) a(x 1) bx a (a, b, c ) (1, 2, 4) du : x x c c a 3(3) du +) BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Chứng minh n 2 n 1 a x 2.x 1( x 1) n N n 2 n2 b ( x 1) ( x 1) x 1n N Bài 2: Chứng minh đa thức 95 94 31 30 a f ( x) x x x x 1g ( x) x x x x 124 123 24 23 b f ( x) x x x x 1g ( x) x x x x 19 18 Bài 3: Chứng minh f ( x) x x x 1g ( x) ( x 1)( x 1) 24 18 12 Bài 4: Chứng minh f ( x) x x x x 1g ( x) x x x x Lời giải: n 2 n 1 n 1 Bài 1: x 2.x ( x 1) n 1 n 1 2 Lại có: x 1( x 1) ( x 1) ( x 1) 96 32 32 Bài 2: Ta có ( x 1) f ( x) x [(x ) 1]( x 1) ( x 1).g ( x) f ( x) q( x) 19 16 3 16 12 Bài 3: f ( x) ( x x ) ( x 1) ( x 1)( x x x x 1) ( x 1)( x 1) 20 15 10 Bài 4: f ( x) x ( x 1) x ( x 1) x ( x 1) x( x 1) g ( x) x ([(x )4 1] x 3[(x )3 1] x [(x ) 1] x( x 1) g ( x ) x5 x5 x5 x5 80 70 20 10 Bài 5: Chứng minh f ( x) x x 1g ( x) x x Lời giải: 10 Đặt t x f (t ) t t 1; g (t ) t t f (t ) (t t ) (t t ) t t t [(t ) 1] t[(t ) 1] (t t 1) t t 10 Bài 6: Tìm số a để đa thức f ( x) x ax 3x 2x Lời giải: Ta có f ( x )x f ( 2) 0 1024 4a 0 a 255 CHUYÊN ĐỂ 3: ĐA THỨC Bài 3: DÙNG PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG ĐỂ TÌM HỆ SỐ CỦA MỘT ĐA THỨC A Kiến thức cần nhớ Giả sử f(x) g(x) đa thức bậc f(x) lớn bậc g(x) Khi tồn đa thức q(x) r(x), thỏa mãn: f(x) = g(x) q(x) + r(x) Trong đó: Bậc r(x) nhỏ bậc g(x) Nếu r(x) ta nói f(x) chia hết cho g(x) Xét phép chia đa thức f(x) cho đa thức bậc x – a f(x) = (x-a) q(x) + r Cho x = a f(a) = r - Kết luận: Phần dư phép chia đa thức f(x) cho x – a số f(a) - Nếu f(a) = hay x = a nghiệm đa thức f(x) f(x) chia hết cho x – a - Định lý Bơ Đu: Số dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a giá trị f(x) x = a f ( x)( x a ) f (a ) 0 Bài 1: Xác định số a, b, c cho a f ( x) ax bx x 50g ( x) ( x 5)( x 2) b f ( x) x ax bx c chia cho x – dư 9, chia cho x2 – dư 2x - 2 c f ( x) 2 x 3x +5x ax bg ( x) x x 3 d f ( x) ax bx c ( x 2) chia x2 – dư x + e f ( x) x ax bx c chia hết cho x – chia x2 – a dư 2x Lời giải: a Gọi q(x) thương phép chia f(x) cho g(x) Ta có: ax bx x 50 ( x 5)( x 2).q( x) Xét giá trị riêng x = -5 ; x = , ta được: x 12a 25b 75 x 2 8a 4b 40 a 1 b 8 b f ( x) ( x 1).q( x) x x 1 a b c 0(1) Cho x a b c 4(2) Mặt khác: f(x) chia cho x - dư f (2) 9 4a 2b c 7(3) Từ (1)(2)(3) (a, b, c) ( 3, 2,1) c f ( x ) ( x 1)( x 2).q ( x) a 1; b 3 d Ta có f ( x) ( x 2) p( x) f ( 2) 0 8a 4b c 0(1) f (1) a b c 6(2) f ( x ) ( x 1)( x 1).q ( x) x (1)(2)(3) (a, b, c) (1,1, 4) f ( 1) a b c 4(3) e ( a, b, c ) ( 10 10 ;1; ) 3 10 Bài 2: Đa thức P(x) có bậc 4, có hệ số bậc cao Biết P(1) = 0, P(3) = 0; P(5) = Tính Q = P(-2) + 7.P(6) Lờ giải: Ta có P(x) chia hết cho x – 1: x – ; x – bậc P(x) nên P(x) có dạng: P( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x a) P( 2) p(6) ( 3)( 5)( 7)( a) 7.5.3.1( a 6) 105( a 2) 105( a 6) 840 Bài 3: [GVG Tỉnh – Bắc Ninh : 09/12/2016 ] Tìm đa thức f(x), biết f(x) chia cho x – dư 5, f(x) chia cho x – dư 7, chia cho (9x-2)(x-3) thương x2 – đa thức dư bậc x Lời giải: Gọi dư phép chia f(x) cho (x-2)(x-3) ax + b Ta có: f ( x) ( x 2)( x 3)( x 1) ax+b f (2) 5 2a b 5 a 2 f (3) a b b 1 Theo ta có: Bài 4: Tìm f(x), biết f(x) chia cho x – x – dư f(x) chia cho x2 – 4x + thương x + dư Lời giải: f(x) chia cho x – dư f ( x) ( x 1).g ( x) 2(1) f(x) chia cho x – dư f ( x) ( x 3).h( x ) 2(2) f(x) chia cho x2 – 4x + x + dư f ( x) ( x x 3)( x 1) ax+b(3) Từ (1), cho x = a b 2(4) Từ (2)(3) cho x = 3a b 2(5) Từ (4)(5) a 0; b 2 f ( x) ( x x 3)( x 1) 11 Bài 4: ĐẶT PHÉP CHIA ĐỂ TÌM HỆ SỐ 2 2 Bài 1: Tìm a, b cho f ( x) x x y x y axy by g ( x ) x xy y Lời giải: 2 Đặt phép chia f ( x) g ( x).( x xy y ) (a 7) xy (b 6) y a 0 a 7 b b Để phép chia hết dư phải Bài 2: Với giá trị a, b đa thức ax4 + bx3 + chia hết cho (x-1)2 Lời giải: 2 Ta có: ax bx ( x 1) [ax (b 2a) x 3a 2b] ( b 2a 6a 4b).x 3a 2b b 2a 6a 4b 0 a 3 b Để phép chia hết dư phải 3a 2b 0 12 2 3 Bài 3: Tìm số a, b cho : 3x 3x y x y 3x y axy by 3x xy y Lời giải: Thực phép chia ta thương: x2 – xy + y2 dư: -(a-5)xy4 – (b+2)y5 (a 5) 0 Để phép chia hết dư phải b 0 a 5 b Bài 4*: Tìm số a, b, c cho: x 81ax bx c Lời giải: 4 2 2 2 Ta có: x (2 x ) (6 x) (2 x x 9)(2 x x 9) Chia hết cho a b c 0(k 0) ax bx c k (2 x x 9)(k 0) a 2k ; b 6k ; c 9k ax bx c a h ; b h ; c h ax bx c h (2 x x 9)( h 0) a b c 0(h 0) 2 Bài 5: Tìm số nguyên a, b cho f ( x) x x ax+bg(x)=x 3x Lời giải: a 4 f ( x ) g ( x ).( x 1) (a 3) x b b 13