THÔNG TIN TÀI LIỆU
11 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỂ 7: ĐA THỨC Bài 1: TÍNH CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC A Các kiến thức cần nhớ Giả sử f(x) g(x) đa thức bậc f(x) lớn bậc g(x) Khi ln tồn đa thức q(x) r(x), thỏa mãn: f(x) = g(x) q(x) + r(x) Trong đó: Bậc r(x) nhỏ bậc g(x) Nếu r(x) ta nói f(x) chia hết cho g(x) Xét phép chia đa thức f(x) cho đa thức bậc x – a f(x) = (x-a) q(x) + r Cho x = a f(a) = r - Kết luận: Phần dư phép chia đa thức f(x) cho x – a số f(a) - Nếu f(a) = hay x = a nghiệm đa thức f(x) f(x) chia hết cho x – a - Định lý Bơ Du: Số dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a giá trị f(x) x = a f ( x)( x a ) f (a ) 0 Ví dụ: Khơng đặt tính chia, xét xem đa thức A = x3 – 9x2 + 6x + 16 có chia hết cho x + 1; x – hay khơng? Lời giải Ta có: f(-1) = suy A chia hết cho B f(3) = -20 ≠ nên A không chia hết cho C - Chú ý: +) Nếu f(x) có tổng hệ số chia hết cho x – +) Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ chia hết cho x + +) an – bn chia hết cho a – b (a -b) +) an + bn ( n lẻ) chia hết cho a + b (a -b) n n n n n n n +) a b (a b)(a a b a b ab b ) n n n n n n n +) a b (a b)(a a b a b ab b ) B Bài tập dạng toán Dạng 1: Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức (Xét đa thức biến) Cách 1: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có thừa số đa thức chia Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com f ( x)g ( x) f ( x) g ( x ).h( x) f ( x)h( x) Nếu Bài 1: Chứng minh a f ( x) 8 x x 1g ( x) ( x 1) 99 98 b f ( x ) x x x 1; g ( x ) x x x x 8n 4n 2n n c f ( x ) x x 1; g ( x ) x x 100 20 40 20 d f ( x ) x x 1; g ( x ) x x 10 e f ( x ) x 10 x 9; g ( x) ( x 1) Lời giải: a Ta có: f ( x ) 8 x x8 8 x x 8( x9 1) 9( x8 1) 8( x 1)( x8 x 1) 9( x 1)( x x x 1) ( x 1)(8 x8 x x 1) Cách 1: Ta có x x x có tổng hệ số = ( x 1) f ( x)( x 1) Cách 2: Ta có: f ( x ) 8 x x8 ( x 1)(8x x x 1) ( x 1)(8 x8 x x x x 1) ( x 1) (8 x x x 1) ( x 1) b Ta có: f ( x ) x 99 x 98 x ( x 99 x 95 ) ( x x x 1) ( x 1)( x 95 x 90 x 1) g ( x) Cách 2: Ta có ( x 1) f ( x) x100 [( x ) 20 1](x 1) ( x 1).g ( x) f ( x) g ( x) c Ta có f ( x) x8 n x n ( x n ) 2.x n x n ( x n 1) ( x n ) ( x n x n 1)( x n x n 1) 4n 2n 2n n 2n n Lại có: x x ( x x 1)( x x 1) f ( x) g ( x) 20 d Đặt t x f (t ) t t 1; g (t ) t t 2 2 Ta có: f (t ) t t t t t (t 1) (t t 1) (t t 1)(t t 1) f ( x) g ( x) e.Ta có: f ( x ) ( x10 1) (10 x 10) ( x 1)( x x8 x 10) ( x 1)[(x 1) ( x 1)] =(x-1) ( x8 x x 9) f ( x) g ( x) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com Cách 2: Biến đổi đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia Nếu f(x) = g(x) + h(x) + k(x), mà g ( x )q ( x ) h( x )q ( x ) f ( x )q ( x ) k ( x )q ( x ) Bài 2: Chứng minh 50 10 20 10 a f ( x ) x x 1g ( x) x x 199 27 2 b f ( x ) x x x g ( x ) x x 99 88 11 c f ( x ) x x x 1; g ( x ) x x x 3m 1 x 3m2 1; g ( x) x x d f ( x ) x n N m 4 x n 2 1; g ( x ) x x e f ( x ) x m.n N Lời giải 50 10 50 20 20 10 a f ( x ) x x ( x x ) ( x x 1) 50 20 20 30 20 10 20 10 20 10 Lại có: x x x ( x 1) x [(x ) 1] x ( x 1)( x x 1) f ( x) g ( x) b Ta có: f ( x ) x199 x 27 x x199 x x 27 x x x199 x x 27 ( x x 1) x( x1998 1) ( x 27 1) g ( x) x[(x 999 ) 1] ( x3 )9 g ( x) x( x 999 1)( x 999 1) ( x3 )9 g ( x) f ( x) g ( x) x999 1 x3 1 x3 1 10 c Ta có: ( x 1).g ( x) x f ( x ) x 99 x88 x11 ( x 99 x ) ( x88 8) ( x11 x) x9 x x x9 ( x90 1) x8 ( x80 1) x( x10 1) g ( x) x9 [(x10 )9 1] x8 [(x10 )8 1] x( x10 1) g ( x) f ( x) g ( x) x10 x10 x10 m 1 x 3m 2 ( x3 m 1 x) ( x 3m 2 x ) ( x x 1) d Ta có f ( x) x x 3m1 x x( x3m 1) x[(x ) m 1]x3 ( x 1)( x x 1) x 3m2 x x ( x3m 1) x [(x ) m 1]x3 ( x 1)( x x 1) f ( x ) g ( x) e Ta có: f ( x) x m 4 x n2 x m 4 x x n 2 x x x x [(x ) m 1] x [(x ) n 1] ( x x 1) x Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: x6 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com x ( x3 ) ( x 1)( x3 1); x x ( x x 1)( x x 1) f ( x) g ( x) x x 1 x2 x 1 Cách 3: Sử dụng phép biến đổi tương đương Muốn chứng minh f(x) chia hết cho g(x) ta chứng minh f ( x) g ( x)g ( x) f ( x) g ( x)g ( x) f ( x) g ( x) 99 88 11 Bài 3: Chứng minh f ( x) x x x 1g ( x) x x x Lời giải f ( x) g ( x) x99 ( x 90 1) x ( x 80 1) x( x10 1) x10 Ta có: x10 x10 10 Mà x ( x 1)( x x x x 1) f ( x) g ( x) g ( x) Lại có: g ( x) g ( x) f ( x)g ( x) Cách 4: Chứng tỏ nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia - Cách áp dụng với toán mà đa thức chia dễ tìm nghiệm Bài 4: Chứng minh 10 10 a [f ( x) ( x x 1) ( x x 1) 2]g ( x) x x 2n 2n b f ( x) ( x 1) x x 1; g ( x ) x( x 1)(2 x 1) n N 2n 2n c f ( x) ( x 2) ( x 3) 1g ( x) x x n N * 1945 d f ( x) x x x g ( x ) x x Lời giải x 0 g ( x) 0 x x 0 x 2 , Vậy g(x) có hai nghiệm x = ; x = a f (1) 0; f (0) 0 f ( x) ( x 1); f ( x) x , mà x x -1 không chứa nhân tử chung 10 10 Vậy [f ( x) ( x x 1) ( x x 1) 2]g ( x) x x 1 g ( x ) 0 x 0; 1; ; f (0) 0; f ( 1) 0; f 2 b c 1 0 f ( x) g ( x) 2 g ( x ) 0 x 2;3 ; f (2) f (3) 0 f ( x) g ( x) 1945 1945 d Ta có: f ( x ) x x x x x ( x 1) ( x x) x x 1x x (1); x9 [( x3 )3 1]( x3 1) x x (2); x1945 x x( x1944 1) x3 1 Từ (1), (2), (3) ta có f(x) chia hết cho g(x) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC (3) 11 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỂ 3: ĐA THỨC Bài 2: PHẦN DƯ TRONG PHÉP CHIA ĐA THỨC A Tìm dư phép chia đa thức mà không thực phép chia Cách 1: Tách đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia dư Bài 1: Tìm dư phép chia a f ( x) x x x 1; g ( x) x 27 b f ( x ) x x x x; g ( x) x 41 c f ( x ) x ; g ( x ) x 43 d f ( x ) x ; g ( x ) x 100 99 e f ( x ) x x x 1; g ( x) x x 100 90 10 f f ( x ) x x x 1; g ( x) x x 100 99 g f ( x ) x x x 1; g ( x) ( x 1)( x 1) 10 h f ( x ) x x x 1; g ( x ) x x Lời giải: 5 3 2 a f ( x ) ( x x ) (2 x x ) (3 x 3x) (3 x 1) x ( x 1) x ( x 1) x( x 1) x Vậy đa thức dư là: 3x + 27 13 b f ( x) ( x x) ( x x) ( x x ) x x[(x ) 1] x[(x ) 1] x( x 1) x , dư : 4x f ( x) x 41 ( x 41 x) x x[(x )10 1] x x 1 x 1 c , Vậy dư : x f ( x ) x 43 ( x 43 x ) x x[(x ) 21 1] x x 1 d e , Vậy dư : -x f ( x ) x100 x 99 x ( x100 x 99 x 98 ) ( x 1) ( x x 1)( x 98 x 95 x ) x du ( x x 1) f.Ta có: f ( x ) x100 x 90 x10 ( x100 x) ( x 90 1) ( x80 x ) ( x 70 x) ( x 60 1) ( x 50 x ) ( x 40 x) ( x 30 1) ( x 20 x ) ( x10 x) x x x[(x )33 1] [(x )15 1] x [(x )13 1] x[(x )33 1] 3( x x 1) x 1 du Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com g g(x) có 101 số hạng, nhóm số hạng nhóm, dư : h Ta có: f ( x ) x10 x x ( x10 x) ( x9 1) ( x8 x ) ( x x) ( x 1) ( x5 x ) ( x x) ( x3 1) x du Bài 2: Tìm số dư phép chia f ( x ) x x x x 2008; g x x 10 x 21 Lời giải: Ta có: f ( x ) x x x x 2008 x `10 x 16 x 10 x 24 2008 t x 10 x 21 (t 3; t 7) P(t ) t 2t 1993 du Đặt Cách 2: Xét giá trị riêng ( phép chia ảo ) Bài 3: Tìm số dư f(x) cho g(x), biết a f ( x) x x x 1; g ( x) x 10 b f ( x) x x x 1; g ( x) x x 2 c f ( x ) ( x 1)( x 3)( x 5)( x 7) 1999; g ( x) x x 12 Lời giải a Gọi thương phép chia q(x) dư là: ax + b , ta có: x x x ( x 1).q ( x) ax+b x Vì đẳng thức với x nên ta chọn x = x = -1, được: x 1 a b x a b a 3 du : x b 1 b Ta có : g ( x) x x ( x 1)( x 2) Thực phép chia f(x) cho g(x) ta được: f ( x ) ( x 1)( x 2).q ( x) ax+b x a b x 2047 a b Cho Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word a 682 du : 682 x 683 b 683 toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com c Cách 1: f ( x ) ( x 1)( x 7)( x 3)( x 5) 1999 x 16 x 86 x 176 x 2014 ( x 2)( x 6).q( x) ax+b x 1984 b 2a a 0 du :1984 x 1984 b a b 1984 Cho Cách 2: Đặt t x x f (t ) t (t 8) 1999 (t 8t 15) 1984 (t 3)(t 5) 1984 du Bài 4: Tìm đa thức f(x) biết : a f(x) chia cho x – dư 7, chia cho x – dư 5, chia cho (x-2)(x-3) thương 3x cịn dư b f(x) chia cho x – dư 5, chia cho x – dư 7, chia cho (x-2)(x-3) thương x2 - dư c f(x) chia cho x + dư -5, chia cho x – dư 5, chia cho x2 + x - thương x2 + dư Lời giải a.Ta có: f ( x ) ( x 3).g ( x) (1); f ( x ) ( x 2).h( x) (2); f ( x ) ( x 2)( x 3) ax+b (3) (2) f (2) 5 2a b 5 (3) f (2) a b Cho x = (*) (2) f (3) 7 3a b 7 (3) f (3) a b Cho x = (**) Từ (*) (**) suy ra: a = b = suy f ( x ) ( x 2)( x 3) 2x+1 b f ( x ) x x x x 2 c f ( x ) ( x x 6)( x 2) ax + b = (x + 3)(x - 2)(x 2) ax + b Cho x = 2, f (2) 2a b 5; f ( 3) 3a b a 2; b 1 f ( x) x x x x 11 Bài 5: Giả sử đa thức f(x) chia x – dư 11, chia x2 – x + dư 3x + Tìm phần dư chi f(x) cho g(x) = x3 – 3x2 + 3x -2 Lời giải g(x) = x3 – 3x2 + 3x -2 = ( x – )( x2 – x + 1); 2 Thực phép chia f(x) cho g(x) ta được: f ( x ) ( x 2)( x x 1) ax bx c Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com f ( x) ( x 2).h( x ) 11 Cho x = f (2) 4a 2b c 11 (1) Mặt khác: f ( x) ( x 2)( x x 1) a( x x 1) ( a b) x c a ( x a)( x x 1) (a b) x c a du 3 x c a 2 a b 3 (2) (3) Từ (1), (2) (3) suy (a, b, c) = (1; 2; 3) Do phần dư x2 + 2x + Bài 6: Giả sử f(x) chia cho x + dư chia cho x2 + dư 2x + Tìm phần dư phép chia f(x) cho ( x + )( x2 + 1) Lời giải Ta có: f ( x) ( x 2)( x 1) ax bx c +) f ( 2) 4 4a 2b c 4(1) b 2(2) f ( x ) ( x 2)( x 1) a(x 1) bx a (a, b, c ) (1, 2, 4) du : x x c c a 3(3) du +) Do phần dư x2 + 2x + BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Chứng minh n 2 2.x n 1 1( x 1) n N a x n 2 ( x 1) n 2 x 1n N b ( x 1) Bài 2: Chứng minh đa thức 95 94 31 30 a f ( x) x x x x 1g ( x) x x x x 124 123 24 23 b f ( x ) x x x x 1g ( x ) x x x x 19 18 Bài 3: Chứng minh f ( x ) x x x 1g ( x ) ( x 1)( x 1) 24 18 12 Bài 4: Chứng minh f ( x ) x x x x 1g ( x) x x x x Lời giải n 2 2.x n 1 ( x n 1 1) Bài 1: x n 1 1( x 1) ( x n 1 1) ( x 1) Lại có: x 96 32 32 Bài 2: Ta có ( x 1) f ( x) x [(x ) 1]( x 1) ( x 1).g ( x) f ( x) q( x) 19 16 3 16 12 Bài 3: f ( x ) ( x x ) ( x 1) ( x 1)( x x x x 1) ( x 1)( x 1) 20 15 10 Bài 4: f ( x ) x ( x 1) x ( x 1) x ( x 1) x( x 1) g ( x) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com x ([(x ) 1] x3[(x )3 1] x [(x ) 1] x( x 1) g ( x) x5 x5 x5 x5 80 70 20 10 Bài 5: Chứng minh f ( x ) x x 1g ( x) x x Lời giải 10 Đặt t x f (t ) t t 1; g (t ) t t f (t ) (t t ) (t t ) t t t [(t ) 1] t[(t ) 1] (t t 1) t t 10 Bài 6: Tìm số a để đa thức f ( x ) x ax 3x 2x Lời giải Ta có f ( x )x f ( 2) 0 1024 4a 0 a 255 CHUYÊN ĐỂ 3: ĐA THỨC Bài 3: DÙNG PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG ĐỂ TÌM HỆ SỐ CỦA MỘT ĐA THỨC A Kiến thức cần nhớ Giả sử f(x) g(x) đa thức bậc f(x) lớn bậc g(x) Khi ln tồn đa thức q(x) r(x), thỏa mãn: f(x) = g(x) q(x) + r(x) Trong đó: Bậc r(x) nhỏ bậc g(x) Nếu r(x) ta nói f(x) chia hết cho g(x) Xét phép chia đa thức f(x) cho đa thức bậc x – a f(x) = (x-a) q(x) + r Cho x = a f(a) = r - Kết luận: Phần dư phép chia đa thức f(x) cho x – a số f(a) - Nếu f(a) = hay x = a nghiệm đa thức f(x) f(x) chia hết cho x – a - Định lý Bơ Du: Số dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a giá trị f(x) x = a f ( x)( x a) f (a) 0 Bài 1: Xác định số a, b, c cho a f ( x) ax bx x 50g ( x) ( x 5)( x 2) b f ( x) x ax bx c chia cho x – dư 9, chia cho x2 – dư 2x - 2 c f ( x) 2 x 3x +5x ax bg ( x ) x x 3 d f ( x) ax bx c ( x 2) chia x2 – dư x + Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com e f ( x) x ax bx c chia hết cho x – chia x2 – a dư 2x Lời giải a Gọi q(x) thương phép chia f(x) cho g(x) Ta có: ax bx x 50 ( x 5)( x 2).q( x) Xét giá trị riêng x = -5 ; x = , ta được: x 12a 25b 75 x 2 8a 4b 40 a 1 b 8 b f ( x ) ( x 1).q ( x) x x 1 a b c 0 Cho x a b c (1) (2) Mặt khác: f(x) chia cho x - dư f (2) 9 4a 2b c (3) Từ (1), (2) (3) (a, b, c ) ( 3, 2,1) c Ta có: f ( x) ( x 1)( x 2).q ( x) a 1; b 3 d Ta có f ( x) ( x 2) p( x) f ( 2) 0 8a 4b c 0 (1) f (1) a b c 6 (2) f ( x ) ( x 1)( x 1).q ( x) x f ( 1) a b c 4 (3) (1)(2)(3) (a, b, c) (1,1, 4) 10 10 (a, b, c) ;1; 3 e Bài 2: Đa thức P(x) có bậc 4, có hệ số bậc cao Biết P(1) = 0, P(3) = 0; P(5) = Tính Q = P(-2) + 7.P(6) Lời giải Ta có P(x) chia hết cho x – 1: x – ; x – bậc P(x) nên P(x) có dạng: P( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x a) P( 2) p (6) ( 3)( 5)( 7)( a) 7.5.3.1( a 6) 105( a 2) 105( a 6) 840 Bài 3: [GVG Tỉnh – Bắc Ninh : 09/12/2016 ] Tìm đa thức f(x), biết f(x) chia cho x – dư 5, f(x) chia cho x – dư 7, chia cho (9x-2)(x-3) thương x2 – đa thức dư bậc x Lời giải Gọi dư phép chia f(x) cho (x-2)(x-3) ax + b Ta có: f ( x ) ( x 2)( x 3)( x 1) ax+b Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com f (2) 5 2a b 5 f (3) a b Theo ta có: a 2 b 1 Bài 4: Tìm f(x), biết f(x) chia cho x – x – dư f(x) chia cho x2 – 4x + thương x + dư Lời giải f(x) chia cho x – dư f ( x) ( x 1).g ( x) 2(1) f(x) chia cho x – dư f ( x) ( x 3).h( x) 2(2) f(x) chia cho x2 – 4x + x + dư f ( x) ( x x 3)( x 1) ax+b(3) Từ (1), cho x = a b 2(4) Từ (2)(3) cho x = 3a b 2(5) Từ (4)(5) a 0; b 2 f ( x ) ( x x 3)( x 1) Bài 4: ĐẶT PHÉP CHIA ĐỂ TÌM HỆ SỐ 2 2 Bài 1: Tìm a, b cho f ( x ) x x y x y axy by g ( x ) x xy y Lời giải 2 Đặt phép chia f ( x) g ( x).( x xy y ) (a 7) xy (b 6) y a 0 a 7 b b Để phép chia hết dư phải Bài 2: Với giá trị a, b đa thức ax4 + bx3 + chia hết cho (x -1)2 Lời giải 2 Ta có: ax bx ( x 1) [ax (b 2a) x 3a 2b] ( b 2a 6a 4b).x 3a 2b b 2a 6a 4b 0 a b Để phép chia hết dư phải a 3 b 2 3 Bài 3: Tìm số a, b cho : 3x x y x y x y axy by 3 x xy y Lời giải Thực phép chia ta thương: x2 – xy + y2 dư: -(a-5)xy4 – (b+2)y5 (a 5) 0 a 5 b 0 b Để phép chia hết dư phải Bài 4*: Tìm số a, b, c cho: x 81ax bx c Lời giải 4 2 2 2 Ta có: x (2 x ) (6 x) (2 x x 9)(2 x x 9) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com ax bx c k (2 x x 9) (k 0) ax bx c 2 ax bx c h(2 x x 9) (h 0) Chia hết cho a b c 0 ( k 0) a 2k ; b 6k ; c 9k a 2h; b 6h; c 9h a b c 0 (h 0) Bài 5: Tìm số nguyên a, b cho f ( x) x x ax+bg(x) = x 3x Lời giải a 4 f ( x ) g ( x ).( x 1) (a 3) x b b Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC
Ngày đăng: 17/10/2023, 14:23
Xem thêm: