Cđ 9 phương trình nghiệm nguyên

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Dạng 1: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT a  a  1 k Phương pháp: “ Biến đổi PT có vế tích hai số nguyên liên tiếp, vế lại số phương ” 2 Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: x  x  y 0 HD:  x 0  x  x  1  y =>  x  0 2 2 Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: x  y  3xy x y HD:  x  y  x y  xy xy  xy  1 2 Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: x  y  x  y 1 HD: x  x  y  y    y  1  x  x  1 2 2 Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: x  xy  y x y HD:  xy 0   2  x  y  x y  xy xy  xy  1  xy  0 Dạng 2: SỬ DỤNG LÝ THUYẾT PHẦN NGUYÊN x 10  y z Bài 1: Tìm x, y z tự nhiên cho: (*) HD:  10   7 x   y    y   2  z 3 z   thay vào (*) ta :  3 Từ(*) ta thấy : * 31  xyzt  xy  xt  zt  1 40  yzt  y  t  Bài 2: Tìm x , y, z, t  N thỏa mãn: HD: xyzt  xy  xt  zt  40 zt  40    x   yzt  y  t 31 yzt  y  t 31 Từ (*) (1) (*)  40  yzt  y  t 31 t 31  x   1   y   zt   31  Từ (1) , Thay x 1 vào (1) ta suy : zt   31  zt  9  y   3   z     t (3) Từ (2) thay y 3 vào (2) ta : t Từ (3)  z 2, t 4 (2) Dạng 3: ĐƯA VỀ TỔNG CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG Phương pháp: Biến đổi PT thành tổng số phương, vế lại số k 2 Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: x  y  xy  y  0 HD: 2  x  y    y  1 9 02  32 2 Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: x  y  x  y 8 HD:  x2  x 1   y  y 1 34 Nhân với ta được: 2 Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: x  xy  y 169 HD:  x 2 y   y 169 2 Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: x  y  y  xy  0 HD: 2  x  y    y  1 4 2 Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: x  13 y  xy 100 HD:  x  y   y 100 Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên: x  y  x y 64 HD: t   t  y  64 đặt x t 1 x   y  4 x y Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: 2      4  x    y  x  y   Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: x  1  x  y  4 x y 2 x  x y  x  y 4 x y   x  y   x  y  1 0 2 Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên:: x  y  xy  y  x  0 HD :  x2  xy  y   x  y  x  0 =>  x  y    x  y   4x  x  0 2 x  y  1   x   0  => 2 Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên: x  y  x  y  0 HD: x  x  1   y  y  1 0 2 Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên: x  y  z  xy  xz  yz  y  10 z  34 0 HD:  x   x  y  z   y  yz  z  y  y  z  10 z  34 0       x  x  y    y  y     z  10 z  25 0 => 2  2 Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên: x  y  x  y 8 HD: 1   17 2   x  x     y  y      x  1   y  1 34 4  4  2 Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên: m  n 9m  13n  20 HD:  4m2  36m  81   4n2  52n 169  170 Nhân 2 Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên: x  xy  13 y 100 HD: ( x  y) 4(25  y ) , mà y 25, y số phương nên =>y 2 Bài 15: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  xy  y  16 0 HD : 2 Ta có phương trình trở thành : x  xy  y  16 0 x  xy  y  y 16   x  y   y 16  x  2y  Z => , Vì x,y số nguyên nên x  y   y 16 0  16 16  =>  2 Bài 16: Tìm số nguyên x, y, z thỏa mãn: x  y  z  xy  3y  z  HD: Vì x, y,z số nguyên nên:  y y x  y  z  xy  3y  2z    x      2  2 2     z  1 0  2 Bài 17: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn bất phương trình: 10 x  20 y  24 xy  x  24 y  51  2 HD:  3x  y  2   x  4   y  6   3x  y 0, x  0, y  0 2 Bài 18: Tìm nghiệm nguyên phương trình : x  y  x  y  18 HD : x  29 x  30 y 10 Bài 19: CMR: phương trình sau khơng có nghiệm ngun: HD : y  x  1 1567  x Bài 20: Tìm số x,y nguyên dương thỏa mãn: HD: Bài 21: Tìm số nguyên x, y biết: x  xy  3x  y  0 Biến đổi: HD: 2 Bài 22: Tìm x, y thỏa mãn : x  y  xy  x  32 y  46 0 HD: Dạng 4: SỬ DỤNG DENTA CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 2 Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên : x  y  xy  y  0 HD : 2 Ta có :  x  yx  y  y  0 Có  '  y   y  y    y  y  , Để phương trình có nghiệm : 1 3   ' 0   y       y      y 1 2 2  x    y  x  y  y  0 Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD :  ' 0  y   y 0  x  1, x  2 Có  ' 1  4y , để phương trình có nghiệm 2 Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên : x  y  xy  x  y  0 HD : Xét :  y x    y 0   x    x   0  x  2 Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên : 3x  y  x  y  0 HD :   x  x    y  y  4 x   y   x  y  0 Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Theo vi- ét ta có :  x1  x2  y    x1    x2   2 1.2   1      x1.x2 5 y  2 Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên : x  y  3xy  x  y  0 HD : Chuyển phương trình thành bậc hai với x  x   y  1 x   y  y  3 0 , có :   y  y  11 , Điều kiện cần đủ để phương trình có nghiệm ngun  số phương y  y  11 k  k  Z   y 5, y  => 2 Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên : x  y  xy  x  y HD : Đưa phương trình dạng : x   y  1 x   y  y  0 , Điều kiện để phương trình có nghiệm : 2  0  y  y     y  1 4   y  1 1 Từ ta có : y 0,1, 2 Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên : x  y  3xy  x  y  0 HD : x   y  1 x   y  y  3 0 Đưa phương trình dạng : Điều kiện để phương trình có nghiệm  0 Làm giống  x2  y   x  y   x  y  Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : y  y   x  3x  y   x  3x   0 Đưa phương trình dạng : TH1 : y=0 => y 0  y   x  x  y   x  3x  0 TH2 :  0   x  1 x  x   Điều kiện để phương trình có nghiệm phải số phương x  x   a  a  N    x   a   x   a  16 => => Tìm x Đáp án : (x ; y)= ( ; -6), (9 ; -21), (8 ; -10), (-1 ; -1), (m ; 0) với m số nguyên  x  y  3  x  xy  y  Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : 3x   y   x  y  y 0 Đưa phương trình dạng : Để phương trình có nghiệm  phải số phương 12 x  xy  y 28  x  y  Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Cách : Đánh giá miền cực trị x : 142 14  196  x   x  y   28  x  y    3 x  y    3  2 x 7  x   0;1; 4 => Cách : Tính  2 Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên : x  xy  y 2 x  y HD : x   y   x  y  y 0 Đưa phương trình dạng : Điều kiện để phương trình có nghiệm  0 2 Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên : x  xy  y  x  y HD : x   y  1 x  y  y 0 Đưa phương trình dạng : Điều kiện để phương trình có nghiệm  0 2 Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên : x  xy  y 3 y HD : 2 Đưa phương trình dạng : x  yx  y  y 0 Điều kiện để phương trình có nghiệm  0 Bài 15: Giải phương trình nghiệm nguyên : x  xy  y  y  HD : 2 Đưa phương trình dạng : x  yx  y  y  0 Điều kiện để phương trình có nghiệm  0  x  y  3 x  xy  y Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : 3x   3y  7 x  3y  y 0 Coi PT cho PT bậc hai x: Để (1) có nghiệm ngun biệt thức  phải số phương 2 Bài 17: Tìm nghiệm ngun phương trình: x  y  xy  x  y   (1) HD: x  y  xy  x  y  x   y  1 x  y  y 0  Ta có :    y  1  y  y  3y  y    y  1 4 Vì     , Coi PT ẩn x với tham số y , để PT có nghiệm  0  3y  y  0 y  Z  y   0;1;2 y x  x 1 x  x 1 Bài 18: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD :  y  1 x   y  1 x  y  0 Đưa phương trình trở thành : TH1 : y=1=> x=0 y 1   x 0   y 3  y   0;1; 2;3 TH2 : Dạng 5: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Phương pháp: “ Biến đổi PT thành tích hai biểu thức, vế lại số k Ta sử dụng PP phân tích thành nhân tử ,biến thành hiệu hai số phương, Sử dụng biệt thức denta số phương ” 2 Bài 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  y  3xy  3x  3y 15 HD: x  3x  y  1  y  5y 15 Biến đổi PT thành PT ẩn x tham số y: x  3x  y  1  y  5y  m 15  m Tìm m để PT: có  số phương Ta có: (1)  9  y  1  y  5y  m  y  y   m  m 2    y  1  Chọn , Khi (1) trở thành: 2 x  3x  y  1  y  5y  17   x  y    x  y  1 17 2 Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên : x  x  y 1 HD :  x  x    y 5   x  2  y 5   x   y   x   y  5 Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên : x  y  xy 6 HD: 11  x   y   y 6  x   y   y   2 Ta có: x   y    y  1 11   x  1  y  1 11 Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên : x  xy  y 11 HD : 2   y y2   y2  2x  y   y   x  x    y  11            2 4 2          2x  y  2   y  3 8   x  y  y  3  x  y  y  3 8 Bài 4: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  xy  y 9 HD:  x  1  y  1 10 Biến đổi phương trình cho dạng: x , y  Z   x  1 ,  y  1  Z  x    1; 2 : 5 : 10 Vì , Thay vào tìm y x  25  y  y   Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x   y  y  25  x   y  y   16 => ( x  y  3)( x  y  3) 16 mà x  y   x  y  2 x số chẵn nên số chẵn x  x  1  x    x  3  y Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD :  x  3x   x  3x    y   a 1  y   a 1  y  1 với a x2  3x 2 Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên : x  y 1999 HD:  x  y   x  y  1999 Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên : x  y  xy HD:   y y2   y2 y x  x      .2        x  y    x    16   => Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên : x  y 6  xy HD : 11  2 x  y  1   y  1 11   x  1  y  1 11 xy  x  y 6  x  y 1  y  2 2 Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên : x  y 2 x y HD: 1 x y  x  y 0  x  y  1  y   2 2 2 x  y  1   y  1 1   x  1  y  1 1 => xy 4  x  y  Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : xy  x  y 0  x  y    y  16 16  x  y     y   16   x    y   16 x  x  1  x    x    y Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD:  x2  x   x  x    y  a  a    y y  x  x  1  x  7  x  8 Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: y  x  8x x  8x  Biến đổi phương trình thành:    z  x  x  y z  7z  y  z  7  49   z  y  7  z  y  7 49 Đặt: Ta có TH sau:  z  y  1  y 12    z  y  49  z 9 TH2: TH1:   z  y  49  y  12     z  y  1  z 9  x 1 z 9  x  x 9    x  Cả hai TH có 2 z  y    y  12  z  y   49  y 12       z  y   49  z  16 TH4:  z  y    z  16 TH3:  TH5: z  y  2 z  y  7  y z 0 TH6: z  y  2 z  y   x  x    y  116 Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: x  x  16  y  110   x    y  110   x   y   x   y   110 10