Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên trong Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9

Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên trong Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên trong Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên trong Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên trong Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên trong Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên trong Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên trong Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên trong Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên trong Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên trong Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên trong Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên trong Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên trong Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên trong Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên trong Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THUYẾT MINH SÁNG KIẾN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN, TRƯỜNG PTDTBT THCS KHUN HÁ, TRƯỜNG THCS HỒ THẦU TAM ĐƯỜNG Đồng tác giả: Nguyễn Thị Hà, Giáp Văn Giang Hồng Đình Tiến Trình độ chun mơn: Đại học Chức vụ: Giáo viên I THÔNG TIN CHUNG Tam Đường, tháng 10 năm 2017 I THÔNG TIN CHUNG Tên sáng kiến: “Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán - Trường THCS Thị Trấn, Trường PTDTBT THCS Khun Há, Trường THCS Hồ ThầuTam Đường Tác giả * Họ tên: Nguyễn Thị Hà Năm sinh: 1981 Nơi thường trú: Bản Nậm Tường - Thị Trấn Tam Đường Trình độ chun mơn: Đại học Tốn Chức vụ cơng tác: Giáo viên Nơi làm việc: THCS Thị Trấn Tam Đường Điện thoại: 01693.697.352 Tỷ lệ đóng góp tạo sáng kiến: 40% * Họ tên: Giáp Văn Giang Năm sinh: 1981 Nơi thường trú: Bản Máy Đường – Thị Trấn Tam Đường Trình độ chun mơn: Đại học tốn Chức vụ công tác: Giáo viên Nơi làm việc: PTDTBT THCS Khun Há Điện thoại: 0982468892 Tỷ lệ đóng góp tạo sáng kiến: 30% * Họ tên: Hồng Đình Tiến Năm sinh: Nơi thường trú: Bản Hơ Pó – Thị trấn Tam Đường Trình độ chun mơn: Đại học tốn Chức vụ cơng tác: Giáo viên Nơi làm việc: Trường THCS Hồ Thầu Điện thoại: 0989114494 Tỷ lệ đóng góp tạo sáng kiến: 30% Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Mơn Tốn Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 05/8/2017 Đơn vị áp dụng sáng kiến Tên đơn vị: Trường THCS Thị Trấn , Trường PTDTBT THCS Khun Há, Trường THCS Hồ Thầu Tam Đường Lai Châu II NỘI DUNG SÁNG KIẾN Sự cần thiết, mục đích việc thực sáng kiến Qua nhiều năm giảng dạy mơn Tốn 8, 9; bồi dưỡng học sinh giỏi nghiên cứu nội dung đề thi học sinh giỏi Toán 8, từ năm học trước, thấy Phương trình nghiệm ngun có nhiều đề thi học sinh giỏi huyện, học sinh giỏi tỉnh,…Nhưng thực tế giảng dạy thấy học sinh thường lúng túng cách xác định dạng toán, phương hướng giải, chưa có nhiều phương pháp giải hay sáng tạo Nguyên nhân chủ yếu em chưa có hệ thống phương pháp giải dạng tốn Qua thực tế giảng dạy, Bồi dưỡng học sinh giỏi tìm hiểu thêm tài liệu tham khảo tơi mạnh dạn thực sáng kiến “Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán - Trường THCS Thị Trấn, Trường PTDTBT THCS Khun Há, Trường THCS Hồ Thầu Tam Đường Lai Châu Tam Đường” nhằm giúp học sinh nắm vững phương pháp giải, từ phát phương pháp giải phù hợp với cụ thể dạng khác góp phần quan trọng việc nâng cao chất lượng mơn Tốn đặc biệt chất lượng mũi nhọn mơn Tốn Phạm vi triển khai thực Học sinh giỏi Toán 9, Trường THCS Thị Trấn, Trường PTDTBT THCS Khun Há, Trường THCS Hồ Thầu Tam Đường Lai Châu Mô tả sáng kiến a Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến - Đối với Giáo viên ôn luyện: + Chưa biết cách xây dựng thành hệ thống lý thuyết xuyêt suốt mà hình thành bước cho học sinh qua số tập sách giáo khoa + Chưa rèn cho học sinh kỹ năng, phương pháp giải toán, độc lập suy nghĩ cách chủ động, sáng tạo, tìm tịi phương pháp hay để dạy cho học sinh qua việc giải tốn - Đối với học sinh: Chưa có hệ thống phương pháp giải toán phương trình nghiệm nguyên * Ưu điểm, nhược điểm giải pháp cũ - Ưu điểm: Bước đầu cung cấp cho học sinh số tập phương trình nghiệm nguyên sách giáo khoa, sách tập - Nhược điểm: + Thứ nhất: Chưa đưa phương pháp nghiên cứu việc giải toán nghiệm nguyên + Thứ hai: Chưa biết cách định hướng, giải tập cách ngắn gọn nhất, chưa phân tích, xem xét tốn từ tìm nhiều cách giải hay phát triển toán + Thứa ba: Chưa hệ thống thành dạng cụ thể để học sinh có điều kiện ôn luyện, rèn luyện kỹ thực hành với tập tương tự Chính cần thiết phải nghiên cứu, đề xuất giải pháp nhằm khắc phục nhược điểm giải pháp cũ b Mô tả giải pháp sau có sáng kiến * Tính mới, khác biệt giải pháp so với giải pháp cũ + Một là: Xây dựng phương pháp nghiên cứu việc giải toán nghiệm nguyên + Hai là: Sưu tầm, lựa chọn, phân loại dạng tập bản, nâng cao nêu lên phương pháp giải đặc trưng cụ thể *Cách thức thực - Phương pháp nghiên cứu: Đọc nghiên cứu tài liệu tham khảo, Nghiên cứu sở lý thuyết, Thực nghiệm sư phạm qua giảng dạy,…Để học sinh nắm phương pháp giải phương trình nghiêm nguyên cách tốt cần trang bị cho học sinh đơn vị kiến thức sau: + Định nghĩa phép chia hết: a, b (b 0) q, r Nếu r = a b Nếu r a r< b + Một số tính chất: Nếu a cho a =bq + r với a,b,c,d a a a Nếu a b b c a c Nếu a b b a a=b Nếu a b a c a BCNN[a,b] Nếu a b , a c (b,c) = Nếu a b a (b,c) ac b ( c + Bất đẳng thức Cô - si: Đẳng thức xảy Với a1 = a2 = a3 = =an + Bất đẳng thức Bunhiacopski: Đẳng thức xảy * Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Phương pháp 1: Phương pháp đưa dạng tích Biến đổi phương trình dạng: Vế trái tích của đa thức chứa ẩn, vế phải tích số ngun Bài tốn: Tìm nghiệm ngun dương phương trình: Lời giải: Ta có: Do x, y nguyên dương nên mà 19 = 1.19 = 19.1 nên ta có khả sau: ; Giải hệ phương trình trên, ta đươc nghiêm nguyên phương trình là: Bài tốn: Tìm nghiệm ngun phương trình : y3 - x3 = 91   (1) Lời giải Ta có (1) tương đương với (y - x)(x2 + xy + y2) = 91   (*) Vì x2 + xy + y2 > với x, y nên từ (*) => y - x > Mặt khác 91 = 91 = 13 y - x ; x2 + xy + y2 có giá trị nguyên dương nên ta có bốn khả sau: y - x = 91 x2 + xy + y2 = (I) y - x = x2 + xy + y2 = 91 (II) y - x = x2 + xy + y2 = (III) y - x = x2 + xy + y2 = 13 (IV) Đến đây, toán coi giải Phương pháp 2: Sắp thứ tự ẩn Nếu ẩn x, y, z, có vai trị bình đẳng, ta giả sử x y z để tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện Từ đó, dùng phép hốn vị để => nghiệm phương trình cho Bài tốn: Tìm nghiệm ngun dương phương trình : x + y + z = xyz   (1) Lời giải Do ẩn x, y, z có vai trị bình đẳng phương trình nên xếp thứ tự giá trị ẩn, chẳng hạn:1 x y z Do xyz = x + y + z 3z chia hai vế bất đẳng thức xyz 3z cho số dương z ta xy Do xy 1; 2; 3 Với xy = 1, ta có x = 1, y = Thay vào (1) + z = z (loại) Với xy = 2, ta có x = 1, y = Thay vào (1) z = Với xy = 3, ta có x = 1, y = Thay vào (1) z = (loại) trái với xếp y z Vậy nghiệm nguyên dương phương trình (1) hốn vị (1 ; ; 3) Phương pháp 3: Sử dụng tính chất chia hết Sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phương trình vơ nghiệm tìm nghiệm phương trình Hai vế phương trình nghiệm nguyên chia cho số có số dư khác phương trình khơng có nghiệm ngun Bài tốn: Tìm nghiệm nguyên phương trình : xy + x - 2y =   (3) Lời giải Ta có (3) tương đương  y(x - 2) = - x + Vì x = khơng thỏa mãn phương trình nên (3) tương đương với: Ta thấy: y số nguyên nên x - ước hay x - = x - = -1 với x = x = Từ ta có nghiệm nguyên (x ; y) (1 ; -2) (3 ; 0) Phương pháp 4: Đưa dạng tổng Biến đổi phương trình dạng : Vế trái tổng bình phương, vế phải tổng số phương Bài tốn: Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 – 4xy + 5y2 = 169 Lời giải Ta có: x2 – 4xy + 5y2 = 169  (x – 2y)2 + y2 = 169 Ta thấy 169 = 02 + 132 = 52 + 122 Do phương trình thỏa mãn bốn khả năng :   Giải ta nghiêm nguyên phương trình (x, y) {(29, 12); (19, 12); (-19, -12); (22, 5); (-2, 5) ;(2, -5); (-22, -5); (26, 13); (-26, -13); (-13 0); (13, 0)} Phương pháp 5: Xét chữ số tận Bài tốn : Tìm x, y ngun dương thỏa mãn PT : x2 + x - = 32y +  (1) Lời giải Cho x giá trị từ đến 9, dễ dàng xác định chữ số tận x2 + x–1 nhận giá trị ; ; Mặt khác, ta thấy 32y + lũy thừa bậc lẻ nên chữ số tận khác với ; ; Vậy (1) khơng thể xảy Nói cách khác, phương trình (1) khơng có nghiệm ngun dương Phương pháp 6: Phương pháp loại trừ Nếu có số nguyên m cho n khơng thể số phương Bài tốn: Tìm nghiệm ngun phương trình: Lời giải Ta thấy: x = 0, y =  nghiệm ngun phương trình Với x > ta có: ( vô lý ) Với x  - : ( vơ lý ) Với x = - : ( vơ lý ) Vậy phương trình cho có hai cặp nghiệm ngun ( 0; ); ( 0; -1 ) Phương pháp 7: Sử dụng tính chất nghiệm phương trình bậc Biến đổi phương trình dạng phương trình bậc ẩn coi ẩn khác tham số, sử dụng tính chất nghiệm phương trình bậc để xác định giá trị tham số Bài tốn: Tìm nghiệm ngun phương trình: x + y + xy = x2 + y2 (1) Lời giải Viết (1) thành phương trình bậc x: x2 - (y + 1)x + (y2 - y) = (2) Điều kiện cần để (2) có nghiệm = (y + 1)2 - 4(y2 - y) = y2 + 2y + - 4y2 + 4y = -3y2 + 6y + * Do (y - 1)2 Suy -1 y - 1 y-1 -1 y Với y = 0, thay vào (2) ta x2 - x = Ta có x1 = 0; x2 = Với y = 1, thay vào (2) x2 - 2x = Ta có x3 = 0; x4 = Với y = 2, thay vào (2) ta x2 - 3x + = Ta có x5 = 1; x6 = Thử lại, giá trị nghiệm phương trình Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên (0;0), (1;0), (0;1), (2;1), (1;2), (2;2) Phương pháp 8: Dùng bất đẳng thức Bài tốn: Tìm nghiệm ngun phương trình: x2 –xy + y2 = Lời giải Ta có x2 –xy + y2 =  (x- )2 = Ta thấy (x- )2   - y nghiệm   -2  y  thay vào phương trình tìm x thử lại, ta nguyêncủa phương trình (x, y) MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG Giải phương trình nghiệm nguyên a) 3x3 - 3y3 = 21 b) 3xy + x - y = Tìm x,y, z nguyên dương thoả mãn a) xy + yz + zx = xyz + b) Giải phương trình tập số nguyên a) b) c) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau a) b) Tìm nghiệm nguyên phương trình sau a) b) Hiệu sáng kiến đem lại * Đối với giáo viên: Đã đưa phương pháp nghiên cứu việc giải toán nghiệm nguyên Hệ thống thành dạng cụ thể để học sinh có điều kiện ơn luyện, rèn luyện kỹ thực hành với tập tương tự Định hướng, giải tập cách ngắn gọn nhất, chưa phân tích, xem xét tốn từ tìm nhiều cách giải hay phát triển toán * Đối với học sinh: Học sinh nắm vững phương pháp hứng thú học tập, giải toán nghiệm nguyên Biết vận dụng linh hoạt kiến thức, biết sử dụng phương pháp giải phù hợp tốn giải toán nhiều cách giải khác * Chất lượng, số lượng học sinh mũi nhọn tăng lên rõ rệt cụ thể: Tại trường THCS Thị trấn Số lượng giải, chất lượng giải Cấp trường 2015-2016 Cấp huyện 2016-2017 2015-2016 2016-2017 Giải Giải nhì 1 Giải ba 1 Khuyến khích Tại trường PTDTBT THCS Khun Há Số lượng giải, chất lượng giải Cấp trường 2015-2016 2016-2017 Cấp huyện 2015-2016 2016-2017 Giải Giải nhì Giải ba 1 Khuyến khích Đánh giá phạm vi ảnh hưởng sáng kiến + Sáng kiến áp dụng trình bồi dưỡng đội tuyển học sinh gỏi Tốn năm học 2017 - 2018, tài liệu tham khảo BDHSG năm học trường THCS Thị Trấn, Trường PTDTBT THCS Khun Há, Trường THCS Hồ Thầu Tam Đường Lai Châu Sáng kiến cịn áp dụng việc bồi dưỡng học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn 8,9 đơn vị trường thuận lợi trường thuộc vùng khó khăn toàn huyện; bồi dưỡng đội tuyển cấp tỉnh song phải vận dụng linh hoạt phù hợp với đặc điểm tình hình nhà trường phải bổ sung, điều chỉnh qua năm Các thông tin cần bảo mật: Không Kiến nghị, đề xuất a) Về Danh sách cá nhân công nhận đồng tác giả sáng kiến - Nguyễn Thị Hà - Giáo viên Tốn lí - Trường THCS Thị Trấn - Giáp Văn Giang – Giáo viên Toán tin – Trường PTDTBT THCS Khun Há - Hồng Đình Tiến – Giáo viên Tốn lí – Trường THCS Hồ Thầu b) Kiến nghị khác 10 * Đối với Nhà trường: Hàng năm bổ sung Quy chế chi tiêu nội bộ, kịp thời bồi dưỡng, khen thưởng, bổ sung kịp thời tài liệu nâng cao để giúp giáo viên cập nhật nội dung, kiến thức hay để đưa vào giảng dạy * Đối với Phòng GD&ĐT: Tổ chức sinh hoạt chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi tập trung vào chuyên đề khó, trọng tâm Tạo điều kiện cho giáo viên trường học hỏi, chia sẻ kinh nghiệm Tài liệu kèm theo: không Trên nội dung sáng kiến “Một số phương pháp giải phương trình nghiệm ngun Bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn - Trường THCS Thị Trấn , Trường PTDTBT THCS Khun Há, Trường THCS Hồ Thầu Tam Đường”, sáng kiến áp dụng có hiệu trường THCS Thị trấn, trường PTDTBT THCS Khun Há năm học 2017 - 2018./ Tam Đường, ngày tháng 10 năm 2017 XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG NGƯỜI THỰC HIỆN (Ký, ghi rõ họ tên) Nguyễn Thị Hà Hồng Đình Tiến Giáp văn Giang HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG PTDTBT THCS KHUN HÁ Tổng điểm:…………… Xếp loại:……………… TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CHỦ TỊCH XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NGÀNH GD&ĐT HUYỆN TAM ĐƯỜNG Tổng điểm:…………… Xếp loại:……………… TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC 11 CHỦ TỊCH 12 ... Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Phương pháp 1: Phương pháp đưa dạng tích Biến đổi phương trình dạng: Vế trái tích của đa thức chứa ẩn, vế phải tích số nguyên Bài tốn: Tìm nghiệm. .. dung sáng kiến ? ?Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán - Trường THCS Thị Trấn , Trường PTDTBT THCS Khun Há, Trường THCS Hồ Thầu Tam Đường”, sáng kiến áp... phục nhược điểm giải pháp cũ b Mô tả giải pháp sau có sáng kiến * Tính mới, khác biệt giải pháp so với giải pháp cũ + Một là: Xây dựng phương pháp nghiên cứu việc giải toán nghiệm nguyên + Hai là: