Kiến thức, kĩ năng • Mô tả các bước chứng minh tính đúng đắn của một mệnh đề toán học bằng phương pháp quy nạp toán học. • Chứng minh tính đúng đắn của một mệnh đề toán học bằng phương pháp quy nạp toán học. • Vận dụng phương pháp quy nạp để giải quyết một số vấn đề thực tiễn.
CHƯƠNG I CHƯƠNG VIII ĐẠI SỐ TỔ HỢP §23 Qui tắc đếm §24 Hoán vị, chỉnh hợp, tở hợp §25 Nhị thức Newton CHƯƠNG CHƯƠNG VIII ĐẠII SỐ TỔ HỢP TOÁN ĐẠI TOÁN ĐẠI SỐ ➉ SỐ 1 QUY TẮC ĐẾM QUI TẮC CỘNG VÀ SƠ ĐỒ HÌNH CÂY QUI TẮC NHÂN KẾT HỢP QUI TẮC CỘNG VÀ QUI TẮC NHÂN QUY TẮC CỘNG VÀ SƠ ĐỒ HÌNH CÂY HĐ1: Chọn chuyến (H.8.1): Từ Hà Nội vào Vinh ngày có chuyến tàu hỏa chuyến máy bay Bạn An muốn ngày Chủ nhật từ Hà Nội vào Vinh tàu hỏa máy bay Hỏi bạn An có cách chọn chuyến đi? Hướng dẫn: Để từ Hà Nội vào Vinh, bạn An chọn tàu hỏa máy bay • Đi tàu hỏa, chọn chuyến tàu • Đi máy bay, chọn chuyến bay Vậy số cách chọn chuyến từ Hà Nội vào Vinh + = (cách chọn) QUY TẮC CỘNG VÀ SƠ ĐỒ HÌNH CÂY HĐ2: Bạn An định mua vé tàu từ Hà Nội vào Vinh chuyến tàu SE7 Trên tàu có toa ghế ngồi toa giường nằm Toa ngồi có hai loại vé: ngồi cứng ngồi mềm Toa nằm có loại khoang giường khoang giường Khoang giường có hai loại vé: tầng tầng 2, khoang giường có ba loại vé: tầng 1, tầng tầng Hỏi: a) Có loại vé ghế ngồi loại vé giường nằm? b) Có loại vé để bạn An lựa chọn? QUY TẮC CỘNG VÀ SƠ ĐỒ HÌNH CÂY HĐ2: Hướng dẫn: Để mua vé tàu từ Hà Nội vào Vinh chuyến tàu SE7, bạn An chọn ghế ngồi giường nằm - Vé ngồi: có loại vé - Giường nằm: có + = (loại vé) Vậy số loại vé để bạn An lựa chọn + = (loại vé) QUY TẮC CỘNG VÀ SƠ ĐỒ HÌNH CÂY Quy tắc cộng Giả sử công việc thực theo hai phương án khác nhau: - Phương án có 𝑛1 cách thực - Phương án có 𝑛2 cách thực Khi số cách thực cơng việc : 𝑛1 + 𝑛2 cách Phương án 1: 𝑛1 cách Phương án 2: 𝑛2 cách Chú ý: Sơ đồ minh họa cách phân chia trường hợp Hình 8.2 gọi sơ đồ hình Trong tốn đếm, người ta thường dùng sơ đồ hình để minh họa, giúp cho việc đếm thuận tiện khơng bỏ sót trường hợp QUY TẮC CỘNG VÀ SƠ ĐỒ HÌNH CÂY Ví dụ Một qn phục vụ ăn sáng có bán phở bún Phở có loại phở bị phở gà Bún có loại bún bị, bún riêu bún cá Một khách hàng muốn chọn để ăn sáng Vẽ sơ đồ hình minh họa cho biết khách hàng có cách lựa chọn ăn sáng Chú ý: Ta áp dụng quy tắc cộng cho cơng việc có nhiều phương án phương án phải rời nhau, Giải • Ta có sơ đồ hình 8.3 • Theo quy tắc cộng, số cách chọn ăn sáng là: (cách) QUY TẮC CỘNG VÀ SƠ ĐỒ HÌNH CÂY Ví dụ Một cờ vua có 32 qn cờ hình 8.4 a) Bạn Nam lấy tất quân tốt Hãy đếm xem Nam lấy quân cờ b) Bạn Nam lấy tất quân cờ trắng tất quân tốt Hãy đếm xem Nam lấy quân cờ QUY TẮC CỘNG VÀ SƠ ĐỒ HÌNH CÂY Ví dụ Giải: a) Qn cờ bạn Nam lấy thuộc hai loại: màu trắng màu đen tốt trắng ……… quân - Số quân tốt trắng: quân; - Số quân tốt đen: quân tốt đen ……… quân Nam lấy ra: 8+8=16 (quân cờ) b) Nam lấy tất quân trắng tất quân tốt - Đầu tiên ta đếm tất quân trắng, có 16 quân; - Tiếp theo ta đếm tất qn tốt, có 16 qn tốt Vì 16 qn tốt có quân tốt trắng đếm nên số quân cờ QUY TẮC CỘNG VÀ SƠ ĐỒ HÌNH CÂY • Nhận xét: Ở câu b), gọi A tập hợp gồm tất quân cờ trắng, B tập hợp gồm tất quân tốt quân cờ Nam lấy phần tử tập hợp A∪B Nếu ta áp dụng quy tắc cộng: n(A∪B)=n(A)+n(B)=32 (quân cờ), suy Nam lấy 32 quân cờ Kết luận sai, A∩B≠∅ nên ta khơng thể áp dụng quy tắc cộng để tính trường hợp KẾT HỢP QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN Ví dụ • Cơng đoạn 1, chọn khai vị có Để tổ chức bữa tiệc, người ta hai phương án súp salad chọn thực đơn gồm khai nên ta áp dụng quy tắc cộng Số vị, cách chọn là: (cách) tráng miệng Nhà hàng đưa danh • Cơng đoạn 2, chọn chính: sách: khai vị có loại súp loại tương tự, ta có số cách chọn là: salad; có loại thịt, (cách) loại cá loại tôm; tráng miệng có loại kem loại bánh Hỏi có • Cơng đoạn 3, chọn tráng miệng: tương tự, ta có số cách thể thiết kế thực đơn chọn là: (cách) khác nhau? • Tổng kết, theo quy tắc nhân, số Giải: cách chọn thực đơn là: (cách) • Để chọn thực đơn, ta chia làm 3 KẾT HỢP QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN Chú ý: • Quy tắc cộng áp dụng công việc chia thành phương án phân biệt (thực phương án để hoàn thành cơng việc) • Quy tắc nhân áp dụng cơng việc có nhiều cơng đoạn nối tiếp (phải thực tất cơng đoạn để hồn thành công việc) KẾT HỢP QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN b số chẵn nên chữ số hàng đơn vị có cách chọn Từ chữ số lập số • Trường hợp 1: Nếu chữ số thỏa mãn: hàng trăm có cách chọn, chữ số hàng chục có cách chọn a Là số tự nhiên có ba chữ số khác b Là số tự nhiên chẵn có ba chữ số khác • Theo quy tắc nhân có cách lập • Trường hợp 2: Nếu chữ số Giải hàng trăm có cách chọn ( khác a Gọi số tự nhiên gồm ba chữ số khác 2), chữ số hàng chục có ( chữ số ) cách chọn ( khác ) • Chọn chữ số hàng trăm: có cách () • Theo quy tắc nhân có cách lập • Chọn chữ số hàng chục: có cách () • Tổng kết, theo quy tắc cộng lập • Chọn chữ số hàng đơn vị: có cách () (số) Luyện tập • Theo quy tắc nhân ta có số