002 01 hh10 chuong i bài 03 hdg

I VECTƠ C H Ư Ơ N BÀI 3: TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ LÝ THUYẾT I = =1 ĐỊNH NGHĨA:    = Cho số k 0 vectơ a 0 Tích vectơ a với số k I    vectơ, kí hiệu ka ,  k a a k  a k  hướng với , ngược hướng với có độ dài   Quy ước: 0.a 0 TÍNH CHẤT:   a Với hai vectơ , b bất kỳ, với số thực h k , ta có:        k a  b ka  kb h  k  a ha  ka  1) ; 2) ;       h  ka   hk  a   1 a  a 3) ; 4) 1a a ,   TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG VÀ TRỌNG TÂM CỦA TAM GIÁC:    I AB M MA  MB 2MI a) Nếu trung điểm đoạn thẳng với điểm ta có     b) Nếu G trọng tâm tam giác ABC với điểm M ta có MA  MB  MC 3MG ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG:     Điều kiện cần đủ để hai vectơ a b ( b 0 ) phương có số thực k để   a kb Nhận xét: Ba điểm phân biệt A , B , C thẳng hàng có số k khác để   AB k AC PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ KHƠNG CÙNG PHƯƠNG:    Cho hai vectơ a b khơng phương Khi vectơ x phân tích cách      theo hai vectơ a b , nghĩa có cặp số h, k cho x ha  kb II VÍ DỤ MIN H HỌA = = = Ví Idụ Cho đoạn thẳng AB M AM  AB điểm nằm đoạn AB cho Tìm k       đẳng thức sau: a) AM k AB b) MA k MB c) MA k AB Lời giải A M B  AM  k   AM 1      k AB  AB , mà AM hướng AB  a) AM k AB  MA  k  MA 1      k  MB  MB , mà MA ngược hướng MB  b) MA k MB  MA  k  MA 1      k  AB  AB , mà MA ngược hướng AB  c) MA k AB       Ví dụ Cho a  AB điểm O Xác định hai điểm M N cho: OM 3a ; ON  4a Lời giải    Vẽ d qua O song song với giá a (nếu O thuộc giá a d giá a )      OM 3 a OM  Trên d lấy điểm M cho , a hướng Khi OM 3a      ON 4 a ON  Trên d lấy điểm N cho , a ngược hướng nên ON  4a Ví dụ Cho ABC có trọng tâm G Cho điểm D , E , F trung điểm cạnh BC ,     CA , AB I giao điểm AD EF Đặt u  AE , v  AF Hãy phân tích vectơ       AI , AG , DE , DC theo hai vectơ u , v Lời giải Dễ thấy tứ giác AEDF hình bình hành dẫn đến I trung điểm AD   1 1 1 1 AI  AD  AE  AF  u  v 2 2 Do  2 2 2    AG  AD  u  v DE FA  AF 0.u    1 v       3 ; ; DC FE  AE  AF u  v Ví dụ Cho tam giác ABC Điểm M nằm cạnh BC cho MB 2 MC Hãy phân tích vectơ      v  AC u  AB AM theo hai vectơ , Lời giải     BM  BC Từ giả thiết MB 2 MC ta dễ dàng chứng minh         AM  AB  BM  AB  BC Do mà BC  AC  AB     2 1 2 AM  AB  AC  AB  u  v 3   Ví dụ Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM K điểm thuộc AC AK  AC cho Chứng minh ba điểm B , I , K thẳng hàng Lời giải    Ta có I trung điểm AM  2BI  BA  BM   BM  BC Mặt khác M trung điểm BC nên   1    BI  BA  BC  BI 2 BA  BC  1 Do         1 2 BK BA  AK BA  AC BA  BC  BA  BA  BC 3 3      3BK 2 BA  BC  1 Từ  2  2      3BK 4 BI  BK  BI  Suy điểm B , I , K thẳng hàng    ABC N M Ví dụ Cho tam giác Hai điểm , xác định hệ thức: BC  MA 0     AB  NA  AC 0 Chứng minh MN // AC Lời giải Ta có             BC  MA  AB  NA  AC 0  AC  MN  AC 0  MN 2 AC      Mặt khác, BC  MA 0  BC  AM  1 Do ba điểm A , B , C không thẳng hàng nên bốn điểm A , B , C , M bốn đỉnh hình  2 bình hành BCMA  ba điểm A , M , C không thẳng hàng  1  2 suy MN // AC Ví dụ Cho tam giác ABC Gọi M , N , P trung điểm BC , CA , AB Chứng minh     AM  BN  CP 0 Lời giải Ta có Từ        1    AM  BN  CP  AB  AC  BA  BC  CA  CB 2  1       AB  BA  AC  CA  BC  CB 0 2             Ví dụ Cho tứ giác ABCD , O giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi G , G theo thứ tự    trọng tâm tam giác OAB OCD Chứng minh AC  BD 3GG Lời giải Vì G  trọng tâm tam giác OCD nên ta có:  1   GG  GO  GC  GD    1 Vì G trọng tâm tam giác OAB nên ta có:         GO  GA  GB GO  GA  GB 0  1 Từ   1      2      GG 3  GC  GA  GD  GB  3  AC  BD      AC  BD 3GG  Ví dụ Cho tam giác ABC với H , O , G trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm   tam giác Chứng minh OH 3OG Lời giải Gọi D điểm đối xứng A qua O , ta có BH // DC (cùng vng góc với AC ) CH // BD (cùng vng góc với Từ  1   2  1 AB )   suy tứ giác BHCD hình bình hành  ba điểm H , M , D thẳng hàng   AH 2OM          OC Ta có OH OA  AH OA  2OM OA  OB     Do G trọng tâm tam giác ABC nên OA  OB  OC 3OG   Suy OH 3OG III HỆ THỐNG BÀI TẬP = =  =I 1: XAC DỊNH VECTƠ ka DẠNG = = =I BÀ I TẬ P T Ự L Câu Cho   a  AB UẬN     điểm O Xác định hai điểm M N cho: OM 3a; ON  4a Lời giải Vẽ d  Trên  Trên    qua O song song với giá a (nếu O thuộc giá a d giá a )     OM 3 a  OM a OM  3a d lấy điểm M cho , hướng     ON 4 a  d lấy điểm N cho , ON a ngược hướng nên ON  4a AM  AB Câu Cho đoạn thẳng AB M điểm nằm đoạn AB cho Tìm k  đẳng thức sau: a)  AM k AB  b)  MA kMB  c)  MA k AB Lời giải A M B    | AM | AM   AM k AB  | k |    AB | AB | AM   AB a) , k  k  b) c)    k  Câu Cho hai điểm phân biệt A, B Xác định điểm M biết 2MA  3MB 0 Lời giải Ta có:             2MA  3MB 0  MA  3( MA  AB) 0   MA  AB 0  AM 3 AB   AM , AB AM 3 AB hướng Câu Cho tam giác ABC    a) Tìm điểm K cho KA  KB CB     b) Tìm điểm M cho MA  MB  2MC 0 Lời giải            a) Ta có: KA  KB CB  KA  KB KB  KC  KA  KB  KC 0  K trọng tâm tam giác ABC b) Gọi I trung điểm AB Ta có:           MA  MB  MC 0  2MI  2MC 0  MI  MC 0  M trung điểm IC Câu Cho tam giác ABC cạnh  a)   AB  AC  BC a Tính  b)  AB  AC Lời giải  a)          AB  AC  BC  ( AB  BC )  AC  AC  AC  AC 2 AC 2 AC 2a b) Gọi H trung điểm BC Ta có:     a 2 AB  AC  AH 2 AH 2 AH 2 AB  BH 2 a    a  2 Câu Cho ABC vng B có  a)  BA  BC A 300 AB a , Gọi I trung điểm AC Hãy tính:  b)  AB  AC Lời giải Ta có: BC  AB tan A a tan 300  a AB a 2a AC    , cos A cos 30     AC 2a BA  BC  BI 2 BI 2 BI 2  AC  a)  b)     a  a 39 AB  AC  AM 2 AM 2 AM 2 AB  BM 2 a       = = = Câu I1 BÀ I TẬ P T R Ắ C NGHIỆM [0H1-3.1-1] Khẳng định sai?   A 1.a a     B k a a hướng k  C k a a hướng k       D Hai vectơ a b 0 phương có số k để a kb Lời giải Chọn C (Dựa vào định nghĩa tích số với vectơ) Câu   [0H1-3.3-2] Trên đường thẳng MN lấy điểm P cho MN  3MP Điểm P xác định hình vẽ sau đây: A Hình B Hình C Hình D Hình Lời giải Chọn A      MN 3 MP MN  3MP  MN ngược hướng với MP  Câu   [0H1-3.1-1] Cho ba điểm phân biệt A, B, C Nếu AB  AC đẳng thức đúng?         BC  AC BC  AC BC  AC A B C D BC 4 AC Lời giải Chọn D Câu [0H1-3.1-1] Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm BC Khẳng định sau uu r uur uu r uur uu r uuur uuur uur BI = IC BI = IC BI = IC 2BI = IC A B C D Lời giải