4 chuong04 file02

ìï x£ ïï Û a) Hệ bất phương trình tương đương với í ïï m + x ³ 3m - 4m + ïỵ ( ) Suy hệ bất phương trình có nghiệm 3m2 - m + m2 + ìï x£ ï ïíï ïï x ³ 3m - m + ïïỵ m +2 £ 3Û m³ Vậy m ³ giá trị cần tìm ìï m2 x < m + ï b) Hệ bất phương trình tương đương với í ïï m x ³ 4m + ïỵ ìï x < ï  Với m = , ta có hệ bất phương trình trở thành í : hệ bất phương trình vơ nghiệm ïïỵ x ³ ìï ïï x < m + ïï m2  Với m ¹ , ta có hệ bất phương trình tương đương với í ïï 4m + ïï x ³ ïỵ m2 m + 4m + 1 > Û m< Suy hệ bất phương trình có nghiệm 2 m m Vậy m < giá trị cần tìm Bài 12 Tìm m để hệ bất phương trình sau vơ nghiệm ìï ïï ( x - 3) ³ x + x + a) í ïï 2m £ + x ïỵ b) ìï mx + £ x - ïí Lời giải ïï ( x - 3) < ( x - 4) ỵ Lời giải ìï ïï ( x - 3) ³ x + x + a) Ta có í ïï 2m £ + x ïỵ ( 1) ( 2) ỉ 8ù - ¥ ; ỳ ỗ Suy nghim ca ( 1) l S1 = ỗ ỗ 3ỳ ố ỷ ộ2 m - 2m - ữ ; +Ơ ÷ Bất phương trình ( 2) Û x ³ Suy tập nghiệm ( 2) S2 = ê ÷ ÷ ê ø ë 2 Bất phương trình ( 1) Û x - x + ³ x + x + Û x £ Để hệ bất phương trình vơ nghiệm v ch S1 ầ S2 = ặ , tức Vậy m > 2m - 72 < Û m> 13 13 72 giá trị cần tìm 13 ìï ( m - 1) x £ - ïï b) Hệ bất phương trình tương đương với í 14 ïï x> ïïỵ ìï x £ - ïï  Với m = , ta có hệ bất phương trình trở thành í : hệ bất phương trình vơ nghiệm ïï x > 14 ïïỵ 198  ìï ïï x £ - m- ïï Với m > , ta có hệ bất phương trình tương đương với í ïï 14 ïï x > ïỵ Suy hệ bất phương trình vơ nghiệm Û - 14 £ Û - £ 14 ( m - 1) Û m ³ m- Đối chiếu điều kiện, ta chọn m >  ìï ïï x ³ - m- ïï Với m < , ta có hệ bất phương trình tương đương với í : hệ bất phương trình ln có nghiệm ïï 14 ïï x > ïỵ Vậy m ³ giá trị cần tìm ìï m ( x + 1) ³ x + ï Bài 13 Tìm m để hệ bất phương trình í có nghiệm ïï mx + ³ x ỵ Lời giải ìï ( m - 1) x ³ - m ï Hệ bất phương trình tương đương với í ïï ( 4m - 4) x ³ - ïỵ - 2m - =  Giả sử hệ bất phương trình có nghiệm 2m - 4m - Û m2 - 26 m + 15 = Û m = m =  Thử lại ïìï ỉ - 1ữ ữ x 3ùỡ x ùỗ ç ÷ ï ÷ ç2 ø Û x = : thỏa mãn Û ïí  Với m = , ta có hệ bất phương trình trở thành í è ïï ïïỵ x £ ïïỵ - x³ - ìï x ³ - ï Û x ³ - : không thỏa mãn  Với m = , ta có hệ bất phương trình trở thành í ïïỵ x ³ - 2 Vậy m = giá trị cần tìm Bài 14 Tìm m để hệ bất phương trình ìï ïï x - > x - 13 ï 2 có nghiệm a) í ïï ïïỵ m x + ³ m - x b) ìï x - ³ ïí có tập nghiệm đoạn có độ dài ïïỵ mx - £ Lời giải ïìï x - > x - 26 ï Û a) Hệ bất phương trình tương đương với í ïï m + x > m4 - ỵï ( ) ìï ïìï x < 23 ïï x < 23 ïí ï Û í ïï m + x > m + m - ïï ỵï ïïỵ x ³ m2 - ( Để hệ bất phương trình cho có nghiệm m2 - < ) ( )( ) 23 25 Û m2 < Û m< 2 199 Vậy m < giá trị cần tìm ìï x ³ ï b) Hệ bất phương trình tương đương với í ïïỵ mx £ ìï x ³ ï Với m = , ta có hệ bất phương trình trở thành í : hệ bất phương trình có vơ số nghiệm nên khơng thỏa ïïỵ x £ mãn ìï x ³ ïï  Với m < , ta có hệ bất phương trình tương đương với í : hệ bất phương trình có vơ số nghiệm nên ïï x ³ m ỵïï khơng thỏa mãn ìï x ³ ïï  Với m > , ta có hệ bất phương trình tương đương với í ïï x £ ïïỵ m Điều kiện để hệ bất phương trình có tập nghiệm đoạn có độ dài 4 - 2=5Û = Û m = : thỏa mãn m m Vậy m = giá trị cần tìm  VẤN ĐỀ 03 DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT Định nghĩa Nhị thức bậc (đối với x ) biểu thức dạng ax + b , a b hai số cho trước a ¹ Dấu nhị thức bậc a) Định lí Nhị thức bậc ax + b dấu với hệ số a x lớn nghiệm trái dấu với hệ số a x nhỏ nghiệm b) Bảng xét dấu x b - ¥ +¥ a ax + b trái dấu a dấu a Một số ứng dụng a) Giải bất phương trình tích dạng P ( x) > , P ( x) tích nhị thức bậc Cách giải: Lập bảng xét dấu P ( x) Từ suy tập nghiệm bất phương trình P ( x) > b) Giải bất phương trình chứa ẩn mẫu dạng Cách giải: Lập bảng xét dấu P ( x) Q ( x) P ( x) Q ( x) > , P ( x) , Q ( x) tích nhị thức bậc Từ suy tập nghiệm bất phương trình P ( x) Q ( x) >0 Chú ý: Không nên qui đồng khử mẫu mẫu tham gia vào trình xét dấu c) Giải bất phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ) Tương tự giải phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ 200 Bài 15 Lập bảng xét dấu biểu thức sau a) - x + c) x - b) x - 12 d) - x + x - Lời giải a)   Ta có - x + = Û x = Bảng xét dấu x b)   - 2x + Ta có x - 12 = Û x =   +¥ + Ta có x - = ( x - 2) ( x + 2) x - = Û x = ; x +2 = Û x =- Bảng xét dấu - ¥ x +2 x- - x2 - + - | +¥ + - | 0 + + + éx = ỉ 1ư ê ÷ - x + 5x - =- ( x - 2) ỗ x- ữ ỗ Ta cú - x + x - = Û ê ÷= ( x - 2) ( - 2x) ỗ ữ ờx = Suy ố 2ø ê ë 2  x - = Û x = ; 1- 2x = Û x =  Bảng xét dấu x 2 | - ¥ - 2x x- 2 - 2x + 5x - + - Bài 16 Lập bảng xét dấu biểu thức sau - 2x + a) x- c) - x d)  - ¥ x - 12  - +¥ Bảng xét dấu x c) + - ¥ ( - ) - | 0 + b) x - 12 x2 - 4x d) - x - x ( x + 2) +¥ + - 4x2 ( x + 1) Lời giải a)  Ta có - x + = Û x = ; x- =0 Û x = 201  Bảng xét dấu x b)    - ¥ - 2x + + x- - 2x + x- x - 12 x - 12 = Ta có x - x x ( x - 4) x - 12 = Û x = 3, x = 0, x - = Û x = - ¥ x x2 - 4x   + ( || - + | | - + - | | - || + +¥ + + - | | + + + - || + + - - x = 0, - x = Û x = 2, x + = Û x =- Bảng xét dấu - ¥ - 2- x x +2 - ) - ( Ta có - + - | | 0 + + | | + + + | | - + - +¥ + ( x + 1) - x ( 3x + 1) ( - x) = = 2 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) 4x2  3x + = Û x =-  Bảng xét dấu , - x = Û x = 1, x + = Û x =- x 1- 4x - + - | | + + | | - || - - ¥ - - - 3x + 1- x x +1 ( x - 1) ( x - +¥ + + + | | + - + - + ( x + 1) Bài 17 Giải bất phương trình sau ) £ b) Lời giải 202 - - ) x - x ( x + 2) a) | Ta có x - x ( x + 2) = x ( - x) ( x + 2) x x d)  - x- 4 x - 12  +¥ Bảng xét dấu x - 12 x c) | x ( )( ) 3x - 3 - x £ a)    ỉ 1ư 3 ÷ Ta có ( x - 1) x - £ Û ( x - 1) ( x - 1) x + x + £ Û ( x - 1) ( x - 1) £ (vì x + x + = ỗ ữ x + + > ) ỗ ữ ữ ỗ è 2ø ( ) ( ) 2x - = Û x = , x - = Û x = Bảng xét dấu x - x- 2x - ( x - 1) (  b)  | 0 - ¥ x) + +¥ - | + - + + + é1 ù ;1ú Suy bất phương trình có tập nghiệm S = ê ê ë2 ú û Ta có x )( ( ) ( 3x - 3 - x £ Û x x - ( Û - 3x x - 3 ) ( x + 3) £ Û x =  x = 0, x + = Û x = -  Bảng xét dấu - ¥ - x x+ ( ) )( + x) £ x ( x + ) ³ 3- x x ( x - 1) ( - )( x) ( - | + +¥ - + - | + + + 3ù È é0; +¥ ) ú û ë  Suy x x + ³ Û x ẻ - Ơ ; - Vy nghim bất phương trình S = - ¥ ; - ( 3ù È é0; +¥ ) ú û ë Bài 18 Giải bất phương trình sau a) ( x - 3) ( x + 2) x2 - 1 0 Û x +5 >0 ( x - 1) ( x + 1) x - x - x + = Û x =- 5, x - = Û x = 1, x + = Û x =- Bảng xét dấu x x +5 x +1 x- x +5 ( x - 1) ( x + 1)  ( x - 3) ( x + 2) - ¥ - +¥ - | | + - - | | + + - | | + + + - + || - || + Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( - 5; - 1) È ( 1; +¥ ) 203 b)    Ta có ( x - 2) x ( x - 4) 1 x2 - x £ Û ³ 0Û ³ 0Û ³ 0Û 2 x +4 x + ( x - 2) ( x + ) ( x - 2) ( x + 4) ( x - 2) x = 0, x - = Û x = 4, x + = Û x =- Bảng xét dấu - ¥ x x +4 x x- x ( x - 4) ( x + 4)  - - | | + - | | - || + 0 +¥ + + - | | + + + - + é Kết hợp với điều kiện xác định suy tập nghiệm bất phương trình S = ( - 4; 0ù ûÈ ë4; +¥ ) Bài 19 Giải bất phương trình sau a) x + < x b) x +1 - x - ³ Lời giải a)  Với x ³ - , ta có bất phương trình tương đương với x + < x Û x > Kết hợp với điều kiện x ³ - , suy bất phương trình có tập nghiệm S1 = ( 1; +¥ 1  Với x - Kết hợp với điều kiện x nên bất phương trình tương đương với 2x - )( x +1 + 2x - )( x +1 - )( x +1 + x- ) £ Û ( - x + 2) ( x - 3) x- £ Bảng xét dấu - ¥ x + - | | + || - x- - x +2 x- ( - x + 2) ( x - 3) x- + + - | | - +¥ + - | | + - + - + é Kết hợp với điều kiện xác định suy tập nghiệm bất phương trình S = ( 1; 2ù ûÈ ë3; +¥ ) Bài 21 Giải biện luận bất phương trình sau a) ( 2x - ) ( x - m) > b) 3- x £ x - 2m + Lời giải a) Ta có x  Û x= Nếu m < 2 , x - m = Û x = m Xét ba trường hợp: ta có bảng sau x 2x - x- m VT - ¥ m +¥ 2/2 - - | + - | + - 0 + + + 205 æ2 ç ; +¥ Do tập nghiệm bất phương trình S = ( - ¥ ; m) È ç ç2 ç è   ỉ 2ư ÷ ç ÷ ç çx ÷ ÷ >0 Û ç ø ÷ è ìï ïü ï ï ý Do tập nghiệm bất phương trình S = Ă \ớ ùù ùù ợ ỵ Nu m > có bảng sau x - ¥ + 2x - x- m | VT + Nếu m = bất phương trình trở thành ÷ ÷ ÷ ÷ ữ ứ xạ +Ơ m | + 0 + + ổ ỗ- Ơ ; ÷ ÷ È ( m; +¥ ) Do nghim ca bt phng trỡnh l S = ỗ ữ ỗ ữ ứ ữ ỗ ố b) iu kiện: x ¹ m - Ta có - x = Û x = , x - 2m + = Û x = m -  Nếu m - < Û m < x +1 - ¥ ta có bảng sau m- + - 3- x x - 2m + VT + | | + + 0 +¥ - + - ) é 3; +¥ Do tập nghiệm bất phương trình S = ( - ¥ ; m - 1) È ê ë  Nếu m - = Û m = 3- x +1 £ Û - £ : lng bất phương trình trở thành x- { 3} Đối chiếu điều kiện ta tập nghiệm bất phương trình S = ¡ \  Nếu m - > Û m > x 3- x x - 2m + VT +1 - ¥ ta có bảng sau + - | ( +¥ m- - | - - 0 + - + ùÈ ( 2m - 1; +¥ ) Do tập nghiệm bất phương trình S = - ¥ ; ú û Bài 22 Giải biện luận hệ bất phương trình sau a) 206 ìï mx - > ïí ïï ( 3m - 2) x - m > ïỵ ( 1) ( 2) b) ìï ïï < x x - í ïï x m ³ ïïỵ ( 1) ( 2) Lời giải a) Khi m = ( 1) vơ nghiệm nên hệ bất phương trình vơ nghiệm ( 2) vơ nghiệm nên hệ bất phương trình vơ nghiệm 1 Khi m ¹ m ¹ Tùy theo giá trị m , ( 1) có nghiệm x > có nghiệm x < ; m m ( 2) có nghiệm x > m có nghiệm x < m 3m - 3m - m ( m - 1) ( m - 2) m = Ta so sánh cách lập hiệu xét dấu D = 3m - m m 3m - m ( 3m - 2) Khi m = x - ¥ + D - +¥ - + + Từ đó, có trường hợp m 1 m > Ta có ( 1) Û x < ( 2) Û x < 3m - m m 3m - æ 1ử ữ - Ơ; ữ ỗ Do ú nghim ca h bt phng trỡnh l S = ỗ ữ ữ ỗ mứ ố Nu m < thỡ D > hay  Nếu < m <  m 1 < Ta có ( 1) Û x > D < hay 3m - m m Do tập nghiệm hệ bất phương trình S = Ỉ m 1 > Ta có ( 1) Û x > Nếu < m < D > hay 3m - m m æ m ; +Ơ ỗ Do ú nghim ca h bt phng trỡnh l S = ỗ ỗ ố3m - v ( 2) Û x < m 3m - ( 2) Û x > m 3m - ÷ ÷ ÷ ÷ ø m 1 m < Ta có ( 1) Û x > ( 2) Û x > 3m - m m 3m - ổ1 ữ ; +Ơ ữ ỗ Do ú nghim ca h bt phng trỡnh l S = ỗ ữ ữ ỗ ốm ứ  Nếu £ m £ D < hay  Nếu m > D > hay m 1 m > Ta có ( 1) Û x < ( 2) Û x < 3m - m m 3m - ổ m ữ ; +Ơ ữ ỗ Do ú tập nghiệm hệ bất phương trình S = ç ÷ ÷ ç3m - è ø b) Ta có bất phương trình ( 1) Û ( x - 1) - ( x - 1) x- < Û 0 x - 2x - ( x - 1) ( x - 1) ( x - 1) ( x - 1) < x < x > Bât phương trình ( 2) Û x ³ m So sánh m với số ; 1; , ta có ỉ1 ữ ;1ữ ẩ 3; +Ơ ) ỗ Nếu m £ tập nghiệm bất phương trình l S = ỗ ữ ữ( ỗ ố2 ứ Lập bảng xét dấu vế trái có nghiệm  Nếu < m < tập nghiệm bất phương trình S = é ëm;1) È ( 3; +¥ ) 207