4 chuong04 file01

CHƯƠNG IV : BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỦ ĐỀ 01 BẤT ĐẲNG THỨC Định nghĩa Cho a , b hai số thực Các mệnh đề " a > b ", " a < b ", " a ³ b ", " a £ b " gọi bất đẳng thức Chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức (mệnh đề đúng) Với A , B mệnh đề chứa biến " A > B " mệnh đề chứa biến Chứng minh bất đẳng thức A > B (với điều kiện đó) nghĩa chứng minh mệnh đề chứa biến " A > B " với tất giá trị biến (thỏa mãn điều kiện đó) Khi nói ta có bất đẳng thức A > B mà không nêu điều kiện biến ta hiểu bất đẳng thức xảy với giá trị biến số thực Tính chất a > b b > c Þ a > c   a>b ³ Þ a > b  a > b Û a +c > b +c a > b c > d Þ a + c > b + d Nếu c > a > b Û ac > bc Nếu c < a > b Û ac < bc Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối - a £ a £ a với số thực a     a ³ b ³ Û a2 ³ b2  a > b ³ Þ a n > bn x < a Û - a < x < a (với a > ) éx > a x >a Û ê êx ) ë Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (Bất đẳng thức Cauchy) a) Đối với hai số không âm Cho a ³ 0, b ³ , ta có bất đẳng thức a +b ³ ab Dấu '' = '' xảy a = b Hệ  Hai số dương có tổng khơng đổi tích lớn hai số  Hai số dương có tích khơng đổi tổng nhỏ hai số b) Đối với ba số không âm Cho a ³ 0, b ³ 0, c ³ , ta có bất đăng thức a +b +c ³ abc Dấu '' = '' xảy a = b = c  163 VẤN ĐỀ 01 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Phương Pháp Để chứng minh bất đẳng thức A ³ B ta sử dụng cách sau:  Ta chứng minh A - B ³ Để chứng minh ta thường sử dụng đẳng thức để phân tích A - B thành tổng tích biểu thức khơng âm  Xuất phát từ bất đẳng thức đúng, biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh Bài Cho a , b số thực Chứng minh a) ab £ a + b2 b) ổa + b ữ ữ ab Ê ỗ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ Li gii a) Ta có a2 + b2 - 2ab = ( a - b)2 ³ Suy a2 + b2 ³ ab hay a + b2 ³ ab Đẳng thức xảy a = b ỉa + b ÷ ư2 b) Bt ng thc tng ng vi ỗ ữ - ab ³ Û a + 2ab + b ³ 4ab Û ( a - b) ³ (đúng) ç ÷ ç è ÷ ø Đẳng thức xảy a = b Bài Cho a , b hai số thực thỏa mãn a ³ b Chứng minh a) ( ) a - b3 ³ ( a - b) b) a3 - 3a + ³ b3 - 3b Lời giải ( ) 2ù é Û ( a - b) ê4 ( a2 + ab + b2 ) - ( a - b) ú³ ê ú ë û 2 a) Bất đẳng thức tương đương ( a - b) a + ab + b - ( a - b) ³ 0 Û ( a - b) é 3a + 3ab + b ù ³ ê ú ë û éỉ ù bư 3b2 ú ê ÷ ÷ Û ( a - b) ờỗ a + + ỗ ú³ (đúng với a ³ b ) ÷ ÷ ỳ ố 2ứ ờỗ ỷ ng thc xy a = b b) Bất đẳng thức tương đương a3 - b3 ³ 3a - 3b - 1 Theo câu a) ta có a3 - b3 ³ ( a - b) , ta cần chứng minh ( a - b) ³ 3a - 3b - 4 é ù Thật vậy, ( * ) Û ( a - b) - 12 ( a - b) + 16 ³ Û ( a - b - 2) ê( a - b) + ( a - b) - 8ú³ ê ú ë û Û ( a - b - 2) ( a- ( *) b + 4) ³ (đúng với a ³ b ) Đẳng thức không xảy Bài Cho a , b số thực Chứng minh a) a4 + b4 - 4ab + ³ b) ( Lời giải 4 2 a) Bất đẳng thức tương đương a + b - a b 164 ) +( a b 2 ) ( ) ( ) 2 a + + b2 + ³ ( ab + 1) - 4ab + ³ ( Û a2 - b2 ) 2 + ( ab - 1) ³ (đúng) Đẳng thức xảy a = b = ±1 ( ) ( ) ( ) 4 2 b) Bất đẳng thức tương đương với a + + b + 2b + - a b + ab + ³ ( ) ( ) ( 2 Û ( a2 - b2 ) + ( a - b) +( a - 1) ³ (đúng) ) Û a4 + b4 - 2a b2 + 2a2 - 4ab + 2b + a4 - 4a2 + ³ Đẳng thức xảy a = b = ±1 Bài a) Cho a , b số thực thỏa mãn ab ³ Chứng minh b) Cho a , b số thực dương Chứng minh ( + a) + 2 a +1 ( + b) + 2 ³ + ab b +1 ³ + ab Lời giải 1 + ³ a) Bất đẳng thức cho tương đương với 2 + ab a +1 b +1 æ ỉ 1 ư ab - a2 ab - b ữ ữ ỗ ữ ữ ç + ³ Û + ³ ç ç ữ ữ ỗ ỗ ữ ố ữ ỗa2 + 1 + ab ứ ỗb2 + 1 + ab ø è a + ( + ab) b2 + ( + ab) ( ) ( ) é ù 2 ú a- b æ b a ö a- b ê b a + a b b a ữ ỗ ỳ ữ ỗ ữ 2 ỳ ữ ỗ1 + b2 + a2 ứ + ab ỗ + ab ê è ê 1+b 1+a ú ë û ( )( ) ( a - b) ( ab - 1) a - b ( a - b) ( ab - 1) Û ³ ³ (đúng với ab ³ 1) + ab + b2 + a2 ( + ab) + b2 + a2 ( )( ) ( )( ) Đẳng thức xảy a = b ab = 2ù 2 é b) Bât đẳng thức tương đương ( + ab) ê( + a) +( + b) ú³ ( + a) ( + b) ê ú ë û 2 é Û ( + ab) ê2 ( + a + b) + a + b ù ³ é( + a + b) + abù ú ú ë û ë û ê ( ) Û + ab a + b2 ³ 2ab + a2 b ( ) ( ) Û ab a2 + b2 - 2ab + a2 b - 2ab + ³ 2 Û ab ( a - b) +( ab - 1) ³ (đúng với a , b > ) Đẳng thức xảy a = b = Bài Cho a , b , c số thực Chứng minh a) ( ) a + b + c ³ ( a + b + c) ( b) a) Bất đẳng thức tương đương a + b + c )³ ( a + b + c) ³ ( ab + bc + ca) Lời giải 2 a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca 165 2 Û ( a - b) +( b - c) +( c - a) ³ (đúng) Đẳng thức xảy a = b = c 2 b) Bất đẳng thức tương đương a + b + c + ab + 2bc + 2ca ³ ( ab + bc + ca) ( ) Û a2 + b + c - ( ab + bc + ca) ³ 2 Û ( a - b) +( b - c) +( c - a) ³ (đúng) Đẳng thức xảy a = b = c Bài Chứng minh a) a +b +c ³ ab + bc + ca với a , b , c số thực dương b) a2 + b2 + c + ³ ( a + b + c) với a , b , c số thực Lời giải a) Bất đẳng thức tương đương a + 2b + 2c - ab - bc - ca ³ Û ( a - b ) +( b Đẳng thức xảy a = b = c > ( c ) +( c - ) ( a ) ³ (đúng) ) ( ) 2 b) Bất đẳng thức tương đương a + a + + b + 2b + + b + 2b + ³ 2 Û ( a - 1) +( b - 1) +( c - 1) ³ (đúng) Đẳng thức xảy a = b = c = Bài Cho a , b , c số thực thỏa mãn a2 + b2 + c = Chứng minh ( + a + b + c + ab + bc + ca) + abc ³ Lời giải ù Vì a2 + b2 + c = suy a , b , c Ỵ é ë- 1;1û nên ta có ( + a) ( + b) ( + c) ³ Û + a + b + c + ab + bc + ca + abc ³ Mặt khác, ta có ( + a + b + c) 2 + a2 + b2 + c + a + 2b + 2c + 2ab + 2bc + 2ca ³ Û + a + b + c + ab + bc + ca ³ ³ 0Û Cộng ( 1) ( 2) vế theo vế ta điều cần chứng minh ìï ( + a) ( + b) ( + c) = ïï ï Û ( a; b; c) = ( - 1; - 1;1) hốn vị Đẳng thức xảy í + a + b + c = ïï 2 ïï a + b + c = ïỵ 2 2 Bài Cho a , b , c , d , e số thực Chứng minh a + b + c + d + e ³ a ( b + c + d + e ) Lời giải Bất đẳng thức tương đương a + b + c + d + e - a ( b + c + d + e) ³ 2 2 ỉa2 ỉa ổa ổa2 ỗ ỗ ỗ 2ữ 2ữ 2ữ 2ữ ữ+ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ac + c + ad + d + ae + e ữ ữ ữ ỗ - ab + b ữ ỗ ỗ ỗ ữ ỗ4 ữ ỗ4 ữ ỗ4 ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ố ø è ø è ø è ø 166 ( 1) ( 2) ổa ỗ ỗ ỗ2 ố ử2 ổa ữ bữ +ỗ ỗ ữ ữ ố ỗ2 ứ ử2 ổa ử2 ổa ữ ỗ ữ ữ cữ + d +ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ố ữ ỗ2 ỗ2 ø ø è ư2 ÷ ³ (đúng) ÷ ÷ ø Đẳng thức xảy a = 2b = 2c = 2d = 2e VẤN ĐỀ 02 PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH a a +c > b b +c Bài Cho a , b , c số thực dương Chứng minh a > b Lời giải Lập hiệu a a + c a ( b + c ) - b ( a + c ) c ( a - b) = = b b +c b ( b + c) b ( b + c) Vì a , b , c > a > b nên c ( a - b) b ( b + c) > Suy điều cần chứng minh Bài 10 Cho a , b , c , d số thực dương Chứng minh a +b a b £ + a) 1+a +b 1+a 1+b b) 1< a b c d + + + x + x + x , với x Ỵ ¡ Lời giải  Xét x £ VT > > > VP  Xét x ³ VT - VP = x ( x - 1) + x ( x - 1) + x ( x - 1) >  Xét < x < VT - VP = x + x ( - x) + x ( - x) +( - x) > Do ta có điều cần chứng minh Bài 14 Chứng minh với số nguyên dương n , ta có 1 a Do p = 2 2 b) Ta có a < b + c suy a < ( b + c) a Û a < ab + ac Tương tự, ta có b2 < ab + bc c < ac + bc Cộng bất dẳng thức vế theo vế, ta có điều cần chứng minh VẤN ĐỀ 03 PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI Cho a , b hai số khơng âm Ta có a +b ³ ab ỉa + b ÷ ab Ê ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ Cho a , b , c ba số không âm Ta có a +b +c ³ 3 abc ỉa + b + c ÷ abc Ê ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ 169 Bài 18 Cho x , y số thực dương thỏa mãn x + y = Chứng minh a) + ³ x y b) 2 ỉ ỉ 1ư 1ư 25 ÷ ç ç ÷ ÷ x+ ÷ + y + ỗ ỗ ữ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ yø è xø è Lời giải a) Đặt A = + , ta cần chứng minh A ³ x y ỉ1 ỉ1 4x y ỗ + ữ ỗ ữ ữ = x + y + ữ = 5+ + ỗ ( ) Ta cú A = 1.ỗ ữ ữ ỗ ç ÷ ÷ ç ç y x èx y ø èx y ø Áp dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số khơng âm Do A = + 4x 4x y 4x y y + ³ =4 , ta có y y x y x x 4x y + ³ +4 = y x ìï x y ïï = ï x Û Đẳng thức xảy í y ïï ïïỵ x + y = ì ïíï y = x Û ïïỵ x + y = ì ïïï x = ïï í ïï y = ïï ïỵ ỉ 1ữ ử2 ổ 25 1ử ữ ỗ ỗ ữ b) t B = ỗx + ữ ữ +ỗ y + ữ , ta cn chng minh B ỗ ữ ỗ ữ ỗ yứ ố xứ ố ổ ử2 ổ1 ữ ỗ1 ữ ỗ ữ Ta cú B = + x + y +ỗ ữ ữ +ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ốx ứ ç èy ø 2 x+y Áp dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số dương x y , ta có ³ xy Û ³ 2 1 2 1 ( 1) + ³ 2 = xy ³ Khi x + y = ( x + y) – xy ³ - = 2 x y x y xy Û ³ xy ( 2) Từ ( 1) ( 2) suy điều cần chứng minh Đẳng thức xảy x = y = Bài 19 Cho a , b số thực dương thỏa mãn a2 + b2 = Chứng minh ỉa ỉa b bư 2 ữ ữỗ + ữ ỗ + 2ữ ỗ a) ỗ b) ( a + b) 16ab + a + b ÷ ÷ ữ ữ ỗ ỗ ốb a ứốb a ứ ( )( ) Lời giải a) Áp dụng bất đẳng thức CơSi, ta có a b a b a b a b + ³ =2, + ³ 2 = b a b a ab b a b a ỉa b a bử ữ ữổ ỗ + ữ + ữ ỗ ỗ Suy ỗ ữ ữ ữỗ ữ ỗb a ứ è èb2 a2 ø ab Mặt khác, ta có = a + b2 ³ a b2 = 2ab Suy ab £ ổa ổa b bử ỗ ữ ữ + ữ + ữ ỗ ỗ T ( 1) v ( 2) , suy ỗ ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ ốb a ứốb a2 ứ ng thức xảy a = b = 170 ( 1) ( 2) ( )( ) 2 2 b) Ta có ( a + b) = a + 2ab + b a + 3ab + 3a b + b Áp dụng bất đẳng thức CơSi, ta có ( ) ( a3 + 3ab2 ) +( 3a2 b + b3 ) ³ ( a3 + 3ab2 )( 3a2b + b3 ) = ab ( + b2 )( a2 +1) 2 2 2 Suy ( a + 2ab + b )( a + 3ab + 3a b + b ) ³ 16 ab ( a + 1)( b + 1) 2 Do ( a + b) ³ 16ab ( + a )( + b ) a2 + 2ab + b2 ³ 2 ab a2 + b = ab ; Đẳng thức xảy a = b = Bài 20 a) Cho x , y số thực dương thỏa mãn 1 + = Chứng minh x y x+ y ³ b) Cho x , y số thực dương thỏa mãn x + y = Chứng minh x + y + y + x £ a) Áp dụng bất đẳng thức CụSi , ta cú 1ổ 1ử ỗ ữ + ữ ỗ ữ ỗ ữ 2ỗ ốx y ứ Li giải 1 hay ³ x y x+ y³ Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức CơSi , ta có xy suy 2+ xy ³ xy ³ = ìï x = y ïï ï Đẳng thức xảy í 1 Û x = y = ïï + = ïïỵ x y b) Đặt B = x + y + y + x , ta cần chứng minh B £ Áp dụng bất đẳng thức CôSi , ta có ( + ) x2 +( y +1) ³ ( + ) y2 +( x +1) ổ 1ử ỗ ữ x2 + ữ ỗ ữ ữ 2ứ ố 2ỗ ổ 1ử ỗ ữ y2 + ữ ỗ ữ ỗ ữ 2ø 2è 2+ 2 + x y + ³ 2 + x y + ; ( 1) 2 + y x +1 ³ 2 + y x +1 ; ( 2) x ( 3) ³ x; ³ y ỉ ÷ ÷ 2+ + x2 + y2 + + ³ 2 + B ỗ Cng tng v ca (1), (2), (3) v (4), ta c ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố 2ứ 2 y ( ( ) Suy 2 + ³ 2 + B hay B £ ( ( 4) ) 2+ ) ( ) ìï + x = y + 1; + y = x + ïï ï Û x=y= Đẳng thức xảy í ïï 2 ïï x = y = ỵ Bài 21 171 ù a) Cho a , b số thực thuộc đoạn é ë0;1û Chứng minh ( – a) ( – b) ( a + b) £ 27 3 ổ ổ 1ử 1ử 343 ữ ữ ỗ b) Cho a , b số thực dương thỏa mãn a + b = Chứng minh ç ÷ ÷ + a + + + b + ỗ ỗ ữ ữ ữ ố ữ ỗ ỗ aứ bứ ố Li gii ộ ù a , b Ỵ 0; a) Do ë û nên - a ³ 0; - b ³ 0; a + b ³ Áp dụng bất đẳng thức CôSi cho ba số không âm, ta có ỉ 1- a +1- b + a + b ÷ ÷ Û (1 - a)(1 - b)(a + b) £ ÷ ÷ 27 è ø ( - a) ( - b) ( a + b) Ê ỗỗỗ ỡù - a = - b ï Û a=b= Đẳng thức xảy í ïïỵ - b = a + b 3 ỉ ư3 343 1ử ổ 1ữ ỗ b) t B = ỗ , ta cần chứng minh B ³ ÷ ÷ 1+a + ữ + + b + ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ aứ ố bứ ố Áp dụng bất đẳng thức CôSi cho ba số dương, ta có 3 ỉ ỉư ữ ổử 7ữ 7ổ 1ử ỗ ỗ ỗ ; ÷ ÷ ÷ ÷ 1+a + ÷ + + ³ ỗ 1+a + ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ố2 ø ÷ è2 ø ÷ ÷ 2è è ( 1) 3 ỉ ỉư ữ ổử 7ữ 7ổ 1ử ỗ ỗ ỗ ÷ ÷ ÷ ÷ 1+b + ÷ + + ³ ỗ 1+b + ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ç ç b ø è2 ø è2 ø 2è bø è ( 2) 3 ỉ ỉ ỉư 1ử 1ử 73 7ữ ổ 1ử ữ ữ ỗ ç Cộng vế (1) (2), ta có ç ÷ 1+a + ÷ +ç1 + b + ÷ + 3ỗ ữ ỗ + a +b + + ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ aứ ố bứ a bø è è2 ø è Lại có bất đẳng thức 1 + ³ a b a +b 3 ỉ ỉ ỉư 1ư 1ư 73 7ữ ổ ữ ữ ữ ỗ ỗ Suy ỗ ữ ữ ữ ữ + a + + + b + + ỗ +a +b + ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ữ ố ữ ữố ữ ỗ ỗ ç2 ø ç aø bø a +bø è è Mà theo giả thiết a + b = nên B + ỉư 73 7÷ ỉ 4ư 343 ÷ ữ 3ỗ ỗ +4 + ữ B ç ç ÷ ÷ ç ç ÷è ÷ 4ø è2 ø ìï ïï + a + = ;1 + b + = a b Û a =b =2 Đẳng thức xảy í ïï ïïỵ a = b; a + b = Bài 22 a) Cho x , y hai số thực dương thỏa mãn x + y = ( x - y) xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y b) Cho x , y , z hai số thực dương thỏa mãn xy + xz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= yz xz 5xy + + x y z Lời giải a) Do x > y > nên từ giả thiết x + y = ( x - y) xy suy x - y > Áp dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số dương 4xy ( x - y) , ta 172