02 chuong02 file1

CHƯƠNG II : TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG CHỦ ĐỀ 01 GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 00 ĐẾN 1800 ( ) 0 · Với góc a £ a £ 180 , ta xác định điểm M nửa đường tròn đơn vị cho a = xOM Giả sử điểm M có tọa độ M ( x0 ; y0 ) Khi sin a = y; cos a = x ( ( y B M ) y a ¹ 900 x x cot a = a ¹ 00 y tan a = yM a ) x A ' ( - 1; 0) xM VẤN ĐỀ 01   O A ( 1; 0) DẤU CỦA GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC Với 00 £ a £ 900 có giá trị lượng giác sin a , cos a , tan a , cot a dương Với 900 £ a £ 1800 có sin a dương cịn lại cos a , tan a , cot a âm ( ) 0 Bài Với giá trị góc a £ a £ 180 thì: a) sin a cos a dấu? b) sin a cos a khác dấu? b) sin a tan a khác dấu? b) cos a cot a khác dấu? Lời giải a) b) sin a cos a dấu khi: 0 < a < 900 sin a cos a khác dấu khi: 900 < a < 1800 ( ) 0 Bài Với giá trị góc a £ a £ 180 thì: a) sin a tan a dấu? Lời giải a) b) sin a tan a dấu khi: 0 < a < 900 sin a tan a khác dấu khi: 900 < a < 1800 ( ) 0 Bài Với giá trị góc a £ a £ 180 thì: a) 56 tan a cot a dấu? Lời giải a) tan a cot a dấu khi: < a < 90 90 < a < 1800 b) Vì cos a cot a ln dấu nên khơng có góc a để cos a cot a khác dấu 0 ( ) 0 Bài Với giá trị góc a £ a £ 180 thì: a) sin a.cos a có giá trị âm c) tan a có giá trị dương cos a b) sin a có giá trị âm tan a Lời giải a) b) c) sin a.cos a < Û cos a < Û 90 < a < 180 sin a sin a.cos a tan a sin a >0 Û > Û ïí Û 0 < a < 90 hay 900 < a < 1800 ï cos a cos a cos a ùợ 0 Bài Cho tam giác ABC Xét dấu: a) sin A.sin B.sin C c) tan b) cos A cos B B C cot Lời giải a) Vì < A , B, C < 180 nên sin A ,sin B ,sin C > Do sin A.sin B.sin C > A A b) Vì 00 < < 90 nên cos > , đó: 2 A  Nếu 00 < B < 90 cos cos B > A  Nếu B = 90 cos cos B = A  Nếu 900 < B < 1800 cos cos B < B C B C B C c) Vì 00 < < 900 0 < < 600 nên tan > 0,cot > 0, tan cot > 3 2 VẤN ĐỀ 02 CHO BIẾT MỘT GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC TÌM CÁC GIÁ TRỊ CONG LẠI Lựa chọn hệ thức thích hợp để từ giả thiết cho, suy dần giá trị lượng giác lại Chú ý dấu giá trị lượng giác, góc nhọn, góc bù Dùng tính chất bậc n (đẳng cấp) để chia sinn a , cosn a đưa tan a ,cot a Bài Cho cos a = - Hãy tính sin a , tan a ,cot a 57 Ta có: Lời giải 16 sin a = - cos a = = Þ sin a = (vì sin a > ) 25 25 sin a ỉ 3ư - ữ tan a = = :ỗ - ữ = ỗ Do cot a = - ÷ ÷ ç cos a è ø Bài Biết sin 150 = Ta có Từ ổ6- 2ử +4 ữ ỗ ữ ỗ cos 15 = - sin 15 = - ç = = ÷ ÷ ç 16 ÷ è ø 2 cos150 = tan150 = cot 15 = Ta có 6- Tính tỉ số lượng giác góc 150 Chứng minh sin150 cos150 = s in300 Lời giải ( ) +1 sin15 cos15 2- = = +1 2 6- = ( = ( ) +1 6- 6+ 2 ) = ( ) +1 6+ ; =2- 3; =2+ sin 150.cos150 = 6+ 6- 1 = ( - 2) = = sin 300 4 Bài Cho tan a = - Tính cos a sin a Lời giải Vì tan a = - < nên 900 < a < 1800 , suy cos a < 1 1 Þ cos a = = = Ta có + tan a = 2 + cos a + tan a Vậy cos a = - Bài Cho cos x = tan a = æ 2 sin a ÷ ÷ ( - 2) = = ỗ suy sin a = cos a.tan a = ỗ ữ ỗ ữ ç cos a è 5ø , tính P = sin x + cos x Lời giải ( ) 13 Ta có P = sin x + cos x = - cos x + cos x = + cos x = + = 4 Bài 10 Cho cos x = 2 6+ , tính P = sin x + cos x Lời giải ỉ6 + 2ư 2+ 2- ÷ Ta có sin x = - cos x = - ỗ ữ ỗ = 1= = ữ ỗ ữ ỗ 4 ữ ố ứ 58 ( 642 ) 6- 0 £ x £ 1800 4 6+ Vậy P = sin x + cos x = 6- + 6+ = 4 Chọn sin x = ( ) ( ) Bài 11 Cho tan a = , tính giá trị biểu thức: a) A= sin a - cos a sin a + cos a B= b) sin a + sin a + cos a Lời giải ( )( ) 2- 2- a) Chia tử mẫu cho cos a , ta A = sin a - cos a = tan a - = - = =7- sin a + cos a tan a + 2- +1 b) Chia tử mẫu cho cos a , ta B = Bài 12 Biết sin a = sin a + sin a + cos a = ( tan a + + tan a tan a + ) = tan2 a +1 = tan a + cotta - an a Tính giá trị biểu thức P = cotta + an a Lời giải cos a sin a ỉư cotta - an a cos a - sin a ÷ 17 ÷ = sin a cos a = = cos a - sin a = - sin a = - ç ç Ta có P = ÷ =25 ç ÷ cotta + an a cos a sin a è5 ø cos2 a + sin a + sin a cos a VẤN ĐỀ 03 GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác bảng giá trị đặc biệt Phối hợp hệ thức đẳng thức Cơng thức hai góc phụ nhau, bù Bài 13 Tìm góc a ,0 £ a £ 1800 trường hợp: a) sin a = c) tan a = - b) cos a = Lời giải a) b) c) sin a = a = 300 hay a = 1500 cos a = a = 900 tan a = - a = - 150 Bài 14 Với góc nào, 00 £ a £ 1800 biểu thức sau xác định: a) - sin a c) sin a + cos a b) + cos a 59 Lời giải xác định sin a ¹ Û a ¹ 900 - sin a b) Vì cos a ³ - 1, " x nên + cos a xác định a) Ta có c) Ta có xác định sin a + cos a ¹ Û sin a ¹ cos a Û tan a ¹ - Û a ¹ 1350 sin a + cos a Bài 15 Cho góc a = 1350 Hãy tính sin a ,cos a , tan a cot a Lời giải ( ) sin1350 = sin 1800 - 1350 = s in450 = Ta có ( ; ) cos1350 = - cos 1800 - 1350 = - cos 450 = tan1350 = cot 135 = sin 1350 cos1350 ; =- 1 =- tan 1350 Bài 16 Tính giá trị lượng giác góc sau đây: a) 1200 c) b) 150 1800 Lời giải 0 0 Sử dụng góc bù nhau: 120 60 ,150 30 ta có a) b) c) sin1200 = ; cos1200 = - ; tan 120 = 2 3; cot 120 =- 3 sin 1500 = ; cos150 = ; tan150 = ; cot 150 = - 2 · Điểm cuối M góc 1800 = xOM có tọa độ M ( - 1; 0) nên sin 180 = , cos1800 = - 1; tan 1800 = 0.cot 180 khơng xác định Bài 17 Tính theo hàm số lượng giác góc bé 900 : sin1000 ,sin 1600 ,cos1700 ,tan1030 45',cot 1240 15' ( ) = sin 80 ; sin 1600 = sin ( 1800 - 160 ) = sin 200 ; tan1030 45' = - tan ( 1800 - 1030 45') = tan 76 015'; cot 124015' = - cot ( 1800 - 124 015') = - cot 550 45' 0 sin 100 = sin 180 - 100 Lời giải Bài 18 Tìm giá trị biểu thức: a) A = sin 300 + 3cos 450 - sin 600 b) Lời giải 3 2a) Ta có A = + = 1+ 2 2 60 B = cos 30 + sin 450 - cos 60 b) Ta có B = 2 +3 - + - = 2 2 Bài 19 Tính giá trị biểu thức: a) a sin 0 + b cos 0 + c sin 90 c) b) a cos 900 + b sin 90 + c sin1800 b) sin x + cos x x 600 ,450 , 300 a2 sin 90 + b2 cos 90 + c cos180 Lời giải 0 a) Ta có a sin + b cos + c sin 90 = b + c b) Ta có a cos 90 + b sin 90 + c sin180 = b c) Ta có a2 sin 900 + b2 cos 900 + c cos1800 = a2 - c Bài 20 Tính giá trị biểu thức: a) sin x + cos x x 0 ,1350 ,1200 c) sin x + cos x x 300 ,750 ,90 ,1450 ,1800 Lời giải a) Khi x = 00 sin x + cos x = 2 Khi x = 1350 sin x + cos x = =0 2 3- Khi x = 1200 sin x + cos x = 1 b) Khi x = 600 sin x + cos x = sin 60 + cos1200 = - = 32 2 Khi x = 450 sin x + cos x = sin 450 + cos 900 = +0 = 1 Khi x = 300 sin x + cos x = sin 300 + cos 600 = + = 2 c) Ta có sin x + cos x = với giá trị x Bài 21 Tính giá trị biểu thức T = - sin x + sin x - - sin x cos x tan x = , tan x = - Lời giải Ta có T = - sin x + sin x = - sin x - - sin x cos x sin x + cos2 x - sin x cos x = cos x - sin x - cos x - 2- = 2 25 16 3 2 cos x = Þ cos x = Khi tan x = sin x = - cos x > với cos x < nên sin x = cos x Þ chọn 16 16 25 4 4 cos x = sin x = Vậy T = - = - 5 5 Khi tan x = x = 60 Þ sin x = cos x = Vậy T = 2 Bài 22 Tính giá trị biểu thức: a) cos 120 + cos 780 + cos 10 + cos 890 b) sin 30 + sin 150 + sin 750 + sin 87 61 Lời giải Sử dụng hai góc phụ ta có a) b) cos 120 + cos2 780 + cos 10 + cos2 89 = sin 780 + cos 780 + sin 890 + cos 890 = + = sin 30 + sin 150 + sin 750 + sin 87 = cos 87 + cos 750 + sin 750 + sin 87 = + = Bài 23 Tính giá trị biểu thức: a) A = cos 00 + cos10 + cos 20 + + cos180 c) b) B = sin 10 + sin 20 + sin 30 + + sin 900 C = tan 10 tan 30.tan 50 tan 89 Lời giải a) Sử dụng hai góc bù để ghép cặp ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Ta có A = cos + cos180 + cos10 + cos170 + cos 80 + cos100 + cos 90 = b) Sử dụng góc phụ để ghép cặp: ( ) ( ) ( ) = ( sin 10 + cos 10 ) +( sin 20 + cos 20 ) + +( sin 440 + cos 44 ) + + 2 2 2 2 Ta có B = sin + sin 89 + sin + sin 88 + + sin 44 + sin 46 + sin 45 + sin 90 c) 91 = 44 + = 2 Sử dụng góc phụ để ghép cặp: ( )( ) ( ) = ( tan 10 cos10 ) ( tan 30.cos 30 ) ( tan 430.cos 430 ) = 0 0 0 Ta có C = tan1 tan 89 tan tan 87 tan 43 tan 47 tan 45 Bài 24 a) Tìm cos x sin x = b) Tìm cos x sin x sin x - cos x = Lời giải a) Ta có cos x = ± - sin x = 2 ìï ïï sin x - cos x = 2 ï Ta có sin x = cos x + vào cos x + cos x - = b) Giải hệ í ïï 3 ïïỵ sin x + cos x = Chọn cos x = 14 - 14 + sin x = 6 Bài 25 Biết sin x + cos x = m a) Tìm sin x.cos x c) Chứng minh - b) Tìm sin x + cos x £ m£ Lời giải a) Bình phương hai vế có sin x + cos x + sin x.cos x = m Nên + sin x.cos x = m2 Vậy sin x.cos x = ( b) Ta có sin x + cos x = sin x 62 ) +( cos2 x) 2 m2 - 2 ( = sin x + cos x c) ) m2 - 1) ( 2 - sin x.cos x = - 2 = + m - m4 2 Từ giả thiết suy sin x = m - cos x Mà sin x + cos x = nên ( m - cos x) + cos x = 2 Từ dẫn đến cos x nghiệm phương trình 2t - 2mt + m2 - = nên D ' ³ Suy m2 £ hay - £ m£ Bài 26 Biết tan a + cot a = k a) Tìm tan a + cot a c) b) Tìm tan a + cot a Chứng minh k ³ Lời giải a) Ta có tan a + cott a = ( an a +cot a) - tan acot a = k - 2 ( ) ( a +cot a) = ( k - 2) - ( k - 2) = ( k - 2)( k - k + 1) b) Ta có tan a + cot a = tan a + cot a - tan a.cott2 a an c) Cách 1: Do tan a cot a dấu nên: tan a + cotta = an a +cot a mà tan a + cot a ³ tan a cot a = Suy tan a + cot a ³ hay k ³ Cách 2: Thay cot a = dẫn đến tan a - k tan a + = tan a Vậy tan a nghiệm phương trình x - kx + = nên D = k - ³ hay k ³ Bài 27 Giải phương trình sau, x ẩn, cịn a góc cho trước: a) x - ( sin a + cos a) x + sin a.cos a = b) x - ( tan a + cot a) x + = Lời giải Ta lập D biến đổi thành tích số để giải: a) Ta có x - ( sin a + cos a) x + sin a.cos a = Û ( x - sin a) ( x - cos a) = nên x1 = sin a , x2 = cos a b) Ta có x - ( tan a + cot a) x + = Û ( x - tan a) ( x - cot a) = nên x1 = tan a , x2 = cot a Bài 28 a) Tìm giá trị lớn biểu thức: P = cos x - cos x + sin x b) Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức: Q = sin x - sin x + cos x Lời giải 2 ( a) Ta có P = cos x - cos x + sin x = cos x - cos x + - cos x ( ) = cos x - cos x + = cos x - ) = sin x Vậy P có giá trị lớn sin x = , tức x = 900 ( ) b) Ta có Q = sin x - sin x + cos x = sin x - sin x + = sin x - = cos x Vậy Q có giá trị nhỏ cos x = , tức x = 900 ; 63 Q có giá trị lớn cos x = , tức x = 00 x = 1800 ; VẤN ĐỀ 04 HỆ THỨC LƯNG GIÁC Sử dụng hệ thức đẳng thức: ( a ± b) = a2 ± 2ab + b ; a + b2 = ( a + b) - 2ab ( a ± b) = a ± 3a2 b + 3ab ± b ; a + b = a + b ( ) - 2a b Sử dụng cơng thức hai góc bù nhau, phụ 900 Chú ý: Nếu cần đặt ẩn phụ, biết đáp số biểu thức không thuộc x cách cho x giá trị đặc biệt thay ( = sin x + cos x ) n , n nguyên dương Bài 29 Đơn giản biểu thức: a) A = cos x + sin x.tan x b) B = + cos x - cos x Lời giải a) Ta có A = cos x + sin x.tan x = cos x + sin x sin x cos x + sin x = = cos x cos x cos x b) Ta có B = + cos x - cos x = - cos x = sin x = sin x = sin x Bài 30 Đơn giản biểu thức: a) b) A = sin x + tan x sin x cos x - sin x B= ( - sin x cos x) sin x + cos x ( sin x + cos x) ( - sin x cos x) Lời giải a) Ta có A = sin x + tan x = sin x b) Ta có B = cos x = sin x sin x = = tan x cos x cos x sin x cos x - sin x 3 ( - sin x cos x) sin x + cos x ( sin x + cos x) ( - sin x cos x) = sin x + cos x - ( cos x - sin x) - sin x ( 3 sin x + cos x Bài 31 Đơn giản biểu thức: a) ( ) ( ) = ( sin x - cos x ) A = sin 90 - x cos 180 - x b) Lời giải ( ) ( ) 0 Ta có B = cos ( 90 - x) sin ( 180 - x) = sin x.sin x = sin x a) Ta có A = sin 90 - x cos 180 - x = cos x ( - cos x) = - cos x b) Bài 32 Chứng minh hệ thức 64 ) sin x + cos x ( ) ( ) B = cos 900 - x sin 1800 - x a) sin x + cos x = c) + cot x = sin x b) + tan x = cos (x¹ x ) 90 ( 00 < x < 1800 ) Lời giải a) Nếu x góc nhọn theo định lý Pitago, ta có sin x + cos x = R2 = Nếu x = 00 x = 900 theo định nghĩa sin 00 + cos 00 = + = sin 900 + cos 900 = + = ( ) Nếu 900 < x £ 1800 đặt t = 1800 - x , ta có sin x + cos x = sin tt+ - cos tt = sin + cos = b) Ta có + tan x = + c) Ta có + cot x = + sin x = cos x + sin x cos x cos x = cos x = cos x + sin x sin x sin x = cos x sin x Bài 33 Chứng minh công thức 900 a) c) ( ) tan ( x + 900 ) = - cot x sin x + 900 = cos x b) d) ( ) cot ( x + 900 ) = - tan x cos x + 900 = - sin x Lời giải ( ) ( ( )) ( ) 0 0 Ta có cos ( x + 90 ) = - cos ( 180 - ( x + 90 ) ) =- cos ( 90 - x) = - sin x cos x =- cot x Ta có tan ( x + 90 ) = - sin x 0 0 a) Ta có sin x + 90 = sin 180 - x + 90 = sin 90 - x = cos x b) c) ( ) d) Ta có cot x + 90 = - sin x =- tan x cos x Bài 34 Chứng minh: a) ( sin x + cos x) c) sin x + cos x = - sin x.cos x = + sin x.cos x b) ( sin x - cos x) = - sin x.cos x Lời giải a) Ta có ( sin x + cos x) = sin x + cos2 x + sin x cos x = + sin x.cos x b) Ta có ( sin x - cos x) = sin x + cos x - sin x cos x = - sin x.cos x c) ( ) +( cos2 x) + sin2 x.cos2 x - sin x.cos2 x = ( sin x + cos x) - sin x.cos x = - sin x.cos x Ta có sin x + cos x = sin x 2 Bài 35 Chứng minh: a) sin x.cos x ( + tan x) ( + cot x) = + sin x.cos x b) ( ) - sin x + cos6 x = sin x.cos x Lời giải a) Ta có sin x.cos x ( + tan x) ( + cot x) = cos x ( + tan x) sin x ( + cot x) 65