CHỦ ĐỀ 04 ỨNG DỤNG VẤN ĐỀ 01 CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC r r rr Sử dụng điều kiện a ^ b Û a.b = uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r Chú ý: Ta có AB ^ CD Û AB.CD = , để chứng minh AB.CD = thông thường phân tích AB, CD qua hai vectơ khơng phương Bài Cho tứ giác ABCD Chứng minh hai đường chéo AC BD vng góc với AB2 + CD = BC + AD Lời giải uur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uur uuu r uuu r Ta có AB2 + CD - BC - AD =- 2CB.CA + 2CD.CA = 2CA CD - CB = 2CA.BD ( ) uur uuu r uuu r uuu r = CB - CA + CD - BC - CD - CA ( ) ( ) uuu r uuu r Do đường chéo AC BD vng góc với CA.BD = Û AB2 + CD = BC + AD Bài Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi M, N thuộc cạnh AB AD cho AM = DN = x a) Chứng minh CN vng góc với DM uur uuu r b) Giả sử P điểm xác định BP = yBC Tìm hệ thức liên hệ x , y a để MN vng góc với MP Lời giải uuur r x uuu r x uuur uuuu a) Ta có DN = - AD , AM = AB a a uuur uuu r uuur uuu r x uuur uuuu r uuur uuuu r x uuu r uuur Suy CN = CD + DN = - AB - AD DM = DA + AM = AB - AD a a uuuu r uuur æx uuu r uuur ửổ uuu r x uuur ỗ ữ ữ AB - ADữ - AB - ADữ ỗ ỗ Suy DM.CN = ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữố ữ a èa ø ø r x uuur x uuu r uuur uuu r uuur x uuu = - AB + AD AB.AD + AB.AD a a a2 uuu r uuur Vì ABCD hình vng nên AB.AD = uuuu r uuur Do DM.CN = - ax + ax = A M B P N D C Vậy CN vng góc với DM uuuu r uuur uuuu r a - x uuu r x uuur uuur uuur uur a - x uuu r uuur AB - AD ; MP = MB + BP = AB + yAD b) Ta có MN = AN - AM = a a a u u u r u u u r u u u r uuur ỉa - x ưỉa - x uuuu r uuur x ÷ ç ÷ ÷ AB - AD÷ AB + yAD ç ç Suy MN ^ MP Û MN MP = ỗ ữ ữ= ữ ữ ỗ a ố a ứỗ ố a ứ ( a - x) a2 uuu r x uuur 2 AB - y.AD = Û ( a - x) = axy a 123 uuur uuu r uuur uuu r Bài Cho tam giác ABC Lấy điểm M, N thỏa mãn BM = BC , AN = AB Gọi I giao điểm AM 3 CN Chứng minh BI ^ IC Lời giải uur uuuu r Giả sử AI = kAM uu r uur uuur uuuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuur ỉ ÷ AB + BC ÷ - AC ỗ Ta cú CI = AI - AC = kAM - AC = k AB + BM - AC = k ỗ ữ ỗ ữ ố ứ uu r uuu r uuur uuu r ö uuur k uuu r ỉk ỉ ưuuur ÷ ÷ AB + AC - ABữ - AC = AB +ỗ - 1ữ AC ỗ ỗ Hay CI = k ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ3 ứ 3 è ø è uuur uuur uuur uuu r uuur Mặt khác CN = AN - AC = AB - AC uu r uuur k Vì CI , CN phương nên k = - Þ k = uur uuuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuur 3ỉ ÷ AB + AC - ABữ = AB + AC ỗ Ta có AI = AM = AB + BM = ç ÷ ç ÷ 7 7è 3 ø ( ( ) ) r uuurö r uuur uu r uur uuu r uuu r uuur uuu r r uuur uur uuur uur uuur ỉ2 uuu uuu uuu ÷ AB + AC ữ = - AB + AC ỗ Suy BI = AI - AB = AB + AC - AB = - AB + AC ; IC = AC - AI = AC - ỗ ữ ữ ỗ 7 è7 ø 7 7 uu r uur ỉ uuu r uuurưỉ uuu r uuurư ỉ uuu r2 uuur uuu r uuurử ỗ ữ ữ - AB + AC ữ - AB + AC ữ = ỗ 10 AB + AC - 32 AB AC ữ ữ ỗ ỗ Do ú BI IC = ỗ ỗ ữ ữ ữ ç ÷ ÷ ç ç 7 ø è øè ø 49 è uuu r uuur uu r uur Vì tam giác ABC nên AB = AC , AB.AC = AB.AC.cos A = AB Suy BI IC = Vậy BI ^ IC Bài Cho tam giác ABC cân A Gọi M trung điểm AB, G trọng tâm tam giác ACM , I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh GI vng góc với CM Lời giải uuu r r uuur r Đặt AB = x ; AC = y : AB = AC = a uuur uuuu r uuur uuu r uuur r r Ta có CM = AM - AC = AB - AC = x - y 2 uuur uur uuuu r uuur Gọi J trung điểm CM, ta có AG = AJ = AM + AC 3 u u u r uuurö r r ổ1 ữ= x + y = ỗ AB + AC ữ ỗ ữ ữ 3ỗ è2 ø ( ) A ( 1) M G I C B ìï uur r a2 uur uuu r ïìï ïï AI x = 2 IA = IA + AB ì ïï ï ïìï IA = IB ïï IA = IB Þ í Þ ïí Þ íï ( 2) Mặt khác í u u r u u u r 2 ïỵï IA = IC ïï IA = IC ïï ïï uur r a2 ïỵ ïï IA = IA + AC ïï AI y = ïỵ ỵï uuur uur uuur uur uuur u u r ỉ1 r r ỉ r r ö r uur r uur r r r r ữỗ ữ= x.AI - y.AI x - y÷ AI - x - yữ x + x.y - x.y + y ỗ ỗ Từ (1) (2), ta có CM.GI = CM AI - AG = ỗ ữ ữ ữỗ ữ ç ø è2 ø è 12 6 ( ( ( = a2 a2 a2 a2 + =0 12 Suy GI vuông góc với CM 124 ) ) ) Bài Cho hình vng ABCD , M điểm nằm đoạn thẳng AC cho AM = AC , N trung điểm đoạn thẳng DC Chứng minh BMN tam giác vuông cân Lời giải uuur uuu r uuuu r r r uuuu r uuur uuuu r r r uuu r r uuur r Đặt AB = x , AD = y Khi MB = AB - AM = 3x - y , MN = AN - AM = x + y 4 uuur uuuu r r r r r r r r r 1ỉ 3x - y x + y = ỗ 3x - y + x.y÷ ÷= Ta cú MB.MN = ỗ ỗ ữ 16 16 ố ứ ( ( )( ) ( VẤN ĐỀ 02 ( ) ) uuur r2 r r r r uuuu r 3x - y = y , MN = x + 3y Mặt khác MB = 16 16 Vậy tam giác BMN vuông cân đỉnh M ( ) ) r2 = y CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC r r Sử dụng bất đẳng thức Cho a , b Khi ta có rr r r r r r r a.b £ a b dấu xảy cos a , b = hay a; b hướng + rr r r r r r r a.b ³ - a b dấu xảy cos a , b = - hay a; b ngược hướng + ( ) ( ) + r r r2 u ³ Dấu xảy u = Bất đẳng thức cổ điển (Cauchy, Bunhiacopxki ) Bài Cho tam giác ABC có trọng tâm G M điểm Chứng minh MA2 + MB2 + MC ³ MA.GA + MB.GB + MC.GC ³ GA + GB2 + GC Lời giải uuur uuuu r uuur uuuu r Ta có MA.MG = MA.MG.cos MA; MG £ MA.MG uuur uur uuur uuu r Tương tự, ta có MB.GB ³ MB.GB; MC.GC ³ MC.GC uuur uuu r uuur uur uuur uuu r Suy MA.GA + MB.GB + MC.GC ³ MA.GA + MB.GB + MC GC uuur uuu r uuur uur uuur uuu r uuuu r uuu r uuu r uuuur uur uur uuuu r uuu r uuu r Mặt khác MA.GA + MB.GB + MC.GC = MG +GA GA + MG + GB GB + MG + GC GC uuuu r uuu r uur uuu r = MG GA + GB + GC + GA + GB + GC = GA + GB2 + GC ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) Suy MA.GA + MB.GB + MC.GC ³ GA + GB2 + GC Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có (*) MA2 + MB2 + MC + GA2 + GB2 + GC ³ MA.GA + MB.GB + MC GC Kết hợp (*), suy MA + MB2 + MC + GA2 + GB + GC ³ MA.GA + MB.GB + MC GC + GA + GB2 + GC hay MA + MB2 + MC ³ MA.GA + MB.GB + MC.GC Vậy ta có điều phải chứng minh 125 Bài Cho tam giác ABC điểm M Chứng minh cos A B C a +b +c MA + cos MB + cos MC ³ 2 2 Lời giải Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Ta có A B C cos uur cos uu uur uu r uur r r cos uur r 2 IC = a.IA + b.IB + c.IC = Þ IA + IB + IA IB IC A' A A A cos cos uuur uur A (vì MA.IA ³ MA.IA ) cos MA = IA IA C B cos uuur uur cos uuur uu r C B Tương tự, ta có MC.IC MB.IB cos MC ³ cos MB ³ IC IB B' B O G C' C A B C uuur uur cos uuur uu r cos uuur uur MA.IA + MB.IB + MC.IC IA IB IC æ A B C ữ cos uur cos uu ỗ uuu rỗ r cos uurữ ữ A B C ỗ 2 ç ÷ = MI ç IA + IB + IC ÷ + cos IA + cos IB + cos IC ữ ỗ ữ IA IB IC 2 ỗ ữ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ M cos A B C a +b +c IA + cos IB + cos IC = AE + BF + CD = 2 2 A B C a +b +c Do cos MA + cos MB + cos MC ³ 2 2 = cos Bài Cho tam giác ABC và ba số thực x , y , z Chứng minh x + y + z ³ yz cos A + zx cos B + xy cos C Lời giải Gọi ( I ; r ) đường tròn nội tiếp tam giác ABC , tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB M, N, P uuu r uur uu r Khi x.IM + y.IN + z.IP ³ ( ) uuu r uur uur uu r uu r uuu r Û x IM + y IN + z IP + xyIM.IN + yzIN IP + zxIP.IM ³ ù 0 Û x + y + z r + 2r é êxy cos 180 - C + yz cos 180 - A + zx cos 180 - B ú³ ë û Û x + y + z ³ yz cos A + zx cos B + xy cos C ( ) ( ) ( Bài Cho tam giác ABC Chứng minh a) ama2 + bmb2 + cmc2 ³ abc c) b) ma2 mb2 mc2 a + b3 + c + + ³ a b c ab + bc + ca Lời giải 126 ) ( ) amb mc + bmc ma + cma mb ³ abc uuu r uur uuu r Ta có x.GA + y.GB + z.GC ³ ( ) ( ) Û ( x + y + z) ( x.ma2 + y.mb2 + z.mc2 ) ³ ( a yz + b zx + c xy ) Û ( x + y + z) x.GA + y.GB2 + z.GC ³ a yz + b zx + c xy a) Cho x = a , y = b , z = c , ta ama2 + bmb2 + cmc2 ³ b) Cho x = c) abc a b c , y= , z= , ta amb mc + bmc ma + cma mb ³ abc ma mb mc m m2 m2 a + b3 + c Cho x = bc , y = ca , z = ab , ta a + b + c ³ a b c ab + bc + ca Bài 10 Cho tam giác ABC Chứng minh a) a2 + b2 + c £ R2 b) R ³ 2r c) R2 + a + b2 ³ c d) 4S £ ( ab + bc + ca) e) ( a - b) 2 abc a + b3 + c + ( b - c ) + ( c - a) £ R ( R - r ) Lời giải uuur uuu r uuur Ta có x.OA + y.OB + z.OC ( ) ( ³ ) Û ( x + y + z) x.OA + y.OB + z.OC ³ a yz + b zx + c xy Û R2 ( x + y + z) ³ a2 yz + b2 zx + c xy a) Cho x = y = z suy a2 + b2 + c £ R2 b) Cho x = a , y = b , z = c suy R ³ 2r c) Cho x = y = - z suy R + a + b2 ³ c d) Cho x = bc , y = ca , z = ab suy 4S £ ( ab + bc + ca) abc a + b3 + c 2 e) Cho x = b + c , y = c + a , z = a + b suy ( a - b) +( b - c) +( c - a) £ R ( R - 2r ) VẤN ĐỀ 03 ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TÍCH ĐƯỜNG TRÒN Phương Pháp Bài tốn: Cho đường trịn (O; R) điểm M cố định Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn hai điểm A, B Chứng minh uuur uuur MA.MB = MO - R2 C C O O M A B M A B 127 uuur uuur Chứng minh: Vẽ đường kính BC đường trịn (O;R) Ta có MA hình chiếu MC lên đường thẳng MB Theo cơng thức hình chiếu, ta có uuur uuur uuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r MA.MB = MC.MB = MO + OC MO +OB = MO - OB MO + OB = MO - OB2 = MO - R ( )( ) ( )( ) Từ toán ta có định nghĩa sau: Định nghĩa: Cho đường trịn (O; R) điểm M cố định Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn uuur uuur hai điểm A, B Khi MA.MB = MO - R2 đại lượng không đổi gọi phương tích điểm M đường trịn (O;R), kí hiệu PM /( O) D Chú ý: Nếu M ngồi đường trịn, vẽ tiếp tuyến MT 2 Khi PM /( O) = MT = MO - R A Tính chất: Cho hai đường thẳng AB CD cắt M Điều kiện cần đủ để bốn điểm A , B , C , D nội tiếp uuur uuur uuur uuuu r đường tròn MA.MB = MC.MD (hay A M M C C D B MA.MB = MC.MD ) Δ B Cho đường AB cắt đường thẳng D M điểm C đường thẳng D ( C ¹ M ) Điều kiện cần đủ để D tiếp tuyến A M đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C MA.MB = MC O B C Bài 11 Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AA', BB', CC' cắt H Chứng minh HA.HA ' = HB.HB ' = HC.HC ' Lời giải · · Ta có BB ' C = BC ' C = 90 suy tứ giác BCB ' C ' nội tiếp đường tròn (C) A tới đường tròn (C)) (1) Tương tự tứ giác ACA ' C ' nội tiếp nên HA.HA ' = HC.HC ' (2) Từ (1) (2) suy HA.HA ' = HB.HB ' = HC.HC ' B' C' đường kính BC Do HB.HB ' = HC.HC ' (vì phương tích từ điểm H H B A' C Bài 12 Cho đường tròn (O;R) điểm P cố định bên đường trịn Hai dây cung thay đổi AB CD qua điểm P vng góc với a) Chứng minh AB2 + CD không đổi b) Chứng minh PA + PB2 + PC + PD khơng phụ thuộc vị trí điểm P Lời giải a) Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AB, CD 128 Suy OE ^ AB OF ^ CD Ta có AB2 + CD = ( AE) +( 2CF ) ( C ) ( = AO - OE2 + CO - OF ( 2 =4é ê2 R - OE + OF ë ) ) ( ) A Suy AB + CD không đổi O F ù= R - OP ú û P D B E b) Ta có PA + PB2 + PC + PD = ( PA + PB) +( PC + PD) - 2PA.PB - 2PC PD uuu r uur uuu r uuu r = AB2 + CD + PA.PB + PC.PD uuu r uur uuu r uuu r 2 2 Mặt khác theo câu a) ta có AB + CD = R - OP PP(O ) = PA.PB = PC.PD = PO - R ( ( ) ) ( ) 2 2 2 2 Suy PA + PB + PC + PD = 2R - OP + PO - R = 4R Vậy PA + PB2 + PC + PD không phụ thuộc vị trí điểm P Bài 13 Cho đường trịn đường kính AB đường thẳng D vng góc với AB H ( H ¹ A , H ¹ B) Một đường thẳng quay quanh H cắt đường tròn M, N đường thẳng AM, AN cắt D M', N' a) Chứng minh bốn điểm M, N, M', N' thuộc đường tròn (C) b) Chứng minh đường trịn (C) qua hai điểm cố định Lời giải · · a) Vì M ' HB = M ' MB = 90 nên tứ giác BHM ' M nội tiếp suy uuur uuu r uuuur uuuu r (1) AH AB = AM '.AM · ' HB = N · ' NB = 90 nên tứ giác HBN ' N nội tiếp suy Tương tự Vì N uuur uuu r uuuur uuur (2) AH AB = AN '.AN uuuur uuuu r uuuur uuur Từ (1) (2), suy AM '.AM = AN '.AN Suy bốn điểm M, N, M', N' thuộc đường tròn b) Gọi P, Q giao điểm đường tròn (C) với đường thẳng AB E, F giao điểm D với đường trịn đường kính AB uuu r uuur uuuu r uuuur uuur uuu r Khi ta có AP.AQ = AM AM ' = AH AB uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uur Mặt khác AH AB = AE + EH AB = AE AE + EB = AE ( ) ( ) uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uur AH AB = ( AF + FH ) AB = AF.( AF + FB) = AF M E M' A PH F N Δ B Q N' uuu r uuur Suy AP.AQ = AE2 = AF Do P, Q thuộc đường trịn (S) tiếp xúc với AE, AF E, F Vì (S) đường tròn cố định nên P, Q cố định thuộc đường tròn (C) Bài 14 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) bán kính R Giả sử M điểm di động đường tròn (O) Nối MA MB MC + + =3 AM, BM, CM cắt (O) A', B', C' Tìm tập hợp điểm M cho MA ' MB ' MC ' Lời giải 129 Ta có MA MB MC MA MB2 MC + + =3Û + + =3 MA ' MB ' MC ' MA '.MA MB '.MB MC '.MC Mặt khác PM /(O ) MA MB2 MC Û - uuuur uuur - uuuur uuur - uuuur uuur = MA '.MA MB '.MB MC '.MC uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur = MA '.MA = MB '.MB = MC '.MC = MO - R ( (*) ) 2 2 Suy (*) Û MA + MB + MC = - MO - R (1) Gọi G trọng tâm tam giác ABC , I trung điểm GO Ta có uuuu r uuu r uuuu r uur MA2 + MB2 + MC = MG + GA + MG + GB ( = MG uuuu r uuu r ) ( ) +( MG +GC ) uuuu r uuu r uur uuu r + MG ( GA + GB + GC ) + GA + GB 2 2 + GC = 3MG + GA + GB2 + GC ( 2 2 2 Từ (1) (2), ta có MG + GA + GB + GC = - MO - R ( (2) ) ) GA2 + GB2 + GC uuu r uur uuu r uur Û MI + IG + MI + IO = R2 GA + GB2 + GC Û MI + IO = R GA2 + GB2 + GC 1 Û MI = R2 GA + GB2 + GC - IO 2 1 GA + GB2 + GC - IO Û MI = k với k = R2 Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm I bán kính R = k Û MG + MO = R2 - ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) Bài 15 Cho đường trịn (O) đường kính AB, điểm H cố định thuộc AB Từ điểm K thay đổi tiếp tuyến B (O), vẽ đường tròn (K; KH) cắt (O) C D Chứng minh CD qua điểm cố định Lời giải Gọi I điểm đối xứng H qua B, suy I cố định thuộc (K) Gọi M giao điểm CD AB Ta có MH MI = MC.MD MC.MD = MA.MB Suy MH MI = MA.MB ( )( ) ( ) Û ( MB + BH )( MB - BH ) = MB + MB.BA C Þ MB + BH MB + BI = MB MB + BA 2 Û MB - BH = MB + MB.BA Û BM = BH BA Vì A, B, H cố định suy M cố định 130 K A H M B D I