2 toàn bộ kiến thức lớp 11

Trần Quang Huy  ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 Trang 34 Chương I Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Tính tuần hồn hàm số lượng giác  y sin  ax  b  2    T y cos  ax  b  a – Hàm số:  tuần hoàn với chu kì  y tan  ax  b      T y cot  ax  b  a – Hàm số:  tuần hồn với chu kì y  f  x y g  x  – Cho hàm số hàm số tuần hồn với chu kì T1 T2 T1 p p Ô y f  x  g  x  +) Nếu T2 q với q tối giản hàm số tuần hồn với chu kì T qT1  pT2 T1 p Ô y f x g x  T q +) Nếu hàm số khơng tuần hồn Đồ thị hàm số lượng giác, tính đơn điệu hàm số lượng giác y x –2π –π –π –3π π O 3π π 2π y x –π –3π –π π O π 3π 2π y x –3π –π –π O π π Trang 35 3π Hàm số y tan x đồng        k ;  k   biến  y Hàm số y cot x nghịch   k ;   k  biến x –2π –3π –π –π O π π 2π 3π Tính chẵn lẻ hàm số   x  D  f   x  f  x y  f  x  x  D – Hàm số xác định D gọi hàm số chẵn khi:    x  D  f   x   f  x  y  f  x – Hàm số xác định D gọi hàm số lẻ khi: x  D  Phương trình lượng giác sin x  x   k 2 sin x a    x     k 2  k ¢ cot x (với  f  x   g  x   k cot f  x  cot g  x     f  x  m Phương trình bậc sinx cosx a) Biến đổi a sin x  b cos x   a b a sin x  b cos x  a  b  sin x  cos x   2  a  b2  a b  Trang 36  k ¢ 1 (với  tan a arctan a )  f  x   g  x   k  tan f  x  tan g  x      f  x    m  cot x a  x   k , k  ¢  k ¢ 1 (với  cos a arccos a )  f  x  g  x   k 2 cos f  x  cos g  x     f  x   g  x   k 2 tan x a  x   k , k  ¢ tan x 1 (với  sin a arcsin a )  f  x  g  x   k 2 sin f  x  sin g  x     f  x    g  x   k 2 cos x a  x   k 2 cos x  k ¢  m, k  ¢   tan   m, k  ¢  arccot a a )  a  b  cos  sin x  sin  cos x   a  b sin    x  với a  cos   2 a b   b sin    a  b2   a sin x  b cos   a  b2  max  a  a sin x  b cos   a  b  tan x  b * Chú ý: b) Phương trình: a sin x  b cos x c 2 – Điều kiện để phương trình có nghiệm: a  b c – TH1: Nếu c 0    – TH2: Nếu c 0   a sin x  b cos x 0  a tan x  b 0  tan x  a sin x  b cos x c  b a a  b sin  x    c  sin  x     c a  b2 Phương trình đẳng cấp với sinx cosx Cách 1: 2 Phương trình: a sin x  b sin x.cos x  c cos d (1)  a d Thì nghiệm phương trình (1) là: Trường hợp 1: Nếu cos x 0  sin x 1    x   k  cos x 0  x   k Trường hợp 2: Nếu trình)  x   k ( khơng nghiệm phương Khi chia vế phương trình (1) cho cos x ta được: a tan x  b tan x  c d  tan x   Cách 2: Ta có: a sin x  b sin x.cos x  c cos x  cos x sin x  cos x  a  b  c 2 b sin x   c  a  cos x 2d  a  c     d d Phương trình bậc sin x cos x Phương trình đối xứng gần đối xứng với sinx cosx a) Phương trình đối xứng: a  sin x  cos x   b  sin x.cos x   c 0  *   t2  t sin x  cos x  sin  x    sin x cos x   với t   Đặt t2  b b  *  at  b  c 0  t  at   c   0   2 2  Do đó: b) Phương trình gần đối xứng: a  sin x  cos x   b  sin x.cos x   c 0 Trang 37  **   1 t2 t sin x  cos x  sin  x    sin x cos x   với t   Đặt 1 t2 b b   c 0   t  at    c  0  **  at  b 2 2  Do đó: Trang 38 CHƯƠNG II TỔ HỢP – XÁC SUẤT Quy tắc cộng, quy tắc nhân Hoán vị a) Cho A gồm n phần tử hoán vị  n 1 Mỗi kết xếp n phần tử tập A gọi Pn n ! n  n  1 2.1 b) Hốn vị vịng quanh Có n vật khác mà xếp vào bàn tròn (xếp vịng quanh) c) Hốn vị lặp  Ta có  n  1 ! cách xếp Cho k phần tử khác từ a1 , a2 , , ak Một cách xếp n phần tử gồm n1 phần tử a1; n2 phần tử a2 ; ; nk phần tử ak (với n1  n2   nk n ) gọi hoán vị lặp n! Pn n1 n2  nk   n1 !.n2 ! nk ! Khi số hốn vị lặp là: Chỉnh hợp  n 1 Lấy k phần tử khác từ tập A xếp theo Cho tập A gồm n phần tử thứ tự ta chỉnh hợp chập k n phần tử A n! Ank  n  n  1  n  k  1  n  k! Tổ hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử phân biệt Mỗi tập gồm k gọi tổ hợp chập k n phần tử Ank n! k Cn   k ! k !  n  k  !  k n  phần tử A k Tính chất số Cn – Từ định lí cơng thức tính số tổ hợp chập k n phần tử, ta có tính chất sau: +) Tính chất 1: Cnk Cnn  k  k n  Trang 39 +) Tính chất 2: Cnk11  Cnk Cnk k n +) Tính chất 3: k C nC k1 n  k  n  (Công thức Pascal) Nhị thức Niutơn a) Công thức: n  a  b n k n k k  C a244 b43 n4 n n n n n n 44 Cn a  Cn a b   Cn ab  Cn b k 0 b) Tính chất n  a  b  thì: – Trong khai triển  n 1 số hạng +) Khai triển có  k  1 khai triển kí hiệu +) Số hạng thứ n +) Với a b 1 ta có: C k n  n  ¥ , k n  * Số hạng tổng quát Tk 1 Cnk a n  k b k Cn0  Cn1  Cn2   Cnn   Cnn   Cnn 2n k 0 n +) Với a 1, b  ta có: k n  C   1 k n Cn0  Cn1  Cn2  Cn3     1 Cnn 0 k 0 2n  C  C  C  C  C  C   2 n  n k n k k k  a  bx  Cn a b x với a  0, b  0, k n, k  ¥ – Trong khai triển n 1 b n 1 b  Cnk an k bk  max   a  b  k  a  b Thì để n n – Bổ sung: n n n n 1.Cn1  2.Cn2    n  1 Cnn   n.Cnn n.2 n  Xác suất biến cố a) Công thức P  A  n  A n   Xác suất biến cố: n  A +) : Số khả xảy biến cố A n   +) : Số khả xảy phép thử b) Tính chất xác suất – Tính chất: P    0 P    1 +) A   : P  A  1 +) P A 1  P  A  +)   P  A  B  P  A   P  B  – Công thức cộng xác suất: Nếu A B xung khắc  A  B  – Công thức nhân xác suất: Với hai biến cố A B độc lập ta có P  A  B  P  A.B  P  A  P  B  (Hai biến cố độc lập xảy biến cố không ảnh hưởng tới xác suất biến cố kia) Bổ sung kiến thức đa giac Trang 40 – Số vectơ tạo thành từ đa giác: An (vectơ) – Số đoạn thẳng tạo từ đa giác: Cn (đoạn) – Số đường chéo đa giác: Cn  n (đường) – Số tam giác tạo n đỉnh: Cn (tam giác) – Số tứ giác tạo n đỉnh: Cn (tứ giác) – Số tam giác có cạnh cạnh đa giác: n (tam giác) – Số tam giác có cạnh cạnh đa giác: n  n  4 (tam giác) Cn3  n  n  3 – Số tam giác khơng có cạnh cạnh đa giác: C n2 n 2   0 n 2 – Số hình chữ nhật tạo n đỉnh:   4C   0 n (tam giác) (hình chữ nhật) n 2 n 2 – Số tam giác vuông tạo thành từ n đỉnh: (tam giác) nC n n 2   n 2 nC n  – Số tam giác tù tạo thành từ n đỉnh: (tam giác) – Số tam giác nhọn tạo thành từ n đỉnh: Số tam giác tùy ý trừ số tam giác vuông tù n n 3  3  n 3 (tam giác) – Số tam giác tạo thành từ n đỉnh: 0   n    3       n  3    – Số tam giác cân không tạo thành từ n đỉnh:   n  2   1   n  1   1   Trang 41 n 2 n 2 (tam giác) CHƯƠNG III DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN Quy nạp toán học Để chứng minh toán liên quan tới tập số tự nhiên phương pháp quy nạp ta thực bước sau: – Bước 1: (Bước sở): kiểm tra toán với giá trị nhỏ p thỏa mãn – Bước 2: (Bước quy nạp)” +) Nêu giả thiết quy nạp (giả sử toán với n k  p ) +) Kết luận quy nạp: Chứng minh toán tiếp tục với n k  – Bước 3: Kết luận Dãy số tăng, dãy số giảm – Tính tăng, giảm dãy số:  n  ¥ * : un  un 1  n  ¥ * : un 1  un    u n  ¥ * : n1   un    un u  +) n dãy số tăng  n  ¥ * : un  un 1  n  ¥ * : un 1  un    u n  ¥ * : n 1   un    un u  +) n dãy số giảm – Công thức giải nhanh số dạng dãy số: u  +) Dãy số n có un an  b tăng a  giảm a   u  u q n : +) Dãy số n có n  Không tăng, không giảm q   Giảm  q   Không tăng không giảm q  an  b u  * n u  cn  d với điều kiện cn  d  0, n  ¥ : +) Dãy số n có  Tăng ad  bc   Giảm ad  bc  Dãy số bị chặn – Tính bị chặn dãy số: u   M , n  ¥ * : un M +) n dãy số bị chặn u   m, n  ¥ * : un m +) n dãy số bị chặn u   m, M : un M , n  ¥ * +) n dãy số bị chặn Cấp số cộng, cấp số nhân Cấp số cộng  un  dãy cấp số cộng khi: Định nghĩa n  ¥ * : un 1 un  d (d: công sai) un u1   n  1 d Số hạng tổng quát với n 2 u u uk  k  k 1 Tính chất với k 2 Trang 42 Cấp số nhân  un  dãy cấp số nhân khi: n  ¥ * : un1 un q (q: cơng bội) un u1.q n  với n 2 uk2 uk  1.uk 1 với k 2 Tổng n số hạng Sn u1  u2   un Sn    S n n.u1  u1   q n   Sn  1 q   u1 Sn  1 q   u u  n  n n  2u1   n  1 d  q 1 q 1 q  CHƯƠNG IV GIỚI HẠN Giới hạn dãy số Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực Giới hạn đặc biệt: 1 lim 0; lim k 0 ( k   ) n   n n   n n lim q 0 ( q  1) Giới hạn đặc biệt: lim n  lim n k (k   ) n   lim q (q  1) n   n   Định lí: lim C C n   a) Nếu Định lí: a) Nếu lim un a ; lim b  lim(un  ) a  b  lim(un ) a.b un a  (b 0) b b) Nếu un 0; n lim un a a 0 lim un  a  lim un vn ; n lim un  lim 0 un b) Nếu lim un a ; lim  c) Nếu lim un a 0, lim 0  lim(un  ) a  b lim 0 lim un 0 lim un  a d) Nếu lim un a c) Nếu n   n (a.vn  0) un   (a.vn  0)   d) Nếu lim un  , lim a lim  lim(un )    (a  0) (a  0) Dạng 1: Dãy số có giới hạn Định nghĩa dãy số có giới hạn 0: lim un 0     0, n0 : n  n0  un    – Định nghĩa: – Nhận xét:  U n  có giới hạn dãy số  U n  có giới hạn +) Dãy số  U n  , với U n 0 dãy số có giới hạn (hay lim 0 ) +) Dãy số không đổi Một số dãy số có giới hạn 0: 1  lim 0 lim  0 lim n 0 k n n  lim  0, k const  n lim 0 lim 0 lim 0 n n n  Định lí:  un vn un , :   lim un 0 lim v     n – Định lí 1: Cho hai dãy số: n q   lim q 0 – Định lí 2: Nếu Trang 43 lim un 0