Một số tính chất topo được bảo toàn trên siêu không gian

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– HỒ QUỐC TRUNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT TOPO ĐƯỢC BẢO TỒN TRÊN SIÊU KHƠNG GIAN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đà Nẵng - 2022 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– HỒ QUỐC TRUNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT TOPO ĐƯỢC BẢO TỒN TRÊN SIÊU KHƠNG GIAN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển Đà Nẵng - 2022 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cám ơn chân thành tới thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển tận tình hướng dẫn động viên em suốt trình thực luận văn, nhờ em hồn thành luận văn tốt nghiệp Tuy gặp không khó khăn thực đề tài nhờ giúp đỡ từ q thầy cơ, gia đình bạn bè, em nỗ lực tìm tịi học hỏi nhiều kiến thức bổ ích cho thân hoàn thành luận văn Đây cột mốc, sản phẩm đánh dấu trưởng thành thân em suốt thời gian học tập em Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Em xin chân thành cảm ơn! Hồ Quốc Trung MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1.CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Không gian topo, tập hợp mở lân cận tập hợp 1.2 Tập hợp đóng, bao đóng phần tập hợp 1.3 Một số tiên đề tách 15 1.4 Không gian con, không gian compact 16 CHƯƠNG Một số bảo tồn siêu khơng gian 20 2.1 Siêu không gian F(X) 20 2.2 Sự bảo tồn tập siêu khơng gian 31 2.3 Sự bảo toàn số tính chất mạng siêu khơng gian 33 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Năm 1931, K Borsulk S Ulam giới thiệu khái niệm tích đối xứng cấp n khơng gian topo đưa số tính chất quan trọng ([4]) Từ đó, siêu khơng gian khác hình thành thu hút quan tâm đơng đảo tác giả giới Chính nhờ điều đó, năm gần đây, mơ hình bảo tồn số tính chất topo từ khơng gian lên tích đối xứng siêu không gian nghiên cứu cách sôi thu khơng kết thú vị (xem [4]-[14]) Cụ thể, C Good S Marcías chứng minh bảo toàn hàng loạt tính chất topo mạng, họ rời rạc, họ CP, lên tích đối xứng cấp n siêu khơng gian gồm tập hữu hạn ([6]) Gần đây, L Q Tuyển O V Tuyên đưa kết rằng, không gian topo có cn-mạng (ck-mạng) có tính chất σ(P ), tích đối xứng cấp n có cn-mạng (tương ứng, ckmạng) có tính chất σ-(P ) (xem [12]) Bên cạnh đó, tác giả đặt số tốn mở liên quan đến tích đối xứng cấp n siêu khơng gian F(X) Các tốn thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu topo đại cương đến chưa có lời giải đáp Nhận thấy xu hướng nghiên cứu mẻ thú vị này, tơi dành thời gian nghiên cứu với mong muốn chứng minh bảo toàn số tính chất topo khác lên siêu khơng gian gồm tập hữu hạn Nhờ đó, hướng dẫn thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, định chọn đề tài: “Một số tính chất topo bảo tồn siêu khơng gian” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Trong luận văn này, nghiên cứu tính chất topo khơng gian topo X bảo tồn trên siêu khơng gian F(X) Đưa số kết mở rộng số kết tác giả trước Đối tượng nghiên cứu Các tính chất mạng, siêu khơng gian F(X) Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu bảo tồn số tính chất topo khơng gian topo X siêu không gian F(X) Phương pháp nghiên cứu • Tham khảo tài liệu, hệ thống lại số kiến thức topo đại cương • Thu thập báo khoa học tác giả trước liên quan đến siêu khơng gian F(X) • Bằng cách tương tự hóa, khái quát hóa nhằm đưa kết mở rộng số kết tác giả trước • Phân tích, đánh giá, tổng hợp trao đổi với thầy hướng dẫn kết nghiên cứu để hoàn chỉnh khóa luận Cấu trúc đề tài Nội dung khóa luận trình bày hai chương Ngồi ra, đề tài có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1, trình bày số kiến thức topo đại cương nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương Chương 2, trình bày tính chất topo siêu khơng gian chia làm mục Mục 2.1, trình bày siêu khơng gian Mục dành cho việc trình bày chứng minh chi tiết lại số khái niệm kết liên quan đến siêu không gian tác giả trước Mục 2.2, trình bày số tính chất mạng siêu khơng gian Trong mục này, chúng tơi chứng minh bảo tồn tập mở (đóng, nửa-mở tương ứng) lên siêu khơng gian Mục 2.3, trình bày bất biến họ CF, T 2-khơng gian khơng gian quy lên siêu khơng gian CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT Chương dành cho việc trình bày số kiến thức topo đại cương Các khái niệm tính chất trình bày chương chúng tơi lấy [5] nhằm phục vụ cho việc chứng minh kết chương sau 1.1 Khơng gian topo, tập hợp mở lân cận tập hợp Định nghĩa 1.1.1 Giả sử τ họ gồm tập tập hợp X thỏa mãn điều kiện sau (a) ∅,X∈τ; (b) Nếu U, V ∈ τ, U ∩ V ∈ τ; (c) Nếu {Uα}α∈Λ ⊂ τ, Uα ∈ τ α∈Λ Khi đó, (1) τ gọi topo X (2) Cặp (X, τ) gọi không gian topo (3) Mỗi phần tử τ gọi tập hợp mở (4) Mỗi phần tử X gọi điểm Nhận xét 1.1.2 ([5]) Đối với không gian topo X, khẳng định sau (1) ∅, X tập hợp mở; (2) Giao hữu hạn tập hợp mở tập hợp mở; (3) Hợp tùy ý tập hợp mở tập hợp mở Ví dụ 1.1.3 (1) Giả sử X tập hợp tùy ý, T = { , X} Khi đó, T topo X gọi topo thơ X, (X, T ) gọi không gian topo thô (2) Giả sử X tập hợp tùy ý, T = P(X) Khi đó, T topo X gọi topo rời rạc X (3) Giả sử X = R Ký hiệu τ= i ∈ I(ai, bi) : ai, bi ∈ R, ≤ bi Khi đó, τ topo X topo tự nhiên hay topo thông thường R (4) Giả sử X tập hợp vô hạn Ta đặt τ = {U ⊂ X : U = ∅ X \ U hữu hạn} Khi đó, τ topo X gọi topo Zariski topo đối hữu hạn X Chứng minh Khẳng định (1), (2), (3) rõ ràng Bây ta chứng minh khẳng định (4) Thật vậy, ˆ Từ định nghĩa τ ta suy ∅ ∈ τ Mặt khác, X\X = ∅ tập ˆ hữu hạn nên X ∈ τ Giả sử {Ui : i ∈ I} ⊂ τ U = Ui Khi đó, U = ∅, rõ ràng i∈I U ∈ τ Bây giờ, giả sử U ̸= ∅, tồn i ∈ I cho Ui ̸= ∅ Bởi Ui ∈ τ nên X\Ui hữu hạn Hơn nữa, Ui ⊂ U nên ta suy X \ U ⊂ X\Ui ˆ Do đó, X\U hữu hạn Bởi vậy, U = Ui ∈ τ i∈I Giả sử U1, U2 ∈ τ, U1 ∩ U2 = ∅, rõ ràng U1 ∩ U2 ∈ τ Bây giờ, giả sử U1 ∩ U2 ̸= ∅ Khi đó, U1 = ̸ ∅ U2 ̸= ∅ Bởi U1, U2 ∈ τ nên X\U1 X\U2 hữu hạn Hơn nữa, X\(U1 ∩ U2) = (X\U1) ∪ (X\U2) nên X\(U1 ∩ U2) hữu hạn Do vậy, (U1 ∩ U2) ∈ τ Như vậy, τ topo X Định nghĩa 1.1.4 Giả sử A tập khác rỗng khơng gian topo (X, τ) Khi đó, tập U X gọi lân cận A tồn V ∈ τ cho A⊂V ⊂U Ngồi ra, U ∈ τ, ta nói U lân cận mở A Đặc biệt, A = {x}, ta nói U lân cận x Nhận xét 1.1.5 ([5]) Lân cận điểm không thiết tập hợp mở, tập hợp mở lân cận điểm thuộc Chứng minh Trên tập hợp số thực R với topo thông thường τ, giả sử U = [−1; 1] V = (−1; 1) Khi đó, V ∈ τ U lân cận điểm x = x ∈ V ⊂ U U ∈/ τ Do đó, lân cận điểm không thiết tập mở Ngược lại, giả sử U tập mở x ∈ U Khi đó, ta đặt V = U rõ ràng V ∈ τ x ∈ V ⊂ U Như vậy, U lân cận x