MỘT SỐ TÍNH CHẤT TOPO ĐƯỢC BẢO TOÀN TRÊN SIÊU KHÔNG GIAN

ĐẠIH Ọ C Đ À N Ẵ N G TRƯỜNGĐ Ạ I H Ọ C S Ư P H Ạ M ——————————– HỒQUỐCTRUNG MỘTSỐTÍNHCHẤTTOPOĐƯỢCBẢO TỒNT RÊ N S I Ê U K H Ơ NG GI AN KHĨALUẬNTỐTNGHIỆP ĐàNẵng-2022 HỒQUỐCTRUNG MỘTSỐTÍNHCHẤTTOPOĐƯỢCBẢO TỒNT RÊ N S I Ê U K H Ô NG GI AN KHÓALUẬNTỐTNGHIỆP Giảngviênhướngdẫn: TS.LươngQuốcTuyển ĐàNẵng-2022 LỜICẢMƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cám ơn chân thành tới thầy giáo TS.Lương Quốc Tuyển tận tình hướng dẫn động viên em suốt qtrìnhthựchiệnluậnvăn,nhờđóemcóthểhồnthànhđượcbàiluậnvăntốtnghiệpnày Tuygặpkhơngítkhókhănkhithựchiệnđềtàinhưngnhờsựgiúpđỡtừq u ý t h ầ y c ô , g i a đ ì n h v b n b è , e m đ ã n ỗ l ự c t ì m t ị i h ọ c h ỏ i đ ợ c nhiều kiến thức bổ ích cho thân hồn thành luận văn Đây cũnglàc ộ t m ố c , s ả n p h ẩ m đ n h d ấ u s ự t r n g t h n h c ủ a b ả n t h â n e m t r o n g suốtthờigianhọctậpcủaemtạiKhoaToán,TrườngĐạihọcSưphạm-ĐạihọcĐàNẵng Emxinchânthànhcảmơn! HồQuốcTrung MỤCLỤC MỞĐẦU CHƯƠNG1.CƠSỞLÝTHUYẾT .4 1.1 Khônggiantopo,tậphợpmởvàlâncậncủamộttậphợp 1.2 Tậphợpđóng,baođóngvàphầntrongcủamộttậphợp .9 1.3 Mộtsốtiênđềtách 15 1.4 Khônggiancon,khônggiancompact 16 CHƯƠNG2.Mộtsốb ả o t oà n t r ê n s iê u k h ô n g gi a n 20 2.1 SiêukhônggianF(X) 20 2.2 Sựbảotồncủacáctậptrênsiêukhơnggian 31 2.3 Sựbảotồncủamộtsốtínhchấtmạngtrênsiêukhơnggian3 KẾTLUẬN .41 TÀILIỆUTHAMKHẢO 42 MỞĐẦU Lýdo ch ọn đề tà i Năm1931,K.BorsulkvàS.Ulamđãgiớithiệukháiniệmtíchđốixứngcấpncủak hơnggiantopovàđãđưaramộtsốtínhchấtquantrọngcủanó([4]).Từ đó, siêu khơng gian khác hình thành thu hút đượcsựquantâmcủađơng đảocác tác giả trênthế giới Chínhnhờ điều đó,trong năm gần đây, mơ hình bảo tồn số tính chấttopo từ khơng gian lên tích đối xứng siêu không gianđược nghiên cứu cách sôi thu khơng kết thú vị(xem[4]-[14]) Cụ thể, C Good S Marcías chứng minh bảo tồn củahàng loạt tính chất topo mạng, họ rời rạc, họ CP, lên tích đối xứngcấpncũngnhưsiêukhơnggiangồmcáctậpconhữuhạncủanó([6]).Gầnđây, L Q T u y ể n v O V T u y ê n đ ã đ a r a k ế t q u ả r ằ n g , n ế u l k h ô n g giant o p o c ó c n -mạng( ck-mạng)c ó t í n h c h ấ t σ -(P),t h ì t í c h đ ố i x ứ n g c ấ p ncủa cócn-mạng (tương ứng,ck-mạng) có tính chấtσ-(P)(xem[12]) Bêncạ n h đ ó, t c g i ả đ ãđ ặ t ramộ t s ố b ài to án mở l i ê n q u a n đ ến tíc hđ ố i x ứ n g c ấ p n vàs i ê u k h ô n g g i a n F(X).C c b i t o n n y đ ã t h u hú tsựquantâmcủanhiềunhànghiêncứutopođạicươngvàđếnnayvẫnchưacólờigiảiđáp Nhận thấy xu hướng nghiên cứu mẻ thú vị này, tơi đãdànhthờigiannghiêncứuvàvớimongmuốncũngsẽchứngminhđượcsựbảo tồn số tính chất topo khác lên siêu khơng gian gồm tậpcon hữu hạn Nhờ đó, hướng dẫn thầy giáo TS Lương QuốcTuyển,t ô i đ ã q u y ế t đ ị n h c h ọ n đ ề t i : “ M ộ t s ố t í n h c h ấ t t o p o đ ợcbảo tồntrênsiêukhơnggian”l m đềtàicholuậnvăntốtnghiệpcủamình Mụcđ í c h n g h i ê n c f í u Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu tính chất topo khơnggianto p o X đ ợ c b ả o t o n t r ên t r ê n s i ê u k h ô n g g i a n F(X).Đ a r a m ộ t sốkếtquảmớihoặcmởrộngmộtsốkếtquảcủacáctácgiảđitrước Đốit ợ n g n g h i ê n c f í u Cáctínhchấtmạng,siêukhơnggianF(X) Phạmv i n g h i ê n c f í u Nghiên cứu bảo tồn số tính chất topo không giantopoXtrênsiêukhônggianF(X) Phươngp h p n g h i ê n c f í u • Thamkhảotàiliệu,hệthốnglạimộtsốkiếnthứcvềtopođạicương • Thuthậpcácbàibáokhoahọccủacáctácgiảđitrướcliênquanđếnsiêukhơ nggianF(X) • Bằngcáchtươngtựhóa,kháiqthóanhằmđưaracáckếtquảmớicũngn hưmởrộngmộtsốkếtquảcủacáctácgiảđitrước • Phântích,đánhgiá,tổnghợpvàtraođổivớithầyhướngdẫnkếtquảđangng hiêncứuđểhồnchỉnhkhóaluậncủamình Cấutrúccủađềtài Nộidungkhóaluậnđượctrìnhbàytronghaichương.Ngồira,đềtàicóLờicảmơn, Mụclục,phầnMởđầu,phầnKếtluậnvàTàiliệuthamkhảo Chương 1, trình bày số kiến thức topo đại cương nhằmphụcvụchoviệcnghiêncứuChương2 Chương 2, trình bày tính chất topo siêu không gian chialàm2mục Mục2 , t r ì n h b y v ề s i ê u k h ô n g g i a n M ụ c n y d n h c h o v i ệ c t r ì n h bày chứng minh chi tiết lại số khái niệm kết liên quan đếnsiêukhơnggiancủacáctácgiảđitrước Mục 2.2, trình bày số tính chất mạng siêu không gian Trongmục này, chứng minh bảo tồn tập mở (đóng, nửa-mởtươngứng)lênsiêukhơnggian Mục 2.3, trình bày bất biến họ CF,T2-khơng gian khơng gianchínhquylênsiêukhơnggian CHƯƠNG1 CƠSỞLÝTHUYẾT Chươngnàydànhchoviệctrìnhbàymộtsốkiếnthứcvềtopođạicương.Cáck h i n i ệ m v c c t í n h c h ấ t t r ì n h b y t r o n g c h n g n y đ ợ c c h ú n g lấy trong[5] nhằm phục vụ cho việc chứng minh kết củachươngsau 1.1 Khơnggiantopo,tậphợpmởvàlâncậncủamộttậphợp Địnhn g h ĩ a G i ả sử τl họnàođógồmcác tậpconc ủatậphợp Xt h ỏa mãncácđiềukiệnsau (a) ∅,X∈τ; (b) NếuU,V∈ τ,thìU∩V∈ τ; α∈ Λ S (c) Nếu{Uα}α∈Λ⊂τ,thì U α∈τ Khiđó, (1) τđ ợ c gọilàmộttopot r ê n X (2) Cặp( X,τ)đ ợ c g ọ i l m ộ t k h ô n g g i a n t o p o (3) Mỗiphầntửcủaτđược gọilàmộttậphợpmở (4) MỗiphầntửcủaXđượcgọilàmộtđiểmc ủ a Nhậnx é t ( [ ] ) Đ ố i v i k h ô n g g i a n t o p o X,c c k h ẳ n g đ ị n h s a u làđúng (1) ∅,Xlàcáctậphợpmở; (2) Giaohữuhạntậphợpmởlàmộttậphợpmở; (3) Hợptùyýcáctậphợpmởlàmộttậphợpmở Víd ụ ( ) G i ả s X l m ộ t t ậ p h ợ p t ù y ý , T = {∅,X}.K h i đ ó , Tlà topo trênt topo trênXvà gọi làtopo thơtrênX, (X,T)đượcgọilàkhơnggiantopothơ (2) Giảs X l m ộ t t ậ p h ợ p t ù y ý , T = P (X).K h i đ ó , T l m ộ t t o p o XvànóđượcgọilàtoporờirạctrênX (3) GiảsửX=R.Kýhiệu τ= [∈ } I(ai,bi):a i,bi∈R,ai≤b i i Khiđó,τl mộttopotrênXvà nólàtopotựnhiênh a y topothơngthư ờngt r ê n R (4) GiảsửXlàtậphợpvôhạn.Tađặt τ= {U⊂ X:U= ∅h o ặc c X\Uh ữ u hạn} Khiđó,τl mộttopotrênXvàđượcgọilàtopoZariskihaylàtopo đốihữuhạnt r ê n X Chứngminh.K h ẳ n g định(1),(2), (3)làrõràng.Bâygiờtachứngminh khẳngđịnh(4).Thậtvậy, đị n h n g h ĩ a c ủ a τ t a s u y r a ∅ ∈ τ M ặ t k h c , v ì X \ X= ∅l t ậ p hữuhạnnênX∈τ S G i ả sử { Ui:i ∈ I}⊂ τvàU= Ui.Khiđó,nếuU= ˆT ˆ i∈I ,thìrõràng ∅ U∈τ.Bâygiờ,giảsửU̸ =∅,khiđótồntạii∈Isaocho U i̸ =∅ BởivìU i∈τn ê n X\Uihữuhạn.Hơnnữa,vìU i⊂Un ê n tasuyra X\U⊂X\Ui S \ ∈ Dođó,XU hữuhạn.Bởivậy,U= i∈I Ui τ s U 1,U2∈ τ ,k h i đ ó n ế u U 1∩U 2= ∅,t h ì r õ r n g U 1∩U 2∈ τ Bâygiờ,giảsửU 1∩U2≠ ∅.Khiđó, ˆG i ả U1̸ =∅v U 2̸ =∅ Bởiv ì U 1,U2∈ τ n ê n X \U1v X \U2h ữ u h n H n n ữ a , v ì X\(U1∩U2)=(X\U1)∪(X\U2) nênX\(U1∩U2)hữuhạn.Dovậy,(U1∩U2)∈τ Nhưvậy,τl mộttopotrênX Định nghĩa 1.1.4.Giả sửAlà tập khác rỗng không giantopo(X, τ τ) Khi đó, tập conUcủaXđược gọi mộtlân cận củaAnếutồntạiV∈ τs a o cho A⊂V⊂ U Ngồira,nếuU∈τ,thìtanóirằngU l l â n c ậ n m củaA Đ ặ c b i ệ t , nếuA={x },thìtanóirằngUl lâncậncủa x Nhậnx é t ( [ ] ) L â n c ậ n c ủ a m ộ t đ i ể m k h ô n g n h ấ t t h i ế t l m ộ t tậphợpmở,nhưngmỗitậphợpmởlàlâncậncủamọiđiểmthuộcnó Chứngm i n h T r ê n t ậ p h ợ p c c s ố t h ự c R vớ i t o p o t h ô n g t h n g τ ,g i ả s U=[−1;1]vàV= (−1;1).Khiđó,V∈ τv Ul mộtlâncậncủađiểm x=0vìx∈V⊂ Un h n g U ∈/τ Dođó,lânc ậnc ủ a mộtđiểmkhơng nhấtthiếtlàmộttậpmở Ngượcl i , g i ả s U l t ậ p m v x ∈U.K h i đ ó , n ế u t a đ ặ t V = Ut h ì r õ ràng V∈ τv x∈V⊂ U.Nhưvậy,Ul àmộtlâncậncủax