Một phương pháp điểm bất động giải bài toán chấp nhận tách

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THẾ ĐẠO MỘT PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM BẤT ĐỘNG GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THẾ ĐẠO MỘT PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM BẤT ĐỘNG GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH Chuyên ngành: Phương pháp Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Danh sách ký hiệu iv Mở đầu 1 Điểm bất động ánh xạ không giãn 1.1 Không gian Hilbert thực 1.2 Tập lồi, hàm lồi vi phân 1.3 Điểm bất động ánh xạ không giãn 1.4 Thuật tốn Mann, Halpern tính điểm bất động ánh xạ khơng giãn 11 1.5 Tốn tử chiếu không gian Hilbert 14 Bài toán chấp nhận tách 15 2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 15 2.2 Bài toán chấp nhận tách (Split feasibility problem) 18 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung luận văn tổng hợp từ tài liệu nêu phần tài liệu tham khảo theo chủ đề đề tài Tôi xin cam đoan luận văn chép tài liệu có Thái Nguyên, ngày 01 tháng 12 năm 2015 Học viên Đỗ Thế Đạo iii Lời cảm ơn Để hồn thành luận văn cách hồn chỉnh, tơi ln nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình GS.TSKH Lê Dũng Mưu (viện Tốn học).Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy điều thầy giành cho Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo phòng sau Đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K7Y (2014-2016) Trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người ln động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho suốt trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, 2015 Đỗ Thế Đạo Học viên Cao học Toán K7Y, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên iv Danh sách ký hiệu R không gian số thực H không gian Hilbert thực X∗ không gian đối ngẫu X domf miền hữu hiệu f epif đồ thị f V IP (Ω, F ) toán V IP với ánh xạ F tập Ω Sol(Ω, F ) tập nghiệm toán V IP ∂f (xo ) vi phân f xo ∇f (x) đạo hàm hàm số f x NC (x) nón pháp tuyến điểm x tập C dC (x) khoảng cách từ điểm x đến tập C PC (x) phép chiếu khoảng cách điểm x lên tập C F ix(S) tập điểm bất động ánh xạ S hx, yi tích vơ hướng hai vectơ x y kxk chuẩn vectơ x xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn * x dãy {xn } hội tụ yếu tới x x := y x gán y ∀x x ∃x tồn x ∅ tập rỗng I ánh xạ đơn vị Mở đầu Chúng ta xét toán sau: Cho C1 , Q1 hai tập lồi, đóng cho ∅ 6= C1 ⊆ H1 , ∅ 6= Q1 ⊆ H2 với H1 , H2 hai không gian Hilbert Bài tốn đặt là: Tìm x∗ ∈ C1 : Ax∗ ∈ Q1 A : H1 → H2 tốn tử tuyến tính liên tục (bị chặn) Với tập C1 Q1 khác nhau, ta có toán chấp nhận tách khác Bài toán có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác gần quan tâm nghiên cứu Một trường hợp thường xét C1 Q1 tập điểm bất động ánh xạ không giãn Mục đích luận văn tìm hiểu phương pháp giải toán dựa theo phương pháp điểm bất động ánh xạ không giãn Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương 1: Điểm bất động ánh xạ không giãn Trong chương nghiên cứu định lí điểm bất động ánh xạ không giãn, nhắc lại số kiến thức như: Không gian Hilbert thực, tập lồi, hàm lồi, vi phân, ánh xạ không giãn, phương pháp lặp Mann Halpern tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn, tốn tử chiếu khơng gian Hilbert Chương 2: Tiếp cận điểm bất động giải toán chấp nhận tách Trong chương phát biểu toán chấp nhận tách, toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán chấp nhận tách Trình bày thuật tốn giải tốn chấp nhận tách dựa tiếp cận điểm bất động ánh xạ khơng giãn Luận văn hồn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn tận tình chu đáo thầy giáo GS.TSKH Lê Dũng Mưu Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy, người dạy kiến thức, kinh nghiệm học tập, nghiên cứa khoa học Nhân dịp xin cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán, khoa sau Đại học bạn lớp Cao học Tốn khóa học 2014 -2016 thường xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, song chắn luận văn nhiều thiếu sót Tơi mong nhận đóng góp q báu thầy cô giáo bạn để luận văn ngày hoàn thiện Thái Nguyên, ngày 01 tháng 12 năm 2015 Đỗ Thế Đạo Học viên Cao học Tốn lớp Y, khóa 02/2014-02/2016 Chun ngành Tốn ứng dụng Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Email: daomh77@gmail.com Chương Điểm bất động ánh xạ không giãn Chương nghiên cứu định lý điểm bất động ánh xạ không giãn Dưới ta chúng nhắc lại số kiến thức như: Không gian Hilbert thực, tập lồi, hàm lồi, vi phân, ánh xạ không giãn, phương pháp lặp Mann Halpern tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn, tốn tử chiếu khơng gian Hilbert Các kiến thức chương lấy tài liệu [1], [2], [3], [4] 1.1 Không gian Hilbert thực Định nghĩa 1.1 Cho H khơng gian tuyến tính trường R Hàm số h.,.i : H × H → R gọi tích vơ hướng H thoả mãn đồng thời tính chất sau a) hy, xi = hx, yi, ∀x, y ∈ H; b)hx + y, zi=hx, zi+hy, zi, ∀x, y, z ∈ H; c) hλx, yi = λhx, yi, ∀x, y ∈ H, ∀λ ∈ R; d) hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ H, hx, xi = ⇒ x = Không gian H trang bị tích vơ hướng h.,.i gọi khơng gian unita hay khơng gian tiền Hilbert thực Định lí 1.1 Nếu (H, h.,.i) khơng gian unita hàm số ||x|| = chuẩn H p hx, xi, ∀x ∈ H Vậy không gian unita khơng gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.2 Không gian unita đầy đủ gọi không gian Hilbert thực Định lí 1.2 (Đẳng thức hình bình hành) Nếu H khơng gian unita ||x+y||2 +||x−y||2 = 2(||x||2 +||y||2 ), ∀x, y ∈ H Định lí 1.3 ( Định lý Riesz) Giả sử H khơng gian Hilbert Khi a) Với phần tử y thuộc H, phiếm hàm x∗ xác định x∗ (x) = hx, yi, x ∈ H tuyến tính liên tục ||x∗ || = ||y|| b) Ngược lại, x∗ phiếm hàm tuyến tính liên tục H tồn phần tử y H cho x∗ (x) = hx, yi, x ∈ H Định lí 1.4 Khơng gian Hilbert không gian phản xạ 1.2 Tập lồi, hàm lồi vi phân Định nghĩa 1.3 Một tập C ⊆ H gọi tập lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Định nghĩa 1.4 Một tập C ⊆ H gọi nón ∀x ∈ C, ∀λ > ⇒ λx ∈ C Một nón gọi nón lồi đồng thời tập lồi Như vậy, tập lồi C nón lồi có tính chất sau: i) λC ⊆ C, λ > ii) C + C ⊆ C Tập C ⊆ H ta giả thiết C tập lồi (nếu không giải thích thêm) Định nghĩa 1.5 Cho x ∈ C , nón pháp tuyến ngồi C x, kí hiệu NC (x) := {w ∈ H : hw, y − xi ≤ 0, y ∈ C} Cho C ⊆ H f : H → 2H ta kí hiệu a + F (a) a + F (a)