THÔNG TIN TÀI LIỆU
BË GIO DÖC V O TO I HÅC THI NGUYN TR×ÌNG MINH TUYN MËT SÈ PH×ÌNG PHP TM IM BT ËNG CHUNG CÕA MËT HÅ HÚU HN CC NH X KHặNG GIN TRONG KHặNG GIAN BANACH Chuyản ngnh: ToĂn GiÊi tẵch M số: 62 46 01 02 LUN N TIN S TON HC NGìI HìẻNG DN KHOA HC GS TS Nguyạn Bữớng GS TS Jong Kyu Kim THI NGUYN-NM 2014 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ii LI CAM OAN CĂc kát quÊ trẳnh by luên Ăn l cổng trẳnh nghiản cựu cừa tổi, ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn cừa GS TS Nguyạn Bữớng v GS TS Jong Kyu Kim CĂc kát quÊ trẳnh by luên Ăn l mợi v chữa tứng ữủc cổng bố cĂc cổng trẳnh cừa ngữới kh¡c Tỉi xin chàu tr¡ch nhi»m v· nhúng líi cam oan cừa mẳnh TĂc giÊ Trữỡng Minh Tuyản iii LI CM èN Luên Ăn ny ữủc hon thnh tÔi trữớng Ôi hồc Sữ phÔm, Ôi hồc ThĂi Nguyản dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh cừa GS TS Nguyạn Bữớng v GS TS Jong Kyu Kim T¡c gi£ xin b y tä lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi cĂc ThƯy Trong quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu, thổng qua cĂc bi giÊng v seminar tĂc giÊ luổn nhên ữủc sỹ quan tƠm giúp ù v nhỳng ỵ kián õng gõp quỵ bĂu cừa GS TSKH PhÔm Ký Anh, PGS TS PhÔm Ngồc Anh, PGS TS PhÔm Hián Bơng, PGS TS PhÔm Viằt ực, TS o Th Liản, GS TSKH Nguyạn Vôn Mêu, TS H TrƯn Phữỡng, TS Vụ Vinh Quang, PGS TS Nguyạn Nông TƠm, GS TSKH Nguyạn XuƠn TĐn, GS TSKH é ùc Th¡i, GS TS Tr¦n Vơ Thi»u, TS Nguyạn Th Thu Thừy, TS Vụ MÔnh XuƠn Tứ Ăy lỏng mẳnh tĂc giÊ xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án cĂc ThƯy TĂc giÊ xin chƠn th nh c£m ìn Ban chõ nhi»m khoa To¡n, khoa Sau Ôi hồc v Ban giĂm hiằu trữớng Ôi hồc Sữ phÔm, Ôi hồc ThĂi Nguyản  tÔo mồi iÃu kiằn tốt nhĐt tĂc giÊ cõ th hon thnh luên Ăn cừa mẳnh TĂc giÊ xin chƠn thnh cÊm ỡn cĂc thƯy cổ khoa ToĂn, trữớng Ôi hồc Sữ phÔm v cĂc thƯy cổ khoa ToĂn - Tin, trữớng Ôi hồc Khoa hồc, Ôi hồc ThĂi Nguyản, to n thº anh chà em nghi¶n cùu sinh chuy¶n ng nh ToĂn GiÊi tẵch, bÔn b ỗng nghiằp  luổn quan tƠm, ởng viản, trao ời v õng gõp nhỳng ỵ kián quỵ bĂu cho tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hồc têp, seminar, nghiản cựu v hon thnh luên Ăn TĂc giÊ xin kẵnh tng nhỳng ngữới thƠn yảu gia ẳnh cừa mẳnh niÃm vinh hÔnh to lợn ny TĂc giÊ Mửc lửc M Ưu Chữỡng Mởt số kián thực chuân b 1.1 Mởt số vĐn à và h¼nh håc c¡c khỉng gian Banach, to¡n tû ìn i»u v Ănh xÔ khổng giÂn 7 1.2 B i to¡n °t khæng ch¿nh v ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh 17 1.2.1 Kh¡i ni»m b i to¡n °t khæng ch¿nh 18 1.2.2 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov 18 1.3 Ph÷ìng ph¡p iºm gƯn kà quĂn tẵnh 21 1.4 Ph÷ìng phĂp im gƯn kà quĂn tẵnh hiằu chnh 25 1.5 B i to¡n t¼m im bĐt ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn 26 1.5.1 Ph¡t biºu b i to¡n 26 1.5.2 Mởt số phữỡng phĂp xĐp x im bĐt ởng cừa Ănh xÔ khổng giÂn 28 1.6 Mët sè bê · bê trñ 37 Chữỡng Phữỡng phĂp im gƯn kà 2.1 Phữỡng phĂp im gƯn kà cho bi toĂn tẳm im bĐt ởng 39 chung cừa mởt hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn 39 2.2 Tẵnh ờn nh cừa phữỡng phĂp 49 2.3 Phữỡng phĂp im gƯn k· v b i to¡n x¡c ành khæng iºm cõa to¡n tû m-j - ìn i»u 53 2.4 Ùng döng 61 Ch÷ìng Ph÷ìng phĂp hiằu chnh Tikhonov v phữỡng phĂp im gƯn kà quĂn tẵnh hiằu chnh 74 v 3.1 Phữỡng phĂp hiằu chnh Tikhonov v phữỡng phĂp im gƯn kà quĂn tẵnh hiằu chnh cho bi toĂn tẳm im bĐt ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn 74 3.2 T½nh ên ành cõa c¡c ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh 81 3.3 Ùng döng 87 Kát luên chung Kián ngh hữợng nghiản cựu tiáp theo Danh mửc cĂc cổng trẳnh  cổng bố liản quan án luên Ăn Ti liằu tham khÊo 93 94 95 96 Mởt số kỵ hiằu v vi¸t tt E khỉng gian Banach E∗ khỉng gian ối ngău cừa E phƯn tỷ khổng cừa khổng gian Banach E dim(E) sè chi·u cõa khæng gian Banach E R tªp hđp c¡c sè thüc R+ tªp c¡c số thỹc khổng Ơm php giao inf M cên dữợi úng cừa têp hủp số M sup M cên trản úng cừa têp hủp số M max M số lợn nhĐt têp hủp số M M số nhọ nhĐt têp hủp số M argminxX F (x) têp cĂc im cỹc tiu cừa hm F trản X têp rộng x vợi mồi x D(A) miÃn xĂc ành cõa to¡n tû A R(A) mi·n £nh cõa to¡n tû A A−1 to¡n tû ng÷đc cõa to¡n tû A I toĂn tỷ ỗng nhĐt Lp () khổng gian cĂc hm khÊ tẵch bêc p trản lp khổng gian cĂc dÂy số khÊ tờng bêc p d(x, M ) khoÊng cĂch tứ phƯn tỷ x án têp hủp M H(C1 , C2 ) kho£ng c¡ch Hausdorff giúa hai tªp hủp C1 v C2 lim sup xn giợi hÔn trản cõa d¢y sè {xn } n→∞ lim inf xn n→∞ giợi hÔn dữợi cừa dÂy số {xn } vii n & α0 d¢y sè thüc {αn } hëi tư gi£m v· α0 xn −→ x0 d¢y {xn } hëi tư mÔnh và x0 xn * x0 dÂy {xn } hởi tử yáu và x0 J Ănh xÔ ối ngău chuân tưc j Ănh xÔ ối ngău chuân tưc ỡn tr E () mổ un lỗi cừa khổng gian Banach E ρE (τ ) mỉ un trìn cõa khỉng gian Banach E F ix(T ) ho°c F (T ) tªp iºm bĐt ởng cừa Ănh xÔ T f dữợi vi phƠn cừa hm lỗi f M bao õng cừa têp hủp M d(a, M ) kho£ng c¡ch tû ph¦n tû a án têp hủp M Wpm () khổng gian Sobolev o(t) vỉ cịng b² bªc cao hìn t n[a,b] sè iºm chia cĂch Ãu trản oÔn [a, b] nmax số bữợc l°p tèi a tg thíi gian t½nh to¡n err sai số cừa nghiằm xĐp x so vợi nghiằm chẵnh xĂc int(C) phƯn cừa têp hủp C M Ưu Bi toĂn tẳm im bĐt ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn khổng gian Hilbert hay khổng gian Banach l mởt trữớng hủp riảng cừa bi toĂn chĐp nhên lỗi: "Tẳm mởt phƯn tỷ thuởc giao khĂc rộng cừa mởt hồ hỳu hÔn hay vổ hÔn cĂc têp lỗi v õng {Ci }iI cừa khæng gian Hilbert H hay khæng gian Banach E " B i to¡n n y câ nhi·u ùng döng quan trång cĂc lắnh vỹc khoa hồc khĂc nhữ: Xỷ lẵ Ênh, khổi phửc tẵn hiằu, vêt lỵ, y hồc (xem [28], [29], [30], [43], [57], [58], [71], [72], [81] ) Khi Ci = F ix(Ti ), vỵi F ix(Ti ) l têp im bĐt ởng cừa Ănh xÔ khổng gi¢n Ti , i = 1, 2, , N , thẳ  cõ nhiÃu phữỡng phĂp ữủc à xuĐt dỹa trản cĂc phữỡng phĂp lp cờ in nời tiáng õ l c¡c ph÷ìng ph¡p l°p Kranoselskii [55], Mann [62], Ishikawa [45], Halpern [42] v phữỡng phĂp xĐp x mÃm [65] Chng hÔn, tữỡng tỹ nhữ phữỡng phĂp chiáu xoay vỏng giÊi bi toĂn chĐp nhên lỗi khổng gian Hilbert, nôm 1996 Bauschke H H [16]  à xuĐt phữỡng phĂp lp xoay vỏng dỹa trản phữỡng phĂp lp Halpern cho bi toĂn tẳm im bĐt ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn khổng gian Hilbert CĂc kát quÊ nghiản cựu theo nhỳng hữợng ny cõ th xem cĂc ti liằu [16], [31], [46], [69], [70] Ta biát rơng, náu T l mởt Ănh xÔ khổng giÂn khổng gian Banach E , th¼ to¡n tû A = I − T l mët to¡n tû j - ìn i»u, vỵi I l toĂn tỷ ỗng nhĐt trản E Nhữ vêy, bi toĂn tẳm im bĐt ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn Ti khổng gian Banach E cõ th ữa và bi toĂn tẳm khổng im chung cừa mởt hồ hỳu hÔn cĂc toĂn tû j - ìn i»u Ai = I − Ti vỵi i = 1, 2, , N Khi A : H 2H mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi trản khổng gian Hilbert H , thẳ Rockafellar R T [77]  à xuĐt phữỡng phĂp im gƯn kà xĂc nh dÂy {xn } nhữ sau: cn Axn+1 + xn+1 xn , x0 ∈ H, (0.1) ð Ơy cn > c0 > Tuy nhiản, viằc Ăp dưng ph÷ìng ph¡p l°p (0.1) ch¿ thu ÷đc sü hëi tử yáu cừa dÂy {xn } và mởt khổng im cõa A N«m 2001, Attouch H v Alvarez F [14]  xt mởt m rởng cừa phữỡng phĂp im gƯn kà (0.1) dÔng cn A(xn+1 ) + xn+1 xn γn (xn − xn−1 ), x0 , x1 H (0.2) v gồi l phữỡng phĂp im gƯn kà quĂn tẵnh, Ơy {cn } v {n } l hai dÂy số khổng Ơm ối vợi thuêt toĂn m rởng ny thẳ ngữới ta cụng ch thu ữủc sỹ hởi tử yáu cừa dÂy lp {xn } và mởt khổng im cừa toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi A khæng gian Hilbert Khi A : E −→ E l mët to¡n tû m-j - ìn i»u tø khỉng gian Banach E vo chẵnh nõ, nôm 2002 Ryazantseva I P [78]  kát hủp phữỡng phĂp im gƯn kà vợi hiằu chnh v gồi l phữỡng phĂp im gƯn kà hiằu chnh dÔng cn (A(xn+1 ) + n xn+1 ) + xn+1 = xn , x0 ∈ E (0.3) Ryazantseva I P ¢ ch¿ sü sü hëi tử mÔnh cừa dÂy lp {xn } xĂc nh bi (0.3) v· mët khæng iºm cõa A khæng gian Banach E v cĂc dÂy số dữỡng {cn } v {n } thọa mÂn cĂc iÃu kiằn thẵch hủp Nôm 2006 t¡c gi£ Xu H K [85] v n«m 2009 c¡c t¡c gi£ Song Y., Yang C [80] ¢ · xuĐt v nghiản cựu mởt cÊi biản cừa phữỡng phĂp iºm g¦n k· cho b i to¡n x¡c ành khỉng iºm cừa toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi A khổng gian Hilbert,  ch sỹ hởi tử mÔnh cõa d¢y l°p {xn } x¡c ành bði xn+1 = JrAn (tn u + (1 − tn )xn + en ), n = 0, 1, 2, (0.4) vỵi mët số iÃu kiằn thẵch hủp t lản dÂy số {tn } v dÂy sai số tẵnh toĂn mội bữợc l°p {en }, â JrAn = (I + rn A)1 ối vợi bi toĂn tẳm nghiằm chung cừa mởt hồ hỳu hÔn cĂc phữỡng trẳnh toĂn tỷ vợi cĂc toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi, nôm 2006 tĂc giÊ Buong Ng [23]  à xuĐt v nghiản cựu phữỡng phĂp hiằu chnh Browder-Tikhonov cho bi toĂn tẳm khổng im chung cừa mởt hồ hỳu hÔn cĂc toĂn tỷ ỡn tr ỡn iằu, thá nông, h-liản tửc tứ khổng gian Banach E vo khổng gian ối ngău E ặng  quy bi toĂn giÊi hằ phữỡng trẳnh vợi cĂc toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi và viằc giÊi mởt phữỡng trẳnh toĂn tỷ v thu ữủc sỹ hởi tử mÔnh cừa thuêt toĂn và mởt nghiằm cõa h» c¡c tham sè hi»u ch¿nh ÷đc chån thẵch hủp Nôm 2008, trản cỡ s kát quÊ nghiản cựu Ôt ữủc cừa mẳnh vo nôm 2006, tĂc giÊ Buong Ng [24] lƯn Ưu tiản nghiản cựu kát hủp phữỡng phĂp im gƯn kà quĂn tẵnh vợi hiằu chnh v gồi l phữỡng phĂp im gƯn kà quĂn tẵnh hi»u ch¿nh, cho vi»c gi£i b i to¡n t¼m khỉng iºm chung cừa mởt hồ hỳu hÔn cĂc toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi Ai = fi , vợi fi l dữợi vi phƠn cừa cĂc phiám hm lỗi, chẵnh thữớng, nỷa liản tửc dữợi yáu fi , i = 1, 2, , N khỉng gian Hilbert H Ỉng  ch sỹ hởi tử mÔnh cừa dÂy lp {zn } x¡c ành bði cn N X αnj Anj (zn+1 ) + αnN +1 zn+1 + zn+1 − zn γn (zn − zn−1 ), j=0 â z0 , z1 ∈ H , {cn }, {αn }, {n } l cĂc dÂy số thỹc khổng Ơm v Anj l cĂc toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi xĐp x toĂn tỷ dữợi vi phƠn j cừa phiám hm j theo nghắa dữợi Ơy H(Anj (x), j (x)) hn g(kxk), vợi g l mởt hm khổng Ơm, giợi nởi Bi toĂn tẳm im bĐt ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn hay vổ hÔn Ănh xÔ khổng giÂn, vợi cĂc bi toĂn liản quan nhữ bi toĂn tẳm nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh vợi cĂc toĂn tỷ loÔi ỡn iằu, bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn, bi toĂn cƠn bơng cụng ữủc nhiÃu nh toĂn hồc nữợc quan tƠm nghiản cựu Chng hÔn nhữ: N«m 2004 Anh P N v Muu L D [5]  kát hủp nguyản lỵ Ănh xÔ co vợi phữỡng phĂp im gƯn kà cho bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn ỡn iằu; nôm 2009 Anh P K v Chung C V [3]  nghiản cựu phữỡng phĂp hiằu chnh lp song song dÔng ân v hiằn cho b i to¡n t¼m khỉng iºm chung cõa mët hå húu hÔn cĂc toĂn tỷ xĂc nh dữỡng tứ khổng gian Hilbert H v o ch½nh nâ; Thuy N T T [84]  xƠy dỹng phữỡng phĂp lp mợi cho bi toĂn tẳm nghiằm cừa mởt bĐt ng thực bián phƠn trản têp im bĐt ởng chung cừa mởt hồ vổ hÔn − rn < +∞, ii) inf rn = r > 0, n=0 n r n+1 iii) P∞ n=1 rn hn < +, 61 thẳ dÂy {zn} xĂc nh bi chiáu mảtric tứ H lản S (2.54) hởi tử mÔnh và PS u, õ PS l php Chú ỵ 2.5 CĂc Hằ quÊ 2.1 v Hằ quÊ 2.2 têng qu¡t hìn c¡c k¸t qu£ cõa Xu H K [85] Ta biát rơng náu T : H H l mởt Ănh xÔ giÊ co tứ khổng gian Hilbert H vo chẵnh nõ, thẳ A = I T l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi Do â ta câ h» qu£ sau: H» qu£ 2.3 Cho H l mët khæng gian Hilbert Cho T : l mởt Ănh xÔ giÊ co tứ H vo chẵnh nâ vỵi S = {x ∈ H : T (x) = x} = Náu cĂc dÂy số {rn} ⊂ (0, +∞) v {tn} ⊂ (0, 1) thäa m¢n c¡c i·u ki»n i) v ii) ành l½ 2.9 ho°c c¡c i·u ki»n i) v ii) ành l½ 2.10, thẳ dÂy {xn } xĂc nh bi u, x0 ∈ E v H −→ H yn = tn u + (1 − tn )xn , xn+1 = rn T (xn+1 ) + yn , n ≥ 0, + rn + rn (2.61) hởi tử mÔnh và PS u, õ PS l php chiáu mảtric tứ H lản S 2.4 ng dửng Trữợc hát, mửc ny chúng tổi à cêp án ựng dửng cừa cĂc phữỡng phĂp lp ữủc trẳnh by Mửc 2.1 trản cho viằc giÊi bi toĂn tẳm im bĐt ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ giÊ co cht khổng gian Hilbert H nh nghắa 2.1 Cho C l mởt têp lỗi, õng cừa khổng gian Hilbert H nh xÔ f : C −→ H ÷đc gåi l gi£ co ch°t náu tỗn tÔi k [0, 1) cho kf (x) − f (y)k2 ≤ kx − yk2 + kk(I − f )(x) − (I − f )(y)k2 ∀x, y C (2.62) Dạ thĐy mồi Ănh xÔ khổng giÂn Ãu l Ănh xÔ giÊ co cht vợi hằ số k = thĐy ró hỡn rơng lợp Ănh xÔ giÊ co cht chựa thỹc sỹ lợp Ănh xÔ khổng giÂn, ta xt vẵ dử dữợi Ơy: 62 Vẵ dử 2.4 Xt Ănh xÔ T : vợi x = , y = ta câ 1 [ , 1] −→ R x¡c ành bði T x = x + Khi â, x |T x − T y| = |x − y| Do dõ, T khổng phÊi l mởt Ănh xÔ khổng giÂn Tuy nhiản T lÔi l co cht -giÊ B¥y gií, gi£ sû f : C −→ C l mởt Ănh xÔ k -giÊ co cht tứ mởt têp lỗi, õng C khổng gian Hilbert H v o ch½nh nâ Khi â, T = (1−t)I +tf l mởt Ănh xÔ khổng giÂn vợi mồi t thọa mÂn < t 1k Thêt vêy, trữợc hát ta ch¿ r¬ng U = I − f l mởt toĂn tỷ ỡn iằu mÔnh 1k , tực l vỵi h» sè m = hU (x) − U (y), x − yi ≥ mkU (x) − U (y)k2 vỵi måi x, y ∈ C Vỵi måi x, y ∈ C ta câ hU (x) − U (y), x − yi = kU (x) − U (y)k2 + hU (x) − U (y), f (x) − f (y)i = kU (x) − U (y)k2 + hx − y, f (x) − f (y)i − kf (x) − f (y)k2 ≥ −hU (x) − U (y), x − yi + (1 − k)kU (x) − U (y)k2 Suy U l toĂn tỷ ỡn iằu mÔnh Tứ õ, ta câ kT (x) − T (y)k2 = k(x − y) − t(U (x) − U (y))k2 = kx − yk2 − 2thU (x) − U (y), x − yi + t2 kU (x) − U (y)k2 ≤ kx − yk2 − t(2m − t)kU (x) − U (y)k2 ≤ kx yk2 vợi mồi x, y C Vêy T l mởt Ănh xÔ khổng giÂn tứ C vo chẵnh nâ Ngo i ra, ta cán câ F ix(T ) = F ix(f ) Thªt vªy, x ∈ F ix(f ) v ch¿ f (x) = x Do â T (x) = (1 − t)x + tf (x) = x, hay x l iºm b§t ëng cõa T X²t b i to¡n sau: X¡c ành mët ph¦n tû x∗ ∈ S = ∩N i=1 F ix(fi ) 6= ∅, (2.63) 63 â fi : Ci −→ Ci l cĂc Ănh xÔ ki -giÊ co cht tứ têp lỗi, õng Ci cừa khổng gian Hilbert H vo chẵnh nâ vỵi måi i = 1, 2, , N Vỵi méi i, °t Ti = (1 − t)I + tfi v Fi = I − Ti PCi , â < t ≤ mini=1,2, ,N {1 − ki } v PCi l php chiáu mảtric tứ H lản Ci Khi õ, Ti l cĂc Ănh xÔ khổng giÂn tứ Ci vo chẵnh nõ v bi toĂn (2.63) tữỡng ữỡng vợi bi toĂn sau: XĂc nh mởt phƯn tû x∗ ∈ S = ∩N i=1 F ix(Ti ) 6= ∅ (2.64) Do â, tø c¡c ành l½ 2.1 v nh lẵ 2.2, ta cõ cĂc kát quÊ sau: nh lẵ 2.13 Náu dÂy số {tn} (0, 1) thäa m¢n c¡c i·u ki»n i) limn→∞ tn = 0, P∞ ii) limn→∞ tn = 0, P∞ n=1 tn = ∞ n=1 tn = ∞ v limn→∞ v P∞ tn tn+1 n=1 |tn =1 ho°c − tn+1 | < +∞, thẳ dÂy {xn} xĂc nh bi N X Fi (xn+1 ) + xn+1 = tn u + (1 − tn )xn , u, x0 ∈ H, n ≥ (2.65) i=1 hởi tử mÔnh và nghiằm PS u cừa bi toĂn (2.63), õ PS l php chiáu mảtric tứ H lản S nh lẵ 2.14 Náu cĂc dÂy số {rn} ⊂ (0, +∞) v {tn} ⊂ (0, 1) thäa m¢n c¡c i·u ki»n i) limn→∞ tn = 0, P∞ n=0 tn = +∞, ii) limn→∞ rn = +∞, th¼ dÂy {xn} xĂc nh bi phữỡng trẳnh rn N X Fi (xn+1 ) + xn+1 = tn u + (1 − tn )xn , u, x0 ∈ H, n ≥ (2.66) i=1 hởi tử mÔnh và nghiằm PS u cõa b i to¡n (2.63), â PS l ph²p chi¸u mảtric tứ H lản S 64 Tiáp theo, chúng tỉi ÷a mët ùng dưng kh¡c cõa c¡c c£i biản phữỡng phĂp im gƯn kà  ữủc trẳnh by Mửc 2.1 cho viằc giÊi bi toĂn chĐp nhên lỗi khổng gian Banach Xt bi toĂn chĐp nhên lỗi sau: XĂc nh mởt phƯn tỷ x S = ∩N i=1 Si 6= ∅, (2.67) â Si , i = 1, 2, , N l c¡c tªp lỗi, õng v co rút khổng giÂn cừa khổng gian Banach lỗi Ãu v trỡn Ãu E v S l mởt têp co rút khổng giÂn theo tia cừa E Chóng tỉi ÷a mët ùng dưng cõa cĂc phữỡng phĂp lp (2.2) v (2.9) tẳm mởt nghiằm cừa bi toĂn (2.67) Gồi QSi l Ănh xÔ co rút khổng giÂn tứ E lản Si , i = 1, 2, , N Rã r ng ta câ F ix(QSi ) = Si , i = 1, 2, , N Do â, b i to¡n (2.67) t÷ìng ÷ìng vợi bi toĂn tẳm im bĐt ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn Ti = QSi , i = 1, 2, , N Ta cõ cĂc nh lẵ sau: nh lẵ 2.15 Náu dÂy sè {tn} ⊂ (0, 1) thäa m¢n c¡c i·u ki»n =∞ v limn→∞ n=1 tn = ∞ v P∞ i) limn→∞ tn = 0, P∞ ii) limn→∞ tn = 0, P∞ n=1 tn tn tn+1 n=1 |tn =1 ho°c − tn+1 | < +, thẳ dÂy {xn} xĂc nh bi N X Ai (xn+1 ) + xn+1 = tn u + (1 − tn )xn , u, x0 ∈ E, n (2.68) i=1 hởi tử mÔnh và nghiằm QS u cõa b i to¡n (2.67), â Ai = I − QS , i = 1, 2, , N v QS : E S l Ănh xÔ co rút khổng giÂn theo tia tứ E lản S i nh lẵ 2.16 Náu cĂc dÂy số {rn} (0, +∞) v {tn} ⊂ (0, 1) thäa m¢n c¡c i·u ki»n i) limn→∞ tn = 0, P∞ ii) limn→∞ rn = +, n=0 tn = +, 65 thẳ dÂy {xn} xĂc nh bi phữỡng trẳnh rn N X Ai (xn+1 ) + xn+1 = tn u + (1 − tn )xn , u, x0 ∈ E, n ≥ (2.69) i=1 hởi tử mÔnh và nghiằm QS u cừa b i to¡n (2.67), â Ai = I − QS , i = 1, 2, , N v QS : E S l Ănh xÔ co rút khổng giÂn theo tia tứ E lản S i BƠy giớ, ta x²t mët tr÷íng hđp °c bi»t cõa b i to¡n (2.67), õ l bi toĂn giÊi hằ phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh thổng thữớng khổng gian Hilbert hỳu hÔn chiÃu Rk Ta kẵ hiằu S l têp nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh tờng quĂt sau: k X (2.70) aij xj = bi , i = 1, 2, , N, j=1 Pk > 0, ∀i = 1, 2, , N Rã r ng S l mët tªp lỗi, õng v co rút khổng giÂn theo tia cừa Rk vợi giÊ thiát S 6= v j=1 aij °t Si = {(x1 , x2 , , xk ) | k X aij xj = bi }, i = 1, 2, , N (2.71) j=1 Khi õ, vợi mội i, thẳ Si l mởt siảu phng Rk Chúng ta  biát rơng php chiáu m¶tric Pi tø Rk l¶n Si l mët co rót khổng giÂn theo tia tứ Rk lản Si , i = 1, 2, , N Hìn núa, ta cán câ k P Pi (x) = xl − ail j=1 aij xj − bi k k P j=1 , i = 1, 2, , N, a2ij (2.72) l=1 vỵi måi x = (x1 , , xk ) ∈ Rk Tø c¡c ành l½ 2.15 v ành l½ 2.16, ta câ c¡c h» qu£ t÷ìng ùng sau cho b i toĂn giÊi hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh tờng quĂt (2.70) Hằ quÊ 2.4 Náu dÂy số {tn} (0, 1) thäa m¢n c¡c i·u ki»n i) limn→∞ tn = 0, P∞ n=1 tn =∞ v limn→∞ tn tn+1 =1 ho°c 66 ii) limn→∞ tn = 0, P∞ n=1 tn = ∞ v P∞ n=1 |tn − tn+1 | < +∞, thẳ dÂy {x(n)} xĂc nh bi N X Bi (x(n+1) ) + x(n+1) = tn u + (1 − tn )x(n) , u, x(0) ∈ E, n ≥ (2.73) i=1 hởi tử mÔnh và nghiằm x cừa hằ (2.70) vỵi kx∗ − uk = miny∈S ky − uk, â Bi = I − Pi, i = 1, 2, , N Hằ quÊ 2.5 Náu cĂc dÂy số {rn} ⊂ (0, +∞) v {tn} ⊂ (0, 1) thäa m¢n c¡c i·u ki»n i) limn→∞ tn = 0, P∞ n=0 tn = +∞, ii) limn→∞ rn = +∞, th¼ dÂy {x(n)} xĂc nh bi phữỡng trẳnh rn N X Bi (x(n+1) ) + x(n+1) = tn u + (1 − tn )x(n) , u, x(0) ∈ E, n ≥ (2.74) i=1 hởi tử mÔnh và nghiằm x cừa h» (2.70) vỵi kx∗ − uk = miny∈S ky − uk, â Bi = I − Pi, i = 1, 2, , N Chú ỵ 2.6 i) Viằc ùng dưng c¡c to¡n tû chi¸u Pi x¡c ành bði (2.72) cho bi toĂn tẳm nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh tờng quĂt (2.70) cụng   ữủc nghiản cựu v à xuĐt bi Kaczmars S vo nôm 1937 t i li»u [47] Cư thº hìn, Kaczmars S ¢ ch sỹ hởi tử mÔnh cừa dÂy lp xoay váng {xn } x¡c ành bði x0 = u ∈ Rk v xn+1 = Pn mod(N )+1 (xn ), n 0, (2.75) và mởt nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh (2.70) ii) Ta th§y S = F ix(PN PN −1 P1 ) Thêt vêy, trữợc hát ta cƯn nhưc lÔi khĂi niằm Ănh xÔ hút nhữ sau: Mởt Ănh xÔ T : C C tứ têp lỗi, õng v kh¡c réng C cõa khæng gian Hilbert H v o chẵnh nõ ữủc gồi l Ănh xÔ hút tữỡng ựng vợi têp D cừa C náu vợi mồi x ∈ C \ D v måi y ∈ D, ta ·u câ kT (x) − yk < kx − yk 67 Dạ thĐy, Pi l cĂc Ănh xÔ hút tữỡng ựng vợi siảu phng Si vợi mồi i = 1, 2, , N Khi â, kh¯ng ành S = F ix(PN PN −1 P1 ) ÷đc suy tứ mằnh à dữợi Ơy Mằnh à 2.1 [15] Cho l mởt têp lỗi, õng v khĂc rộng cừa khæng gian Hilbert H Gi£ sû Ti : C C l Ănh xÔ hút tữỡng ựng vợi têp F ix(Ti) vỵi måi i = 1, 2, , N v gi£ sû ∩Ni=1F ix(Ti) 6= ∅ Khi â, F ix(TN TN −1 T1 ) = ∩N i=1 F ix(Ti ) C Nhữ vêy, giÊ thiát S = F ix(PN PN −1 P1 ) = F ix(P1 PN P2 ) = = F ix(PN −1 T1 TN ) nh lẵ 1.14 ữủc thọa mÂn v õ dÂy l°p {xn } x¡c ành bði xn+1 = tn y + (1 − tn )Tn+1 xn , n ≥ 0, â y, x0 ∈ C v Tn = Tn (mod N ) (2.76) hởi tử mÔnh và nghiằm PS u cừa hằ (2.70) dÂy số dữỡng {tn } thäa m¢n c¡c i·u ki»n lim tn = 0, n→∞ ∞ X tn = ∞, n=0 ∞ X |tn+1 − tn | < n=0 Dữợi Ơy, ta s xt mởt số vẵ dử ỡn giÊn nhơm minh hồa thảm cho cĂc phữỡng phĂp lp (2.73) v (2.74) Chú ỵ 2.7 Trong ton bở luên Ăn, cĂc chữỡng trẳnh thỹc nghiằm Ãu ữủc viát bơng ngổn ngỳ MATLAB 704 v  thỷ nghiằm chÔy trản mĂy tẵnh HP Compaq 510, Core(TM) Duo CPU T5870 2.0 GHz., Ram 2GB V½ dư 2.5 Trong khỉng gian L2[0, 1], x²t b i to¡n tẳm nghiằm chung cừa hai phữỡng trẳnh tẵch phƠn Fredholm loÔi hai dữợi Ơy Z x(t) = tsx(s)ds + 3t − 2, Z0 x(t) = (1 − t)(1 − s)x(s)ds − 3t + (2.77) (2.78) Trữợc hát, ta cõ th thĐy rơng cĂc phữỡng tr¼nh (2.77) v (2.78) ·u câ vỉ sè nghi»m v nghiằm chung cõ chuân nhọ nhĐt cừa chúng l x (t) = −2 vỵi måi t ∈ [0, 1] 68 Xt hai Ănh xÔ T1 v T2 tứ khổng gian L2 [0, 1] vo chẵnh nõ ữủc xĂc nh nh÷ sau: Z tsx(s)ds + 3t − 2, (T1 (x))(t) = Z (1 − t)(1 − s)x(s)ds − 3t + 1, (T2 (x))(t) = vỵi måi x ∈ L2 [0, 1] Khi â, vỵi måi x, y ∈ L2 [0, 1] ta câ Z Z 1/2 2 kT1 (x) − T1 (y)k = ts(x(s) − y(s))ds dt 0 Z Z ≤3 t2 s2 ds Z 1/2 (x(s) − y(s))2 ds dt ≤ kx yk Suy T1 l mởt Ănh xÔ khổng giÂn Hon ton tữỡng tỹ, T2 cụng l mởt Ănh xÔ khổng giÂn Nhữ vêy, bi toĂn tẳm nghiằm chung cừa hai phữỡng trẳnh tẵch phƠn (2.77) v (2.78) tữỡng ữỡng vợi bi toĂn tẳm im bĐt ởng chung cừa hai Ănh xÔ khổng giÂn T1 v T2 Chú þ 2.8 Trong v½ dư n y sai sè cõa nghi»m xĐp x so vợi nghiằm chẵnh xĂc ữủc xĂc nh bði err = â ti = i n[0,1] max i=1,2, ,n[0,1] |xnmax (ti ) − x∗ (ti )|, vỵi måi i = 1, 2, , n[0,1] - p dửng nh lẵ 2.1 vợi tn = 1/n v u(t) = t+1 ta ữủc bÊng kát quÊ sau: n[0,1] nmax 500 50 100 err tg (tẵnh bơng giƠy) 0.1464 0.18699 1000 0.00732 5000 0.001464 0.343 1.61 500 0.01465 0.8279 1000 0.00732 5000 0.001465 1.625 B£ng 2.1 69 - p dửng nh lẵ 2.2 vợi tn = 1/n, rn = n, u(t) = t + v n[0,1] = 100, ta ữủc bÊng kát quÊ sau: err n[0,1] nmax 50 tg (tẵnh bơng giƠy) 500 2.928 ì 105 1000 7.32 × 10−6 0.1879 0.34299 5000 2.928 × 10−7 1.578 B£ng 2.2 Vẵ dử 2.6 Xt hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh Ax = b, vợi A = (aij )101x200 ữủc xĂc ành bði ai,i+k = vỵi måi i = 1, 2, , 101 v måi k = 0, 1, 2, , 99, cĂc phƯn tỷ aij khĂc Ãu bơng v bi = 100 vỵi måi i = 1, 2, , 101 Dạ thĐy rơng hằ phữỡng trẳnh trản cõ vỉ sè nghi»m (h» nghi»m phư thc 99 tham sè) v nghiằm cõ chuân nhọ nhĐt cừa hằ phữỡng trẳnh trản l x = (x1 x2 x200 ) vợi xi = vỵi måi i = 1, 2, , 200 Chú ỵ 2.9 Sai số cừa nghiằm xĐp x so vợi nghiằm úng vẵ dử ny ữủc xĂc nh bði err = max (nmax ) i=1,2, ,200 |xi − x∗i | - Khi ¡p dưng ph÷ìng ph¡p l°p (2.73) vỵi tn = 1/n v u l gèc tåa ë, thẳ ta cõ bÊng kát quÊ sau: nmax err tg (tẵnh bơng giƠy) 500 0.100256 75.625 1000 0.05096 150.781 5000 0.01020 754.047 B£ng 2.3 - Khi ¡p dưng ph÷ìng ph¡p l°p (2.74) vỵi rn = n, tn = 1/n v u l gốc tồa ở, thẳ ta cõ bÊng kát quÊ sau: 70 nmax err tg (tẵnh bơng giƠy) 500 0.000204 75.625 1000 5.1 × 10−5 152.953 5000 2.07 × 10−6 768.578 B£ng 2.4 - Khi ¡p dưng ph÷ìng ph¡p l°p xoay váng (2.76) vỵi u l gèc tåa ë v tn = 1/n vỵi måi n ≥ 1, ta ữủc bÊng kát quÊ sau: nmax err tg (tẵnh bơng gi¥y) 500 0.959729 0.032 1000 0.914930 0.04599 5000 0.635092 0.14099 50000 0.100124 1.219 100000 0.050114 2.328 1000000 0.005 23.422 100000000 5.002 ì 105 3241.859 BÊng 2.5 Ta thĐy rơng cĂc kát quÊ chẵnh chữỡng ny Ãu ữủc phĂt biu v chùng minh tr¶n khỉng gian Banach, nhi¶n c¡c Vẵ dử 2.5 v Vẵ dử 2.6 ch ữủc thỹc hiằn trản khổng gian Hilbert Dữợi Ơy, chúng tổi ữa mởt vẵ dử khĂc ữủc xƠy dỹng trản khổng gian Banach lỗi Ãu v trỡn Ãu vợi Ănh xÔ ối ngău liản tửc yáu theo dÂy nhơm minh hồa cử th hỡn nỳa cĂc kát quÊ lỵ thuyát thu ữủc Vẵ dử 2.7 Trản khổng gian lp vợi p > 1, xt hai Ănh xÔ T1, T2 : lp lp lƯn lữủt ữủc xĂc nh bi 1 T1 (x) = {ξ1 , ξ2 , , ξ50 , (ξ51 + sin ξ51 ), , (ξ100 + sin ξ100 ), 0, 0, }, 2 T2 (x) = {ξ1 , ξ2 , , ξ50 , sin ξ51 , sin ξ52 , sin ξ100 , }, vỵi måi x = {n } lp Khi õ, thĐy T1 v T2 l cĂc Ănh xÔ khổng giÂn trản khổng gian lp v 71 têp im bĐt ởng chung cừa T1 v T2 l S = {x = {ξn } ∈ lp : ξk = vỵi måi k ≥ 51} Theo Vẵ dử 1.9, S l têp co rút khổng giÂn theo tia cừa lp v Ănh xÔ co rút khổng giÂn theo tia tứ lp lản S ÷đc x¡c ành bði QS x = {ξ1 , ξ2 , , ξ50 , 0, 0, }, vỵi måi x = {n } lp Nhữ vêy vợi mồi u = {un } ∈ lp v måi ph¦n tû ban Ưu x0 lp , dÂy lp {xn } x¡c ành bði c¡c ph÷ìng ph¡p l°p (2.2) v (2.9) ựng vợi N = 2, hởi tử mÔnh và QS u = {u1 , u2 , , u50 , 0, 0, } S n Dữợi Ơy, chúng tổi ữa kát quÊ tẵnh toĂn cử th ùng vỵi khỉng gian l3 , u = {un } cho uk = vỵi måi k = 1, 2, , 50, uk = vỵi måi k ≥ 51 v x0 = θ - Khi ¡p dưng ph÷ìng phĂp lp (2.2) vợi tn = 1/n, thẳ ta ữủc bÊng kát quÊ sau: nmax err tg (tẵnh bơng giƠy) 500 0.703697 22.672 1000 0.564007 50.078 2000 0.451085 124.31 4000 0.360179 374.875 B£ng 2.6 - Khi ¡p dưng ph÷ìng ph¡p l°p (2.9) vỵi rn = n v tn = 1/n, thẳ ta ữủc bÊng kát quÊ sau: nmax err tg (tẵnh bơng giƠy) 500 0.092571 24.391 1000 0.058377 53.453 2000 0.036799 131.61 4000 0.023191 413.281 BÊng 2.7 72 Chú ỵ 2.10 Sai số cừa nghiằm xĐp x vợi nghiằm chẵnh x¡c QS u = { 1, 1, , | {z } , 0, 0, } 50 số hÔng Ưu tiản ữủc xĂc nh bi err = kxnmax QS uk Nhên xt 2.1 i) Qua cĂc kát quÊ số trản, ta nhên thĐy náu số bữợc lp cng lợn thẳ nghiằm xĐp x cng gƯn nghiằm chẵnh xĂc v câ v´ nh÷ ph÷ìng ph¡p l°p (2.74) l tèi ÷u hìn ph÷ìng ph¡p l°p (2.73) Mët v§n · °t l liằu rơng phữỡng phĂp lp (2.74) cõ thêt sü tèi ÷u hìn ph÷ìng ph¡p l°p (2.73) hay khỉng (v¼ cán phư thc v o vi»c chån c¡c tham sè hi»u ch¿nh)? Ngo i ra, cán mët c¥u häi kh¡c núa, õ l: Chồn cĂc tham số hiằu chnh nhữ thá no ữủc tốc ở hởi tử nhanh nhĐt? ii) Tø c¡c B£ng 2.3, B£ng 2.4 v B£ng 2.5, ta nhên thĐy ựng vợi cĂc chồn cĂc tham số tn v rn nhữ trản, thẳ phữỡng phĂp lp xoay vỏng (2.76) cho ta kát quÊ khổng tốt hỡn cĂc phữỡng ph¡p l°p (2.73) v (2.74) KT LUN Ch÷ìng n y, chóng tổi à cêp án cĂc nh lẵ và sỹ hởi tử mÔnh cừa phữỡng phĂp im gƯn kà trản cỡ sð ph÷ìng ph¡p l°p cõa Xu H K [85] cho bi toĂn tẳm im bĐt ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn v cho bi to¡n x¡c ành khỉng iºm cõa to¡n tû m-j - ìn i»u khæng gian Banach iºm kh¡c bi»t c¡c kát quÊ v sỹ chựng minh cĂc cĂc nh lẵ ữủc trẳnh by chữỡng ny so vợi cĂc chựng minh cõa Xu H K [85] l chóng tỉi thu ữủc sỹ hởi tử mÔnh cừa cĂc phữỡng phĂp lp khæng gian Banach v ngo i º chùng minh c¡c k¸t qu£ â chóng tỉi ch¿ sû dưng c¡c tẵnh chĐt cừa toĂn tỷ j - ỡn iằu, â k¸t qu£ cõa Xu ch¿ ph¡t biºu khỉng gian Hilbert v c¡c chùng minh cõa æng ·u ph£i sỷ dửng án cĂc cổng cử cừa Ănh xÔ khổng giÂn, ỗng nhĐt giÊi thực v tẵnh demi- õng cừa toĂn tỷ giÊi Hỡn nỳa, tẵnh ờn nh cừa cĂc phữỡng phĂp lp cụng ữủc chúng tổi nghiản cựu v chựng minh t§t c£ c¡c mi·n x¡c ành Ci v cĂc Ănh xÔ Ti , i = 1, 2, , N Ãu chu nhiạu ( nh lẵ 2.7, nh lẵ 2.8) Mưc ci cịng cõa ch÷ìng n y, d nh cho
Ngày đăng: 11/10/2023, 19:49
Xem thêm: