Phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử đơn điệu

Bộ giáo dục đào tạo Đại học Thái Nguyên Nguyễn Thị Thu Thủy Phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử đơn điệu Đề tài nghiên cứu khoa học cấp Mà số: B2009-TN07-03 Thái Nguyên - 2010 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! Danh sách người tham gia thực đề tài STT Họ tên Nội dung đà thực hiƯn Ngun Thanh Mai Tỉ chøc Seminar, x©y dùng chuyên đề Nguyễn Tất Thắng Dịch tài liệu, xây dựng chuyên đề Trương Minh Tuyên Tổ chức Seminar, xây dựng chuyên đề Nguyễn Thanh Hường Xây dựng chuyên đề Đơn vị phối hợp STT Tên đơn vị Nội dung phối hợp nghiên cứu Viện Công nghệ Thông tin Thảo luận, Seminar Viết chung báo khoa học Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trao đổi, Thảo luận Trường ĐHKHTN Hà Nội Khoa Công nghệ Thông tin Đại học Thái Nguyên Trao đổi, Thảo luận Mục lục Mở đầu 11 Chương 1.1 1.2 Bài toán đặt không chỉnh hệ phương trình toán tử 15 Bài toán đặt không chỉnh 15 1.1.1 Bài toán đặt không chỉnh 15 1.1.2 Phương pháp hiệu chỉnh 18 Hệ phương trình toán tö 23 23 25 26 1.2.1 Phát biểu toán 1.2.2 Sự tồn nghiệm 1.2.3 Phương pháp giải trường hợp đặc biệt Chương 2.1 Hiệu chỉnh hệ phương trình với toán tử đơn điệu Phương pháp hiệu chỉnh tèc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh 28 28 31 35 38 Phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không 40 40 43 2.1.1 Phương trình hiệu chỉnh 2.1.2 Sự hội tụ nghiệm hiƯu chØnh 2.1.3 Tham sè hiƯu chØnh 2.1.4 Tèc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh 2.2 28 2.2.1 M« tả phương pháp 2.2.2 Sự hội tụ Chương Kết tính toán thử nghiệm 47 3.1 Ví dụ 3.1 47 3.2 VÝ dô 3.2 50 Kết luận chung 54 Tài liệu tham khảo 55 Tóm tắt kết nghiên cứu Thông tin chung - Tên đề tài: Phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử đơn điệu - Mà sè: B2009-TN07-03 - Thêi gian thùc hiƯn: 2009-2010 - Chđ nhiệm đề tài: TS Nguyễn Thị Thu Thủy Điện thoại: 0912211858; E-mail: thuthuy220369@gmail.com - Cơ quan chủ trì: Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Mục tiêu đề tài - Nghiên cứu số phương pháp giải ổn định hệ phương trình toán tử đơn điệu - Nâng cao lực nghiên cứu cho nhóm thực đề tài - Phục vụ cho công tác NCKH, đào tạo ĐH SĐH chuyên ngành Toán ứng dụng Đại học Nội dung - Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu; - Nghiên cứu hội tụ đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh së chän tham sè hiƯu chØnh; KÕt qu¶ chÝnh đạt - Xây dựng phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu dựa đề xuất Nguyễn Bường; - Đưa cách chọn giá trị tham số hiệu chỉnh hậu nghiệm theo nguyên lí độ lệch suy rộng; Đánh giá tốc độ hội tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh øng víi tham sè hiƯu chỉnh đà chọn; - Xây dựng phương pháp hiệu chỉnh lặp, chứng minh hội tụ phương pháp; - §­a vÝ dơ sè minh häa cho kÕt nghiên cứu Sản phẩm đề tài 5.1 Sản phẩm khoa học ã Các kết đề tài công bố công trình [1] Ng Buong, Ng T T Thuy and L T Duong (2009), "Regularization for common fixed points of non-self strictly pseudocontractive mappings in Hilbert spaces", 49(1), Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Thái Nguyên, pp 27-31 [2] Ng Buong, Ng T T Thuy and T M Tuyen (2009), "Regularization for common fixed points of nonexpansive mappings in Banach spaces", chí Khoa học Công nghệ Đại học Thái Nguyên, 49(1), T¹p pp 32-36 [3] Ng T T Thuy (2010), "An iterative method to a common solution of inverse-strongly problems in Hilbert spaces", Mathematical Sciences, 3, Advances and Applications in pp 165-174 [4] Ng T T Thuy (2010), "Convergence rates of the Tikhonov regularization for ill-posed mixed variational inequalities with inverse-strongly monotone perturbations", Nonlinear Functional Analysis and Applications, (§· nhËn đăng năm 2010) [5] Nguyễn Thị Thu Thủy, Đặng Tú Hồi (2010), "Kết số phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình toán tử đơn điệu", Công nghệ Đại học Thái Nguyên, 70(8), Tạp chí Khoa học pp 61-64 ã Các kết đề tài đà báo cáo tại: The 8th International Spring School/ Workshop on Optimization and Its Applications, Nha Trang, March 1-3, 2010 Trường toán CIMPA-UNESCO-VIETNAM, "Bất đẳng thức biến phân vấn đề có liên quan", Hà Nội, 10-21/05/2010 Hội thảo Tối ưu Tính toán khoa học lần thứ 8, Ba vì, 20-23/04/2010 5.2 Sản phẩm đào tạo Hướng dẫn 05 luận văn thạc sĩ, 02 luận văn đà bảo vệ thành công năm 2009; 03 luận văn bảo vệ vào tháng 11/2010 Hướng dẫn 03 sinh viên NCKH, đà bảo vệ đạt kết tốt, có 01 sinh viên giải khuyến khích thi "Sinh viên nghiên cứu khoa học toàn quốc 2009", 01 sinh viên đề cử dự thi "Sinh viên nghiên cứu khoa học toàn quốc 2010" Hướng dẫn 03 sinh viên làm khóa luận tốt nghiệp đà bảo vệ đạt điểm xuất sắc Đề tài góp phần phục vụ cho việc giảng dạy chuyên đề "Bài toán đặt không chỉnh" cho sinh viên học viên Cao học Toán trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên summary General information - Project title: Interative ragularization method for system of monotone operator equations - Code number: B2009-TN07-03 - Duration: From 2009 to 2010 - Project manager: Doctor Nguyen Thi Thu Thuy Tel: 0912211858; E-mail: thuthuy220369@gmail.com - Implementing institution: College of Sciences, Thainguyen University Objective The purpose of this project is to study some regularization methods for system of monotone operator equations Main contends - Studying the regularization method for system of monotone operator equations; - Studying the convergence and convergence rates of the regularized solution on the base of choosing the regularization parameter by the generalized discrepancy principle Results obtained - Giving a regularization method for system of monotone operator equations; - We are showed that the regularization parameter can be choosen by the generalized discrepancy principle; The convergence rates of the regularized solution for system of monotone operator equations are obtained on the base of choosing the regularization parameter; - Giving an iterative regularization method for system of monotone operator equations; - Giving some numerical examples • Scientific publications: [1] Ng Buong, Ng T T Thuy and L T Duong (2009), "Regularization for common fixed points of non-self strictly pseudocontractive mappings in Hilbert spaces", 49(1), Journal of Science and Technology Thai Nguyen University, pp 27-31 [2] Ng Buong, Ng T T Thuy and T M Tuyen (2009), "Regularization for common fixed points of nonexpansive mappings in Banach spaces", Journal of Science and Technology Thai Nguyen University, 49(1), pp 32-36 [3] Ng T T Thuy (2010), "An iterative method to a common solution of inverse-strongly problems in Hilbert spaces", Mathematical Sciences, 3, Advances and Applications in pp 165-174 [4] Ng T T Thuy (2010), "Convergence rates of the Tikhonov regularization for ill-posed mixed variational inequalities with inverse-strongly monotone perturbations", Nonlinear Functional Analysis and Applications, (to apear) [5] Ng T T Thuy, § T Hoi (2010), "Numerical results in regularization method for ill-posed of monotone operator equation", and Technology Thai Nguyen University, 70(8), Journal of Science pp 61-64 • Training results: - Instruct 05 Master theses, 03 scientific research projects and 03 dissertations of undergraduate students - The project is helpful for teaching "Ill-posed Problem" in College of Sciences, Thai Nguyen University Mét số ký hiệu chữ viết tắt H không gian Hilbert thùc X kh«ng gian Banach thùc X∗ kh«ng gian liên hợp Rn không gian Euclide Rn+ tập véc tơ không âm (orthant không âm) tập rỗng X n chiều x := y x định nghÜa b»ng y ∀x víi mäi ∃x tån t¹i inf F (x) x∈X x x infimum cña tËp {F (x) : x ∈ X} arg F (x) tËp c¸c điểm cực tiểu hàm I ánh xạ đơn vị x∈X A∩B A giao víi B AT ma trËn chun vị ma trận ab a tương đương với b A toán tử liên hợp toán tử D(A) miền xác định toán tử R(A) miền giá trị toán tử xk x xk * x F X d·y A A {xk } héi tơ m¹nh tíi x d·y {xk } héi tơ u tíi x 10 A A Rn uk+1 ≤ (1 − ak )uk + bk , ≤ ak ≤ 1, ∞ P bk ii) ak = +∞, lim = k→+∞ ak k=1 Khi đó, lim uk = i) k+ Định lý 2.10 Giả sử dÃy {n } {n } toán (2.16) thỏa mÃn điều kiện sau: ≥ αn & 0, βn → n → +∞ ; |αn+1 − αn | βn (ii) lim = 0; = 0, lim n→+∞ n→+∞ αn βn αn ∞ P (iii) αn βn = +∞ (i) n=1 Khi ®ã d·y {zn } sinh tõ (2.16) héi tơ H tíi phÇn tư x0 ∈ S n → +∞ kzn − x0 k ≤ kzn − xn k + kxn x0 k Theo Định lý 2.9 số hạng thứ hai vế phải đánh giá dần đến n Do ®ã ta sÏ chøng minh zn xÊp xØ xn n Chứng minh Thật vậy, đặt Trước hết ta cã ∆n = kzn − xn k Râ rµng, ∆n+1 = kzn+1 − xn+1 k X  N = kzn − xn − βn αnλj (Aj (zn ) − fj ) + αn (zn − x∗ ) j=1 (2.20) − (xn+1 − xn )k, X  N λj ≤ z − x − β α (A (z ) − f ) + α (z − x ) n n j n j n n ∗ n n j=1 + kxn+1 xn k, 44 X  2 N λj zn − xn − βn α (A (z ) − f ) + α (z − x ) j n j n n ∗ = n j=1 = kzn − xn k2 X N λj + βn2 α (A (z ) − f ) + α (z − x ) j n j n n ∗ n j=1  − 2βn zn − xn , N X αnλj (Aj (zn ) − fj ) + αn (zn − x∗ ) j=1 − X N  αnλj (Aj (xn ) − fj ) + αn (xn − x∗ ) j=1 ≤ (1 − 2βn αn )kzn − xn k2 X N λj + βn2 α (A (z ) − f ) + α (z − x ) j n j n n ∗ n j=1 (2.21) Vì Aj toán tử ngược đơn điệu mạnh nên Aj liên tục Lipschitz X N λ j α (A (z ) − f ) + α (z − x ) j n j n n ∗ n j=1 X N λ = αnj (Aj (zn ) − fj ) + αn (zn − x∗ ) j=1 − N X j=1 αnλj (Aj (xn ) − fj ) − αn (xn − x∗ ) X 2 N ≤ αnλj kzn − xn k + αn2 kzn − xn k2 mAj j=1 + 2αn N X j=1 ≤c1 kzn − xn k2 , 45 αnλj kzn − xn k2 mAj ë c1 số dương Kết hợp (2.20), (2.21), bất đẳng thức sau Định lý 2.9 suy  ∆n+1 ≤ ∆2n (1 1/2 − 2βn αn + cβn2 ) +M |αn+1 − αn | n Bình phương hai vế bất đẳng thức sau áp dụng đánh giá sơ cấp (xem [2]) (a + b)2 ≤ (1 + αn βn )a2 + (1 + )b2 n n ta nhận 2n+1 ≤ ∆2n (1 − βn αn + cβn2 − 2αn2 βn2 + cαn βn3 )
|αn+1 − αn |2 + 1+ M βn αn αn2 (2.22) DÃy {n } thỏa mÃn điều kiện Bổ đề 2.2 (2.22) điều kiện (i) (iii) víi an = αn βn − cβn2 + 2αn2 βn2 − cαn βn3
|αn+1 − αn |2 M bn = + βn αn αn2 Chó ý: D·y βn = (1 + n)−1/2 vµ αn = (1 + n)−p , < 2p < 1/N thỏa mÃn tất điều kiện Định lý 2.10 Kết luận Trong chương đà trình bày phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu sở giải phương trình toán tử phụ thuộc tham số Chúng đà chứng minh hội tụ nghiệm hiệu chỉnh, đưa cách chọn giá trị tham số hiệu chỉnh hậu nghiệm theo nguyên lý độ lệch đồng thời đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh Chúng xây dựng phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không không gian Hilbert thực H xấp xỉ nghiệm cho hệ phương trình toán tử đơn điệu 46 Chương Kết tính toán thử nghiệm Trong chương đưa vài thử nghiệm số không gian hữu hạn chiều không gian vô hạn chiều minh họa cho phương pháp hiệu chỉnh trình bày Chương Kết đạt cho thấy phương pháp hiệu chỉnh đưa có khả thực thi hiệu Chúng đà viết chương trình thực nghiệm ngôn ngữ MATLAB 7.0 đà thử nghiệm chạy máy tính ACER 1.73 GHz Ram 504 MB cho c¸c vÝ dơ sau 3.1 Ví dụ 3.1 Xét hệ phương trình toán tử (2.1) với Aj ma trận vuông cấp M = xác định Aj = BjT Bj , j = 1, 2, 3, −1  2 −2  B1 =  3 −3  1 −1  −1  −2  B2 =  −3  0 −1 1 −1 −2 −3 −1 47 −1 −2 −3 −2 2   2  3   2 −1  −1  −2  −3   1   0  B3 =  1  1  −1 −1  −3 −2 −1  −1 −1   −1 −3 −2 0 fj = 0, j = 1, 2, Ta cã A1 , A2 , A3 ma trận đối xứng xác định không âm với r(A1 ) = r(A2 ) = 3, r(A3 ) = DÔ thÊy r»ng x0 = (0, 0, 0, 0, 0)T ∈ R5 lµ nghiƯm cã chn nhá nhÊt cđa hƯ (2.1) tr­êng hợp Bây sử dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp (2.16) để tìm nghiệm xấp xỉ cho ví dụ nµy x∗ = θ nh­ sau + Víi xÊp xỉ ban đầu z0 tùy ý thuộc R5 , chọn hai d·y sè βm = (1 + m)−1/2 vµ αm = (1 + m)1/12 thỏa mÃn điều kiện Định lý 2.10 + Trong tính toán thử nghiệm, tÝnh to¸n, víi (m+1) (m) max zj − zj ≤ err dừng 1j5 err sai số cho trước Sau kết tính toán Số lần lặp err m kx0 − zm k 5.9299 × 10−5 29 0.00077717 9.5917 × 10−6 52 0.00017816 9.5457 × 10−7 97 2.8739 × 10−5 9.7834 × 10−8 168 4.4859 × 10−6 (1.5, 1.5, 1.5, 1.5, 1.5)T ∈ R5 vµ  A0 zm + αm A1 zm + αm A2 zm + αm zm B¶ng 3.1: víi z0 = zm+1 = zm m 48 Số lần lặp err kx0 − zm k m 8.5032 × 10−5 27 0.00091206 9.5351 × 10−6 52 0.00017744 9.5213 × 10−7 97 2.8692 × 10−5 9.7746 × 10−8 168 4.4834 × 10−6 (1.5, 1.5, 1.5, 1.5, 1.5)T ∈ R5 vµ  A0 zm + αm zm A1 zm + αm A2 zm + αm B¶ng 3.2: víi z0 = zm+1 = zm m err Số lần lặp kx0 zm k m 9.2541 × 10−5 38 0.0013443 9.9215 × 10−6 72 0.00023732 9.7432 × 10−7 130 3.6725 × 10−5 9.893 × 108 219 5.5511 ì 106 Bảng 3.3: với  z0 = (5, 5, 5, 5, 5)T ∈ R5 vµ zm+1 = zm − βm A0 zm + αm A1 zm + err Số lần lặp A2 zm m + zm αm kx0 − zm k m 9.18 × 10−5 38 0.0013366 9.8821 × 10−6 72 0.0002367 9.7284 × 10−7 130 3.669 × 10−5 9.8882 × 10−8 219 5.5494 × 10−6 B¶ng 3.4: víi  z0  = (5, 5, 5, 5, 5)T ∈ R5 vµ zm+1 = zm − βm A1 zm + αm A2 zm + αm A0 zm + αm zm  Dùa trªn kết Bảng 3.1, 3.2, 3.3 3.4 ta rót mét sè nhËn xÐt sau: • TÝnh héi tụ dÃy lặp không phụ thuộc vào điểm chọn ban đầu, nhiên điểm chọn ban đầu có ảnh hưởng đến hiệu dÃy lặp Thực tế, 49 điểm xuất phát ban đầu gần nghiệm toán cần lần lặp so với việc chọn điểm ban đầu xa với nghiệm để đạt nghiệm xấp xỉ với sai số cho trước ã Vai trò A1 , A2 , A3 nh­ tõng d·y lỈp 3.2 VÝ dơ 3.2 Xét toán cực trị lồi: tìm phần tử x0 ∈ H cho ϕj (x0 ) = ϕj (x), j = 1, , N, x∈H (3.1) ë j phiếm hàm lồi thường, nửa liên tục yếu không gian Hilbert thực H Trong vÝ dơ nµy ta xÐt hµm ϕj : L2 [0, 1] R {+} xác định j (x) = f víi
hBj x, xi , j = 1, f : R → R ®­ỵc chän nh­ sau   , t ≤ b0 ,    (t − b )2 f (t) = , b0 < t ≤ b0 + ,  2    t − b0 −  , t > b0 + , b0 số dương,  > đủ bé vµ Bj : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] toán tử xác định Z B1 x(t) = k1 (t, s)x(s)ds, Z0 B2 x(t) = k2 (t, s)x(s)ds ( k1 (t, s) = t(1 − s) , t ≤ s, s(1 − t) , s < t, 50 vµ k2 (t, s) =                    (1 − s)2 st2 (1 − s)2 t3 (1 + 2s) − + (t − s)3 + , s2 (1 − s)(1 − t)2 s2 (1 − t3 )(2s − 3) + + (s t)3 , + hàm hạch đối xứng xác định không âm hình vuông 1} Khi ®ã ϕ0j (x) = f ¸p t ≤ s, s ≤ t, {0 ≤ t, s ≤
hBj x, xi Bj (x) dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp (2.16) dạng   zm , z0 ∈ RM zm+1 = zm − βm A˜1 zm + m A2 zm + m để tìm nghiệm xấp xỉ cho hệ phương trình 0j (x) = , j = 1, víi αm = (1 + m)−p , < p < , βm = (1 + m)−1/2 vµ
˜ ˜j (˜ ˜, x˜i B x), A˜j (x) = f hB jx
j = `k(t , t ) M , B ı,=1 x˜ = (˜ x1 , x˜2 , , x˜M )T , x˜ı ∼ x(tı ), ı = 1, 2, , M, `= M ViƯc kiĨm tra tính đắn sơ đồ lặp dựa vào giá trị sai số hai xấp xỉ liên tiếp max |z(m1) z(m) | err 0M Sau kết mối liên hệ số lần lặp tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh phương pháp hiệu chỉnh lặp (2.16) cho Ví dụ 3.2 51 Kết Bảng 3.5 tính với tham sè p = , B¶ng 3.6, Trong tất ví dụ tính toán, điểm xấp xỉ ban đầu 16 103 T M chän lµ z0 = (5, 5, 5) ∈ R , b0 = ,  = 10−2 vµ M = 50 p= err kx0 − zm k 32 0.00091935 0.011739 62 9.8652 × 10−5 0.0021074 114 9.6658 × 10−6 0.00032977 194 9.9717 × 10−7 5.1038 × 10−5 316 9.8618 ì 108 7.3102 ì 106 Số lần lặp m B¶ng 3.5: p= err kx0 − zm k 22 0.00084675 0.0051627 37 8.9838 × 10−5 0.00078278 58 9.4758 × 10−6 0.00011169 86 9.9791 × 10−7 1.5268 × 10−5 123 9.921 ì 108 Số lần lặp m Bảng 3.6: p= 1.9189 ì 106 16 Ngoài nhận xét nh­ VÝ dơ 3.1, ta thÊy: • TÝnh hiƯu phương pháp lặp phụ thuộc vào việc chọn giá trị tham số p dÃy αm Trong vÝ dơ víi M = 50, ta chọn p = 16 cần lần lặp so với trường hợp chọn p = tính toán nghiƯm xÊp xØ víi cïng sai sè cho tr­íc ã Khi số lần lặp lớn nghiệm xấp xỉ gần với nghiệm xác toán ban đầu 52 Kết luận Trong chương ®· ®­a vÝ dơ sè kh«ng gian hữu hạn chiều không gian vô hạn chiều thử nghiệm cho phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu Phần mềm sử dụng MATLAB 7.0 Kết đạt cho thấy phương pháp có khả thực thi hiệu 53 Kết luận chung Đề tài đà thu kết sau đây: Đưa phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu sở giải phương trình toán tử phụ thuộc tham số dựa đề xuất Nguyễn Bường [6] Chỉ cách chọn tham số hiệu chỉnh hậu nghiệm theo nguyên lý độ lệch suy rộng Dựa cách chọn này, tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh đánh giá tham số xấp xỉ dần đến Xây dựng phương pháp hiệu chỉnh lặp không gian Hilbert giải hệ phương trình toán tử đơn điệu Sự hội tụ phương pháp thiết lập dựa sở chọn dÃy tham số thích hợp điều kiện đơn điệu Lipschitz toán tử Đưa ví dụ số minh họa tính khả thi hiệu phương pháp Kiến nghị nghiên cứu Các hướng nghiên cứu toán mở tiếp tục nghiên cứu với phương pháp tiếp cận kết đề tài cho trường hợp sau: Tìm nghiệm chung cho N bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, j = 1, , N víi N ≥ Më réng kết thu lên lớp toán rộng hệ toán cân bằng: tìm ®©y x∗ ∈ K cho Fj (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ K, j = 1, , N, K tập lồi đóng khác rỗng X (xem [7]) 54