(Luận văn thạc sĩ) phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm đơn có xét biến dạng trượt ngang chịu tải trọng phân bố đều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHÒNG - PHẠM THANH TÙNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỐI VỚI BÀI TỐN DẦM ĐƠN CĨ XÉT BIẾN DẠNG TRƯỢT NGANG CHỊU TẢI TRỌNG PHÂN BỐ ĐỀU Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Cơng trình Dân dụng & Cơng nghiệp Mã số: 60.58.02.08 LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS ĐỒN VĂN DUẨN Hải Phịng, 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn Phạm Thanh Tùng LỜI CẢM ƠN Tác giả luận văn xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc TS Đồn Văn Duẩn tận tình giúp đỡ cho nhiều dẫn khoa học có giá trị thường xuyên động viên, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn nhà khoa học, chuyên gia ngồi trường Đại học Dân lập Hải phịng tạo điều kiện giúp đỡ, quan tâm góp ý cho luận văn hoàn thiện Tác giả xin trân trọng cảm ơn cán bộ, giáo viên Khoa xây dựng, Phòng đào tạo Đại học Sau đại học- trường Đại học Dân lập Hải phòng, đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Tác giả luận văn Phạm Thanh Tùng MỞ ĐẦU Bài toán học kết cấu có tầm quan trọng đặc biệt lĩnh vực học cơng trình, địi hỏi phải nghiên cứu đầy đủ mặt lý thuyết thực nghiệm Vấn đề nội lực chuyển vị kết cấu nhiều nhà khoa học nước quan tâm nghiên cứu theo nhiều hướng khác Tựu chung lại, phương pháp xây dựng toán gồm: Phương pháp xây dựng phương trình vi phân cân phân tố; Phương pháp lượng; Phương pháp nguyên lý công ảo Phương pháp sử dụng trực tiếp Phương trình Lagrange Các phương pháp giải gồm: Phương pháp lực, phương pháp chuyển vị, phương pháp hỗn hợp, liên hợp; Các phương pháp số gồm: Phương pháp sai phân, Phương pháp biến phân, phương pháp hỗn hợp sai phân - biến phân phương pháp phần tử hữu hạn Hiện nay, kết cấu thường sử dụng cơng trình dân dụng cơng nghiệp thường khung cứng túy khung kết hợp với lõi vách cứng Với số lượng phần tử lớn dẫn đến số ẩn toán lớn, vấn đề đặt với tốn dùng phương pháp để tìm lời giải chúng cách nhanh chóng, thuận tiện có hiệu Với phát triển mạnh mẽ máy tính điện tử, đồng thời phần mềm lập trình kết cấu ngày đại, tác giả nhận thấy phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp số đáp ứng yêu cầu nêu Thực chất phương pháp phần tử hữu hạn rời rạc hóa thân kết cấu Các phần tử liền kề liên hệ với phương trình cân phương trình liên tục Để giải tốn học kết cấu, tiếp cận phương pháp đường lối trực tiếp, suy diễn vật lý đường lối toán học, suy diễn biến phân Tuy nhiên cách kết thu ma trận (độ cứng độ mềm) Ma trận xây dựng dựa sở cực trị hóa phiếm hàm biểu diễn lượng Trong phạm vi phần tử riêng biệt, hàm chuyển vị xấp xỉ gần theo dạng đó, thơng thường đa thức Đối tượng, phương pháp phạm vi nghiên cứu đề tài Trong luận văn này, tác giả sử dụng phương phần tử hữu hạn nói để xây dựng giải tốn dầm đơncó xét đến biến dạng trượt ngang chịu tác dụng tải trọng phân bố Mục đích nghiên cứu đề tài “Xác định nội lực chuyển vị dầm đơn có xét đến biến dạng trượt ngang chịu tải trọng phân bố đềubằng phương pháp phần tử hữu hạn” Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Tìm hiểu giới thiệu phương pháp xây dựng phương pháp giải toán học kết cấu Trình bày lý thuyết dầm Euler - Bernoulli, lý thuyết dầm có xét biến dạng trượt ngang Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải toán dầm đơn có xét đến biến dạng trượt ngang, chịu tác dụng tải trọng phân bố Lập chương trình máy tính điện tử cho tốn nêu CHƯƠNG CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG VÀ GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU Trong chương trình bày phương pháp truyền thống để xây dựng tốn học nói chung; giới thiệu toán học kết cấu (bài toán tĩnh) phương pháp giải thường dùng Phương pháp xây dựng toán học Bốn phương pháp chung để xây dựng toán học kết cấu trình bày Dùng lý thuyết dầm chịu uốn để minh họa 1.1 Phương pháp xây dựng phương trình vi phân cân phân tố Phương trình vi phân cân xây dựng trực tiếp từ việc xét điều kiện cân lực phân tố tách khỏi kết cấu.Trong sức bền vật liệu nghiên cứu dầm chịu uốn ngang sử dụng giả thiết sau: - Trục dầm không bị biến dạng nên khơng có ứng suất - Mặt cắt thẳng góc với trục dầm sau biến dạng phẳng thẳng góc với trục dầm (giả thiết Euler–Bernoulli) - Khơng xét lực nén thớ theo chiều cao dầm Với giả thiết thứ ba có ứng suất pháp σx ứng suất tiếp σxz, σzx tác dụng lên phân tố dầm (hình 1.3), ứng suất pháp σz không Hai giả thiết thứ ba thứ dẫn đến trục dầm có chuyển vị thẳng đứng y(x) gọi đường độ võng hay đường đàn hồi dầm Giả thiết thứ xem chiều dài trục dầm không thay đổi bị võng đòi hỏi độ võng dầm nhỏ so với chiều cao dầm, ymax / h ≤ 1/5 Với giả thiết thứ hai biến dạng trượt ứng suất tiếp gây khơng xét tính độ võng dầm trình bày Gỉả thiết tỉ lệ h/l ≤ 1/5 Chuyển vị ngang u điểm nằm độ cao z so với trục dầm Biến dạng ứng suất xác định sau TTH Z u h/2 dy dx -h/2 𝑢 = −𝑧 Hình 1.2 Phân tố dầm d2y d2y  x   z ;  xx   Ez dx dx Momen tác dụng lên trục dầm: d2y Ebh3 d y M    Ebz dz   dx 12 dx h / h/2 M  EJ (1.7) hay Ebh3 d2y đó: EJ  ,   dx 12 EJ gọi độ cứng uốn dầm;  độ cong đường đàn hồi gọi biến dạng uốn;b chiều rộng dầm Để đơn giản trình bày, dùng trường hợp dầm có tiết diên chữ nhật Cách tính nội lực momen khơng xét đến biến dạng trượt ứng suất tiếp gây Tổng ứng suất tiếp σzx mặt cắt cho ta lực cắt Q tác dụng lên trục dầm: Q h/2  zx dz h / Biểu thức ứng suất tiếp σzx tích phân trình bày sau Nhờ giả thiết nêu trên, thay cho trạng thái ứng suất dầm, ta cần nghiên cứu phương trình cân nội lực M Q tác dụng lên trục dầm Xét phân tố dx trục dầm chịu tác dụng lực M,Q ngoại lực phân bố q, hình 1.3 Chiều dương M, Q q hình vẽ tương ứng với chiều dương độ võng hướng xuống Q q(x) M M + dM o2 Q + dQ dx Hình 1.3 Xét cân phân tố Lấy tổng momen điểm O2, bỏ qua vơ bé bậc cao ta có dM  Q  (1.8) dx Lấy tổng hình chiếu lực lên trục thẳng đứng: dQ q 0 dx (1.9) Phương trình (1.8) phương trình liên hệ momen uốn lực cắt, phương trình (1.9) phương trình cân lực cắt Q ngoại lực phân bố q Đó hai phương trình xuất phát (hai phương trình đầu tiên) phương pháp cân phân tố.Lấy đạo hàm phương trình (1.8) theo x cộng với phương trình (1.9), ta có phương trình dẫn xuất sau d 2M q0 dx (1.10) Thay M xác định theo (1.7) vào (1.10) nhận phương trình vi phân xác định đường đàn hồi EJ d4y  q (1.11) dx Phương trình (1.11) giải với điều kiện biên y đạo hàm đến bậc ba y (4 điều kiện), hai điều kiện biên đầu cuối Các điều kiện biên thường dùng sau a) Liên kếtkhớp x=0: d2y Chuyển vịbằng không, y x 0  , momen uốn M  , suy dx 0 x 0 b) Liên kết ngàm x=0: Chuyển vị không, y x 0  , góc xoay khơng, dy 0 dx x 0 c) khơng có gối tựa x=0: Momen uốn M  , suy d2y dx  ; lực cắt Q=0, suy x 0 d3y dx 0 x 0 Các điều kiện x=l lấy tương tự Bây tìm hiểu phân bố ứng suất tiếp σzx chiều dày h dầm Trước tiên viết phương trình cân ứng suất trục x sau   xz  xx   hay x z  xz  xx d3y    Ez z x dx Tích phân phương trình theo z:  xz Ez d y   C x  dx Hàm C x  xác định từ điều kiện ứng suất tiếp không mặt mặt dầm, z   Ta có: C  x   h Eh d y dx Ứng suất tiếp phân bố mặt cắt dầm có dạng  xz   E d3y 4 z  h  dx Đó hàm parabol bậc hai.Ứng suất tiếp lớn trục dầm (z=0) có giá trị  xz z 0 Eh d y  dx3 Tích phân hàm ứng suất chiều cao dầm nhân với chiều rộng b ta có lực cắt Q tác dụng lên phần trái dầm Ebh3 d y Q 12 dx Ứng suất tiếp trung bình chiều cao dầm bằng:  tb xz Eh d y  12 dx Tỉ lệ ứng suất tiếp max trục dầm ứng suất trung bình α=1.5 1.2 Phương pháp lượng Năng lượng hệ bao gồm động T П Động xác định theo khối lượng vận tốc chuyển động, П bao gồm biến dạng công trường lực, phụ thuộc vào chuyển vị Trường lực lực lực trọng trường Các lực ngồi tác dụng lên hệ lực khơng Đối với hệ bảo tồn, lượng khơng đổi T+ П = const (1.12) Do tốc độ thay đổi lượng phải không 𝑑 (T + П ) = 𝑑𝑡 (1.13) Ta xét toán tĩnh, T=0, П = const (1.14) Thế П biểu thị qua ứng suất nội lực biểu thị qua chuyển vị biến dạng Vì ta có hai ngun lý biến phân lượng sau: Nguyên lý biến dạng cực tiểu Khi phương trình cân biểu thị qua ứng suất nội lực biến dạng biểu thị qua ứng suất nội lực ta có nguyên lý biến dạng cực tiểu, nguyên lý Castiliano (1847-1884) Nguyên lý phát biểu sau: Trong tất trạng thái cân lực trạng thái cân thực xảy biến dạng cực tiểu Trạng thái cân lực trạng thái mà lực tác dụng lên phân tố thỏa mãn phương trình cân Ta viết nguyên lý dạng sau: F   Với ràng buộc phương trình cân viết dạng lực Đối với dầm ta có: 𝑙 𝑀2 П= ∫ 𝑑𝑥 → 𝑚𝑖𝑛 𝐸𝐽 (1.15) 𝑑2𝑀 (1.16) = −𝑞 𝑑𝑥 Nội lực cần tìm mơmen uốn hàm phân bố theo chiều dài dầm M(x) phải thỏa mãn điều kiện liên kết hai đầu (được xác định hai đầu thanh) Đây toán cực trị có ràng buộc Bằng cách dùng thừa số Lagrange 𝜆(𝑥) đưa tốn khơng ràng buộc sau: 𝑙 𝑙 𝑀2 𝑑2𝑀 П= ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝜆(𝑥) [ + 𝑞] 𝑑𝑥 → 𝑚𝑖𝑛 𝐸𝐽 𝑑𝑥 (1.17) 𝜆(𝑥) thừa số Lagrange ẩn tốn Theo phép tính biến phân từ phiếm hàm (1.17) ta nhận hai phương trình sau (phương trình Euler– Lagrange) 10 BẢNG SO SÁNH MÔMEN UỐN TẠI CÁC TIẾT DIỆN CỘT VÀ DẦM Các tiết diện cột dầm h=l/1000 Không xét biến dạng trượt h=l/3 Có xét biến dạng trượt Chênh lệch % khơng có xét biến dạng trượt ngang Đầu dầm -0,0781 -0,0781 0,000 1/4 dầm 0,0156 0,0156 0,000 Giữa dầm 0,0468 0,0468 0,000 Đối với siêu tĩnh có liên kết hai đầu đối xứng nội lực hai trường hợp có xét khơng xét biến dạng trượt nhau, hay nói cách khác việc xét biến dạng trượt không làm thay đổi nội lực dầm siêu tĩnh có tải trọng liên kết đối xứng Ví dụ 3.2.4 Dầm đầu ngàm - đầu tự do, hình 3.18 Xác định nội lực chuyển vị dầm chịu lực hình 3.18, độ cứng uốn EJ=const Rời rạc hóa kết cấu dầm thành npt phần tử Các nút phần tử phải trùng SO DO DAM NGANG nút nw1 SO DO NUT DAM 1 với vị trí đặt lực tập trung, hay vị trí thay đổi tiết diện, chiều dài phần tử 2 3 SO DO AN CHUYEN VI 10 11 12 nwx1 SO DO AN GOC XOAY khác 13 14 15 16 17 18 19 20 nq1 SO DO AN LUC CAT CHIEU DAI PHAN TU Hình 3.18 Dầm hai đầu ngàm 75 Mỗi phần tử có ẩn 𝑤1 , 𝑤2 , 1 , 2, 𝑞1 , 𝑞2 (lần lượt là, hai ẩn chuyển vị, hai ẩn góc xoay hai ẩn lực cắt hai đầu phần tử) nếunpt phần tử rời rạc tổng cộng có 6xnpt ẩn Nhưng cần đảm bảo liên tục chuyển vị chuyển vị nút cuối phần tử thứ e chuyển vị nút đầu phầntử thứ  e  1 nên số ẩn nhỏ 6xnpt.Khi giải ta cần đảm bảo điều kiện liên tục chuyển vị điều kiện liên tục góc xoay xét cách đưa vào điều kiện ràng buộc Ví dụ dầm (ví dụ 3.2.4, hình 3.18a) ta chia thành phần tử (hình 3.18b) Khi chia dầm thành phần tử số nút dầm 5, thứ tự từ trái sang phải [1, 2, 3, 4, 5] (hình 3.18b), số ẩn chuyển vị nw1=3, thứ tự từ trái sang phải [1, 2, 4] (hình 3.18c), ẩn chuyển vị đầu trái dầm không, ẩn góc xoay nwx1=8, thứ tự từ trái sang phải [5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12] (hình 3.18d),ẩn lực cắt nq1=8, thứ tự từ trái sang phải [13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20] (hình 3.18e) Như vậy, tổng cộng số ẩn 20 ẩn