Định lý cơ bản thứ hai cartan nochka trong lý thuyết phân bố giá trị

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TẠ THỊ MẠNH ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI CARTAN - NOCHKA TRONG LÝ THUYẾT PHÂN BỐ GIÁ TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2016 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TẠ THỊ MẠNH ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI CARTAN - NOCHKA TRONG LÝ THUYẾT PHÂN BỐ GIÁ TRỊ Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH TRẦN VĂN TẤN THÁI NGUYÊN - 2016 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết trình bày luận văn không bị trùng lặp với luận văn trước Tài liệu luận văn ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2016 Tác giả luận văn TẠ THỊ MẠNH i S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên Trước trình bày nội dung luận văn, xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới PGS TSKH Trần Văn Tấn, thầy người hướng dẫn cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Viện Toán học Đại học Thái Nguyên người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn bạn bè, người thân giúp đỡ, động viên, ủng hộ tơi để tơi hồn thành tốt luận văn khóa học Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2016 Tác giả luận văn TẠ THỊ MẠNH ii S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii MỞ ĐẦU 1 Trọng Nochka 1.1 Họ siêu phẳng vị trí tổng quát 1.2 Trọng Nochka 2 Định lý thứ hai Cartan - Nochka 14 2.1 Các hàm Bổ đề đạo hàm logarit 14 2.1.1 Các hàm Lý thuyết Nevanlinna - Cartan 14 2.1.2 Hàm phân hình ánh xạ phân hình 15 2.1.3 Bổ đề đạo hàm Logarit 19 2.1.4 Wronskian tổng quát ánh xạ phân hình 21 2.2 Định lý thứ hai cho ánh xạ phân hình 26 2.3 Quan hệ số khuyết 31 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 iii S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Năm 1929, Nevanlinna công bố báo nghiên cứu phân bố giá trị hàm phân hình mặt phẳng phức Vấn đề sau nhanh chóng mở rộng sang trường hợp ánh xạ chỉnh hình từ mặt phẳng phức vào khơng gian xạ ảnh Cartan Kể từ tới nay, việc nghiên cứu phân bố giá trị ánh xạ chỉnh hình với trường hợp khác liên tục thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học hình thành lý thuyết gọi Lý thuyết phân bố giá trị hay gọi Lý thuyết Nevanlinna Nội dung cốt lõi Lý thuyết gồm hai định lý chính, gọi định lý thứ thứ hai Trong định lý thứ giải tương đối đầy đủ trường hợp, định lý thứ hai thiết lập trường hợp Để tiếp cận tới vấn đề có tính thời Lý thuyết phân bố giá trị, luận văn này, tơi tập trung tìm hiểu kết gốc Lý thuyết phân bố giá trị Theo đó, tơi chọn tìm hiểu định lý thứ hai Cartan- Nochka Trên thực tế, năm 1933, Cartan mở rộng kết Nevanlinna sang trường hợp chiều cao, ơng thiết lập định lý thứ hai cho trường hợp đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính khơng gian xạ ảnh Cartan nêu giả thuyết cho trường hợp đường cong khác tùy ý không gian xạ ảnh Giả thuyết Cartan tồn 50 năm Nochka giải năm 1983 Trong luận văn dự định tìm hiểu kết Nochka Chính mà chọn đề tài "Định lý thứ hai Cartan-Nochka lý thuyết phân bố giá trị" Luận văn gồm hai chương: Chương Trọng Nochka Chương Định lý thứ hai Cartan - Nochka S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Chương Trọng Nochka 1.1 Họ siêu phẳng vị trí tổng qt Trong khơng gian xạ ảnh Pn (C), cố định hệ tọa độ ω = (ω0 : : ωn ) Cho q siêu phẳng H j xác định phương trình nhất: n Hj : ∑ hi j ω j = 0, j = 1, , q i=0 Với Q = {1, , q} R ⊂ Q, ta đặt |R|= số phần tử R Định nghĩa 1.1.1 Giả sử N ≥ n q ≥ N + Ta nói họ {H}qi=1 vị trí N tổng qt với R ⊂ Q với |R| = N + \ H j = / j∈R Nếu họ siêu phẳng vị trí n - tổng qt ta nói đơn giản vị trí tổng quát Dễ thấy {H j }qj=1 vị trí N - tổng quát rank(h jk ) j∈R,0≤k≤n = n + ∀R ⊂ Q 1.2 với |R| = N + Trọng Nochka Với kí hiệu R ⊂ S ⊂ Q, ta có định nghĩa sau: V (R)= không gian véc tơ Cn+1 sinh véc tơ (h jk )0≤k≤n , j ∈ R, rk(R) = dimV (R), rk(0) / = 0, rkR (S) = rk(S) − rk(R), S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn slR (S) = rk(S)−rk(R) |S|−|R| , với |S| > |R| Bổ đề 1.2.1 Cho họ siêu phẳng {H j }qj=1 vị trí N - tổng quát Pn (C) Khi (i) Với R ⊂ Q, i = 1, rkR (S1 ∪ S2 ) + rkR (S1 ∩ S2 ) ≤ rkR (S1 ) + rkR (S2 ) (ii) Với R ⊂ S ⊂ Q, |S| ≤ N + |R| − rank(R) ≤ |S| − rank(S) ≤ N − n Chứng minh (i) Ta có rkR (S1 ∪S2 ) + rkR (S1 ∩ S2 ) = rk(S1 ∪ S2 ) − rk(R) + rk(S1 ∩ S2 ) − rk(R) = dim(V (S1 ) +V (S2 )) + dim(V (S1 ) ∩V (S2 )) − dimV (R) ≤ dimV (S1 ) + dimV (S2 ) − dimV (R) = rkR (S1 ) + rkR (S2 ) (ii) Theo phần (i) rk(S) = rk(R ∪ (S \ R)) ≤ rk(R) + rk(S \ R) = rk(R) + |S \ R| = rk(R) + |S| − |R| Vậy ta có bất đẳng thức thứ Lấy S0 ⊂ Q, S ⊂ S0 cho |S0 | = N + Từ định nghĩa N - tổng quát ta có |S| − rk(S) ≤ |S0 | − rk(S0 ) = N − n Bổ đề 1.2.2 Cho họ siêu phẳng {H j }qj=1 vị trí N - tổng quát Pn (C), N > n, q > 2N − n + Khi tồn tập Ni , i = 0, , s S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Q thỏa mãn (i) N0 = 0/ ⊂ N1 ⊂ ⊂ Ns , rk(Ns ) < n + (ii) < slN0 N1 < slN1 N2 < < slNs−1 Ns < n+1−rk(Ns ) 2N−n+1−|Ns | < (iii) Với ≤ i ≤ s Ni−1 ⊂ R ⊂ Q, rk(Ni−1 ) < rk(R) < n + slNi−1 (Ni ) ≤ slNi−1 (R), Dấu xảy R ⊂ Ni (iv) Với Ns ⊂ R ⊂ Q rk(Ns ) < rk(R) < n + 1, slNs (R) ≥ n + − rk(Ns ) 2N − n + − |Ns | Chứng minh Ta đặt N0 = 0, / xác định Ni phương thức quy nạp sau Giả sử ta chọn {Ni }si=0 thỏa mãn (i) ∼ (iii) Nếu chúng thỏa mãn (iv) họ cần dựng Ngược lại ta cần phải tìm tập Ns+1 ⊂ Q cho Ns ⊂ Ns+1 {Ni }s+1 i=1 thỏa mãn (i) ∼ (iii) Vì Hi vị trí N - tổng quát nên rk(Ns ) < n+1 chứng tỏ |Ns | ≤ N Do theo Bổ đề 1.2.1 |Ns | − rk(Ns ) ≤ N − n < 2N − 2n Do n − rk(Ns ) < 2N − n − |Ns | ⇔ n + − rk(Ns ) < 2N − n + − |Ns | ⇔ n + − rk(Ns ) 0, đặt β = (α1 , , αi−1 , αi , αi+1 , , αm ) ta có Dα F ∂ Dβ F m(r, ) ≤ m(r, β ) + m(r, Dβ F) F D F ≤ o(T (r, Dβ F)) + o(T (r, F)) = o(T (r, F)) Theo nguyên lý quy nạp , định lý với α (b) Kí hiệu Mm trường hàm phân hình Cm Cho f ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với biểu diễn f = ( f0 : : fn ) Ta định nghĩa F k ( f ) không gian véc tơ Mmn+1 sinh phần tử {(Dα f0 , , Dα fn )}|α|≤k trường Mm F k ( f ) : {(Dα f0 , , Dα fn )}|α|≤k M m Ta chứng tỏ định nghĩa F k ( f ) không phụ thuộc vào việc chọn biểu diễn f Thực vậy, giả sử f có biểu diễn khác f = ( f˜0 : : f˜n ) Khi tồn 22 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn hàm phân hình h ∈ Mm \ {0} cho f j = h f˜j Với |α| < k ta có (Dα f0 , , Dα fn ) = ∑ Dβ h(Dλ f0 , , Dλ fn ) β +λ =α Do D E α α β β {(D f0 , , D fn )}|α|≤k M ⊂ {(D f0 , , D fn )}|β |≤k Mm m Tương tự ta có bao hàm thức ngược lại D E β β {(D f0 , , D fn )}|β |≤k ⊂ {(Dα f0 , , Dα fn )}|α|≤k M Mm m Do D E α α β β {(D f0 , , D fn )}|α|≤k M = {(D f0 , , D fn )}|β |≤k Mm m Vậy định nghĩa F k ( f ) không phụ thuộc vào việc chọn biểu diễn f Đặt Lk ( f ) = dim F k ( f ) Ta có tính chất sau 1/ F ( f ) ⊂ F ( f ) ⊂ Nếu tồn k cho F k ( f ) = F k+1 ( f ) F ( f ) ⊂ F ( f ) ⊂ ⊂ F k ( f ) = F k+1 ( f ) = 2/ L1 ( f ) ≤ L2 ( f ) ≤ Nếu tồn k cho Lk ( f ) = Lk+1 ( f ) L0 ( f ) ≤ L1 ( f ) ≤ ≤ Lk ( f ) = Lk+1 ( f ) = 3/ Lk ( f ) ≤ n + ∀k Tồn l( f ) := min{k : Lk ( f ) = Lk+1 ( f )}, L0 ( f ) < L1 ( f ) < < Ll( f ) ( f ) = Ll( f )+1 ( f ) = Hiển nhiên Ll( f ) ( f ) ≤ n + 1, nên l( f ) ≤ n Bổ đề 2.1.6 Ánh xạ f không suy biến tuyến tính Ll( f ) ( f ) = n + Chứng minh Ta chứng minh f suy biến tuyến tính Lk( f ) ( f ) < n + 23 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn (i) Giả sử f suy biến tuyến tính, tồn a0 , , an ∈ Cn không đồng thời 0, cho a0 f0 + a1 f1 + + an fn = Do a0 Dα f0 + a1 Dα f1 + + an Dα fn = ∀α ∈ (Z+ )m Suy Lk ( f ) < n + ∀k Đặc biệt Lk( f ) ( f ) < n + (ii) Giả sử Ll( f ) ( f ) < n + Như Lk ( f ) < n + ∀k Khi tồn hàm phân hình ϕ0 , , ϕn Cm không đồng thời không cho ϕ0 Dα f0 + ϕ1 Dα f1 + + ϕn Dα fn = ∀α Lấy a ∈ Cm \ (I( f ) ∪ (∩{z : ϕi (z) = 0}ni=0 ) điểm cố định, xét hàm chỉnh hình Φ(z) = ϕ0 (a)Dα f0 (z) + ϕ1 (a)Dα f1 (z) + + ϕn (a)Dα fn (z) Ta có Dα Φ(a) = ϕ0 (a)Dα f0 (a) + ϕ1 (a)Dα f1 (a) + + ϕn (a)Dα fn (a) = ∀α Điều chứng tỏ Φ ≡ Vì ϕ0 (a), , ϕn (a) khơng đồng thời không, nên f (Cm ) nằm siêu phẳng {ω : ∑nj=0 ϕ j (a)ω j = 0}, hay f suy biến tuyến tính (c) Cho f khơng suy biến tuyến tính, Lo ( f ) < L1 ( f ) < < Lk( f ) ( f ) = n + Như tồn α = (α0 , , αn , αi ∈ (Z+ )m thỏa mãn    α0 ≤ α1 ≤ ≤ αn , α0 = (0, , 0) (2.1.1) sở F ( f ) k   {(Dαi f , , Dαi f } n 0≤i thỏa mãn C−1 ≤ Φ(ω) ≤ C Với R ⊂ Q = 1, , q, |R| = N + gọi R0 ⊂ R tập hợp số thỏa mãn Bổ đề 1.2.5 Ta có !ω( j)   b |H j (ω)| Φ(ω) = ∑ ∏ ×∏ ω( j) ||ω|| j∈R ||H j || |R|=N+1 j=1 !ω( j) ||ω||||H j || ×∏ b j (ω)| |H j∈R !ω( j) q b j (ω)| |H ≤∏ ||ω|| j=1 !!   ||ω||||H j || × ∑ ∏ × ∏ ω( j) b ||H || || H (ω)| j j j∈R0 |R|=N+1 j∈R q 27 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Do q ∏ j=1 ||ω|| b j (ω)| |H !ω( j)  ≤C× ∑ ∏ j∈R |R|=N+1  ×∏ ||H j ||ω( j) j∈R0 ||ω||||H j || b j (ω)| |H !! Gọi W ( f ) = Wα ( f0 , , fn ) Wronskian tổng quát f Với R0 = { j1 , , jrk(R) },
b j ( f ), , H b j ( f )) Khi với z 6∈ I( f )∪ j∈Q f −1 (H j ) , đặt WR ( f ) = Wα (H rk(R) ta có q ∏ !ω( j) || f || j=1 b j ( f (z))| |H  ×|W ( f )(z)| ≤ C|| f (z)||n+1 × ∑ ∏ |R|=N+1 j∈R |W ( f )(z)| ∏ j∈R0 ||H j || b j ( f )(z)| ∏ j∈R |H ×  × ||H j ||ω( j) ! ! = CR || f (z)||n+1 × ∑ |R|=N+1 |WR0 ( f )(z)| , b j ( f )(z) ∏ j∈R |H CR số dương phụ thuộc vào R Suy ! q || f || ∑ ω( j) log |Hb ( f (z))| + log |W ( f )(z)| ≤ log || f (z)||n+1+ j j=1 ! |W ( f )(z)| R0 + ∑ log+ +C0 , b | H (ω)| ∏ j j∈R |R|=N+1 Với C0 số dương Lấy tích phân hai vế S(r) áp dụng (2.1.2) ta q q ||( ∑ ω( j))T f (r) + N(r, (W ( f ))0 ) − ∑ ω( j)N(r, f ∗ H j ) j=1 j=1 ≤ (n + 1)T f (r) + o(T f (r)) e − 2N + n − 1) + n + nên ta có Vì ∑qj=1 ω( j) = ω(q ||(q − 2N + n − 1)T f (r) ≤ e ω ! q ∑ ω( j)N(r, f ∗H j ) − N(r, (W ( f ))0) j=1 (2.2.3) 28 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Để tiếp tục, ta chứng minh mệnh đề sau Mệnh đề 2.2.2 Với a 6∈ I( f ), ta có q q ∑ ω( j)(Hb j ( f ))0(a) − (W ( f ))0(a) ≤ j=1 ∑ ω( j) min{(Hb j ( f ))0(a), n} j=1 (2.2.4) Chứng minh b j ( f )(a) = Thực vậy, a 6∈ I( f ) nên có khơng q N số j ∈ Q cho H Không tính tổng qt ta giả sử b1 ( f ))0 (a) ≥ ≥ (H bN ( f ))0 (a) ≥ = (H bN+1 ( f ))0 (a) = = (H bq ( f ))0 (a) (H Đặt R = {1, , N + 1}, ta có q ∑ ω( j)(Hb j ( f ))0(a) − (W ( f ))0(a) = ∑ ω( j)(Hb j ( f ))0(a) − (WR0 ( f ))0(a) j∈R j=1 ≤ ∑ ω( j)(Hb j ( f ))0(a) − ∑ max{(Hb j ( f ))0(a) − n, 0} j∈R ≤ j∈R0 ∑ ω( j)(Hb j ( f ))0(a) − ∑ ω( j) max{(Hb j ( f ))0(a) − n, 0} j∈R = j∈R ∑ ω( j) min{(Hb j ( f ))0(a), n} j∈R Mệnh đề chứng minh Từ (2.2.4), ta q q ∑ ω( j)N(r, f ∗ H j ) − N(r, (W ( f ))0 ≤ j=1 ∑ ω( j)Nn(r, f ∗H j ) j=1 29 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn (2.2.5) Kết hợp (2.2.3) (2.2.5), ta thu q ||(q − 2N + n − 1)T f (r) ≤ ω( j) Nn (r, f ∗ H j ) + o(T f (r)) e j=1 ω ∑ q ≤ ∑ Nn(r, f ∗H j ) + o(Tf (r)) j=1 Định lý chứng minh Định lý 2.2.3 Cho f : Cm −→ Pn (C) ánh xạ phân hình có hạng d, ≤ d ≤ N Cho {H j }qj=1 q siêu phẳng vị trí N - tổng quát Pn (C) cho ( f , H j ) 6≡ ∀1 ≤ j ≤ q Khi ta có q ||(q − 2N + d − 1)T f (r) ≤ ω( j) Nd (r, f ∗ H j ) + o(T f (r)) e j=1 ω ∑ q ≤ ∑ Nn(r, f ∗H j ) + o(Tf (r)) j=1 Chứng minh Gọi W khơng gian tuyến tính nhỏ Pn (C) chứa f (Cm ) Vì dimW = d, nên cách đổi hệ tọa độ Pn (C) ta giả sử W = {ω : ωd+1 = = ωn } = Vì f (Cm ) ⊂ W nên f có biểu diễn rút gọn có dạng f = ( f0 : : fd : : 0) Giả sử H j siêu phẳng xác định n H j = {ω : ∑ a jk ωk = 0} k=0 Xét ánh xạ phân hình fe từ Cm vào Pd (C) có biểu diễn rút gọn fe = ( f0 : : fd ), e j }q Pd (C) xác định siêu phẳng {H j=1 d e j = {ω : H ∑ a jk ωk = 0} k=0 30 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Chú ý rằng, ( f , H j ) 6≡ nên a j0 , , a jd không đồng thời không, e j }q tồn Ta dễ thấy họ siêu phẳng {H j=1 1/ fe khơng suy biến tuyến tính, 2/ T f (r) = T fe(r) + O(1), e j ), ≤ j ≤ q, 3/ ( f , H j ) = ( fe, H e j }q vị trí N - tổng quát Pd (C) 4/ {H j=1 e j }q ta Áp dụng định lý thứ hai cho ánh xạ fe họ siêu phẳng {H j=1 q ||(q − 2N + d − 1)T fe(r) ≤ ∑ Nd (r, fe∗He j ) + o(Tfe(r)) j=1 Do q ||(q − 2N + d − 1)T f (r) ≤ ω( j) ∑ ωe Nd (r, f ∗H j ) + o(Tf (r)) j=1 q ≤ ∑ Nd (r, f ∗H j ) + o(Tf (r)) j=1 Định lý chứng minh 2.3 Quan hệ số khuyết Từ định lý thứ hai cho ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh phức, ta có định lý sau quan hệ số khuyết Định lý 2.3.1 (Quan hệ số khuyết) Cho f : Cm −→ Pn (C) ánh xạ phân hình có hạng d, ≤ d ≤ N Cho {H j }qj=1 q siêu phẳng vị trí N tổng quát Pn (C) Khi ta có q ∑ δd ( f , H j ) ≤ q − 2N + d − j=1 Đặc biệt ánh xạ f giao với siêu phẳng H j với bội µ j ta có định lý sau 31 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Định lý 2.3.2 Cho f : Cm −→ Pn (C) ánh xạ phân hình có hạng d, ≤ d ≤ N Cho {H j }qj=1 q siêu phẳng vị trí N - tổng quát Pn (C) cho ( f , H j )0 (z) ≥ µ j với z ∈ Supp( f , H j )0 , ≤ j ≤ q Khi ta có q d ∑ (1 − µ j ) ≤ 2N − d + i=1 Chứng minh Nếu ν j < +∞ ta có Nd (r, F ∗ H j ) N1 (r, f ∗ H j ) d δd ( f , H j ) = limr−→∞ ≥ − d limr−→∞ ≥ − T f (r) N(r, f ∗ H j ) µj Nếu ν j = +∞ hiển nhiên d µj = Giả sử S = { j : ( f , H j ) ≡ 0} có #S = k ≤ q Vậy họ siêu phẳng {H j } j6∈S vị trí (N + − k) - tổng quát Pd (C) Theo định lý quan hệ số khuyết ta có q d ∑ (1 − µ j ) ≤ k + ∑ δd ( f , H j ) ≤ k + (2(N − k) − d + 1) ≤ 2N − d + j6∈S j=1 Định lý chứng minh Hệ 2.3.3 Cho f : Cm −→ Pn (C) ánh xạ phân hình khơng suy biến tuyến tính Cho {H j }qj=1 q siêu phẳng vị trí tổng quát Pn (C), q ≥ n + Khi ta có (i) ||(q − n − 1)T f (r) ≤ ∑qj=1 Nn (r, f ∗ H j ) + o(T f (r)), (ii) ∑qj=1 δn ( f , H j ) ≤ q − n − Định lý 2.3.4 (Bổ đề Borel) Cho Fj 6≡ 0, ≤ j ≤ n hàm chỉnh hình Cm d ∈ N Giả sử F0d + F1d + + Fnd ≡ Khi đó, d > n(n − 2) tồn phân hoạch số {0, , n} = ∪Iα thỏa mãn (i) #Iα ≥ với α, (ii) Fi Fj = const ∈ C \ {0} với i, j ∈ Iα , (iii) ∑i∈Iα Fid ≡ 32 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Chứng minh Ta phân hoạch tập số {0, , n} = ∪Iα cho Fi Fj = const ∈ C \ {0} i, j thuộc tập Iα Ta cần chứng minh họ {Iα } thỏa mãn hai tính chất (i) (iii) (a) Để chứng minh (i), ta cần chứng minh với ≤ i ≤ n tồn j 6= i cho Fi Fj = const ∈ C \ {0} Thực với i cố định, lấy t số nhỏ cho tồn số l1 , , lt số khác không c1 , , ct thỏa mãn t Fid = ∑ c j Fidl l=1 Giả sử t > 1, xét ánh xạ phân hình F = (Fid1 : : Fidt ) : Cm −→ Pt−1 (C) Vì tính nhỏ t nên F ánh xạ phân hình khơng suy biến tuyến tính Áp dụng định lý 2.3.2 cho F siêu phẳng tọa độ Hi = {ωi = 0}, i = 0, ,t − Ht = {∑tl=1 cl ωl−1 = 0}, ta có t ∑ (1 − l=0 t −1 ) ≤ t d Như d ≤ (t + 1)(t − 1) ≤ n(n + 2) (vô lý) Điều chứng tỏ t ≤ Ta đặt j = i1 Khi Fi Fj = const ∈ C \ {0} (b) Với α lấy cố định iα ∈ Iα Đặt ∑ j∈α Fjd = cα Fidα , với cα ∈ C Đặt S = {α : cα 6= 0} Giả sử S 6= / Ta có ∑ cα Fidα ≡ α∈S Như #S ≥ Chứng minh tương tự phần (a), ta α, β ∈ S cho Fiα Fi = const ∈ C \ {0} Điều mâu thuẫn với định nghĩa họ {Iα } β Do S = 0, / hay ∑ j∈α Fjd ≡ 0, ∀α Từ (a), (b) định nghĩa họ {Iα } ta có chứng minh định lý 33 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn KẾT LUẬN Luận văn trình bày số kiến thức lý thuyết Nevanlinna cho không gian xạ ảnh phức Mục đích luận văn nghiên cứu trọng Nochka định lý thứ hai Cartan - Nochka cho ánh xạ phân hình Các vấn đề trình bày luận văn gồm: - Sự tồn trọng Nochka cho hệ tùy ý siêu phẳng vị trí tổng quát - Định lý thứ hai cho ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh khơng suy biến tuyến tính siêu phẳng vị trí tổng quát - Quan hệ số khuyết sinh từ Định lý thứ hai Cartan-Nochka 34 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [1] Fujimoto H (1993), Value distribution theory of the Gauss map of minimal surfaces in Rm , Vieweg-Verlag, Braunschweig [2] Nochka E I (1983), On the theory of meromorphic functions, Soviet Math Dokl 27, 377-391 [3] Noguchi J and Winkelman J (2014), Nevanlinna Theory in Several Complex Variables and Diophantine Approximation, Grundlehren der mathematischen Wissenenschaften 350, springer Japan 35 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn