BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Nguyễn Thanh Sơn VỀ MỘT DẠNG ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ĐƯỜNG CONG NGUYÊN VÀ ĐỊNH LÍ KHÔNG GIAN CON SCHMIDT ĐỐI VỚI SIÊU MẶT DI ĐỘNG Chuyên ngành H[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Nguyễn Thanh Sơn VỀ MỘT DẠNG ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ĐƯỜNG CONG NGUYÊN VÀ ĐỊNH LÍ KHƠNG GIAN CON SCHMIDT ĐỐI VỚI SIÊU MẶT DI ĐỘNG Chun ngành: Hình học Tơpơ Mã số: 9.46.01.05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS Trần Văn Tấn Hà Nội, 2022 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan kết trình bày luận án trung thực, đăng tải tạp chí Tốn học uy tín nước quốc tế, đồng tác giả cho phép sử dụng luận án chưa cơng bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh Nguyễn Thanh Sơn ii LỜI CẢM ƠN Lời tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành, sâu sắc tới GS Trần Văn Tấn, người thầy tận tình hướng dẫn, bảo, động viên hỗ trợ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Tôi xin trân trọng cảm ơn Phịng Sau đại học, Khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội, Sở GD-ĐT Thanh Hóa, Trường THPT chuyên Lam Sơn tạo điều kiện thuận lợi để tơi chun tâm học tập, nghiên cứu Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn thầy cô, bạn nghiên cứu sinh Bộ môn Hình học Tơ pơ có trao đổi, góp ý bổ ích học thuật, đồng nghiệp Ban giám hiệu tổ Toán trường chuyên Lam Sơn động viên, trợ giúp công việc để tơi sớm hồn thành luận án Cuối cùng, xin gửi tặng thành đạt đến gia đình người thân thay lời cảm ơn cho hy sinh, vất vả suốt q trình học tập, nghiên cứu tơi Tác giả iii MỤC LỤC Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Danh mục quy ước kí hiệu vi MỞ ĐẦU 1 Tổng quan 1.1 Định lí thứ hai 1.2 Định lí khơng gian Schmidt Định lí thứ hai đường cong nguyên có đạo hàm cầu triệt tiêu tập tạo ảnh mục tiêu 2.1 11 Một số kiến thức chuẩn bị 11 2.1.1 Các hàm Lí thuyết Nevalinna 11 2.1.2 Toán tử Wronski Bổ đề đạo hàm Logarit cho ánh xạ chỉnh hình 13 2.1.3 Họ siêu mặt vị trí tổng quát đa tạp xạ ảnh số khái niệm liên quan 15 2.1.4 Đạo hàm cầu ánh xạ chỉnh hình 16 2.1.5 Họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình tính Brody đường cong nguyên 16 2.2 Định lí thứ hai Định lí Picard cho đường cong nguyên không gian xạ ảnh với đạo hàm cầu triệt tiêu tập tạo ảnh siêu mặt mục tiêu 17 2.2.1 Trọng Nochka ứng với hệ vectơ 17 iv 2.2.2 Định lí thứ hai kiểu Nochka cho siêu mặt Định lí Picard 18 2.2.3 Một tiêu chuẩn Brody cho đường cong nguyên 28 2.3 Định lí thứ hai cho đường cong nguyên đa tạp xạ ảnh có đạo hàm triệt tiêu tập ảnh ngược siêu mặt mục tiêu 30 2.3.1 Một số bổ đề 30 2.3.2 Một dạng định lí thứ hai không ngắt bội 30 Định lí khơng gian Schmidt siêu mặt di động giao đa 38 tạp đại số xạ ảnh 3.1 Một số kiến thức chuẩn bị 38 3.1.1 Định giá trường số 38 3.1.2 Chuẩn hóa định giá cơng thức tích 40 3.1.3 Độ cao Logarit hàm 41 3.1.4 Họ siêu phẳng, siêu mặt di động tập số 43 3.2 Định lí khơng gian Schmidt siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh 45 3.2.1 Một số bổ đề 46 3.2.2 Chứng minh Định lí 3.2.1 63 Kết luận kiến nghị 68 Danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án 70 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO v DANH MỤC CÁC QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU Các kí hiệu sau thống toàn luận án Pn (C): không gian xạ ảnh phức n chiều ∥z∥ = |z1 |2 + · · · + |zm |2 1/2 với z = (z1 , , zm ) ∈ Cm 1/2 với (f0 : · · · : fn ) ∈ Pn (C) biểu diễn rút ∥f ∥ = |f0 |2 + · · · + |fn |2 gọn f o(r): vô bé bậc cao r r → +∞ O(r): vô lớn bậc với r r → +∞ O(1): hàm bị chặn r log+ x = max{log x, 0}, x > “ ∥ P ”: có nghĩa mệnh đề P với r ∈ [0, +∞) nằm tập Borel E [0, +∞) thoả mãn R E dr < +∞ #S : lực lượng tập hợp S BCN N {d1 , , dq }: bội số chung nhỏ số nguyên dương d1 , , dq deg D: bậc đa thức xác định siêu mặt D PM (k): không gian xạ ảnh M -chiều trường k Mk : tập tất lớp tương đương định giá trường k ∥.∥v : chuẩn hóa định giá v k h(x): độ cao logarit x, với x ∈ k λHj ,v : hàm Weil ứng với siêu phẳng Hj định giá v NS (Hj , x): hàm đếm (tương ứng với hàm đếm lí thuyết Nevanlinna) f # : đạo hàm cầu f Hol(X, Y ): tập ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y E : Hàm độ dài đa tạp X vi Mở đầu Lí chọn đề tài Lí thuyết phân bố giá trị hay cịn gọi Lí thuyết Nevanlinna, hình thành từ nghiên cứu Nevanlinna [24] phân bố giá trị hàm phân hình biến phức công bố vào năm 1925 Các kết Nevanlinna nhanh chóng nhiều nhà tốn học mở rộng sang trường hợp chiều cao nhiều biến như: A Bloch [6] xem xét vấn đề với đường cong chỉnh hình đa tạp Abel; Cartan [7] mở rộng kết Nevanlinna tới trường hợp đường cong nguyên không gian xạ ảnh phức; H Weyl , J Weyl [44] Ahlfors [4] đưa cách tiếp cận hình học; Stoll [37, 38] mở rộng sang trường hợp ánh xạ phân hình từ khơng gian parabolic vào đa tạp xạ ảnh Nội dung Lí thuyết Nevanlinna đưa mối quan hệ hàm đặc trưng (đo lan tỏa ảnh ánh xạ) với hàm đếm giao điểm ảnh ánh xạ với mục tiêu Cốt lõi Lí thuyết Nevanlinna nằm hai định lí thường gọi Định lí thứ Định lí thứ hai Ở đó, Định lí thứ đưa chặn cho hàm đặc trưng hàm đếm, cịn Định lí thứ hai đưa chặn cho hàm đặc trưng tổng hàm đếm ứng với mục tiêu Với Định lí thứ nhất, ta nhìn hệ Cơng thức Jensen ngày có hiểu biết thỏa đáng Tuy nhiên, với Định lí thứ hai thiết lập cho không nhiều trường hợp Trước thập kỷ 80 kỷ 20, Định lí thứ hai thiết lập chủ yếu cho trường hợp mà mục tiêu siêu phẳng không gian xạ ảnh phức Sang thập kỷ 80, số nhà toán học phát mối liên hệ sâu sắc Lí thuyết Nevanlinna với Lí thuyết xấp xỉ Diophantine mà khởi đầu từ cơng trình Osgood [27] cơng bố năm 1981, sau Vojta nhiều chuyên gia khác thuộc hai lĩnh vực tiếp tục làm rõ thêm Năm 1987, báo [43], Vojta lập bảng tương ứng khái niệm kết thuộc hai lĩnh vực mà ngày thường gọi từ điển Vojta Theo đó, Định lí thứ hai tương ứng với Định lí khơng gian Schmidt Lí thuyết xấp xỉ Diophantine Khơng có tương đồng khái niệm kết quả, hai lí thuyết cịn có bổ trợ lẫn phương pháp giải vấn đề Sự bổ trợ qua lại làm cho hai lí thuyết đạt thành tựu bật giai đoạn từ đầu kỷ 21 đến nay, thiết lập nhiều Định lí thứ hai Định lí khơng gian Schmidt cho trường hợp mục tiêu siêu mặt Tiêu biểu kết Corvaja-Zannier [10], Evertse-Ferretti [15, 16], Ru [31, 32], Dethloff-Trần Văn Tấn [12, 11], Dethloff-Trần Văn Tấn-Đỗ Đức Thái [13], Sĩ Đức Quang [29] Trong dịng chảy sơi động đó, chọn đề tài nghiên cứu: Về dạng Định lí thứ hai cho đường cong nguyên Định lí khơng gian Schmidt siêu mặt di động Mục đích nghiên cứu Trước tiên, luận án thiết lập Định lí thứ hai cho đường cong nguyên đa tạp đại số có đạo hàm cầu triệt tiêu tập tạo ảnh mục tiêu ứng dụng việc xây dựng tính Brody đường cong Tiếp theo, luận án thiết lập Định lí khơng gian Schmidt ứng với họ siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu Định lí khơng gian Schmidt, Định lí thứ hai, đường cong Brody toán họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình Đề tài luận án nghiên cứu phạm vi Lí thuyết xấp xỉ Diophantine Lí thuyết Nevanlinna cho đường cong nguyên không gian xạ ảnh Phương pháp nghiên cứu Các vấn đề đặt luận án giải cách kế thừa phát triển phương pháp Hình học đại số, Lí thuyết xấp xỉ Diophantine, Giải tích phức, Hình học phức Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết đạt luận án làm gia tăng tri thức Lí thuyết Nevanlinna Lí thuyết xấp xỉ Diophantine ứng dụng Định lí thứ hai việc nghiên cứu họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình, đường cong Brody Sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh nghiên cứu theo hướng sử dụng luận án tài liệu tham khảo trình học tập, nghiên cứu Cấu trúc luận án Luận án trình bày thành ba chương Trong đó, chương thứ dành để phân tích, tìm hiểu kết nghiên cứu tác giả nước liên quan đến nội dung đề tài Hai chương cịn lại trình bày kiến thức chuẩn bị chứng minh chi tiết kết đề tài Chương I Tổng quan Chương II Định lí thứ hai đường cong nguyên có đạo hàm cầu triệt tiêu tập tạo ảnh mục tiêu Chương III Định lí khơng gian Schmidt siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh Luận án viết dựa theo kết nghiên cứu tác giả đồng tác giả công bố ba báo đăng tạp chí khoa học nước quốc tế Nơi thực luận án Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Chương Tổng quan Năm 1925, báo [24], R Nevanlinna công bố kết nghiên cứu phân bố giá trị hàm phân hình mặt phẳng phức Kết khởi đầu mở lí thuyết đẹp Giải tích phức sau mang tên ơng, cịn gọi Lí thuyết phân bố giá trị Có thể nhìn Lí thuyết Nevanlinna mở rộng tinh tế Định lí Picard bé, Borel, Weierstrass, Định lí Đại số Lí thuyết nhanh chóng nhiều nhà tốn học Bloch, Cartan, H Weyl, J.Weyl, Ahlfors nghiên cứu mở rộng sang trường hợp chiều cao liên tục phát triển gần 100 năm qua Cốt lõi Lí thuyết Nevanlinna nằm hai định lí nói mối quan hệ hàm đếm, hàm đặc trưng hàm xấp xỉ, thường gọi Định lí thứ Định lí thứ hai Định lí thứ nói hàm đặc trưng tổng hàm đếm hàm xấp xỉ, từ cho ta đánh giá chặn hàm đặc trưng hàm đếm Định lí thứ hai đưa đánh giá chặn hàm đặc trưng tổng hàm đếm ứng với mục tiêu cho trước Trong đánh giá Định lí thứ đạt nhờ vào định nghĩa khái niệm đánh giá Định lí thứ hai đạt cho không nhiều trường hợp mục tiêu Chính lẽ đó, Lí thuyết Nevanlinna tiếp tục nhiều nhà tốn học quan tâm, nghiên cứu Khơng có ứng dụng đẹp Giải tích phức Hình học phức, Lí thuyết Nevanlinna cịn có mối liên hệ sâu sắc với Lí thuyết xấp xỉ Diophantine Mối liên hệ Osgood phát nêu công trình ơng