Phương trình hàm cauchy và một số biến thể của nó

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o BỊI THÀ HŒNG PH×ÌNG TRœNH H€M CAUCHY V€ MËT SÈ BI˜N THš CÕA N LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC THI NGUY–N, 2017 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o BỊI THÀ HŒNG PH×ÌNG TRœNH H€M CAUCHY V€ MậT Sẩ BIN TH CếA N Chuyản ngnh: Phữỡng phĂp ToĂn sỡ cĐp M số: 60 46 01 13 LUN VN THC S TON HC NGìI HìẻNG DN KHOA HC: TS NGUY™N œNH BœNH THI NGUY–N, 2017 i LÍI CƒM èN Luên vôn ữủc hon thnh tÔi trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ô hồc ThĂi Nguyản dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS.NGUYN NH BNH TĂc giÊ xin trƠn trồng by tọ lỏng kẵnh trồng v biát ỡn sƠu sưc tợi TS.NGUYN NH BNH, thƯy  tên tẳnh ch bÊo, hữợng dăn, ởng viản khẵch lằ v tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu luên vôn Qua bÊn luên vôn n y, t¡c gi£ xin gûi líi c£m ìn tỵi c¡c thƯy cổ trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ô hồc ThĂi Nguyản nõi chung v cĂc thƯy cổ khoa ToĂn - Tin hồc nõi riảng  dÔy bÊo v  d¼u d­t t¡c gi£ st thíi gian qua TĂc giÊ cụng xin cÊm ỡn gia ẳnh, bÔn b, ỗng nghiằp v tĐt cÊ mồi ngữới  quan tƠm, ëng vi¶n v  gióp ï º t¡c gi£ câ thº hon thnh luên vôn cừa mẳnh TĂc giÊ xin chƠn thnh cÊm ỡn! ThĂi Nguyản, thĂng 06 nôm 2017 Hồc viản Bũi Th Hơng ii Mửc lửc Mé U Phữỡng trẳnh hm Cauchy 1.1 Tờng quan và phữỡng trẳnh hm 1.2 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy 1.3 Phữỡng trẳnh hm Cauchy tờng quĂt 13 1.4 Mët sè b i to¡n ùng döng 14 Mët số bián th cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy v ựng dửng 25 2.1 Tiáp cên giĂ tr ban Ưu 25 2.1.1 Tr÷íng hđp eif l  ë o àa ph÷ìng, Rn 26 2.1.2 Php tẵnh gƯn óng gi¡ trà ban ¦u 29 2.1.3 Tr÷íng hđp eif l  o ữủc, hẳnh xuyán Topo 39 2.2 Phữỡng trẳnh Cauchy trản miÃn hÔn chá 42 2.3 Mởt số bián th cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy 45 2.3.1 Phữỡng trẳnh Jensen 45 2.3.2 Ph÷ìng trẳnh Cauchy nhƠn tẵnh 46 2.3.3 Phữỡng trẳnh Cauchy luƠn phiản 47 2.3.4 Phữỡng trẳnh Pexider 48 2.3.5 T½nh ên ành 49 Mët sè v½ dư minh håa 53 2.4 K˜T LUŠN T i li»u tham kh£o 55 57 MÐ †U Lỵ chồn à ti Mởt phữỡng trẳnh ữủc nhiÃu ngữới biát án v l phữỡng trẳnh cỡ bÊn lỵ thuyát phữỡng trẳnh hm l phữỡng trẳnh hm Cauchy Phữỡng trẳnh hm Cauchy l mởt nhỳng lắnh vỹc hay v  khâ cõa to¡n håc c§p, nâ câ nhiÃu ựng dửng lỵ thuyát phữỡng trẳnh hm v c¡c l¾nh vüc to¡n håc v  khoa håc kh¡c, bao gỗm hẳnh hồc giÊi tẵch, nghiản cựu giÊi tẵch, giÊi tẵch phực, xĂc xuĐt thống kả, giÊi tẵch hm, ởng lỹc hồc, phữỡng trẳnh vi phƠn, cỡ hồc cờ in, cỡ hồc thống kả v kinh tá hồc Phữỡng trẳnh hm Cauchy  ữủc giợi thiằu sĂch cừa tứ nôm 1821 Cauchy  phƠn tẵch cht ch phữỡng trẳnh õ tứ cĂc giÊ thuyát rơng hm số f bĐt kẳ l mởt hm số liản tửc tứ R ¸n R v  c¡c bi¸n x, y câ thº l cĂc số thỹc bĐt kẳ Gauss cụng  nghiản cựu phữỡng trẳnh hm Cauchy sĂch cừa tứ nôm 1809, sỹ nghiản cựu ny khổng cht ch v cụng khổng ró rng Tr lÔi nhỳng nôm trữợc nỳa, nôm 1794, ta cõ th tẳm thĐy sĂch cừa Legendre, phƯn dnh cho sỹ nghiản cựu t số diằn tẵch cừa cĂc hẳnh chỳ nhêt, cÊ ựng dửng v phƠn tẵch cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy, nhiản chúng văn chữa cht ch v khổng ró rng Do õ nõ  thu hút sỹ ỵ cõa c¡c t¡c gi£ kho£ng thíi gian d i Kannappan  viát: CĂc nh nghiản cựu  am mả nhỳng phữỡng trẳnh ny [Phữỡng trẳnh hm Cauchy v kiu tữỡng ữỡng], v sỹ Êo tững ny s tiáp tửc v dăn án nhiÃu thnh quÊ thú v hỡn. Hữợng i chung cừa viằc nghiản cựu phữỡng trẳnh hm Cauchy l sỷ dửng nhiÃu loÔi iÃu kiằn thổng thữớng trản hm số bĐt kẳ Nõ ch rơng tr÷íng hđp °c bi»t f : R → R, mội iÃu kiằn ny suy sỹ tỗn tÔi cừa c ∈ R, cho f (x) = cx, vỵi mồi x R, v thỹc tá ny  ữủc chựng minh bơng nhiÃu cĂch Vẵ dử, Cauchy  giÊ sỷ f liản tửc Darboux  chựng minh rơng f cõ th ữủc giÊ thiát hoc ỡn iằu hoc b ch°n tr¶n mët kho£ng, Fr²chet, Blumberg, Banach, Sierpinski, Kac, Alexiewicz-Orlicz, v Figiel  giÊ thiát rơng f l o ữủc Lebesgue, Kormes  giÊ thiát rơng f b chn trản têp o ữủc dữỡng, Ostrowski v Kestelman  giÊ thiát rơng f b chn tứ mởt trản têp o ữủc dữỡng, v Mehdi  giÊ thiát rơng f b chn trản trản têp nhõm Baire Mt khĂc, Hamel  nghiản cựu phữỡng trẳnh hm Cauchy khổng cõ bĐt kẳ iÃu kiằn khĂc cừa f Bơng viằc sỷ dửng cỡ s Hamel, ta  suy rơng cõ nhiÃu nghiằm khổng tuyán tẵnh tứ phữỡng trẳnh hm Cauchy v  tẳm tĐt cÊ chúng Phữỡng trẳnh hm Cauchy  ữủc khĂi quĂt hõa hay bờ sung theo nhiÃu hữợng Mởt hữợng in hẳnh l lĐy mi·n x¡c ành v  mi·n gi¡ trà cõa f th nh cĂc nhõm cừa loÔi no õ, vẵ dử (compact a phữỡng) nhõm Polish, v  chựng minh rơng náu f thọa mÂn mởt iÃu kiằn bĐt kẳ cừa giÊ thuyát o ÷đc (Baire, Haar, hay Christensen), v  câ thº l  cĂc giÊ thuyát cởng tẵnh, thẳ nõ phÊi liản tửc (Chú ỵ: thay vẳ nõi phữỡng trẳnh hm Cauchy, ta nõi l hm thuƯn nhĐt hoc cởng tẵnh) Mởt hữợng khĂc l lủi dửng cĂc giÊ thuyát tứ tẵnh o ữủc Chữa hữợng i tờng quĂt no l thay ời ành ngh¾a mi·n x¡c ành cõa f º m  s³ khổng cõ mởt cĐu trúc Ôi số àp nỳa, m l s ch ỡn thuƯn l têp no õ cừa miÃn xĂc nh chẵnh thực, vẵ dử mởt têp lỗi, phƯn bũ cừa têp o ữủc 0, vv Sỹ bi¸n êi n y l  º thay êi mi·n gi¡ trà cừa phữỡng trẳnh, vẵ dử, giÊ sỷ rơng f thọa mÂn phữỡng trẳnh hm Cauchy ch vợi cp (x, y) thuởc vo têp cừa R2n , vẵ dử a tÔp (v f cõ th ữủc nh nghắa trản ton khổng gian hoc trản têp cừa nõ) Trong tĐt cÊ cĂc trữớng hủp ny, ta cõ th kát luên sỹ tỗn tÔi nghiằm khổng tuyán tẵnh cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy (mc dũ cĂc iÃu kiằn Ãu mÔnh) hoc (trong trữớng hủp f ữủc giÊ nh nh nghắa trản ton bở khổng gian) f phÊi thọa mÂn nõ vợi tĐt cÊ cĂc cp (x, y) cõ th Bi toĂn phữỡng trẳnh hm Cauchy v mởt số bián th cừa nõ l cổng cử  giÊi quyát rĐt nhiÃu bi toĂn phữỡng trẳnh hm hay v khõ, nõ xu§t hi»n nhi·u c¡c · thi håc sinh giäi nữợc v quốc tá v thữớng l mởt thĂch thùc èi vỵi håc sinh Nhi·u t i li»u v  c¡c à ti và phữỡng trẳnh hm Cauchy  ữủc biản soÔn v thỹc hiằn Tuy nhiản mội ti liằu ch trẳnh by mởt số vĐn à v cĂc ựng dửng, chữa bao quĂt ữủc Ưy ừ Vẳ vêy, cĂc vĐn à và phữỡng trẳnh hm Cauchy văn cỏn rĐt phong phú Mửc ẵch Mửc ẵch cừa luên vôn l nghiản cựu cĂc vĐn à liản quan án phữỡng trẳnh hm, phữỡng trẳnh hm Cauchy v mởt số bián th cừa nõ, xem xt khÊ nông giÊi ữủc v sỹ ờn nh tữỡng ối cừa nõ ối vợi cĂc têp cừa khổng gian Euclide a chiÃu Mởt số loÔi iÃu kiằn mợi ữủc trẳnh by, chng hÔn nhữ mởt phữỡng trẳnh õ mởt số mụ phực tÔp cĂc hm chữa biát CĂc phƠn tẵch ữủc m rởng án mởt số bián th cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy c biằt l ựng dửng cĂc lỵ thuyát ny viằc giÊng dÔy v bỗi dữùng kián thực toĂn hồc cho håc sinh THPT v  l  t i li»u tham kh£o cho sinh viản ngnh ToĂn hồc ối tữủng v phÔm vi nghiản cựu ối tữủng nghiản cựu cừa luên vôn l phữỡng trẳnh hm Cauchy v mởt số bián th cừa nõ Mởt cĂch cử th, luên vôn s trẳnh by cĂc kát quÊ chẵnh cĂc ti liằu tham kh£o [1], [2], [3] v  c¡c b i b¡o [4], [5] Phữỡng phĂp nghiản cựu Thu thêp cĂc bi bĂo khao håc v  t i li»u cõa c¡c t¡c gi£ nghi¶n cựu liản quan án phữỡng trẳnh hm Cauchy v ựng dửng Trao ời qua email vợi thƯy hữợng dăn và cĂc ựng dửng cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy v mởt số bián th cừa nõ Bố cửc luên vôn TĂc giÊ tián hnh nghiản cựu hai nởi dung chẵnh tữỡng ựng vợi hai chữỡng: Chữỡng Phữỡng trẳnh hm Cauchy 1.1 Tờng quan và phữỡng trẳnh hm 1.2 Phữỡng trẳnh hm Cauchy 1.3 Phữỡng trẳnh hm Cauchy têng qu¡t 1.4 Mët sè b i to¡n ùng dưng Ch÷ìng Mởt số bián th cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy v ựng dửng 2.1 Tiáp cên giĂ tr ban Ưu 2.2 Phữỡng trẳnh Cauchy trản miÃn hÔn chá 2.3 Mởt số bián th cừa phữỡng trẳnh Cauchy 2.4 Mởt số vẵ dử minh hồa Chữỡng Phữỡng trẳnh hm Cauchy Trong chữỡng ny, tĂc giÊ trẳnh by nh nghắa, tẵnh chĐt cừa phữỡng trẳnh hm Trong õ, tĂc giÊ i sƠu và nghiản cựu phữỡng trẳnh hm Cauchy v  mët sè b i to¡n ùng dưng Nëi dung ch½nh ữủc tham khÊo tÔi cĂc ti liằu [1], [2], [3] 1.1 Tờng quan và phữỡng trẳnh hm nh nghắa 1.1 Phữỡng trẳnh hm l phữỡng trẳnh m ân l cĂc hm số GiÊi phữỡng trẳnh hm tực l tẳm cĂc hm số chữa biát õ Tiáp cên phữỡng trẳnh hm, méi ng÷íi câ nhúng cì sð v  ph÷ìng ph¡p kh¡c Tuy nhiản, dỹa vo c trững cừa cĂc hm ta cõ th xƠy dỹng ữủc mởt số nh hữợng nhữ sau: Thá cĂc giĂ tr bián phũ hủp: HƯu hát cĂc giĂ tr ban Ưu cõ th thá v o l : x = 0, x = 1, ; tø õ tẳm mởt tẵnh chĐt quan trồng no õ ho°c c¡c gi¡ trà °c bi»t cõa h m ho°c t¼m cĂch chựng minh hm số hơng Quy nÔp toĂn hồc: Ơy l phữỡng phĂp sỷ dửng giĂ tr f (x) v bơng cĂch quy nÔp vợi n N º t¼m f (n) Sau â t¼m f ( n1 ) v  f (e) Ph÷ìng ph¡p n y th÷íng ¡p dưng bi toĂn m õ hm f  ữủc x¡c ành tr¶n Q; tø â mð rëng tr¶n c¡c têp số rởng hỡn Sỷ dửng phữỡng trẳnh Cauchy v kiu Cauchy Nghiản cựu tẵnh ỡn iằu v tẵnh liản tửc cừa cĂc hm CĂc tẵnh chĐt ny Ăp dửng phữỡng trẳnh hm Cauchy hoc kiu Cauchy CĂc phữỡng trẳnh õ náu khổng cõ tẵnh ỡn iằu, liản tửc thẳ bi toĂn tr nản phực tÔp hỡn nhiÃu Tẳm im cố nh hoc giĂ tr cừa cĂc hm Nghiản cựu tẵnh ỡn ¡nh v  to n ¡nh cõa c¡c h m lôy thøa phữỡng trẳnh Dỹ oĂn hm v dũng phữỡng phĂp ph£n chùng º chùng minh i·u dü o¡n óng TÔo nản cĂc hằ thực truy hỗi Miảu tÊ tẵnh chĐt chđn, l cừa hm số Tứ mởt số nh hữợng nảu trản, tĂc giÊ tƠm ưc phƯn phữỡng trẳnh hm Cauchy nản  i sƠu vo nghiản cựu nõ 1.2 Phữỡng trẳnh hm Cauchy nh nghắa 1.2 Phữỡng trẳnh hm Cauchy l phữỡng trẳnh hm cõ dÔng: f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R, â, f (x) l  h m x¡c nh trản (1.1) R Hm f thọa mÂn phữỡng trẳnh f (x + y) = f (x) + f (y), x, y R, ữủc gồi l hm cởng tẵnh nh lỵ 1.1 Hm số liản tửc f (x) l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.1) v ch khi: f (x) = ax, ∀x ∈ R, â, a l  hơng số tũy ỵ 43 iÃu ny v nh nghắa cừa F ữa án ng thực: F (x) = f (s) − f (t) = f (x) Cuèi còng,  thĐy f cởng tẵnh, cho (x1 , x2 ) G2 bĐt kẳ Vẳ S sinh mÔnh G, tỗn tÔi: s1 , s2 , t1 , t2 S , thäa m¢n c¡c quan h»: x1 = s1 − t1 , x2 = s2 − t2 , s1 + s2 ∈ S, t1 + t2 ∈ S i·u n y v tẵnh giao hoĂn cừa G ữa án: x1 + x2 = (s1 + s2 ) − (t1 + t2 ) ∈ S − S i·u n y, ành ngh¾a cõa F , t½nh giao ho¡n cõa H v  (2.6) suy iÃu khng nh ữủc yảu cƯu: F (x1 + x2 ) = f (s1 + s2 ) − f (t1 + t2 ) = f (s1 ) − f (t1 ) + f (s2 ) − f (t2 ) = F (x1 ) + F (x2 )  ành lỵ 2.3 GiÊ sỷ S S S (S + S) A t mởt siảu lêp phữỡng cho: Rn sinh mÔnh Rn Cho A Rn thọa mÂn: f : A → R v  gi£ sû f thäa mÂn (2.6) Náu S chựa I , m õ eif o ữủc, thẳ tỗn tÔi c Rn , f (x) = c.x, ∀x ∈ S Chùng minh: Bơng Bờ à 2.4, tỗn tÔi mởt hm cởng tẵnh F : Rn R thọa mÂn: F (x) = f (x) vợi mồi x S Vẳ F cởng tẵnh v eiF = eif o ữủc trản I , ta suy tứ nh lỵ 2.1, rơng tỗn tÔi c Rn cho F (x) = c.x vợi mồi x Rn Khng nh ữủc suy vẳ f (x) = F (x) vợi mồi x S  Nhên xt 2.5 CĂc hẳnh mău và cĂc têp S cừa Rn m sinh mÔnh Rn v bao gỗm mởt siảu lêp phữỡng l cĂc giao lăn cừa cĂc nỷa khổng gian trỹc giao, cĂc nỷa khổng gian, v cĂc têp gỗm mởt têp sinh mÔnh Rn v cõ phƯn khĂc réng 44 Ta câ, nûa nhâm S ⊆ Rn (tùc l  S + S ⊆ S ) m  sinh Rn °c bi»t, S : ∪∝ m=1 [2m, 3m] ừ mÔnh sinh R Cụng cõ nhiÃu vẵ dử và têp S vợi giao khĂc rộng m sinh Rn khổng phÊi nỷa nhõm Mởt vẵ dư ìn gi£n l  sü dàch chuyºn cõa gâc ph¦n tữ bi mởt vctỡ khổng thuởc vo gõc phƯn tữ Những khổng cõ cĂc vẵ dử ngoÔi lai nhữ: m m n n S : ∪∝ m=1 Sm , ð â Sm := [10 , 5.10 ) , ∀m ∈ N, (Vẳ: Vợi x, y R , lĐy ≤ m ∈ N cho kxk + ky| < 10m−1 ; chån pm := (2.10m )nk=1 l  nhúng v²ctì cõa 2.10m , th¼: x = (pm + x) − pm ∈ Sm − Sm , y = (pm + y) − pm ∈ Sm − Sm , v  x + y = (2pm + x + y) − 2pm Sm Sm ) Lỵ tữỡng tỹ phƯn Chựng minh nh lỵ 2.3 cõ th ữủc sỷ dửng  dng m rởng nõ hỡn nỳa Nhữ nh lỵ tiáp theo: nh lỵ 2.4 Cho S Rn Cho A ⊆ Rn thäa m¢n S ∪(S +S) ⊆ A.Gi£ sû f :A→R thäa m¢n (2.6).Gi£ sû l  o ữủc trản I S chựa mởt hẳnh lêp phữỡng I Náu eif v tỗn tÔi mởt hm cởng tẵnh (khổng cƯn l nhĐt) F : Rn R, cho: F (x) = f (x), ∀x ∈ S f (x) = cx, x S thẳ tỗn tÔi c Rn cho BƠy giớ, nh lỵ ữủc ph¡t triºn t i li»u câ thº ÷đc sû dưng Vẳ vêy, ta cõ th cho S tợi bĐt ký khoÊng no trản R cõ l im dẵnh cừa nâ v  A := S + S Ta câ th cho S tợi mởt quÊ cƯu cĐp số nhƠn câ chi·u iºm gèc l  t¥m cõa nâ (v  A := S + S ) nh÷ng i·u n y thüc sü xÊy tứ nh lỵ tiáp theo (trữớng hủp m rởng cừa mởt hm liản tửc, cởng tẵnh ữủc xĂc nh trản mởt oÔn ngưn) nh lỵ 2.5 Cho S Rn l mởt têp lỗi, cõ giao khĂc réng Cho A ⊆ Rn thäa m¢n: S ∪ (S + S) ⊆ A Gi£ sû f : A → R thọa mÂn (2.6) if n Náu e l o ữủc trản S thẳ tỗn tÔi c R , cho f (x) = cx, ∀x ∈ S Chùng minh 45 Cho u ∈ S + S l  tũy ỵ Thá thẳ, u = s + t vợi mët v i s, t ∈ S v  â tªp lỗi u s+t = S vẳ S l 2 u (2.6), i·u n y suy r¬ng: u f (u) =f , ∀u ∈ S + S 2 B¬ng c¡ch °t x = y = °c bi»t i·u n y óng cho u := x + y, x, y S  ữủc cho Do õ,  f x+y  = f (x + y) f (x) + f (y) = , 2 ð ph÷ìng trẳnh cuối ữủc suy tứ (2.6) Suy tỗn tÔi c Rn v b R, cho: f (x) = cx + b, ∀x ∈ S Nhí sỹ õng kẵn cừa biu diạn (2.6), ta suy b =  2.3 Mët sè bi¸n thº cõa phữỡng trẳnh hm Cauchy Trong mửc ny, tĂc giÊ trẳnh by mởt số bián th cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy, nâ câ nhúng ùng dưng gi£i quy¸t mët sè bi toĂn 2.3.1 Phữỡng trẳnh Jensen L phữỡng trẳnh hm cõ dÔng:   x+y f (x) + f (y) f = 2 (2.7) Trong â: x, y ∈ Rn hoc mởt têp cừa Rn nh lỵ 2.6 Cho S l mởt têp lỗi cừa Rn v  gi£ sû ph¦n cõa f : S → R thọa mÂn (2.7) vợi mồi x, y S Náu eif S thẳ tỗn tÔi c Rn v  b ∈ R, cho: f (x) = cx + b vỵi nâ l  réng Gi£ sû l  o ữủc trản x S 46 Chựng minh: x+y S , nản (2.1) hon ton ữủc xĂc nh Khi õ tỗn tÔi mởt hm g : Rn R thọa mÂn (2.1) v mởt hơng số Vẳ S lỗi, b R cho: f (x) = g(x) + b vỵi måi x ∈ S Vẳ eif l o ữủc trản S v phƯn cừa S khĂc rộng, eif o ữủc trản mởt siảu lêp phữỡng ữủc chựa S Vẳ vêy, eig = ebi ef o ữủc trản hẳnh siảu lêp phữỡng ny Vẳ thá tỗn tÔi c Rn , cho g(x) = cx, vợi x Rn Vêy, f (x) = cx + b vỵi måi x ∈ S , v  mët sü kiºm tra lªp tùc ch hm ny thọa mÂn (2.7), vợi mồi (x, y) S  2.3.2 Phữỡng trẳnh Cauchy nhƠn tẵnh õ l phữỡng trẳnh cõ dÔng: (2.8) f (x + y) = f (x)f (y) â, c°p (x, y) thuëc mët tªp cõa R2n Mët nghi»m hiºn nhi¶n suy tø (2.8) l  f ≡ Nhữ  biát, xt ton bở khổng gian, n¸u f (x0 ) = ð mët sè iºm x0 ∈ Rn , th¼: f (x) = f (x − x0 ).f (x0 ) = 0, ∀x ∈ Rn   x 2 , ∀x ∈ Rn , i·u â x£y f V¼ h m cëng tẵnh: f (x) = f khổng l hm hơng 0, thẳ f (x) > 0, x Tuy nhiản, c°p (x, y) ch¿ phư thc v o mët tªp cõa R2n th¼ i·u â khỉng ch¿ rã r ng tÔi mởt nghiằm cừa (2.8) cõ th dữỡng Vẳ vêy inh lỵ tiáp theo nõi và tẵnh dữỡng cừa f ữủc giÊ nh à xuĐt nh lỵ 2.7 Cho S ⊆ Rn Cho A ⊆ Rn thäa m¢n: S ∪(S + S) ⊆ A Gi£ sû, f :A→R V giÊ sỷ, S l mởt hm dữỡng thÊo mÂn (2.8), vợi mồi l mởt têp lỗi cõ im kh¡c réng v  (x, y) ∈ S fi l o ữủc 47 trản m S, fi hoc S ừ mÔnh  sinh l o ữủc Khi õ, tỗn tÔi Rn v nõ chựa mởt hẳnh lêp ph÷ìng c ∈ Rn I cho: f (x) = ecx , ∀x ∈ S Chùng minh: V¼ f l  d÷ìng, h m sè g : A → R x¡c ành bði g := ln(f ) cơng x¡c ành tr¶n A v lĐy logarit cừa (2.8) ta thĐy rơng g l cởng tẵnh Vẳ f i = exp(i ln(f )) = eig ữủc giÊ sỷ l o ữủc trản S hoc I Tứ nh lỵ 2.5 hoc nh lỵ 2.3, suy tỗn tÔi c Rn cho: g(x) = cx, x Rn Vẳ vêy: f (x) = ecx , ∀x ∈ S Vªy, f thäa mÂn (2.8)  2.3.3 Phữỡng trẳnh Cauchy luƠn phiản L phữỡng trẳnh hm cõ dÔng: (f (x + y))2 = (f (x) + f (y))2 (2.9) â, x, y Rn bĐt ký Hin nhiản, bĐt ký nghiằm no cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy (2.1) Ãu l nghiằm cừa (2.9), ngữủc lÔi l khổng úng; bi vẳ, Ưu ti¶n ta ch¿ câ thº suy quan h» f (x + y) = ±(f (x) + f (y)) (ð õ, dĐu phử thuởc vo cp (x, y)) Tuy nhiản, mồi nghiằm cừa (2.9) ữủc xĂc nh trản mởt nỷa nhâm S cõa Rn ph£i l  cëng t½nh Tø ành lỵ 2.3 v Nhên xt 2.5 , ta suy nh lỵ sau: nh lỵ 2.8 GiÊ sỷ S l mët nûa nhâm cõa Rn m  sinh Rn Gi£ sỷ m eif f :SR thọa mÂn (2.9) Náu tỗn tÔi hẳnh lêp phữỡng l o ữủc thẳ tỗn tÔi c ∈ Rn , cho: f (x) = cx, x S IS 48 2.3.4 Phữỡng trẳnh Pexider õ l phữỡng trẳnh hm tờng quĂt hõa mởt phữỡng trẳnh hm Cauchy v liản quan án ba hm bián số: f (x + y) = g(x) + h(y), (2.10) â (x, y) ∈ R2n ho°c mët tªp cõa R2n nh lỵ tiáp theo m rởng kát quÊ ữủc biát án ối vợi tẵnh giÊi ữủc cừa (2.10) nh lỵ 2.9 Cho S Rn l mởt nỷa nhâm, thäa m¢n ∈ S Gi£ sû: f : S −→ R, g : S −→ R, h : S −→ R (x, y) ∈ S GiÊ sỷ rơng S sinh Rn thọa mÂn(2.10), vợi måi m  sè mô phùc cõa mët c¡c h m l o ữủc Khi õ, tỗn tÔi v hơng số a, b ∈ R h(x) = c.x + b vỵi måi cho: I c ∈ Rn v  nâ chùa mởt hẳnh lêp phữỡng f (x) = c.x + a + b, g(x) = c.x + a v  x ∈ S Chùng minh: Cho a := g(0), b := h(0) v  cho p : S −→ R ÷đc x¡c ành bði: p(x) := f (x) − a − b, vỵi måi x ∈ S Hiºn nhi¶n, ta câ: f (x) = p(x)+a+b, g(x) = p(x)+a, h(x) = p(x)+b, vỵi mồi x S v p l cởng tẵnh Vẳ sè mô phùc cõa (2.1), c¡c h m f, g ho°c h ữủc giÊ sỷ l o ữủc cừa tƠm hẳnh lêp phữỡng, biu diạn trản suy rơng eip l o ữủc cừa tƠm hẳnh lêp phữỡng Tứ õ, mởt nûa nhâm sinh mët nhâm giao ho¡n thüc sü mÔnh tÔo nõ (Ơy l kát quÊ trỹc tiáp tứ nh nghắa 2.1 v vẳ S + S S , nh lỵ 2.3 (vợi A := S ), suy tỗn tÔi c Rn cho: p(x) = c.x, vỵi méi x ∈ S Kh¯ng ành sau dng kim tra rơng nhên ữủc bở ba f, g, h thu ữủc l nghiằm phữỡng trẳnh (2.10)  49 2.3.5 Tẵnh ờn nh Xt dÔng xĐp x bián thº cõa (2.1) |f (x + y) − f (x) − f (y)| ≤  (2.11) vỵi måi x, y Rn Vợi  l mởt số dữỡng Mởt hm f : Rn R thọa mÂn (2.11) ữủc gồi l hm xĐp x cởng tẵnh hoc mởt hm  - cởng tẵnh BĐt phữỡng trẳnh (2.11) l mởt bián th ữủc lm nhiạu cừa (2.1) v ta cõ th biát cõ hay khổng hm  - cởng tẵnh bĐt ký l ữủc xĂo trởn ẵt cừa mởt hm cởng tẵnh thuƯn tẵnh Hyers ữa cƠu trÊ lới cừa vĐn à trản l cõ tỗn tÔi nhĐt mët h m g : Rn −→ R thäa m¢n (2.1) v  |f (x) − g(x)| ≤ , vỵi måi x Rn Hm số cởng tẵnh g thọa mÂn: f (mx) m−→∞ m (2.12)  m  x n Vợi mồi x R , biu diạn chung phê bi¸n l : g(x) = limm−→∞ f 2m Thüc tá, Hyers chựng minh nh lỵ cừa Đy cho c¡c h m sè giúa c¡c g(x) = lim khæng gian Banach iÃu trản ữủc xƠy dỹng cho bĐt cự hm f : S −→ X , ð â X l  mët khæng gian Banach v  S l  mët nûa nhâm Kát quÊ và tẵnh ờn nh cừa phữỡng trẳnh hm (trong trữớng hủp c biằt l cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy) v bi toĂn ân liản quan tợi nõ tr thnh phờ bián cuối thêp niản é Ơy, ta s têp trung nhĐt vo sỹ m rởng iÃu ki»n quen thc câ t½nh ·u °n( v½ dư, f l o ữủc hoc b chn trản trản mởt têp dữỡng o ữủc) hm cởng tẵnh, kát hủp g cõ th liản tửc Trong tẳnh ny, kát quÊ liản quan tợi nh nghắa và tẵnh ờn nh bao hm iÃu kiằn ữủc nõi án; bi vẳ, iÃu kiằn o ữủc khÊ tẵch l ữủc bao hm Tuy nhiản cĂc kát quÊ v cĂc phƯn chựng minh ữủc nõi án Ơy( trữớng hủp c biằt, iÃu kiằn tẵnh ên ành cõa f ) l  kh¡c vỵi mët nhỳng iÃu ữa (Ănh xÔ tứ cĂc ữớng thng thỹc dữỡng vo chẵnh nõ) 50 nh lỵ 2.10 Cho S ⊆ Rn l  mët nûa nhâm m  nâ sinh Rn v chựa mởt hẳnh lêp phữỡng I f : S R thọa mÂn (2.11) v tỗn tÔi mởt nhiản (mk )k=1 , cho mội hm hk : S C Náu dÂy số vổ hÔn cĂc số tỹ hk (x) := eif (mk x)/mk , vỵi c ∈ Rn cho |f (x) − c.x|, vợi ữủc xĂc nh bi mồi thẳ tỗn tÔi måi x ∈ S l  x ∈ S o ÷đc trản I, Chựng minh Nhữ  nõi án tữỡng tỹ (2.12), tỗn tÔi mởt hm cởng tẵnh g : S −→ R thäa m¢n |f (x) − g(x)| ≤ , vỵi måi x ∈ S Tø (2.12), ta câ:  g(x) = lim k−→∞ f (mk x) mk  vỵi måi k ∈ N v  x ∈ S Nhớ tẵnh liản tửc cừa hm lụy thứa, ta cõ:   f (mk x) = lim hk x h(x) := exp(ig(x)) = lim exp i k−→∞ k−→∞ mk Vỵi mồi x S Do õ, sỹ hÔn chá cừa h tợi I l nởi giợi hÔn cừa hm o ữủc v vẳ vêy nõ l o ữủc Vẳ g thọa mÂn (2.1) v vẳ nỷa nhõm sinh mởt nhõm giao hoĂn mÔnh sinh nõ ( nhữ  nh nghắa 2.1) ta kát luên, tứ nh lỵ 2.3 (vợi A := S ) sỹ tỗn tÔi cừa c ∈ Rn , cho: g(x) = c.x, vỵi t§t c£ x ∈ S v  ta suy i·u phÊi chựng minh Nhên xt 2.6 Náu f l ở o ữủc a phữỡng thẳ x eif (mx)/x) l ở o a phữỡng vợi mồi m N v vẳ vêy iÃu kiằn cừa hm hk tứ nh lỵ 2.10 thọa mÂn v vẳ vêy g l ữủc Hay nõi cĂch khĂc, náu ta biát rơng eif l o ữủc thẳ nõ khổng ừ  suy rơng g l o ữủc Thêt vêy, xt hm f := 2[g(x)], x R ỵ 2.1, õ g l mởt nghiằm phi tuyán tẵnh cừa (2.1) thẳ eif l liản tửc l vẳ õ l mởt hm hơng 51 Vẳ |t [t]| vợi mồi t ∈ R, ta câ: |f (x) − (2π)g(x)| ≤ 2, vợi mồi x R BĐt phữỡng trẳnh ny, bĐt ng thực tam giĂc , v tẵnh cởng tẵnh cừa g , suy rơng f thọa mÂn (2.11), vợi  := Vẳ 2g thọa mÂn (2.1), nh lỵ Hyers suy rơng nõ l mởt hm cởng tẵnh  m - xĐp x f , v cụng suy rơng: f (mx) m m vợi mồi x R ( giợi hÔn ny cõ th ữủc tẵnh toĂn) 2g(x) = lim Những g khổng o ữủc Ta câ thº nâi r¬ng: m°c dị eif l  o ữủc tứ nh lỵ 2.10 ch rơng væ sè h m: gm (x) := eif (mx)/m , x R ch cõ hỳu hÔn chúng cõ th l o ữủc Mởt số nhên xt: Nhên xt 2.7 CĂc hằ phữỡng trẳnh: nh lỵ 2.1 v cĂc kát quÊ khĂc và cĂc bián th cừa phữỡng trẳnh Cauchy (2.1) cõ th ữủc m rởng tợi cĂc hằ phữỡng trẳnh Cho vẵ dử, cho f : Rn Rm thọa mÂn(2.1), náu f = (f1 , f2 , , fm )v eifk l o ữủc vợi mội k {1, , m} thẳ tỗn tÔi mởt ma C cĐp mìn, cho f (x) = Cx vợi mồi x Rn Ơy l kát quÊ ỡn giÊn cừa nh lỵ 2.1, bi vẳ fk : Rn R thọa mÂn (2.1), vợi mội k Nhên xt 2.8 Khổng gian vổ hÔn chiÃu: Mởt iÃu thó l  câ thº mð rëng k¸t qu£ n y tợi mởt khổng gian vổ hÔn chiÃu trản õ xĂc nh ữủc hm số o ữủc Nhên xt 2.9 CĂch chựng minh nh lỵ (2.1) sỷ dửng quy tưc giĂ tr xĐp x ban Ưu ữủc trẳnh by phƯn 2.1.3 gủi ỵ rơng iÃu kiằn và quy tưc câ thº ÷đc mð rëng hìn núa bði quan h» khổng gian ở o và khẵa cÔnh nõ bi mởt thự lỵ thuyát trứu tữủng hỡn Trong iÃu dữợi Ơy, ta nõi rơng mởt bở ba (A, B, F ) cõ tẵnh tẵch phƠn tuƯn hon náu nhỳng iÃu kiằn sau ữủc thọa mÂn: 52 A l têp hđp c¡c h m sè thüc x¡c ành tr¶n Rn ; B l  tªp hđp c¡c h m sè chùa {eif : g ∈ A}; F : B → C l  mët h m sè Vỵi måi β ∈ C thäa m¢n |β| = 1v  måi h ∈ B ,ta câ βh ∈ B v  F (βh) = βF (h); Hm số x c.x thuởc A vợi tĐt c£ c ∈ Rn Tªp A l  âng dữợi php cởng v php nhƠn cừa số hỳu t dữỡng Tỗn tÔi mởt cỡ s {u1 , u2 , , un } cõa Rn cho vỵi måi g ∈ A thäa m¢n quan h» g(x + uk ) = g(x) vợi tĐt cÊ x Rn v k ∈ {1, , n} H m sè gy ÷đc x¡c ành bði gy (x) := g(x + y) vỵi méi x ∈ Rn l  thc A vỵi méi y ∈ Rn v  ta câ F (eigy ) = F (eig ); Vợi mội g A tỗn tÔi mởt v i sè húu t α > cho F (eiαg ) 6= Mët v½ dư v· mët bë ba (A, B, F ) l : A := {f : Rn −→ R : eif l  ë o}, B := {eig : g ∈ A}, R F (v) := I v(x)dx vợi tĐt cÊ v A, õ I Rn l mởt hẳnh lêp phữỡng bĐt ký BƠy gií gi£ sû r¬ng ta câ mët bë ba (A, B, F ) thọa mÂn tẵnh tẵch phƠn tuƯn hon Ta khng nh trữớng hủp ny, náu f A v náu f thọa mÂn (2.1) thẳ tỗn tÔi c ∈ Rn , cho f (x) = c.x, vợi mồi x Rn Thêt vêy, phƯn chựng minh cụng tữỡng tỹ phƯn chựng minh cừa phƯn 2.1.3, Ơy cõ hai sỹ khĂc chẵnh: Thự nhĐt, tứ Bờ à 2.2 ta cƯn theo nhĐt hai oÔn Ưu Thự hai, sau Ăp dửng hm t 7−→ eiαt , t ∈ R (ð â α l  mởt số hỳu t dữỡng tứ tẵnh chĐt (8) trản) , ta ¡p döng h m sè F cho c£ hai vá cừa phữỡng trẳnh: eig(x+y) = eig(x) eig(y) , v sỷ dửng tẵnh chĐt (7) trản viằc Ăp dửng tẵch phƠn G(v) := R I v(x)dx phữỡng trẳnh ny ( õ I l mởt siảu hẳnh hởp sinh 53 bði cì sð {u1 , , un } v  v l  mët h m b§t ký v  nâ l tẵch phƠn trản I ), v sỷ dửng Bờ à 2.1 mởt cĂch tữỡng tỹ Thêt thú v cõ th tẳm ữủc mởt bở ba (A, B, F ) thọa mÂn tẵnh tuƯn hon tẵch phƠn cho A 6= {f : Rn → R : eif l  o ữủc} v F khổng phÊi php toĂn tẵch phƠn (nghắa l, F khổng trũng vợi v R I v(x)dx hoc mởt sỹ bián ời nhà cừa php toĂn ny ) hoc cho thĐy rơng Ơy l iÃu khổng th iÃu quan tƠm l tẳm ẵt nhĐt mởt bở ba (A, B, F ) thọa mÂn tẵnh chĐt tẵch phƠn tuƯn hon sỹ iÃu chnh vổ hÔn chi·u ho°c ch¿ khæng câ mët bë ba n o tỗn tÔi Ta thỷ t F l mởt hồ cĂc h m sè Fj : B −→ C Thỉng th÷íng, bði vẳ cõ nhỳng nghiằm phi tuyán tẵnh cừa (2.1), nhỳng nghiằm ny khổng thuởc A Do vêy, bĐt k A v  F l  g¼ , A khỉng thº l  mët têp hủp tĐt cÊ cĂc hm số thỹc Mởt sỹ bián ời tữỡng ựng cừa nhỳng gẳ ữủc viát cĂc cƠu v cĂc oÔn trản úng vợi mởt hẳnh xuyán topo Cuối cũng, nõ s rĐt cõ giĂ tr º tê hđp c¡c i·u ki»n th÷íng trøu t÷đng ÷đc à cêp trản vợi mởt nh lỵ tỗn tÔi cừa cĂc iÃu kiằn thữớng cừa phữỡng trẳnh hm 2.4 Mởt số vẵ dử minh hồa Vẵ dử 2.4.1 Tẳm t§t c£ c¡c h m sè f (x), g(x), h(x) ∈ ς(R) thäa m¢n i·u ki»n f (x + y) = g(x) + h(y), x, y R (2.13) (Phữỡng trẳnh ny gồi l phữỡng trẳnh Pexider m rởng cừa phữỡng tr¼nh h m Cauchy) Líi gi£i: Thay y = v o phữỡng trẳnh (2.13), ta ữủc: g(x) = f (x) h(0) = f (x) − b, b = h(0) Thay x = vo phữỡng trẳnh (2.13) v t a = g(0), ta ÷đc: h(y) = f (y) − a Thay cĂc kát quÊ trản vo (2.13), ta cõ: f (x + y) = f (x) + f (y) − a − b, ∀x, y ∈ R 54 °t F (x) = f (x) − a − b, â: F (x) ∈ ς(R) v  thäa m¢n i·u ki»n F (x + y) = F (x) + F (y), x, y R Theo kát quÊ cừa phữỡng trẳnh h m Cauchy, ta câ: F (x) = cx Suy ra: f (x) = cx + a + b g(x) = cx + a v  h(x) = cx + b Vªy f (x) = cx + a + b, g(x) = cx + a, h(x) = cx + b l  nghi»m cừa bi toĂn  cho  Vẵ dử 2.4.2 Tẳm t§t c£ c¡c h m sè f (x), g(x), h(x) x¡c nh v liản tửc trản R v thọa mÂn iÃu ki»n f (x + y) = g(x)h(y), ∀x, y ∈ R (2.14) Lới giÊi: Trong phữỡng trẳnh (2.14) lƯn lữủt thay x = 0, y = t v  y = 0, x = t ta câ: N¸u g(0) 6= 0, h(0) 6= 0, th¼:  (   h(t) = f (t) , (a := g(0) 6= 0) f (t) = g(0).h(t) a ⇔ , ∀t ∈ R f (t)  f (t) = g(t).h(0)  g(t) = , (b := h(0) 6= 0) b Thay cĂc kát quÊ trản v o (2.14), ta ÷đc: f (x) f (y) a b f (x + y) f (x) f (y) ⇔ = , ∀x, y ∈ R ab ab ab f (x) Ta °t Φ(x) = , x ∈ R ab Khi â: Φ(x) ∈ ς(R) v  Φ(x + y) = Φ(x).Φ(y), ∀x, y ∈ R Suy Φ(x) = ecx , c l  h¬ng sè Tø â, ta câ: f (x + y) = 55  cx   f (x) = abe g(x) = aecx   h(x) = becx â:a, b, c l  c¡c h¬ng sè Thỷ lÔi ta thĐy cĂc hm số trản thọa mÂn phữỡng trẳnh (2.14)  cho Náu a = 0, ta câ f (x) = 0, ∀x ∈ R: + N¸u g thẳ h(x) l hm số tũy ỵ + Náu tỗn tÔi x0 R cho g(x0) 6= th¼ (2.14), cho x = x0, ta ÷đc: = f (x0 + y) = g(x0 )h(y), ∀y ∈ R Suy ra: h(y) = 0, ∀y ∈ R Thỷ lÔi, ta thĐy cĂc hm số trản thọa mÂn phữỡng trẳnh (2.14) Náu b = 0, ta cõ f (x) = 0, ∀x ∈ R + N¸u h thẳ g(x) l hm số tũy ỵ + Náu tỗn tÔi x0 R cho h(x0) 6= thẳ (2.14) cho x = x0, ta ữủc: = f (x0 + y) = h(x0 )g(y), ∀y ∈ R Suy g(y) = 0, ∀y ∈ R Thỷ lÔi, ta thĐy cĂc hm số trản thọa mÂn phữỡng trẳnh (2.14) Chú ỵ rơng, cĂc nghiằm trản  bao hm cÊ nghiằm tƯm thữớng f 0, g 0, h Tõm lÔi, ta câ c¡c k¸t qu£ sau:    cx  f (x) = abe  f ≡  f ≡0    ho°c g(x) = aecx ho°c g≡0 h≡0       h(x) = becx h(x) ∈ ς(R) g(x) ∈ ς(R) vỵi måi x ∈ R, v  a, b, c l  c¡c h¬ng sè 56 KT LUN Trong luên vôn ny tĂc giÊ  trẳnh by ữủc mởt số kát quÊ và phữỡng trẳnh h m Cauchy Cư thº l : Giỵi thi»u têng quan và phữỡng trẳnh hm, phữỡng trẳnh hm Cauchy Trẳnh by v chựng minh cĂc nh lỵ, bờ à liản quan án phữỡng trẳnh hm Cauchy Trẳnh by v chựng minh mởt số bián th cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy nhữ: phữỡng trẳnh hm Jensen, phữỡng trẳnh Pexider, Dỹa vo cĂc kát quÊ  trẳnh by trản, vên dửng vo giÊi cĂc b i to¡n IOM v  c¡c b i to¡n li¶n quan Trong thới gian tợi, tĂc giÊ s tiáp tửc tẳm kiám, hồc họi v nghiản cựu  hon thiằn cĂc kát quÊ trản; ỗng thới, trau dỗi thảm kián thực phửc vử cho quĂ trẳnh hồc têp v giÊng dÔy cừa mẳnh sau ny 57 Ti liằu tham khÊo Tiáng Viằt [1] Nguyạn Ti Chung, Lả Honh Phỏ (2013), Chuyản khÊo phữỡng trẳnh hm, NXB Ôi hồc Quốc gia HN [2] Nguyạn Vôn Mêu (2014), ời, Phữỡng trẳnh hm cỡ bÊn vợi bián số bián NXB Ôi hồc Quốc gia HN [3] Nguyạn Vôn Mêu (chừ biản), Nguyạn Vôn Tián (2009), Mởt số chuyản à giÊi tẵch bỗi dữùng hồc sinh giäi trung håc phê thỉng, NXB Gi¡o dưc Ti¸ng Anh [4] Daniel Reem (2016), Remarks variations of it, On the cauchy functional equation and arXiv:1002.3721v6 [5] Rehab Saleem Al-mosadder (2012), On stability of some types of functional equations, Master Thesis, Supervised by Dr A
sad Y A 'sad