Thông tin tài liệu
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o BÒI THÀ HNG lu an n va p ie gh tn to d oa nl w PH×ÌNG TRNH HM CAUCHY V MËT SÈ BIN TH CÕA N nf va an lu z at nh oi lm ul LUN VN THC S TON HÅC z m co l gm @ an Lu THI NGUYN, 2017 n va ac th si I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o BỊI THÀ HNG lu an PH×ÌNG TRNH HM CAUCHY V MËT SÈ BIN TH CÕA N n va p ie gh tn to d oa nl w Chuy¶n ngnh: Phữỡng phĂp ToĂn sỡ cĐp M số: 60 46 01 13 an lu nf va LUN VN THC S TON HC z at nh oi lm ul NGìI HìẻNG DN KHOA HÅC: TS NGUYN NH BNH z m co l gm @ an Lu n va THI NGUYN, 2017 ac th si i LI CM èN Luên vôn ữủc hon thnh tÔi trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ô hồc ThĂi Nguyản dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS.NGUYN NH BNH T¡c gi£ xin tr¥n trång b y tä láng kẵnh trồng v biát ỡn sƠu sưc tợi TS.NGUYN lu an NH BNH, thƯy  tên tẳnh ch bÊo, hữợng dăn, ởng viản khẵch lằ v va tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản n cựu luên vôn gh tn to ie Qua bÊn luên vôn ny, tĂc giÊ xin gỷi lới cÊm ỡn tợi cĂc thƯy cổ p trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ô hồc ThĂi Nguyản nõi chung v c¡c th¦y w cỉ khoa To¡n - Tin hồc nõi riảng  dÔy bÊo v dẳu dt t¡c gi£ d oa nl suèt thíi gian qua lu an T¡c gi£ cơng xin c£m ìn gia ẳnh, bÔn b, ỗng nghiằp v tĐt cÊ mồi z at nh oi lm ul luên vôn cừa mẳnh nf va ngữới  quan tƠm, ởng viản v giúp ù º t¡c gi£ câ thº ho n th nh T¡c gi£ xin chƠn thnh cÊm ỡn! ThĂi Nguyản, thĂng 06 nôm 2017 z Håc vi¶n m co l gm @ Bịi Thà H¬ng an Lu n va ac th si ii Mửc lửc Mé U Phữỡng trẳnh hm Cauchy lu an n va Tờng quan và phữỡng trẳnh h m 1.2 Phữỡng trẳnh hm Cauchy 1.3 Phữỡng trẳnh hm Cauchy tờng quĂt 13 1.4 Mët sè b i to¡n ùng döng 14 Mët sè bi¸n th cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy v ựng dửng 25 p ie gh tn to 1.1 Tiáp cên giĂ trà ban ¦u 25 2.1.1 Tr÷íng hđp eif l ë o àa ph÷ìng, Rn 26 2.1.2 Php tẵnh gƯn úng giĂ tr ban Ưu 29 Tr÷íng hủp eif l o ữủc, hẳnh xuyán Topo 39 2.2 Phữỡng trẳnh Cauchy trản miÃn hÔn ch¸ 42 2.3 Mởt số bián th cừa phữỡng trẳnh h m Cauchy 45 2.3.1 Phữỡng trẳnh Jensen 45 2.3.2 Phữỡng trẳnh Cauchy nhƠn tẵnh 46 2.3.3 Phữỡng trẳnh Cauchy luƠn phiản 47 2.3.4 Phữỡng trẳnh Pexider 48 2.3.5 T½nh ên ành 49 Mët sè v½ dư minh håa 53 nf va an z at nh oi lm ul z l gm 55 57 m co an Lu KT LUN T i li»u tham kh£o @ 2.4 lu 2.1.3 d oa nl w 2.1 n va ac th si Mé U Lỵ chồn à ti Mởt phữỡng trẳnh ữủc nhiÃu ngữới biát án v l phữỡng trẳnh cỡ bÊn lu lỵ thuyát phữỡng trẳnh hm l phữỡng trẳnh hm Cauchy Phữỡng an trẳnh hm Cauchy l mët nhúng l¾nh vüc hay v khâ cõa to¡n håc n va c§p, nâ câ nhi·u ùng dưng lỵ thuyát phữỡng trẳnh hm v cĂc cựu giÊi tẵch, giÊi tẵch phực, xĂc xuĐt thống kả, giÊi tẵch hm, ởng lỹc gh tn to lắnh vỹc toĂn hồc v khoa hồc khĂc, bao gỗm hẳnh hồc giÊi tẵch, nghiản p ie hồc, phữỡng trẳnh vi phƠn, cỡ hồc cờ in, cỡ hồc thống kả v kinh tá hồc nl w Phữỡng trẳnh hm Cauchy  ữủc giợi thiằu sĂch cừa tứ d oa nôm 1821 Cauchy  phƠn tẵch cht ch phữỡng trẳnh õ tứ cĂc giÊ lu thuyát rơng hm số f bĐt kẳ l mởt hm số liản tửc tứ R án R v c¡c nf va an bi¸n x, y câ th l cĂc số thỹc bĐt kẳ Gauss cụng  nghiản cựu phữỡng trẳnh hm Cauchy sĂch cừa tứ nôm 1809, sỹ nghiản lm ul cựu n y khỉng ch°t ch³ v cơng khỉng rã r ng Trð lÔi nhỳng nôm trữợc z at nh oi nỳa, nôm 1794, ta cõ th tẳm thĐy sĂch cừa Legendre, phƯn dnh cho sỹ nghiản cựu t số diằn tẵch cừa cĂc hẳnh chỳ nhêt, cÊ ựng dửng v phƠn tẵch cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy, nhiản chúng văn chữa cht z ch v khổng ró rng Do õ nõ  thu hút sỹ ỵ cừa cĂc t¡c gi£ @ gm kho£ng thíi gian d i Kannappan  viát: CĂc nh nghiản cựu  am l mả nhỳng phữỡng trẳnh ny [Phữỡng trẳnh hm Cauchy v kiºu t÷ìng an Lu hìn. m co ÷ìng], v sỹ Êo tững ny s tiáp tửc v dăn án nhiÃu thnh quÊ thú Hữợng i chung cừa viằc nghiản cựu phữỡng trẳnh hm Cauchy l sỷ n va dửng nhiÃu loÔi iÃu kiằn thổng thữớng trản hm số bĐt kẳ Nõ ch ac th si rơng tr÷íng hđp °c bi»t f : R → R, mội iÃu kiằn ny suy sỹ tỗn tÔi cõa c ∈ R, cho f (x) = cx, vợi mồi x R, v thỹc tá ny  ữủc chựng minh bơng nhiÃu cĂch Vẵ dử, Cauchy  giÊ sỷ f liản tửc Darboux  chựng minh rơng f cõ th ữủc giÊ thiát hoc ỡn iằu hoc bà ch°n tr¶n mët kho£ng, Fr²chet, Blumberg, Banach, Sierpinski, Kac, Alexiewicz-Orlicz, v Figiel  giÊ thiát rơng f l o ữủc Lebesgue, Kormes  giÊ thiát rơng f b chn trản têp o ữủc dữỡng, Ostrowski v Kestelman  giÊ thiát rơng f b chn tứ mởt trản têp o ữủc dữỡng, v Mehdi  giÊ thiát rơng f b chn trản trản têp nhõm Baire Mt khĂc, Hamel  nghiản cựu phữỡng trẳnh hm Cauchy khổng cõ bĐt kẳ iÃu kiằn khĂc cừa f Bơng viằc sû dưng cì sð Hamel, ỉng ta ¢ suy lu rơng cõ nhiÃu nghiằm khổng tuyán tẵnh tứ phữỡng trẳnh hm Cauchy an va v  tẳm tĐt cÊ chúng n Phữỡng trẳnh hm Cauchy  ữủc kh¡i qu¡t hâa hay bê sung theo cõa f th nh cĂc nhõm cừa loÔi no õ, vẵ dử (compact a phữỡng) nhõm ie gh tn to nhiÃu hữợng Mởt hữợng in hẳnh l lĐy miÃn xĂc nh v miÃn giĂ tr p Polish, v chựng minh rơng náu f thọa mÂn mởt iÃu kiằn bĐt kẳ cừa w giÊ thuyát o ữủc (Baire, Haar, hay Christensen), v cõ th l cĂc giÊ oa nl thuyát cởng tẵnh, thẳ nõ phÊi liản tửc (Chú ỵ: thay vẳ nõi phữỡng trẳnh d hm Cauchy, ta nõi l hm thuƯn nhĐt hoc cởng tẵnh) Mởt hữợng khĂc an lu l lủi dửng cĂc giÊ thuyát tứ tẵnh o ữủc Chữa hữợng i têng qu¡t n o nf va l thay êi ành ngh¾a mi·n x¡c ành cõa f º m s³ khỉng cõ mởt cĐu lm ul trúc Ôi số àp nỳa, m l s ch ỡn thuƯn l têp no â cõa mi·n x¡c ành ch½nh thùc, v½ dư mët têp lỗi, phƯn bũ cừa têp o ữủc 0, vv z at nh oi Sü bi¸n êi n y l º thay ời miÃn giĂ tr cừa phữỡng trẳnh, vẵ dử, giÊ sỷ rơng f thọa mÂn phữỡng trẳnh hm Cauchy ch vợi cp (x, y) thuởc vo têp cừa R2n , vẵ dử a tÔp (v f cõ th ữủc nh nghắa trản ton z @ khổng gian hoc trản têp cừa nõ) Trong tĐt cÊ cĂc trữớng hủp ny, gm ta cõ th kát luên sỹ tỗn tÔi nghiằm khổng tuyán tẵnh cừa phữỡng trẳnh co l hm Cauchy (mc dũ cĂc iÃu kiằn Ãu mÔnh) hoc (trong trữớng hủp an Lu nõ vợi tĐt cÊ c¡c c°p (x, y) câ thº m f ÷đc giÊ nh nh nghắa trản ton bở khổng gian) f phÊi thọa mÂn Bi toĂn phữỡng trẳnh hm Cauchy v mët sè bi¸n thº cõa nâ l cỉng n va ac th si cử giÊi quyát rĐt nhiÃu bi toĂn phữỡng trẳnh hm hay v khõ, nõ xuĐt hi»n nhi·u c¡c · thi håc sinh giäi nữợc v quốc tá v thữớng l mởt thĂch thực èi vỵi håc sinh Nhi·u t i li»u v c¡c · ti và phữỡng trẳnh hm Cauchy  ữủc biản soÔn v thỹc hiằn Tuy nhiản mội ti liằu ch trẳnh by mởt số vĐn à v cĂc ựng dửng, chữa bao quĂt ữủc Ưy ừ Vẳ vêy, cĂc vĐn à và phữỡng trẳnh hm Cauchy văn cỏn rĐt phong phú Mửc ẵch Mửc ẵch cừa luên vôn l nghiản cựu cĂc vĐn à liản quan án phữỡng trẳnh hm, phữỡng trẳnh hm Cauchy v mởt số bián th cừa nõ, xem xt lu khÊ nông giÊi ữủc v sỹ ờn nh tữỡng ối cừa nõ ối vợi cĂc têp an va cõa khæng gian Euclide a chi·u Mët số loÔi iÃu kiằn mợi ữủc trẳnh n by, chng hÔn nhữ mởt phữỡng trẳnh õ mởt số mụ phực tÔp cĂc phữỡng trẳnh hm Cauchy c biằt l ựng dửng cĂc lỵ thuyát ny gh tn to hm chữa biát CĂc phƠn tẵch ữủc m rởng án mởt số bián th cừa p ie viằc giÊng dÔy v bỗi dữùng kián thực toĂn hồc cho hồc sinh THPT v l nl w t i li»u tham kh£o cho sinh vi¶n ng nh To¡n håc d oa èi tữủng v phÔm vi nghiản cựu lu nf va an ối tữủng nghiản cựu cừa luên vôn l phữỡng trẳnh h m Cauchy v mët sè bi¸n thº cõa nâ Mët cĂch cử th, luên vôn s trẳnh by cĂc kát z at nh oi lm ul qu£ ch½nh c¡c t i li»u tham kh£o [1], [2], [3] v c¡c b i bĂo [4], [5] Phữỡng phĂp nghiản cựu z Thu thªp c¡c b i b¡o khao håc v t i li»u cõa cĂc tĂc giÊ nghiản cựu @ gm liản quan án phữỡng trẳnh hm Cauchy v ựng dửng m co trẳnh h m Cauchy v mët sè bi¸n thº cõa nâ l Trao ời qua email vợi thƯy hữợng dăn và c¡c ùng dưng cõa ph÷ìng an Lu n va ac th si Bố cửc luên vôn TĂc giÊ tián hnh nghiản cựu hai nởi dung chẵnh tữỡng ựng vợi hai chữỡng: lu Chữỡng Phữỡng trẳnh hm Cauchy 1.1 Tờng quan và phữỡng trẳnh hm 1.2 Phữỡng trẳnh hm Cauchy 1.3 Phữỡng trẳnh hm Cauchy tờng quĂt 1.4 Mët sè b i to¡n ùng döng an n va p ie gh tn to Chữỡng Mởt số bián th cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy v ựng dửng 2.1 Tiáp cên giĂ tr ban Ưu 2.2 Phữỡng trẳnh Cauchy trản miÃn hÔn chá 2.3 Mởt số bián th cừa phữỡng trẳnh Cauchy 2.4 Mởt số vẵ dử minh hồa d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Ch÷ìng Phữỡng trẳnh hm Cauchy Trong chữỡng ny, tĂc giÊ trẳnh by nh nghắa, tẵnh chĐt cừa phữỡng lu trẳnh hm Trong õ, tĂc giÊ i sƠu và nghiản cựu phữỡng trẳnh hm an va Cauchy v mởt số bi toĂn ựng dửng n Nởi dung chẵnh ữủc tham khÊo tÔi cĂc ti liằu [1], [2], [3] ie gh tn to 1.1 Tờng quan và phữỡng trẳnh hm p nh nghắa 1.1 Phữỡng trẳnh hm l phữỡng trẳnh m ân l c¡c h m w oa nl sè Gi£i ph÷ìng trẳnh hm tực l tẳm cĂc hm số chữa biát õ d Tiáp cên phữỡng trẳnh hm, mội ngữới cõ nhúng cì sð v ph÷ìng ph¡p lu an kh¡c Tuy nhiản, dỹa vo c trững cừa cĂc hm ta cõ th xƠy dỹng nf va ữủc mởt số nh hữợng nhữ sau: lm ul Thá cĂc giĂ tr bián phũ hủp: HƯu hát cĂc giĂ tr ban Ưu câ thº th¸ z at nh oi v o l : x = 0, x = 1, ; tø â t¼m mởt tẵnh chĐt quan trồng no õ hoc cĂc giĂ trà °c bi»t cõa h m ho°c t¼m c¡ch chùng minh hm số hơng z gm @ Quy nÔp toĂn hồc: Ơy l phữỡng phĂp sỷ dửng giĂ tr f (x) v bơng l cĂch quy nÔp vợi n ∈ N º t¼m f (n) Sau â t¼m f ( n1 ) v f (e) Ph÷ìng co ph¡p n y th÷íng ¡p dưng b i to¡n m ð â h m f  ữủc xĂc m nh trản Q; tứ õ m rởng trản cĂc têp số rởng hỡn an Lu Sỷ dửng phữỡng trẳnh Cauchy v kiu Cauchy n va ac th si Nghiản cựu tẵnh ỡn iằu v tẵnh liản tửc cừa cĂc hm CĂc tẵnh chĐt ny Ăp dửng phữỡng trẳnh hm Cauchy hoc kiu Cauchy CĂc phữỡng trẳnh õ náu khổng cõ tẵnh ỡn iằu, liản tửc thẳ bi toĂn tr nản phực tÔp hỡn nhiÃu Tẳm im cố nh hoc giĂ tr cừa cĂc hm Nghiản cựu tẵnh ỡn ¡nh v to n ¡nh cõa c¡c h m lôy thøa phữỡng trẳnh Dỹ oĂn hm v dũng phữỡng phĂp ph£n chùng º chùng minh i·u dü o¡n óng lu TÔo nản cĂc hằ thực truy hỗi an n va Miảu tÊ tẵnh chĐt chđn, l cừa hm số hm Cauchy nản  i sƠu vo nghiản cựu nõ gh tn to Tứ mởt số nh hữợng nảu trản, tĂc giÊ tƠm ưc phƯn phữỡng trẳnh p ie 1.2 Phữỡng trẳnh hm Cauchy d oa nl w nh nghắa 1.2 Phữỡng trẳnh hm Cauchy l phữỡng trẳnh hm cõ dÔng: (1.1) f (x) l hm xĂc nh tr¶n nf va â, an lu f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R, R lm ul Hm f thọa mÂn phữỡng trẳnh z at nh oi f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R, z ÷đc gồi l hm cởng tẵnh v ch khi: l hơng số tũy ỵ an Lu a m õ, co f (x) = ax, ∀x ∈ R, l gm @ nh lỵ 1.1 Hm số liản tửc f (x) l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.1) n va ac th si 43 i·u n y v ành ngh¾a cõa F ữa án ng thực: F (x) = f (s) f (t) = f (x) Ci cịng, º th§y f cởng tẵnh, cho (x1 , x2 ) G2 bĐt kẳ Vẳ S sinh mÔnh G, tỗn tÔi: s1 , s2 , t1 , t2 ∈ S , thäa m¢n c¡c quan h»: x1 = s1 − t1 , x2 = s2 − t2 , s1 + s2 ∈ S, t1 + t2 ∈ S i·u n y v t½nh giao hoĂn cừa G ữa án: x1 + x2 = (s1 + s2 ) − (t1 + t2 ) ∈ S S iÃu ny, nh nghắa cừa F , tẵnh giao ho¡n cõa H v (2.6) suy i·u lu khng nh ữủc yảu cƯu: an n va F (x1 + x2 ) = f (s1 + s2 ) − f (t1 + t2 ) gh tn to = f (s1 ) − f (t1 ) + f (s2 ) − f (t2 ) = F (x1 ) + F (x2 ) ie p nh lỵ 2.3 GiÊ sỷ S S w (S + S) ⊆ A °t oa nl S mởt siảu lêp phữỡng d sinh mÔnh Rn Cho A ⊆ Rn thäa m¢n: f : A → R v gi£ sû f thäa m¢n (2.6) N¸u S chùa I , m â eif o ữủc, thẳ tỗn tÔi c Rn , f (x) = c.x, ∀x ∈ S nf va an Chùng minh: lu cho: ⊆ Rn lm ul B¬ng Bê à 2.4, tỗn tÔi mởt hm cởng tẵnh F : Rn → R thäa m¢n: F (x) = f (x) vợi mồi x S Vẳ F cởng tẵnh v eiF = eif o ữủc trản I , z at nh oi ta suy tứ nh lỵ 2.1, rơng tỗn tÔi c Rn cho F (x) = c.x vỵi måi x ∈ Rn Kh¯ng ành ữủc suy vẳ f (x) = F (x) vợi måi x ∈ S z @ l gm Nhên xt 2.5 CĂc hẳnh mău và cĂc têp S cừa Rn m sinh mÔnh co Rn v bao gỗm mởt siảu lêp phữỡng l cĂc giao lăn cừa cĂc nỷa an Lu sinh mÔnh Rn v câ ph¦n kh¡c réng m khỉng gian trüc giao, cĂc nỷa khổng gian, v cĂc têp gỗm mởt têp n va ac th si 44 Ta câ, nûa nhâm S ⊆ Rn (tùc l S + S ⊆ S ) m sinh Rn °c bi»t, S : m=1 [2m, 3m] ừ mÔnh sinh R Cụng cõ nhiÃu vẵ dử và têp S vợi giao kh¡c réng m sinh Rn nh÷ng khỉng ph£i nûa nhâm Mët v½ dư ìn gi£n l sü dàch chuyn cừa gõc phƯn tữ bi mởt vctỡ khổng thuởc vo gõc phƯn tữ Những khổng cõ cĂc vẵ dử ngoÔi lai nhữ: m m n n S : m=1 Sm , ð â Sm := [10 , 5.10 ) , m N, (Vẳ: Vợi x, y R , l§y ≤ m ∈ N cho kxk + ky| < 10m−1 ; chån pm := (2.10m )nk=1 l nhúng v²ctì cõa 2.10m , th¼: x = (pm + x) − pm ∈ Sm − Sm , lu y = (pm + y) − pm ∈ Sm − Sm , an n va v x + y = (2pm + x + y) − 2pm ∈ Sm Sm ) Chựng minh nh lỵ 2.3 cõ th ữủc sỷ dửng dng m rởng nõ hỡn nỳa Nhữ nh lỵ tiáp theo: gh tn to Lỵ tữỡng tỹ phƯn p ie nh lỵ 2.4 Cho S ⊆ Rn Cho A ⊆ Rn thäa m¢n S ∪(S +S) ⊆ A.Gi£ sû thäa m¢n (2.6).Gi£ sû nl w f :AR oa l o ữủc trản I S chựa mởt hẳnh lêp phữỡng I Náu eif v tỗn tÔi mởt hm cởng tẵnh (khổng cƯn l nh§t) d F : Rn → R, cho: F (x) = f (x), ∀x ∈ S f (x) = cx, x S thẳ tỗn tÔi c Rn cho nf va an lu B¥y gií, ành lỵ ữủc phĂt trin ti liằu cõ th ữủc sỷ dửng Vẳ lm ul vêy, ta cõ th cho S tợi bĐt ký khoÊng no trản R cõ l iºm d½nh cõa z at nh oi nâ v A := S + S Ta câ thº cho S tợi mởt quÊ cƯu cĐp số nhƠn cõ chiÃu iºm gèc l t¥m cõa nâ (v A := S + S ) nh÷ng i·u n y thüc sü x£y tứ nh lỵ tiáp z theo (trữớng hủp m rởng cừa mởt hm liản tửc, cởng tẵnh ữủc xĂc nh l l mởt têp lỗi, cõ giao khĂc rộng Cho co Rn gm nh lỵ 2.5 Cho S @ trản mởt oÔn ngưn) m A Rn thäa m¢n: S ∪ (S + S) ⊆ A Gi£ sû f : A → R thäa m¢n (2.6) if n Náu e l o ữủc trản S thẳ tỗn tÔi c R , cho f (x) = cx, ∀x ∈ S an Lu n va Chùng minh ac th si 45 Cho u ∈ S + S l tũy ỵ Thá thẳ, u = s + t vỵi mët v i s, t ∈ S v õ têp lỗi u s+t = S vẳ S l 2 u (2.6), i·u n y suy r¬ng: u f (u) =f , ∀u ∈ S + S 2 B¬ng c¡ch °t x = y = °c bi»t i·u n y óng cho u := x + y, x, y S  ữủc cho Do â, f x+y = f (x + y) f (x) + f (y) = , 2 phữỡng trẳnh cuối ữủc suy tứ (2.6) lu an Suy tỗn tÔi c Rn v b ∈ R, cho: va n f (x) = cx + b, ∀x ∈ S gh tn to Nhí sü õng kẵn cừa biu diạn (2.6), ta suy b = p ie oa nl w 2.3 Mởt số bián th cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy d Trong mửc ny, tĂc giÊ trẳnh by mởt số bián th cừa phữỡng trẳnh lu nf va an hm Cauchy, nâ câ nhúng ùng dưng gi£i quy¸t mët sè bi toĂn lm ul 2.3.1 Phữỡng trẳnh Jensen z at nh oi L phữỡng trẳnh hm cõ dÔng: x+y f (x) + f (y) f = 2 (2.7) z gm @ Trong â: x, y ∈ Rn ho°c mët tªp cõa Rn l ành lỵ 2.6 Cho S l mởt têp lỗi cừa Rn v gi£ sû ph¦n cõa an Lu x S m l o ữủc trản co f : S R thọa mÂn (2.7) vợi mồi x, y S Náu eif S thẳ tỗn tÔi c ∈ Rn v b ∈ R, cho: f (x) = cx + b vỵi nâ l réng Gi£ sû n va ac th si 46 Chùng minh: x+y S , nản (2.1) hon ton ữủc xĂc nh Khi õ tỗn tÔi mởt hm g : Rn R thọa mÂn (2.1) v mởt hơng số Vẳ S lỗi, b R cho: f (x) = g(x) + b vợi mồi x S Vẳ eif l o ữủc trản S v phƯn cừa S khĂc rộng, eif o ữủc trản mởt siảu lêp phữỡng ữủc chựa S Vẳ vêy, eig = ebi ef o ữủc trản hẳnh siảu lêp phữỡng ny Vẳ thá tỗn tÔi c Rn , cho g(x) = cx, vợi x Rn Vêy, f (x) = cx + b vỵi måi x ∈ S , v mët sü kiºm tra lªp tùc ch¿ hm ny thọa mÂn (2.7), vợi mồi (x, y) ∈ S lu an n va 2.3.2 Phữỡng trẳnh Cauchy nhƠn tẵnh gh tn to õ l phữỡng trẳnh cõ dÔng: (2.8) p ie f (x + y) = f (x)f (y) â, c°p (x, y) thuëc mët tªp cõa R2n nl w Mët nghi»m hiºn nhi¶n suy tø (2.8) l f d oa Nhữ  biát, xt to n bë khỉng gian, n¸u f (x0 ) = ð mët an lu sè iºm x0 ∈ Rn , th¼: nf va f (x) = f (x − x0 ).f (x0 ) = 0, ∀x ∈ Rn x 2 , ∀x ∈ Rn , i·u â xÊy f Vẳ hm cởng tẵnh: f (x) = f khổng l hm hơng 0, thẳ f (x) > 0, ∀x Tuy nhi¶n, c°p (x, y) ch phử thuởc vo mởt têp cừa R2n thẳ z at nh oi lm ul i·u â khæng ch¿ ró rng tÔi mởt nghiằm cừa (2.8) cõ th dữỡng z @ Vẳ vêy inh lỵ tiáp theo nõi và tẵnh dữỡng cừa f ữủc giÊ nh l gm · xu§t sû, V gi£ sû, S l mởt hm dữỡng thÊo mÂn (2.8), vợi mồi (x, y) ∈ S an Lu f :A→R m co nh lỵ 2.7 Cho S Rn Cho A ⊆ Rn thäa m¢n: S ∪(S + S) ⊆ A GiÊ l mởt têp lỗi cõ im khĂc réng v fi l o ÷đc n va ac th si 47 trản m S, fi hoc S ừ mÔnh sinh l o ữủc Khi õ, tỗn tÔi Rn v nõ chựa mởt hẳnh lêp phữỡng c Rn I cho: f (x) = ecx , ∀x S Chựng minh: Vẳ f l dữỡng, hm số g : A → R x¡c ành bði g := ln(f ) cụng xĂc nh trản A v lĐy logarit cừa (2.8) ta thĐy rơng g l cởng tẵnh Vẳ f i = exp(i ln(f )) = eig ÷đc gi£ sỷ l o ữủc trản S hoc I Tứ nh lỵ 2.5 hoc nh lỵ 2.3, suy tỗn tÔi c Rn cho: g(x) = cx, x Rn lu Vẳ vêy: f (x) = ecx , ∀x ∈ S an n va Vªy, f thọa mÂn (2.8) 2.3.3 Phữỡng trẳnh Cauchy luƠn phiản p ie gh tn to nl w L ph÷ìng trẳnh hm cõ dÔng: (2.9) d oa (f (x + y))2 = (f (x) + f (y))2 an lu â, x, y ∈ Rn b§t ký nf va Hiºn nhiản, bĐt ký nghiằm no cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy (2.1) lm ul ·u l nghi»m cõa (2.9), nh÷ng ng÷đc lÔi l khổng úng; bi vẳ, Ưu tiản ta ch câ thº suy quan h» f (x + y) = ±(f (x) + f (y)) (ð â, d§u phư z at nh oi thuëc v o c°p (x, y)) Tuy nhiản, mồi nghiằm cừa (2.9) ữủc xĂc nh trản mởt nûa nhâm S cõa Rn ph£i l cëng t½nh z @ Tứ nh lỵ 2.3 v Nhên xt 2.5 , ta suy nh lỵ sau: eif thọa mÂn (2.9) Náu tỗn tÔi hẳnh lêp phữỡng l o ữủc thẳ tỗn tÔi cho: f (x) = cx, x S an Lu c ∈ Rn , I⊂S m m f :SR co GiÊ sỷ l gm nh lỵ 2.8 Gi£ sû S l mët nûa nhâm cõa Rn m sinh Rn n va ac th si 48 2.3.4 Phữỡng trẳnh Pexider õ l phữỡng trẳnh hm tờng quĂt hõa mởt phữỡng trẳnh hm Cauchy v liản quan ¸n ba h m bi¸n sè: (2.10) f (x + y) = g(x) + h(y), â (x, y) ∈ R2n hoc mởt têp cừa R2n nh lỵ tiáp theo m rởng kát quÊ ữủc biát án ối vợi tẵnh giÊi ữủc cừa (2.10) nh lỵ 2.9 Cho S ⊆ Rn l mët nûa nhâm, thäa m¢n ∈ S Gi£ sû: lu f : S −→ R, g : S −→ R, h : S −→ R an (x, y) ∈ S Gi£ sû r¬ng S sinh Rn thọa mÂn(2.10), vợi mồi n va m sè mô phùc cõa mët c¡c h m l o ữủc Khi õ, tỗn tÔi a, b R h(x) = c.x + b vỵi måi cho: f (x) = c.x + a + b, g(x) = c.x + a v x ∈ S gh tn to v h¬ng sè I c ∈ Rn v nâ chùa mët hẳnh lêp phữỡng p ie Chựng minh: w Cho a := g(0), b := h(0) v cho p : S −→ R ÷đc x¡c ành bði: d oa nl p(x) := f (x) − a − b, lu vỵi måi x ∈ S nf va an Hiºn nhi¶n, ta câ: f (x) = p(x)+a+b, g(x) = p(x)+a, h(x) = p(x)+b, vỵi måi x ∈ S v p l cởng tẵnh lm ul Vẳ số mụ phực cừa (2.1), c¡c h m f, g ho°c h ÷đc gi£ sû l o ữủc tƠm hẳnh lêp phữỡng z at nh oi cừa tƠm hẳnh lêp phữỡng, biu diạn trản suy rơng eip l o ữủc cừa Tứ õ, mởt nỷa nhõm sinh mởt nhõm giao hoĂn thỹc sỹ mÔnh tÔo z nõ ( Ơy l kát quÊ trỹc tiáp tứ nh nghắa 2.1 v vẳ S + S S , ành @ l x ∈ S gm lỵ 2.3 (vợi A := S ), suy tỗn tÔi c Rn cho: p(x) = c.x, vợi mội an Lu ữủc l nghiằm phữỡng trẳnh (2.10) m co Khng nh sau dng kim tra rơng nhên ÷đc bë ba f, g, h thu n va ac th si 49 2.3.5 Tẵnh ờn nh Xt dÔng xĐp x bián th cừa (2.1) (2.11) |f (x + y) − f (x) − f (y)| ≤ vỵi måi x, y ∈ Rn Vỵi l mët sè d÷ìng Mët h m f : Rn −→ R thäa mÂn (2.11) ữủc gồi l hm xĐp x cởng tẵnh hoc mởt hm - cởng tẵnh BĐt phữỡng trẳnh (2.11) l mởt bián th ữủc lm nhiạu cừa (2.1) v ta câ thº bi¸t câ hay khỉng h m - cởng tẵnh bĐt ký l ữủc xĂo trởn ẵt cừa mởt hm cởng tẵnh thuƯn tẵnh lu Hyers ữa cƠu trÊ lới cừa vĐn à trản l cõ tỗn tÔi nhĐt mởt an hm g : Rn −→ R thäa m¢n (2.1) v |f (x) − g(x)| ≤ , vỵi måi x ∈ Rn n va Hm số cởng tẵnh g thọa mÂn: (2.12) m x n Vỵi måi x ∈ R , biu diạn chung phờ bián l: g(x) = limm f 2m Thỹc tá, Hyers chựng minh nh lỵ cừa æng §y cho c¡c h m sè giúa c¡c p ie gh tn to f (mx) m−→∞ m g(x) = lim nl w oa khổng gian Banach iÃu trản ữủc xƠy dỹng cho bĐt cự hm f : S X , d ð â X l mët khæng gian Banach v S l mët nûa nhâm lu nf va an Kát quÊ và tẵnh ờn nh cừa phữỡng trẳnh hm (trong trữớng hủp c biằt l cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy) v bi toĂn ân liản quan tợi nõ tr lm ul thnh phờ bián cuối thêp niản z at nh oi é Ơy, ta s têp trung nh§t v o sü mð rëng i·u ki»n quen thuëc cõ tẵnh Ãu n( vẵ dử, f l o ữủc hoc b chn trản trản mởt têp dữỡng o ữủc) hm cởng tẵnh, kát hủp g cõ th liản tửc Trong tẳnh ny, z kát quÊ liản quan tợi nh nghắa và tẵnh ờn nh bao hm iÃu kiằn ữủc @ gm nõi án; bi vẳ, iÃu kiằn o ữủc khÊ tẵch l ữủc bao hm Tuy nhiản l cĂc kát quÊ v cĂc phƯn chựng minh ữủc nõi án Ơy( trữớng co hủp c biằt, i·u ki»n t½nh ên ành cõa f ) l kh¡c vợi mởt nhỳng m iÃu ữa (Ănh xÔ tứ cĂc ữớng thng thỹc dữỡng vo chẵnh nõ) an Lu n va ac th si 50 nh lỵ 2.10 Cho S ⊆ Rn l mët nûa nhâm m nâ sinh Rn v chựa mởt hẳnh lêp phữỡng I f : S R thọa mÂn (2.11) v tỗn tÔi mởt nhiản (mk )k=1 , cho mội hm hk : S C Náu dÂy số vổ hÔn cĂc số tỹ hk (x) := eif (mk x)/mk , vỵi c ∈ Rn cho |f (x) − c.x|, vợi ữủc xĂc nh bi mồi thẳ tỗn tÔi måi x ∈ S l x ∈ S o ÷đc trản I, Chựng minh Nhữ  nõi án tữỡng tỹ (2.12), tỗn tÔi mởt hm cởng tẵnh g : S −→ R thäa m¢n |f (x) − g(x)| ≤ , vỵi måi x ∈ S lu Tø (2.12), ta câ: an g(x) = lim va k−→∞ f (mk x) mk n vỵi måi k ∈ N v x ∈ S p ie gh tn to Nhí tẵnh liản tửc cừa hm lụy thứa, ta cõ: f (mk x) = lim hk x h(x) := exp(ig(x)) = lim exp i k−→∞ k−→∞ mk nl w Vỵi måi x ∈ S oa Do â, sỹ hÔn chá cừa h tợi I l nởi giợi hÔn cừa hm o ữủc v vẳ d vêy nõ l o ữủc lu nf va an Vẳ g thọa mÂn (2.1) v vẳ nỷa nhõm sinh mởt nhõm giao hoĂn mÔnh sinh nõ ( nhữ  nh nghắa 2.1) ta kát luên, tứ nh lỵ 2.3 (vợi A := S ) z at nh oi i·u ph£i chựng minh lm ul sỹ tỗn tÔi cừa c Rn , cho: g(x) = c.x, vợi tĐt cÊ x ∈ S v ta suy Nhªn x²t 2.6 Náu f l ở o ữủc a phữỡng thẳ x 7−→ eif (mx)/x) l ë gm @ 2.10 thäa m¢n v vẳ vêy g l ữủc z o a phữỡng vợi mồi m N v vẳ vêy iÃu kiằn cừa hm hk tứ nh lỵ co suy rơng g l o ữủc l Hay nõi cĂch khĂc, náu ta biát rơng eif l o ữủc thẳ nõ khổng õ º m Thªt vªy, x²t h m f := 2π[g(x)], x R ỵ 2.1, õ g l mởt an Lu nghiằm phi tuyán tẵnh cừa (2.1) thẳ eif l liản tửc l vẳ õ l mởt hm n va hơng ac th si 51 Vẳ |t − [t]| ≤ vỵi måi t ∈ R, ta câ: |f (x) − (2π)g(x)| ≤ 2π, vỵi måi x R BĐt phữỡng trẳnh ny, bĐt ng thực tam gi¡c , v t½nh cëng t½nh cõa g , suy rơng f thọa mÂn (2.11), vợi := Vẳ 2g thọa mÂn (2.1), nh lỵ Hyers suy rơng nõ l mởt hm cởng tẵnh m - x§p x¿ f , v cơng suy rơng: f (mx) m m vợi mồi x R ( giợi hÔn ny cõ th ữủc tẵnh toĂn) 2g(x) = lim lu Nh÷ng g khỉng o ÷đc Ta cõ th nõi rơng: mc dũ eif l o ữủc an tứ nh lỵ 2.10 ch rơng væ sè h m: va n gm (x) := eif (mx)/m , x ∈ R Mët sè nhªn x²t: Nhªn x²t 2.7 CĂc hằ phữỡng trẳnh: p ie gh tn to ch cõ hỳu hÔn chúng cõ th l o ữủc nh lỵ 2.1 v cĂc kát quÊ khĂc và cĂc bián th cừa phữỡng trẳnh nl w Cauchy (2.1) cõ th ữủc m rởng tợi cĂc hằ phữỡng trẳnh d oa Cho vẵ dử, cho f : Rn Rm thọa mÂn(2.1), náu f = (f1 , f2 , , fm )v nf va an lu eifk l o ữủc vợi mội k {1, , m} thẳ tỗn tÔi mởt ma C cĐp mìn, cho f (x) = Cx vỵi måi x ∈ Rn Ơy l kát quÊ ỡn giÊn cừa nh lỵ 2.1, bði v¼ fk : Rn −→ R thäa lm ul mÂn (2.1), vợi mội k z at nh oi Nhên xt 2.8 Khổng gian vổ hÔn chiÃu: Mởt i·u thó l câ thº mð rëng k¸t qu£ ny tợi mởt khổng gian vổ z hÔn chiÃu trản â x¡c ành ÷đc h m sè o ÷đc gm @ Nhên xt 2.9 CĂch chựng minh nh lỵ (2.1) sû dưng quy tc gi¡ trà l x§p x¿ ban Ưu ữủc trẳnh by phƯn 2.1.3 gủi ỵ r¬ng i·u ki»n v· quy m co tc câ thº ÷đc mð rëng hìn núa bði quan h» khỉng gian ở o và khẵa an Lu cÔnh nõ bi mởt thự lỵ thuyát trứu tữủng hỡn Trong iÃu dữợi Ơy, ta nõi rơng mởt bở ba (A, B, F ) cõ tẵnh tẵch phƠn tuƯn hon náu n va nhỳng iÃu kiằn sau ữủc thọa mÂn: ac th si 52 A l tªp hđp c¡c h m sè thüc xĂc nh trản Rn ; B l têp hủp c¡c h m sè chùa {eif : g ∈ A}; F : B → C l mët h m sè Vợi mồi C thọa mÂn || = 1v måi h ∈ B ,ta câ βh ∈ B v F (βh) = βF (h); H m sè x 7→ c.x thuởc A vợi tĐt cÊ c Rn Têp A l õng dữợi php cởng v php nhƠn cừa số hỳu t dữỡng Tỗn tÔi mởt cì sð {u1 , u2 , , un } cõa Rn cho vợi mồi g A thọa mÂn quan hằ g(x + uk ) = g(x) vợi tĐt c£ x ∈ Rn v k ∈ {1, , n} lu an H m sè gy ÷đc x¡c ành bði gy (x) := g(x + y) vỵi méi x ∈ Rn l n va thc A vỵi méi y ∈ Rn v ta câ F (eigy ) = F (eig ); tn to Vợi mội g A tỗn tÔi mët v i sè húu t α > cho F (eiαg ) 6= p ie gh Mët v½ dö v· mët bë ba (A, B, F ) l : d oa nl w A := {f : Rn −→ R : eif l ë o}, B := {eig : g ∈ A}, R F (v) := I v(x)dx an lu vợi tĐt cÊ v A, õ I Rn l mởt hẳnh lêp phữỡng bĐt ký nf va BƠy giớ giÊ sỷ rơng ta cõ mởt bở ba (A, B, F ) thọa mÂn tẵnh tẵch phƠn lm ul tuƯn hon Ta khng nh trữớng hđp n y, n¸u f ∈ A v n¸u f thäa mÂn (2.1) thẳ tỗn tÔi c Rn , cho f (x) = c.x, vỵi måi x ∈ Rn z at nh oi Thêt vêy, phƯn chựng minh cụng tữỡng tỹ phƯn chựng minh cừa phƯn 2.1.3, Ơy cõ hai sỹ khĂc chẵnh: Thự nhĐt, tứ Bờ à 2.2 ta cƯn theo nhĐt hai oÔn ¦u z @ Thù hai, sau ¡p dưng h m t 7−→ eiαt , t ∈ R (ð â α l mët sè húu m eiαg(x+y) = eiαg(x) eiαg(y) , co l phữỡng trẳnh: gm t dữỡng tứ tẵnh chĐt (8) trản) , ta Ăp dửng hm số F cho cÊ hai vá cừa v(x)dx phữỡng trẳnh ny ( õ I l mởt siảu hẳnh hởp sinh n va I an Lu v sỷ dửng tẵnh chĐt (7) trản viằc Ăp dửng tẵch phƠn G(v) := R ac th si 53 bði cì sð {u1 , , un } v v l mët h m b§t ký v nõ l tẵch phƠn trản I ), v sỷ dửng Bờ à 2.1 mởt cĂch tữỡng tỹ Thêt thú v cõ th tẳm ữủc mởt bở ba (A, B, F ) thọa mÂn tẵnh tuƯn hon tẵch ph¥n cho A 6= {f : Rn → R : eif l o ÷đc} v F khỉng ph£i ph²p toĂn tẵch phƠn (nghắa l, F khổng trũng vợi v R I v(x)dx hoc mởt sỹ bián ời nhà cừa php toĂn ny ) hoc cho thĐy rơng Ơy l iÃu khổng th iÃu quan tƠm l tẳm ½t nh§t mët bë ba (A, B, F ) thäa mÂn tẵnh chĐt tẵch phƠn tuƯn hon sỹ iÃu chnh vổ hÔn chiÃu hoc ch khổng cõ mởt bở ba no tỗn tÔi Ta thỷ t F l mët hå c¡c h m sè Fj : B −→ C Thổng thữớng, bi vẳ cõ nhỳng nghiằm phi tuyán tẵnh cõa (2.1), nhúng nghi»m n y khỉng thc A Do vªy, bĐt lu k A v F l gẳ , A khổng th l mởt têp hủp tĐt cÊ cĂc hm số thỹc an va Mởt sỹ bián ời tữỡng ựng cừa nhỳng gẳ ữủc viát cĂc cƠu v cĂc oÔn n trản úng vợi mởt hẳnh xuyán topo Cuối cũng, nõ s rĐt cõ giĂ tr tờ tỗn tÔi cừa cĂc iÃu kiằn thữớng cừa phữỡng trẳnh hm p ie gh tn to hđp c¡c i·u ki»n th÷íng trứu tữủng ữủc à cêp trản vợi mởt nh lỵ oa nl w 2.4 Mởt số vẵ dử minh hồa an lu iÃu kiằn Tẳm tĐt cÊ cĂc h m sè f (x), g(x), h(x) ∈ ς(R) thäa m¢n d V½ dư 2.4.1 (2.13) nf va f (x + y) = g(x) + h(y), ∀x, y ∈ R h m Cauchy) z at nh oi Líi gi£i: lm ul (Ph÷ìng trẳnh ny gồi l phữỡng trẳnh Pexider m rởng cừa phữỡng trẳnh Thay y = vo phữỡng trẳnh (2.13), ta ÷đc: z g(x) = f (x) − h(0) = f (x) − b, b = h(0) @ m an Lu Thay cĂc kát quÊ trản vo (2.13), ta cõ: co h(y) = f (y) − a l gm Thay x = vo phữỡng trẳnh (2.13) v t a = g(0), ta ÷đc: n va f (x + y) = f (x) + f (y) − a − b, ∀x, y ∈ R ac th si 54 °t F (x) = f (x) − a − b, â: F (x) ∈ ς(R) v thäa m¢n i·u ki»n F (x + y) = F (x) + F (y), x, y R Theo kát quÊ cừa phữỡng trẳnh h m Cauchy, ta câ: F (x) = cx Suy ra: f (x) = cx + a + b g(x) = cx + a v h(x) = cx + b lu Vªy f (x) = cx + a + b, g(x) = cx + a, h(x) = cx + b l nghi»m cõa b i an va to¡n ¢ cho n gh tn to Vẵ dử 2.4.2 Tẳm tĐt cÊ cĂc h m sè f (x), g(x), h(x) x¡c ành v li¶n p ie tửc trản R v thọa mÂn iÃu kiằn (2.14) oa Líi gi£i: nl w f (x + y) = g(x)h(y), ∀x, y ∈ R d Trong ph÷ìng trẳnh (2.14) lƯn lữủt thay x = 0, y = t v y = 0, x = t ta an lu câ: nf va N¸u g(0) 6= 0, h(0) 6= 0, th¼: ( h(t) = f (t) , (a := g(0) 6= 0) f (t) = g(0).h(t) a ⇔ , ∀t ∈ R f (t) f (t) = g(t).h(0) g(t) = , (b := h(0) 6= 0) b Thay cĂc kát quÊ trản vo (2.14), ta ÷đc: z at nh oi lm ul z f (x) f (y) a b f (x + y) f (x) f (y) ⇔ = , ∀x, y ∈ R ab ab ab f (x) Ta °t Φ(x) = , x ∈ R ab Khi â: Φ(x) ∈ ς(R) v Φ(x + y) = Φ(x).Φ(y), ∀x, y ∈ R Suy Φ(x) = ecx , c l h¬ng sè Tø â, ta câ: m co l gm @ f (x + y) = an Lu n va ac th si 55 cx f (x) = abe g(x) = aecx h(x) = becx õ:a, b, c l cĂc hơng số Thỷ lÔi ta thĐy cĂc hm số trản thọa mÂn phữỡng trẳnh (2.14)  cho Náu a = 0, ta cõ f (x) = 0, ∀x ∈ R: + N¸u g ≡ thẳ h(x) l hm số tũy ỵ + Náu tỗn tÔi x0 R cho g(x0) 6= thẳ (2.14), cho x = x0, ta ữủc: = f (x0 + y) = g(x0 )h(y), ∀y ∈ R lu Suy ra: an n va h(y) = 0, y R to gh tn Thỷ lÔi, ta thĐy cĂc hm số trản thọa mÂn phữỡng trẳnh (2.14) ie N¸u b = 0, ta câ f (x) = 0, x R p + Náu h thẳ g(x) l hm số tũy ỵ + Náu tỗn tÔi x0 ∈ R cho h(x0) 6= th¼ (2.14) cho x = x0, ta d oa nl w ÷đc: nf va an lu Suy = f (x0 + y) = h(x0 )g(y), ∀y ∈ R lm ul g(y) = 0, ∀y ∈ R z at nh oi Thỷ lÔi, ta thĐy cĂc hm số trản thọa mÂn phữỡng trẳnh (2.14) Chú ỵ rơng, cĂc nghiằm trản  bao hm cÊ nghiằm tƯm thữớng z gm @ f ≡ 0, g ≡ 0, h m co l Tõm lÔi, ta cõ c¡c k¸t qu£ sau: cx f (x) = abe f ≡ f ≡0 ho°c g(x) = aecx ho°c g≡0 h≡0 h(x) = becx h(x) ∈ ς(R) g(x) ∈ ς(R) an Lu n va vỵi måi x ∈ R, v a, b, c l c¡c hơng số ac th si 56 KT LUN Trong luên vôn ny tĂc giÊ Â trẳnh by ữủc mởt số kát quÊ và phữỡng trẳnh hm Cauchy Cử th l: lu Giợi thiằu tờng quan và phữỡng trẳnh hm, phữỡng trẳnh hm Cauchy Trẳnh by v chựng minh cĂc nh lỵ, bờ à liản quan án phữỡng an va n trẳnh hm Cauchy Cauchy nhữ: phữỡng trẳnh hm Jensen, phữỡng trẳnh Pexider, ie gh tn to Tr¼nh b y v chùng minh mët sè bián th cừa phữỡng trẳnh hm p Dỹa vo cĂc kát quÊ Â trẳnh by trản, vên döng v o gi£i c¡c b i oa nl w to¡n IOM v c¡c b i to¡n li¶n quan d Trong thíi gian tợi, tĂc giÊ s tiáp tửc tẳm kiám, hồc häi v nghi¶n lu an cùu º ho n thi»n c¡c kát quÊ trản; ỗng thới, trau dỗi thảm kián thực nf va phửc vử cho quĂ trẳnh hồc têp v giÊng dÔy cừa mẳnh sau ny z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 57 T i li»u tham khÊo Tiáng Viằt [1] Nguyạn Ti Chung, Lả Honh Phỏ (2013), Chuyản khÊo phữỡng trẳnh hm, NXB Ôi hồc Quốc gia HN lu an [2] Nguyạn Vôn Mêu (2014), n va ời, Phữỡng trẳnh hm cỡ bÊn vợi bián số bián NXB Ôi hồc Quốc gia HN à giÊi tẵch bỗi dữùng hồc sinh giọi trung hồc phờ thổng, NXB GiĂo dửc p ie gh tn to [3] Nguyạn Vôn Mêu (chừ biản), Nguyạn Vôn Tián (2009), Mởt số chuyản oa nl w Ti¸ng Anh d [4] Daniel Reem (2016), Remarks lu arXiv:1002.3721v6 nf va an variations of it, On the cauchy functional equation and [5] Rehab Saleem Al-mosadder (2012), On stability of some types of func- lm ul tional equations, Master Thesis, Supervised by Dr Asad Y A 'sad z at nh oi z m co l gm @ an Lu n va ac th si
Ngày đăng: 24/07/2023, 09:27
Xem thêm:
