(Luận văn) về phương trình hàm cauchy và ứng dụng

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o lu NGUY™N THÀ MŠN an n va p ie gh tn to d oa nl w V— PH×ÌNG TRœNH H€M CAUCHY V€ ÙNG DÖNG oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th THI NGUY–N, 5/2017 si „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o NGUY™N THÀ MŠN lu an n va p ie gh tn to V— PH×ÌNG TRœNH H€M CAUCHY V€ NG DệNG oa nl w Chuyản ngnh: Phữỡng phĂp ToĂn sỡ cĐp d nf va an lu M số: 60 46 01 13 oi lm ul LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC z at nh z @ GIO VI–N HìẻNG DN m co l gm TS TRN XUN QUÞ an Lu n va ac th THI NGUY–N, 5/2017 si Mưc lưc lu an n va Mð ¦u Chữỡng Phữỡng trẳnh hm Cauchy p ie gh tn to 1.1 Phữỡng trẳnh hm Cauchy mởt bián 1.1.1 Và phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh 1.1.2 Phữỡng trẳnh hm cởng tẵnh trản khổng gian phực 1.1.3 Phữỡng trẳnh hm Cauchy mô 1.1.4 Phữỡng trẳnh hm Cauchy Logarit 1.1.5 Phữỡng trẳnh hm Cauchy nhƠn tẵnh 1.2 Phữỡng trẳnh Cauchy nhiÃu bián 1.2.1 Phữỡng trẳnh Cauchy cởng tẵnh nhiÃu bián 1.2.2 Phữỡng trẳnh hm Cauchy nhƠn tẵnh nhiÃu bián 1.2.3 Hai phữỡng trẳnh hm Cauchy nhiÃu bián khĂc 1.3 M rởng cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy 1.4 Mët sè b i to¡n ¡p döng d oa nl w oi lm ul nf va an lu 6 11 14 17 18 23 23 27 28 29 35 z at nh Ch÷ìng Mët sè ùng dưng cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy 37 z 2.1 Têng c¡c lơy thøa cõa sè nguy¶n 2.1.1 Têng cõa n sè tü nhiản Ưu tiản 2.1.2 Tờng bẳnh phữỡng cừa n số tỹ nhiản Ưu tiản 2.1.3 Tờng lụy thứa k cừa n số tỹ nhiản Ưu tiản 2.2 Tờng lụy thứa cừa cĂc số dÂy cĐp số cởng 2.3 Sè c°p câ thº rót tø n ph¦n tû 2.4 Tờng cừa chuội hỳu hÔn m co l gm @ 37 38 39 39 42 43 44 47 n va 48 ac th T i li»u tham kh£o an Lu Kát luên si Mð ¦u lu an n va p ie gh tn to Phữỡng trẳnh hm l mởt nhĂnh cừa toĂn hồc hiằn Ôi, tứ nôm 1747 án 1750 nh toĂn hồc J D'Alembert  cổng bố bi bĂo liản quan và phữỡng trẳnh hm, Ơy ữủc xem l cĂc kát quÊ Ưu tiản và phữỡng trẳnh hm Mc dũ phữỡng trẳnh hm  ữủc nghiản cựu trản 260 nôm, nõ thỹc sỹ ữủc nghiản cựu mÔnh cĂc lắnh vỹc lỵ thuyát v  ùng dưng cõa to¡n håc ch¿ kho£ng 100 n«m tr lÔi Ơy Ưu thá k 20, ká tiáp nhỳng õng gõp quan trồng cừa D Hilbert lỵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn,  lm cho lỵ thuyát phữỡng trẳnh hm tr nản rĐt quan trồng v thu ữủc nhiÃu kát quÊ thú v, chng hÔn nhữ S Pincherle (1906, 1912); E Picard (1928); G Hardy, J.E Littlewood and G Polya (1934); M Ghermanescu (1960); J.Ac
zel (1966); and M Kuczma (1968) GƯn Ơy, phữỡng trẳnh hm ữủc rĐt nhiÃu nh ToĂn hồc nời tiáng cừa thá giợi nghiản cựu, v  câ nhúng âng gâp lỵn lao cho c£ to¡n lỵ thuyát v toĂn ựng dửng, chng hÔn nhữ qua c¡c cuèn s¡ch cõa A.N Sarkovskii and G.P.Reljuch (1974); J Ac
zel and Z Da
roczy (1975); J Dhombres (1979) Ch½nh sü phĂt trin mÔnh m cừa lỵ thuyát phữỡng trẳnh hm m cĂc kát quÊ cừa nõ  ữủc xem xt nghiản cựu cho ối tữủng hồc sinh trung hồc phờ thæng Thº hi»n qua c¡c ký thi håc sinh giäi quốc gia, cĂc bi ton và phữỡng trẳnh hm luổn thu hút BTC quan tƠm v lỹa chồn Vẳ vêy, à ti luên vôn thÔc sắ phữỡng phĂp toĂn sỡ cĐp s têp trung vo lợp phữỡng trẳnh hm cỡ bÊn, õ l: Và phữỡng trẳnh hm Cauchy v ựng dửng Luên vôn ữủc trẳnh by hai chữỡng d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si lu an n va p ie gh tn to Ch÷ìng 1: Phữỡng trẳnh hm Cauchy Chữỡng ny trẳnh by cĂc nh nghắa, nh lỵ, chựng minh và phữỡng trẳnh hm Cauchy v cĂc dÔng cừa nõ Tẳm nghiằm cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh, phữỡng trẳnh hm Cauchy nhƠn tẵnh, phữỡng trẳnh hm Cauchy mụ v phữỡng trẳnh hm Cauchy Logarit Trẳnh by m rởng cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy ữa mởt số bi toĂn vên dửng phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh  giÊi quyát Mởt số bi toĂn l à thi hồc sinh giọi cĂc nữợc, ữủc tr½ch tø t i li»u [9] cõa t¡c gi£ Titu Andreescu v  Iurie Boreico Ch÷ìng 2: Mët sè ùng dưng cõa phữỡng trẳnh hm Cauchy Chữỡng ny trẳnh by ựng dửng cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy tẵnh tờng lụy thứa cừa số nguyản (tờng cừa n số tỹ nhiản Ưu tiản, tờng bẳnh phữỡng cừa n số tỹ nhiản Ơu ti¶n, têng lơy thøa k cõa n sè tü nhi¶n Ưu tiản), tẵnh tờng lụy thứa cừa cĂc số dÂy cĐp số cởng, tẳm số cp cõ th rút tứ n phƯn tỷ, lỹc lữủng cừa mởt têp hủp v tờng cừa chuội hỳu hÔn  hon thiằn luên vôn trữợc hát tổi xin gỷi lới cÊm ỡn sƠu sưc tợi TS TrƯn XuƠn Quỵ  dnh thới gian hữợng dăn, Ănh giĂ, ch bÊo, tên tẳnh giúp ù quĂ trẳnh xƠy dỹng à ti v hon thiằn luên vôn Qua Ơy tổi cụng xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh tợi tĐt cÊ cĂc thƯy cổ, Ban giĂm hiằu, Khoa ToĂn - Tin - Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản  tÔo i·u ki»n, gióp ï st qu¡ tr¼nh ho n th nh khõa hồc Tổi mong nhên ữủc sỹ gõp ỵ cừa thƯy, cổ v cĂc bÔn d oa nl w oi lm ul nf va an lu Th¡i Nguy¶n, ng y 05 th¡ng n«m 2017 z at nh T¡c gi£ luên vôn z Hồc viản Nguyạn Th Mên m co l gm @ an Lu n va ac th si Chữỡng lu Phữỡng trẳnh hm Cauchy an n va gh tn to p ie Vi»c nghi¶n cùu v· h m cëng t½nh câ tø thíi A.M Legendre l  ngữới Ưu tiản cố gưng tẳm nghiằm cừa phữỡng trẳnh h m Cauchy nl w oa f (x + y) = f (x) + f (y) d vỵi måi x, y R Viằc nghiản cựu hằ thống phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh  ữủc xữợng bi A.L Cauchy cn s¡ch cõa ỉng "Coursd d'Analyse" n«m 1821 Mởt phữỡng trẳnh bao gỗm mởt hm chữa biát v mởt hoc nhiÃu Ôo hm cừa nõ ữủc gồi l phữỡng trẳnh vi phƠn Vẵ dử nhữ oi lm ul nf va an lu v  00 z at nh f (x) + mx = z f (x) + f (x) + sin(x) = @ ex−t f (t) dt, an Lu f (x) = ex − Zx m co l gm CĂc phữỡng trẳnh gỗm tẵch phƠn cừa hm số chữa biát ữủc gồi l phữỡng trẳnh tẵch phƠn Mởt vi vẵ dử và phữỡng trẳnh tẵch phƠn ac th [1 xcos(xt)]f (t)dt, f (x) = sin(x) + n va Z1 si v  Zx f (x) = [tf (t) − 1]dt Phữỡng trẳnh hm l phữỡng trẳnh õ cĂc ân l cĂc hm số Vẵ dử và phữỡng trẳnh h m l  f (x + y) = f (x) + f (y), f (x + y) = f (x)f (y), lu an f (xy) = f (x)f (y), n va f (xy) = f (x) + f (y), tn to f (x + y) = f (x)g(y) + g(x)f (y), ie gh f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y), p f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) + 2f (y), nl w f (x + y) = f (x) + f (y) + f (x)f (y), d oa f (x + y) = g(xy) + h(x − y), an lu f (x) − f (y) = (x − y)h(x + y), g(f (x)) = g(x) + β, ul nf va f (pr, qs) + f (ps, qr) = 2f (p, q) + 2f (r, s), z at nh v  oi lm g(f (x)) = αg(x), α 6= f (t) = f (2t) + f (2t − 1) z PhÔm vi cừa phữỡng trẳnh hm bao gỗm cĂc phữỡng trẳnh vi phƠn, phữỡng trẳnh sai phƠn, phữỡng trẳnh tẵch phƠn CĂc phữỡng trẳnh hm l mởt lắnh vỹc cừa toĂn hồc trản 200 nôm tuời Hỡn 5000 bi bĂo  ữủc cổng bố lắnh vỹc ny Tuy nhiản ối vợi luên vôn thÔc sắ tổi ch têp trung nghiản cựu và phữỡng trẳnh hm Cauchy v mởt sè ùng dưng cõa nâ N«m 1747 v  1750, d'Alambert ¢ cỉng bè b i b¡o â b i thù nhĐt l phữỡng trẳnh hm (xem Aczl (1966)) Phữỡng trẳnh hm ữủc nghiản cựu bi d'Alambert (1747), Euler (1768), Poisson (1804), Cauchy (1821), Darboux (1875) v  nhi·u nh  to¡n håc kh¡c Hilbert m co l gm @ an Lu n va ac th si lu (1902) · xu§t sỹ nối tiáp vợi vĐn à cừa l nh lỵ hm vi phƠn cung cĐp phữỡng phĂp àp v mÔnh  giÊi phữỡng trẳnh hm, õ gi£ thi¸t kh£ vi l  i·u ki»n khỉng thº thi¸u Nhớ à xuĐt cừa Hilbert nhiÃu nghiản cựu và phữỡng trẳnh hm  xem xt vợi cĂc phữỡng trẳnh hm kh¡c khỉng câ mët v i ho°c ½t c¡c gi£ thiát Ãu Sỹ nộ lỹc ny  gõp phƯn phĂt trin nh lỵ hiằn Ôi và phữỡng trẳnh hm Lỵ thuyát cĂc dÔng quy tưc toĂn hồc hiằn Ôi cừa phữỡng trẳnh hm ngy cng phĂt trin nhanh chõng cuối thêp k GiÊi phữỡng trẳnh hm nghắa l tẳm tĐt cÊ cĂc hm số thọa mÂn phữỡng trẳnh h m º thu ÷đc mët nghi»m, c¡c h m sè ph£i b giợi hÔn bi mởt t trững riảng (nhữ l giÊi tẵch, b chn, liản tửc, lỗi, khÊ vi, o ÷đc hay ìn i»u) an n va gh tn to 1.1 Phữỡng trẳnh hm Cauchy mởt bián p ie 1.1.1 Và phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh d oa nl w PhƯn ny giợi thiằu và phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh v xĂc nh nghiằm cừa nõ (ữủc tr½ch tø t i li»u[7]) Cho f : R → R â R l  tªp sè thüc, f l  h m số thọa mÂn phữỡng trẳnh hm f (x + y) = f (x) + f (y) (1.1) va an lu oi lm ul nf vỵi måi x, y ∈ R Phữỡng trẳnh hm ny  ữủc biát l phữỡng trẳnh hm Cauchy Phữỡng trẳnh hm (1.1) ữủc nghiản cựu Ưu tiản bi A.M Legendre (1791) v C.F Gauss (1809) A.L Cauchy (1821) l ngữới Ưu tiản tẳm nghiằm lợp hm liản tửc Phữỡng trẳnh (1.1) cõ v trẵ quan trồng toĂn hồc nõ ữủc à cêp tợi hƯu hát cĂc khẵa cÔnh cừa toĂn hồc z at nh z f (x + y) = f (x) + f (y) an Lu vỵi måi x, y R m co l thọa mÂn phữỡng trẳnh h m Cauchy gm @ ành ngh¾a 1.1 H m sè f : R R ữủc gồi l hm cởng tẵnh náu nõ va nh nghắa 1.2 Hm số f : R R ữủc gồi l hm tuyán tẵnh v n ch nõ cõ dÔng ac th f (x) = cx (∀x ∈ R), si â c l mởt hơng số tũy ỵ ỗ th cừa hm tuyán tẵnh f (x) = cx l mởt ữớng khỉng th¯ng, i qua gèc â nâ ÷đc gåi l tuyán tẵnh Hm số tuyán tẵnh thọa mÂn phữỡng trẳnh hm Cauchy CĂc cƠu họi ữủc ữa l cõ hm no khĂc thọa mÂn phữỡng trẳnh hm Cauchy hay khổng? Ta thĐy rơng ch cõ nghiằm liản tửc cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy l tuyán tẵnh Ơy l kát quÊ ữủc chựng minh bi Cauchy vo nôm 1821 lu nh lỵ 1.1 Cho f : R R l liản tửc v thọa mÂn phữỡng trẳnh hm an Cauchy cởng tẵnh (1.1) Khi õ f tuyán tẵnh, nghắa l  f (x) = cx â c l  mët hơng số tũy ỵ n va phữỡng trẳnh (1.1) theo bián y ta ữủc ie gh tn to Chựng minh Trữợc tiản ta cố nh x rỗi lĐy tẵch phƠn hai v¸ cõa p Z1 w f (x) = f (x)dy nl d oa Z1 [f (x + y) − f (y)]dy an lu = va Z1+x nf Z1 f (u)du − f (y)dy, u = x + y x oi lm ul = z at nh Vẳ hm số f liản tửc nản suy f (x) = f (1 + x) − f (x) (1.2) z f (1 + x) = f (1) + f (x) m co l gm @ Tø t½nh cëng t½nh cõa f ta câ (1.3) an Lu Thay (1.3) v o (1.2) ta câ f (x) = f (1) = c Suy f (x) = cx + d thay v o (1.1) suy d = va n Trong nh lỵ 1.1 ta sỷ dửng tẵnh liản tửc cừa f  kát luên rơng f khÊ tẵch Tẵnh tẵch phƠn cừa f bưt buởc nghiằm f cừa phữỡng trẳnh ac th si Cauchy cởng tẵnh l tuyán tẵnh Do õ mội nghiằm khÊ tẵch cừa phữỡng trẳnh Cauchy cởng tẵnh cụng tuyán tẵnh nh nghắa 1.3 Mởt hm f : R R ữủc gồi l khÊ tẵch a phữỡng v ch nõ l tẵch phƠn trản mồi khoÊng hỳu hÔn lu Theo trản mội nghiằm khÊ tẵch a phữỡng cừa phữỡng trẳnh Cauchy cởng tẵnh cụng l tuyán tẵnh Ta ữa mët c¡ch chùng minh ÷đc ÷a bði Shapiro 1973 Gi£ sû f l  mët nghi»m kh£ t½ch àa phữỡng cừa phữỡng trẳnh Cauchy cởng tẵnh Do õ f (x + y) = f (x) + f (y) óng vỵi måi x, y ∈ R Tø â sû dưng tẵnh khÊ tẵch a phữỡng cừa f ta ữủc an Zy f (x)dz n va yf (x) = to tn Zy [f (x + z) − f (z)]dz ie gh = p Zx+y Zy f (u)du − nl w = d oa x Zx+y f (z)dz va an lu f (u)du − = Zy Zx f (u)du − f (u)du nf oi lm ul Vá phÊi cừa ng thực trản bĐt bián ta thay êi vai trá cõa x v  y tø â suy yf (x) = xf (y) z at nh vỵi måi x, y ∈ R Do â vỵi x 6= ta ÷đc z f (x) = c, x gm @ m co l vỵi c l  mởt hơng bĐt ký iÃu ny suy f (x) = cx vỵi måi x ∈ R \ {0} Cho x = v  y = ð (1.1) ta ữủc f (0) = Nhữ vêy f l mởt hm tuyán tẵnh trản R Mc dũ chựng minh cừa nh lỵ 1.1 ngưn gồn v ch gỗm cĂc php tẵnh vi phƠn, tẵch phƠn nõ lÔi khổng hiằu qu£ cao v  câ nhi·u ki¸n thùc Gií ta s³ tr¼nh b y mët c¡ch chùng minh kh¡c s³ gióp ta hiu hỡn và nghiằm cừa phữỡng trẳnh Cauchy cởng tẵnh Ta x²t ành ngh¾a sau an Lu n va ac th si 34 Tr÷íng hđp Gi£ sû s0 + t0 thuëc [0, ) x²t m lu  n A(s + t) = A +s + +t 2  = A (m + n) + s0 + t0   = (m + n)f + f (s0 + t0 )     1 + nf + f (s0 ) + f (t0 ) = mf 2     1 = mf + f (s0 ) + nf + f (t0 ) 2 = A(s) + A(t) an n va p ie gh tn to Tr÷íng hđp Gi£ sû s0 + t0 thuëc [ , 1) th¼ + z0 nl w s + t0 = d oa   tÔi õ z 0, Do vªy an lu z = z at nh = oi lm = ul nf va A(s + t) =    n A + s0 + + t0 = A (m + n) + s0 + t0 2     1 0 A (m + n) + + z = A (m + n + 1) + z 2       1 (m + n + 1)f + f (z ) = (m + n)f +f + f (z ) 2       1 +f + z = (m + n)f + f (s0 + t0 ) (m + n)f 2   (m + n)f + f (s0 ) + f (t0 )     1 + f (s ) + nf + f (t0 ) mf 2 m  n  A + s0 + A + t0 2 A(s) + A(t) m an Lu n va = m co = l = gm @ = ac th Vêy A l cởng tẵnh trản R si 35 1.4 Mët sè b i to¡n ¡p döng Trong möc n y ta ữa mởt số bi toĂn vên dửng phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh  giÊi quyát Mởt số bi toĂn l à thi hồc sinh giọi cĂc nữợc, ữủc trẵch tứ ti liằu [9] cừa tĂc giÊ Titu Andreescu v  Iurie Boreico B i to¡n 1.1 (AMM 2001) T¼m t§t c£ c¡c h m sè f : R → R thäa m¢n f (x2 + y + f (y)) = 2y + f (x) lu vỵi måi sè thüc x, y ∈ R an n va B i to¡n 1.2 Tẳm tĐt cÊ cĂc hm số f, g, h : R → R cho to gh tn f (x + y) = f (x)g(y) + h(y) p ie vỵi måi sè thüc x, y ∈ R B i to¡n 1.3 Chựng minh rơng mồi hm cởng tẵnh f trản R+ b chn nl w dữợi (trản) trản mởt khoÊng R+ cõ dÔng f (x) = f (1)x vợi mồi x ∈ R+ an lu thäa m¢n d oa Bi toĂn 1.4 (Tuymaada 2003) Tẳm tĐt cÊ cĂc hm sè f : R+ → R oi lm vỵi måi x, y ∈ R+ ul nf va 1 1 f (x + ) + f (y + ) = f (x + ) + f (y + ) x y y x z at nh B i to¡n 1.5 (Sankt-Petersburg) T¼m måi h m sè f : R → R thäa m¢n z f (f (x + y)) = f (x) + f (y) gm @ vỵi måi sè thüc x, y ∈ R f (x) + f (y) = g(x + y) m co l B i to¡n 1.6 Tẳm tĐt cÊ cĂc cp cừa hm số f, g : R → R thäa m¢n an Lu B i toĂn 1.7 Tẳm tĐt cÊ cĂc hm số f : N → N thäa m¢n n va f (m2 + f (n)) = f (m)2 + n ac th vỵi måi sè thüc m, n ∈ N si 36 B i toĂn 1.8 Tẳm tĐt cÊ cĂc hm sốf : R → R thäa m¢n f (f (x) + yz) = x + f (y)f (z) vỵi måi sè thüc x, y, z R Bi toĂn 1.9 Tẳm tĐt cÊ c¡c h m sè f : R → R cho f (f (x)2 + y) = x2 + f (y) Bi toĂn 1.10 (Bulgaria 2004) Tẳm tĐt cÊ cĂc hm sè f : R → R lu thäa m¢n an  n va (f (x) − f (y))f x+y x−y  = f (x) + f (y) B i to¡n 1.11 (India 2003) Tẳm tĐt cÊ cĂc hm số f : R → R thäa gh tn to vỵi måi sè thüc x, y ∈ R v  x 6= y p ie m¢n w f (x + y) + f (x)f (y) = f (x) + f (y) + f (xy) d oa nl vỵi måi sè thüc x, y ∈ R oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 37 Ch÷ìng lu an n va p ie gh tn to Mët số ựng dửng cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy nl w d oa Trong phƯn ny, ta trẳnh by mởt vi ựng dửng cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy ữủc trẵch tứ ti liằu [7] Sỷ dửng phữỡng trẳnh hm Cauchy cëng t½nh x¡c ành têng lơy thøa k cõa n số tỹ nhiản Ưu tiản vợi k = 1, 2, Ta chùng minh r¬ng sè c°p câ thº số n phƯn tỷ cõ th ữủc xĂc nh sỷ dửng phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh Hỡn nỳa, ta sỷ dửng phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh  tẳm tờng cừa chuội hỳu hÔn oi lm ul nf va an lu z at nh 2.1 Têng c¡c lôy thøa cõa sè nguy¶n z @ °t (2.1) l gm fk (n) = 1k + 2k + + nk m co vợi n l số nguyản dữỡng v k l số nguyản khổng Ơm fk (n) l kỵ hiằu cõa têng lôy thøa thù k cõa n sè tü nhiản Ưu tiản Tẳm cổng thực cừa fk (n)  thu hót sü quan t¥m cõa nhi·u nh  to¡n håc khoÊng thới gian hỡn 300 nôm, bưt Ưu tứ thới cõa James Bernoulli (1655-1705) Câ nhi·u ph÷ìng ph¡p kh¡c  ữủc sỷ dửng  tẳm tờng fk (n) (chng hÔn Vakil (1996)) Trong luên vôn ny, ta s vên dưng ph÷ìng an Lu n va ac th si 38 trẳnh hm Cauchy  tẵnh tờng fk (n) vợi k = 1, 2, v vợi k tũy ỵ Chú þ r¬ng fk : N → N l  h m sè â k = 0, 1, 2, 2.1.1 Tờng cừa n số tỹ nhiản Ưu tiản Cho h m f1 thäa m¢n f1 (m + n) = + + + + m + (m + 1) + + (m + n) (2.2) = f1 (m) + (m + 1) + (m + 2) + + (m + n) = f1 (m) + f1 (n) + mn lu an vỵi måi m, n ∈ N X²t h m sè g1 : N → R x¡c ành bði va n g1 (x) = f1 (x) − x2 vỵi x ∈ N (2.3) ie gh tn to Khi â, tø (2.2) ta câ p g1 (m + n) = g1 (m) + g1 (n), vỵi m, n ∈ N (2.4) d oa nl w Nghiằm cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh (2.4) trản N ữủc cho bi g1 (n) = cn, (2.5) lu f1 (n) = cn + n2 (2.6) Do f1 (1) = ta câ oi lm ul nf va an â c l  mët h¬ng sè Tø (2.5) v  (2.3) ta câ z â 1 = 2 n ac th n(n + 1) va f1 (n) = + + + + n = an Lu Vªy m co n n2 f1 (n) = + 2 n(n + 1) = l gm @ c=1− â l  z at nh 1=c+ si 39 2.1.2 Tờng bẳnh phữỡng cừa n số tỹ nhiản Ưu tiản Xt hm f2 thọa mÂn f2 (m + n) = 12 + 22 + + m2 + (m + 1)2 + + (m + n)2 = f2 (m) + [12 + 22 + + n2 ] + 2m[1 + + + n] + m2 n = f2 (m) + f2 (n) + 2mf1 (n) + m2 n (2.7) = f2 (m) + f2 (n) + mn2 + m2 n + mn vỵi måi m, n ∈ N ành ngh¾a g2 : N → R bði lu an n2 n3 g2 (n) = f2 (n) − − , vỵi n ∈ N n va gh tn to Tứ phữỡng trẳnh (2.7) ta câ p ie g2 (m + n) = g2 (m) + g2 (n) w vỵi måi m, n ∈ N Suy g2 (n) = cn hay d oa nl n2 n3 + f2 (n) = cn + (2.8) lu nf va an Kát hủp vợi i·u ki»n f2 (1) = ta câ 1 − =⇒ c = oi lm ul 1=c+ Suy ta cõ tờng cƯn tẳm l  z at nh z n n2 n3 n + 3n2 + 2n3 n(n + 1)(2n + 1) f2 (n) = + + = = 6 @ Têng lôy thøa k cõa n sè tü nhiản Ưu tiản l gm 2.1.3 m co Vợi k tũy ỵ Ta sỷ dửng khai trin nh thực Newton xĂc nh hm, thiát lêp quan hằ truy hỗi an Lu n va ac th si 40 X²t h m fk nh÷ sau fk (n + m) = 1k + 2k + + nk + (n + 1)k + + (n + m)k = fk (n) + = fk (n) + = fk (n) + k X i=0 k X i=0 k X Cki ni 1k−i + + k X Cki ni mk−i i=0 Cki ni [1k−i + + mk−i ] Cki ni fk−i (m) lu an i=0 va = fk (n) + fk (m) + k X n Cki ni fk−i (m) vỵi m, n, k ∈ N Do â, ta câ p ie gh tn to i=1 fk (m + n) − fk (m) − fk (n) = k X Cki ni fk−i (m) vỵi m, n, k ∈ N (2.9) oa nl w i=1 d Ta thu ữủc cổng thực truy hỗi (2.9) Ta s³ x²t mët v i tr÷íng hđp cư thº ối vợi k Chú ỵ rơng fk (1) = vỵi måi k ∈ N v  f0 (m) = m an lu oi lm ul nf va (A) Tø cæng thùc (2.9), x²t n = Ta câ fk (m + 1) − fk (m) − fk (1) = k X Cki fk−i (m), i=1 z at nh ngh¾a l  Cki fk−i (m) vỵi m ∈ N, m co l  Vợi k = ta ữủc gm i=1 @ (m + 1) − = k X z k m2 + 2m = 2f1 (m) + f0 (m) = 2f1 (m) + m n m(m + 1) va f1 (m) = an Lu hay ac th si 41  Vợi k = ta ữủc m3 + 3m2 + 3m = 3f2 (m) + 3f1 (m) + f0 (m) 3m(m + 1) = 3f2 (m) + +m hay f2 (m) = m(m + 1)(2m + 1) lu (B) Tr÷íng hđp têng qu¡t Vá phÊi cừa (2.9) l ối xựng vợi tữỡng ựng cõa m v  n Do â ta thu ÷đc an n va k X Cki ni fk−i (m) k X = to i=1 Cki mi fk−i (n) vỵi m, n N i=1 p ie gh tn Thay thá vợi m = v  sû döng fk (1) = ta câ w k X Cki ni fk−i (1) = Cki ni fk−i (n), i=1 ngh¾a l  d oa nl i=1 k X va an lu k X Cki fk−i (n) = (1 + n)k − oi lm ul Tø â ta câ nf i=1 k z at nh kfk−1 (n) = (1 + n) − − k X Cki fk−i (n) vỵi n ∈ N i=2 Pk i i i=2 Ck n fk−i (n) vỵi k, n ∈ N (2.10) m co l k gm (1 + n)k − − @ fk−1 (n) = z hay Sû döng f0 (n) = n ta câ th xĂc nh ữủc fk n an Lu Chng hÔn vỵi k = (2.10) ta câ n va ac th n2 + 2n − f0 (n) n(n + 1) f1 (n) = = 2 si 42 T÷ìng tü k = (2.10) cho n3 + 3n2 + 3n − 3f1 (n) − f0 (n) f2 (n) =   3 n = n + n + 2 = n(n + 1)(2n + 1) lu 2.2 Têng lôy thứa cừa cĂc số dÂy cĐp số cởng an Vợi số nguyản dữỡng n, k N v h ∈ R ành ngh¾a va (2.11) n sk (n, h) = 1k + (1 + h)k + + (1 + (n − 1)h)k ), p ie gh tn to tờng cừa cĂc số tỹ nhiản bêc k cĐp số cởng Giống nhữ trữợc õ ta lĐy mởt quan h» truy to¡n sk (m + n; h) = 1k + (1 + h)k + · · · + (1 + (n − 1)h)k nl w +(1 + nh)k + · · · + (1 + (m + n − 1)h)k d oa = sk (n; h) + (1 + nh)k + (1 + h + nh)k + · · · nf va an lu +(1 + (m − 1)h + nh)k k X = sk (n; h) + sk (m; h) + Cki sk−i (m; h)(nh)i ; i=1 ul oi lm nghắa l sk (n, h) thọa mÂn phữỡng trẳnh hm z at nh k X sk (m + 1; h) − sk (n; h) + sk (m; h) + (2.12) Cki sk−i (m; h)(nh)i ; i=1 z Cki sk−i (m; h)(h)i i=1 i=1 Cki sk−i (m; h)(h)i (2.13) ac th (1 + mh) = + k X n k va â an Lu sk (m + 1; h) − sk (m; h) = sk (1; h) + k X m co l gm @ vỵi k ∈ N, h ∈ R, m, n = 1, 2, Chú ỵ rơng s0 (n, h) = n, sk (1, h) = ta x¡c ành s1 (n, h) v s2 (n, h) Ưu tiản cho n = (2.12) ta thu ÷đc si 43 vỵi m = 1, 2, , h ∈ R, k ∈ N T÷ìng tü k = (2.13) cho m2 h2 + 2mh = 2s1 (m; h)h + s0 (m; h)h2 ; â  s1 (m; h) =  h h 1− m + m2 2 Cho k = (2.13) ta câ m3 h3 + 3m2 h2 + 3mh = 3s2 (m; h)h + 3s1 (m; h)h2 + s0 (m; h)h3 ; lu an â va  n s2 (m; h) =   h h2 m+h 1− m + m  2.3 Sè c°p câ thº rót tø n ph¦n tû p ie gh tn to h2 1−h+ d oa nl w Cho f2 (n) l  k½ hi»u sè c°p câ thº rót tø n phƯn tỷ Xt hai têp vợi n v m t÷ìng ùng Khi â sè c°p câ thº rót m + n phƯn tỷ bơng số cp têp A cởng vợi số cp têp B cởng vợi mët iºm tø méi tªp Do â ta câ an lu oi lm ul TÔi õ giÊm xuống nf va f2 (m + n) = f2 (m) + f2 (n) + mn â z at nh g2 (m + n) = g2 (m) + g2 (n), z n2 g2 (n) = f2 (n) − f2 (2) = 1, ac th = 2c + n va ta câ an Lu V¼ m co n2 f2 (n) = cn + l gm @ Do â si 44 ho°c c=− Do â n(n − 1) = Cn2 N¸u f3 (n) l  k½ hi»u sè bë câ thº rót tø n ph¦n tû â ta s³ chùng minh rơng f3 (n) = Cn3 BƠy giớ, ta xem xt hai têp vợi n v m tữỡng ựng f3 (m + n) s³ l  sè bë ba cõa tªp A, cởng vợi số bở ba cừa têp B cởng vợi mởt số hÔng kát hủp cừa số bở ba vợi vi phƯn tỷ cừa mội têp vêy f2 (n) = lu an n va f3 (m + n) = f3 (m) + f3 (n) + mf2 (n) + nf2 (m) = f3 (m) + f3 (n) + (mn2 + nm2 ) − mn gh tn to p ie ành ngh¾a g3 : N → R bði d ta câ oa nl w n3 n g3 (n) = f3 (n) − + vỵi n ∈ N, nf va an lu Do â g3 (m + n) = g3 (m) + g3 (n) V¼ oi lm ul f3 (n) = cn − n2 n3 + z at nh f3 (3) = 1, ta câ gm n(n − 1)(n − 2) = Cn3 m co an Lu 2.4 Têng cõa chuéi húu hÔn l f3 (n) = (2.14) n ac th S(n) = 1.2 + 2.3 + + n(n + 1) vỵi n ∈ N, va (i) Cho @ v  z c= si 45 â S : N → N â S(m + n) = S(n) + S(m) + mn2 + nm2 + 2mn Do â f (m + n) = f (m) + f (n), â n3 f (n) = S(n) − n − vỵi n ∈ N v  f : N → R Do â f l  cëng t½nh v  f (n) = cn Vªy lu an n va S(n) = cn + n2 + n3 gh tn to Do â S(1) = 2, ta câ p ie S(n) = n(n + 1)(n + 2) (2.15) t(n) = 1.3 + 2.5 + + n(n + 2) vỵi n ∈ N, (2.16) oa nl w (ii) Cho d â t : N → N Chó ỵ rơng t(1) = BƠy giớ an lu nf va t(m + n) = t(n) + t(m) + mn2 + nm2 + 3nm vỵi m, n ∈ N oi lm ul ành ngh¾a f : N → R bði z at nh f (n) = t(n) − n3 − n2 vỵi n ∈ N z Quan h» truy to¡n tr¶n trð th nh @ l gm f (m + n) = f (m) + f (n) vỵi m, n ∈ N n(n + 1)(2n + 1) vỵi n ∈ N n va (iii) Têng cừa tẵch hộn tÔp (2.17) an Lu t(n) = m co â l  f l  cëng t½nh v  f (n) = cn vỵi n ∈ N Do t(1) = ta câ (2.18) ac th s(n) = 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2), vỵi n ∈ N, si 46 Vỵi s : N → N ỵ rơng s(1) = Xt m, n ta câ s(n + m − 1) = s(n − 1) + n(n + 1)(n + 2) + {(n + 1)(n + 2)(n + 3) + · · · + (n + m − 1)(n + m)(n + m + 1)} = s(n − 1) + (n3 + 3n2 + 2n) + (m − 1)n3 +n2 (6 + · · · + 3m) + · · · + n{[1 · + · · · + (m − 1)m] +[1 · + · · · + (m − 1)(m + 1)] +[2 · + m(m + 1)]} + s(m − 1) lu an = s(n − 1) + s(m − 1) + mn3 + 3n2 (1 + + · · · + m) n va +n{[1 · + · · · + (m − 1)m] p ie gh tn to d oa nl w +[1 · + · · · + (m − 1)(m + 1)][1 · + · · · + m(m + 1)]} m(m + 1) = s(n − 1) + s(m − 1) + mn3 + 3n2 (m − 1)m(m + 1) m(m − 1)(2m + 5) +n +n + m(m − 1)(2m + 5) (m − 1)m(m + 1) +n n m(m + 1)(m + 2) +n (sû döng ¯ng thùc (2.15), (2.16)) 3 = s(n − 1) + s(m − 1) + mn3 + m2 n2 + m3 n 3 + n m + nm2 − mn 2 oi lm ul nf va an lu f (n) = s(n − 1) − z at nh Nhữ nh nghắa trữợc f : N R xĂc ành nh÷ sau z n4 − n + n vỵi n ∈ N 4 @ m co l gm Cho f (m+n) = f (m)+f (n) (cëng t½nh) v  f (n) = cn Sû döng s(1) = 6, ta câ s(n − 1) = [n4 + 2n3 − n2 − 2n]; ngh¾a l  s(n) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) vỵi n ∈ N (2.19) an Lu n va ac th si 47 Kát luên lu an n va p ie gh tn to Phữỡng trẳnh hm l mởt chừ à liản quan tợi hĐu hát cĂc khẵa cÔnh cừa ToĂn hồc Tuy nhiản vợi phÔm vi cừa luên vôn ThÔc sắ chuyản ngnh phữỡng phĂp ToĂn sỡ cĐp tổi têp trung trẳnh by vÃ: "Phữỡng trẳnh hm Cauchy v ựng dửng" Luên vôn cõ nhỳng nởi dung sau: - Trẳnh by cĂc kián thực và phữỡng trẳnh hm Cauchy cởng tẵnh, phữỡng trẳnh hm Cauchy mụ, phữỡng trẳnh hm Cauchy logarit, phữỡng trẳnh hm Cauchy nhƠn tẵnh, phữỡng trẳnh hm Cauchy nhiÃu bián v m rởng cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy - Trẳnh by và phữỡng trẳnh hm Cauchy Tẳm nghiằm cừa nõ trản têp số thüc v  sè phùc, ch¿ nghi»m li¶n tưc cõa nõ l tuyán tẵnh, xĂc nh nghiằm tờng quĂt cừa hm số mụ Cauchy m khổng cƯn iÃu kiằn chẵnh quy nhữ liản tửc, b chn hay khÊ vi Nghiản cựu nghiằm cừa cĂc dÔng phữỡng trẳnh hm Cauchy nhiÃu bián - Trẳnh by ựng dửng cừa phữỡng trẳnh hm Cauchy tẵnh tờng lụy thứa cừa số nguyản (tờng cừa n số tỹ nhiản Ưu tiản, tờng bẳnh phữỡng cừa n số tỹ nhiản Ơu tiản, tờng lụy thứa k cừa n số tỹ nhiản Ưu tiản), tẵnh tờng lụy thứa cừa cĂc số dÂy cĐp số cởng, tẳm số cp cõ th rút tứ n phƯn tỷ, lỹc lữủng cừa mởt têp hủp v tờng cừa chuội hỳu hÔn d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 48 T i li»u tham kh£o lu A Ti¸ng Vi»t an n va [1] Tr¦n ùc Long, Ho ng Quèc Ton, Nguyạn ẳnh Sang (2005), GiĂo trẳnh GiÊi tẵch, têp 1, NXB Ôi hồc Quốc gia HN gh tn to [2] Nguyạn Vôn Mêu (1997), Phữỡng trẳnh hm, NXB GiĂo dửc p ie [3] Nguyạn Vôn Nho, Lả Hong Phỏ (2013), Tuyn têp Olympic toĂn hồc tÔi cĂc nữợc ChƠu - ThĂi Bẳnh Dữỡng, NXB Ôi hồc Quốc gia HN nl w d oa B Ti¸ng Anh lu nf va an [4] J Ac²l (1966), Lectures on Functional Equations and Their applications oi lm ul [5] Christopher G Small (2007), Functional Equations and How to Solve Them, Springer z at nh [6] P Kannappan (2001), "Application of Cauchy's Equation in Combinatorics and Genetics", Mathware & Soft Computing, (8), PP 61-64 z @ m co l gm [7] P K Sahoo, P Kannappan (2011), Introduction to Functional Equations, Chapman & Hall/CRC an Lu [8] Soon-Mo Jung (2010), HyersUlamRassias Stability of Functional Equations in Nonlinear Analysis, Springer n va [9] Titu Andreescu, Iurie Boreico (2007), Functional Equations, Electronic Edition ac th si