Tính siêu lồi, tính taut và tính k đầy của các tập mở không bị chặn trong c

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M  VANHNASONE THEPPHAVONG TNH SI–U LÇI, TNH TAUT V€ TNH K - †Y CÕA CC TŠP MÐ KHỈNG BÀ CHN TRONG Cn LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC THI NGUY–N - 2017 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M  VANHNASONE THEPPHAVONG TNH SI–U LÇI, TNH TAUT V€ TNH K - †Y CÕA CC TŠP MÐ KHỈNG BÀ CHN TRONG Cn Chuyản ngnh: GII TCH M số: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HC NGìI HìẻNG DN KHOA HC: TS TR†N HU› MINH THI NGUY–N - 2017 Líi cam oan Tổi cam oan Ơy l cổng trẳnh nghiản cựu cừa riảng tổi, dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh v chu Ăo cừa TS TrƯn Huằ Minh Trong nghiản cựu luên vôn tổi  ká thứa thnh quÊ khoa hồc cừa cĂc nh khoa hồc v ỗng nghiằp vợi sỹ trƠn trồng v biát ỡn chƠn thnh Hồc viản Vanhnasone THEPPHAVONG i Lới cÊm ỡn Luên vôn ny ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh v sỹ ch bÊo nghiảm khưc cừa TS TrƯn Huằ Minh, tổi xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh v sƠu sưc án cỉ gi¡o Tỉi cơng xin k½nh gûi líi c£m ìn chƠn thnh án cĂc thƯy giĂo, cổ giĂo trữớng Ôi hồc Sữ phÔm  Ôi hồc ThĂi Nguyản cụng nhữ cĂc thƯy cổ giĂo tham gia giÊng dÔy khõa hồc 2015-2017, nhỳng ngữới  em hát tƠm huyát v sỹ nhiằt tẳnh  giÊng dÔy v trang b cho chúng tỉi nhi·u ki¸n thùc v  kinh nghi»m V  ci cịng, xin gûi líi c£m ìn gia ¼nh, c£m ìn c¡c ỗng nghiằp, bÔn b  luổn ỗng hnh giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp, nghiản cựu cụng nhữ quĂ trẳnh thỹc hiằn luên vôn ny ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2017 Ngữới viát luên vôn Vanhnasone THEPPHAVONG ii Mưc lưc Líi cam oan i Líi c£m ỡn ii Mửc lửc iii M Ưu 1 Kián thực chuân b 1.1 nh xÔ chnh hẳnh 1.2 nh lỵ Ascoli 1.3 Hm iÃu hỏa dữợi 1.4 Hm a iÃu hỏa dữợi 1.5 H m a i·u hỏa dữợi peak v antipeak 1.6 Gi£ m¶tric vi ph¥n Royden  Kobayashi 1.7 Gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi 1.8 T½nh hyperbolic cõa mët mi·n 1.9 Mi·n taut Tẵnh siảu lỗi, tẵnh taut v tẵnh k-Ưy cừa cĂc têp m 10 Cn iii 2.1 Tẵnh siảu lỗi cừa mởt têp m khổng b chn Cn 2.2 T½nh hyperbolic v  t½nh taut cõa mët tªp mð khỉng bà ch°n 10 Cn 15 2.3 Tẵnh hyperbolic Ưy cừa mởt miÃn Cn 20 2.4 T½nh k - Ưy cừa mởt têp m khổng b chn Cn 2.5 27 C¡c mi·n Hartogs 30 Kát luên 38 Ti liằu tham khÊo 39 iv M Ưu Nhữ  biát lỵ thuyát cĂc khổng gian phực hyperbolic ới vo cuối nhỳng nôm 60 cừa thá k trữợc, sau nhỳng cổng trẳnh nghiản cựu cừa nh toĂn hồc Nhêt BÊn S Kobayashi Cho án nay, lỵ thuyát ny  tr thnh mởt ngnh nghiản cựu quan trồng cừa giÊi tẵch phực hyperbolic NhiÃu kát quÊ sƠu sưc v àp   ữủc chựng minh bi nhỳng nh toĂn hồc lợn trản thá giợi nhữ S Kobayashi, M Greene, J Noguchi, Lỵ thuyát ny ữủc ựng dửng rởng rÂi nhiÃu lắnh vỹc khĂc nhữ Hằ ởng lỹc phực, Lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr v xĐp x Diophantine Tuy nhiản a số cĂc kát quÊ ch Ôt ữủc iÃu kiằn cõ tẵnh compact tữỡng ối cừa cĂc miÃn Vợi mong muốn tẳm hiu v nghiản cùu v· h¼nh håc cõa c¡c mi·n khỉng bà ch°n, em  lỹa chồn à ti "Tẵnh siảu lỗi, tẵnh taut v tẵnh k- Ưy cừa cĂc têp m khổng b chn Cn " nhơm tẳm hiu mởt số cĂc kát quÊ a phữỡng và tẵnh hyperbolic, tẵnh taut v tẵnh k- Ưy cừa cĂc têp m khổng b chn Cn Luên vôn gỗm 39 trang, õ cõ phƯn m Ưu, hai chữỡng nởi dung, phƯn kát luên v danh mửc ti liằu tham khÊo Chữỡng 1: Hằ thống lÔi cĂc khĂi niằm v cĂc kát quÊ cƯn thiát cho chữỡng sau Chữỡng 2: Trẳnh by mởt số kát quÊ và tẵnh hyperbolic, tẵnh taut, tẵnh siảu lỗi cừa mởt têp m khổng b chn Cn , nghiản cựu tẵnh hyperbolic Ưy cừa mởt miÃn khổng b chn Cn qua sỹ tỗn tÔi cừa mởt hm chnh hẳnh peak a phữỡng tÔi mội im biản v tÔi im cừa miÃn ny ỗng thới tẳm hiu mối liản hằ giỳa tẵnh taut a phữỡng v tẵnh taut ton cửc cừa mởt miÃn Cn PhƯn cuối cừa chữỡng trẳnh by ựng dửng cừa cĂc kát quÊ trản  nghiản cựu tẵnh hyperbolic cõa mi·n Hartogs v  ch¿ i·u ki»n c¦n v  ừ  mởt miÃn Hartogs l taut (siảu lỗi) BÊn luên vôn chưc chưn khổng trĂnh khọi nhỳng khiám khuyát, em rĐt mong nhên ữủc nhỳng ỵ kián õng gõp cừa cĂc thƯy cổ v bÔn ồc  luên vôn ữủc hon thiằn hỡn Chữỡng Kián thực chuân b Trong chữỡng ny, chúng tổi trẳnh by mởt số kián thực cỡ bÊn sỷ dửng cho chữỡng sau nhữ: Ănh xÔ chnh hẳnh, nh lỵ Ascoli, hm iÃu hỏa dữợi, hm a iÃu hỏa dữợi, hm a iÃu hỏa dữợi peak v antipeak, giÊ mảtri vi phƠn, giÊ khoÊng c¡ch Kobayashi, t½nh hyperbolic cõa mët mi·n, mi·n taut C¡c nëi dung ch÷ìng n y ÷đc vi»t theo c¡c t i liằu [1], [2], [5] 1.1 nh xÔ chnh hẳnh GiÊ sû X l  mët tªp mð Cn v  f : X → C l  mët h m sè H m f ữủc gồi l khÊ vi phực tÔi x0 X náu tỗn tÔi Ănh xÔ tuyán tẵnh : Cn → C cho |f (x0 + h) − f (x0 ) − λ (h)| = 0, |h|→0 |h| n 1/2 P n â h = (h1 , , hn ) ∈ C v  |h| = |hi | lim i=1 Hm f ữủc gồi l chnh hẳnh tÔi x0 X náu f khÊ vi phực mởt lƠn cên no õ cừa x0 v ữủc gồi l chnh hẳnh trản X náu f chnh hẳnh tÔi mồi im thuởc X Mởt Ănh xÔ f : X Cm cõ th viát dữợi dÔng f = (f1 , , fm ), â fi = πi ◦ f : X → C, i = 1, , m l  c¡c h m tåa ë Khi â f ữủc gồi l chnh hẳnh trản X náu fi chnh hẳnh trản X vợi mồi i = 1, , m nh xÔ f : X f (X) Cn ữủc gồi l song chnh hẳnh náu f l song Ănh, chnh hẳnh v f cụng l Ănh xÔ chnh hẳnh 1.2 nh lỵ Ascoli nh nghắa 1.2.1 GiÊ sỷ F l mởt hồ no õ cĂc Ănh xÔ tø khæng gian tæ pæ X v o khæng gian tæ pổ Y Hồ F ữủc gồi l liản tửc ỗng Ãu (even continuous) tứ x X tợi y Y náu vợi mội lƠn cên U cừa im y Ãu tẳm ữủc mởt lƠn cên V cừa im x v lƠn cên W cừa im y cho náu f (x) W thẳ f (V ) U vợi mồi f F Náu F l liản tửc ỗng Ãu vợi mồi x X v mồi y Y thẳ F ữủc gồi l liản tửc ỗng Ãu tứ X án Y nh lỵ 1.2.1 (nh lỵ Ascoli ối vợi hồ liản tửc ỗng ·u) Gi£ sû F l  tªp cõa tªp c¡c Ănh xÔ liản tửc C(X, Y ) tứ khổng gian chẵnh qui compact a phữỡng X vo khổng gian Hausdorff Y v  C(X, Y ) câ tæ pæ compact mð Khi â F l  compact t÷ìng èi C(X, Y ) náu v ch náu hai iÃu kiằn sau ữủc thọa mÂn: i.) F l hồ liản tửc ỗng Ãu; ii.) Vợi mội x X , têp hủp Fx = {f (x)|f ∈ F } l  compact t÷ìng èi Y cho     inf ϕ(z) = −c ¯ z∈Ω∩bU    sup ϕ(z) = −c ¯ z∈Ω∩bV Khi â h m ϕ˜ x¡c ành tr¶n Ω bði   ¯ ∩U  ϕ(z) ˜ = ϕ(z) n¸u z ∈ Ω       (c+c0 ) ¯ ∩ (V \U¯ ) ϕ(z) ˜ = sup ϕ(z), − n¸u z ∈ Ω      ϕ(z) ¯ ˜ = −c+c n¸u z ∈ Ω\V, l  mët hm a iÃu hỏa dữợi peak khổng Ơm ton cửc tÔi p LĐy f l mởt ắa giÊi tẵch trản D V¼ h m ϕ˜ ◦ f l  a i·u háa suy vỵi måi α m  (ϕ˜ ◦ f )(0) > α, ë o cõa tªp Eα = {θ ∈ [0, 2π]| (ϕ˜ ◦ f )(eiθ ) ≥ 2α}, k½ hi»u bði mes(Eα ), thäa m¢n mes(Eα ) ≥ π Xt mởt hơng số dữỡng ừ nhọ cho inf (ϕ + εψ) = − c1 < 0, D∩bU inf (ϕ + εψ) = − c2 < − c1 D∩bV ¯ bði H m ρ x¡c ành tr¶n D   ¯ ∩U  ρ(z) = (ϕ + εψ)(z) n¸u z ∈ D     (c1 +c2 ) ¯ ) n¸u z ∈ D\(V \U¯ ) ρ(z) = sup((ϕ + εψ)(z), −      ρ(z) = −c1 +c2 n¸u z ∈ D\V, ¯ l mởt hm a iÃu hỏa dữợi Ơm liản tửc trản D thọa mÂn () = {p} 21 (2.2) Ngữủc lÔi, sỷ dửng tẵch phƠn Poisson vợi bĐt ký iºm ξ ∈ ∆ 12 ta câ (ρ ◦ f )(ξ) ≤ 10π Z2π (ρ ◦ f )(eiθ )d (2.3) Vẳ l mởt hm peak tÔi p v thọa mÂn (p) = , vợi mội hơng , bĐt ng số dữỡng L tỗ tÔi mởt hơng số Ơm cho vợi bĐt ký z ∈ D thùc ϕ(z) ˜ ≥ 2α k²o theo (z) < L Ngữủc lÔi sỷ dửng (1) v (2) v hm l Ơm, ta cõ vợi mồi ắa giÊi tẵch f D v vợi mồi im ξ ∈ ∆ 21 , ϕ(f ˜ (0)) > α ⇒ (ρ ◦ f )(ξ) ≤ − L 10 (2.4) ¯ : ρ(z) < −( )n}) l  mët cỡ s lƠn Vẳ () = {}, hồ (Un = {z ∈ D n 10 ¯ X²t vỵi mội số nguyản dữỡng n, tỗn tÔi mởt hơng số cên cừa p D Ơm n cho (z) ˜ ≥ 2αn ⇒ ρ(z) < −n ¯ x¡c ành bi LĐy Un0 l mởt lƠn cên cừa p Ω ¯ : ϕ(z) Un0 = {z ∈ Ω ˜ > αn } Sû dưng (2.4) ta câ vỵi måi n th¼ f (0) ∈ Un0 ⇒ f (∆ 21 ) ⊂ Un Bê · ÷đc chùng minh Bê · 2.3.2 [1] Cho Ω l  mët mi·n Cn GiÊ sỷ tỗn tÔi hm a iÃu hỏa dữợi peak v antipeak a phữỡng tÔi Khi õ l  mët mi·n hyperbolic Chùng minh Gi£ sû Ω khæng l hyperbolic Khi õ tỗn tÔi mởt im z ∈ Ω v  mët d¢y (yν )ν c¡c iºm hởi tử tợi z , v mởt dÂy (yν )ν 22 c¡c v²ctì ìn Cn cho FΩ (yν , vν ) ≤ ν Do vêy, tỗn tÔi mởt dÂy (f ) cĂc ắa giÊi tẵch tƠm tÔi y cho |f0 (0)| Theo nh lỵ Montel, tỗn tÔi mởt dÂy (p )ν c¡c iºm cõa ∆ hëi tö v· cho lim |fν (pν )| = ∞, â câ hồ (f ) cĂc ắa giÊi tẵch cho f˜ν (0) = fν (pν ) v  f˜ν (pν ) = y iÃu ny mƠu thuăn vợi bờ à 2.3.1 Vªy Ω l  mët mi·n hyperperbolic Bê · 2.3.3 [1] Cho Ω l  mët mi·n Cn Gi£ sỷ tỗn tÔi hm chnh hẳnh peak a phữỡng tÔi méi iºm p ∈ ∂Ω ∪ {∞} Khi â vỵi mồi lƠn cên U cừa p Cn ta cõ lim dk (z, z ) z→p Ω = ∞; ¯ ∩ ∂U ; â dk l  kho£ng c¡ch Kobayashi trản vợi bĐt ký z Chựng minh LĐy h l mởt hm chnh hẳnh peak a phữỡng tÔi p xĂc nh trản mởt lƠn cên Vp cừa p Vẳ hm (z) = ln |1 h(z)| l hm a iÃu hỏa dữợi antipeak a phữỡng tÔi p, theo bờ à 2.3.1 ta cõ vợi mội lƠn cên U cừa p, tỗn tÔi mởt lƠn cên U cừa p cho vợi mồi ắa giÊi tẵch f trản f (0) U ⇒ f (∆ 21 ) ⊂ U °c bi»t, vỵi måi z ∈ U v  X ∈ Cn , ta câ FΩ (z, X) ≥ FU (z, X) L§y z l  mët iºm Ω∩∂U Náu l mởt ữớng cong khÊ vi nối z tợi z , thẳ tỗn tÔi t0 ∈ [0, 1] cho iºm γ(t0 ) ∈ Ω ∩ ∂U v  tªp γ(]t0 , 1]) ⊂ Ω ∩ U 23 Ta câ Z1 FΩ (γ(t), γ (t))dt ≥ Z1 FU (γ(t), γ (t))dt t0 Vẳ Ănh xÔ l chnh hẳnh tø Ω ∩ Vp v o ∆ v  sup |h(z)| = c < 1, ta câ z∈Ω∩∂U Z1 FΩ (γ(t), γ (t))dt ≥ Z1 F∆ (h(γ(t)), dh(γ(t)))γ (t)dt t0 ≥ 1−c ln − |h(z)| Khi cho z → p th¼ ¯ng thùc cuối dƯn án Vêy lim dk (z, z ) = ∞ z→p Tø ba bê · tr¶n ta chựng minh ữủc nh lỵ sau v tẵnh hyperbolic Ưy cừa mởt miÃn Cn nh lỵ 2.3.1 [1] Cho Ω l  mët mi·n Cn Gi£ sû tỗn tÔi mởt hm chnh hẳnh peak a phữỡng tÔi méi iºm p ∈ ∂Ω ∪ {∞} Khi â Ω l  mi·n hyperbolic ¦y Chùng minh Tø bê · 2.3.1 ta câ Ω l  hyperbolic Tø bê · 2.3.2 ta chựng minh ữủc hẳnh cƯu {y : dk (z, y) ≤ r} l  compact Ω vỵi måi im z v mồi hơng số dữỡng r Do õ l hyperbolic Ưy Kát quÊ tiáp theo s trẳnh by mối liản hằ giỳa tẵnh taut a phữỡng v tẵnh taut ton cửc cừa mởt miÃn Trữợc ti¶n ta câ bê · sau: Bê · 2.3.4 [1] Vợi bĐt ký têp compact tữỡng ối K , tỗn tÔi mởt hơng số thỹc dữỡng rk cho mồi tỹ ng cĐu g cừa thọa mÂn g(0) ∈ K ⇒ ∆(g(0), rk ) ⊂ g(∆1/2 ), ð â ∆(g(0), rk ) = {λ ∈ ∆ : |λ − g(0)| < rk } 24 Chùng minh L§y ζ l  mët iºm thuëc K, θ l  mët sè thüc thuëc [0, 2π[ v  gζ,θ l  tü ¯ng c§u cõa Ta ch cƯn chựng minh rơng inf1 |g, (λ) − |λ|= gζ,θ (0)| l  bà ch¬n ·u trản K Vẳ |g, () g, (0)| 21 |λ|.(1 − |ζ|2 ) ta câ thº °t rk = 41 min(1 − |ζ|2 ) ζ∈K Khi â ta câ i·u c¦n chùng minh M»nh · 2.3.1 [1] Cho Ω l  mët mi·n Cn , gi£ sû r¬ng l taut a phữỡng tÔi mội im trản v tỗn tÔi cĂc hm a iÃu hỏa dữợi peak v antipeak tÔi im Khi õ l mởt mi·n taut Chùng minh Ta x²t hai tr÷íng hđp - Trữớng hủp 1: Tỗn tÔi mởt im thuởc v  mët d¢y {fνk }k cõa {fν }ν cho lim |fνk (ζ)| = ∞} k→∞ °t E = {λ ∈ ∆ : lim |fνk (ζ)| = ∞} V¼ vợi bĐt ký im thuởc E ta k cõ lim |fνk ◦ gζ,θ | = ∞ ·u tr¶n ∆1/2 theo bờ à 2.3.1 k Theo bờ à 2.3.4, tỗn tÔi mởt số thỹc dữỡng r cho lim |fk (∆(ζ, rζ ))| = ∞ k→∞ Khi â E l  mð ∆ Hìn núa n¸u (ζn )n l  mët dÂy cĂc im E hởi tử tợi im thuởc , tứ tẵnh compact cừa têp {n , n ≥ 0} ∪ {ζ} v  tø bê · 2.3.4 suy tỗn tÔi hơng số dữỡng r cho, vợi mồi số nguyản dữỡng n, lim |fk ()| = ·u tr¶n ∆(ζn , r) v  dâ lim |fνk (ζ)| = ∞, k→∞ k→∞ tªp E l  âng Do õ E = , vẳ vêy vợi mồi im thuởc , tỗn tÔi mởt số thỹc dữỡng rζ cho lim |fνk | = ∞ ·u tr¶n ∆(ζ, rζ ) °c bi»t ¢y (|fνk |)k k→∞ 25 phƠn ký tợi Ãu trản cĂc têp compact cừa , vêy dÂy {fk }k l phƠn ký compact - Trữớng hủp 2: Vợi mồi im thuởc , dÂy {f ()} l compact tữỡng ối Cn Theo tr÷íng hđp 1, E l  âng suy dÂy {f } l b chn a phữỡng Theo nh lỵ Montel, õ l mởt hồ compact tữỡng ối vẳ vêy tỗn tÔi mởt dÂy {fk }k cừa {f } hởi tử tợi mởt Ănh xÔ ch¿nh h¼nh f tø ∆ v o Ω Ta chùng tä náu tỗn tÔi mởt im cho f () D thẳ têp f () b chựa Thêt vêy, lĐy E l têp õng E = {λ ∈ ∆ : f (λ) ∈ ∂∆} Ta giÊ thiát têp E khĂc rộng LĐy l mởt im thuởc E Vẳ l taut a phữỡng tÔi f () nản tỗn tÔi mởt lƠn cên V cõa f (λ) cho Ω ∩ V l  taut Vẳ f l giợi hÔn liản tửc Ãu cừa {fk }k nản tỗn tÔi hai lƠn cên U cừa v  V cõa f (λ) (V ⊂⊂ V ) cho tªp fνk (U ) bà chùa Ω ∩ V vỵi k õ lỵn Do Ω ∩ V l  taut n¶n f (U ) ⊂ ∂Ω â E l  tªp mð Vªy E = ∆ Ta  ch trữớng hủp rơng dÂy {f } chựa mởt dÂy phƠn ký compact v trữớng hủp ta ch dÂy {f } hoc phƠn ký compact hoc hởi tử Ãu trản cĂc têp compact cừa Vêy mằnh à 2.3.1 ữủc chựng minh 26 2.4 Tẵnh k - Ưy cừa mởt têp m khổng b chn Cn Tữỡng tỹ ối vợi hm Lempert, ta cõ th nh nghắa giÊ kho£ng c¡ch Kobayashi cho mët tªp mð D Cn N¸u z, w thc cịng mët th nh ˜ cõa D, th¼ ta °t kD (z, w) := k ˜ (z, w), trữớng hủp cỏn phƯn liản thổng D D lÔi, ta t kD (z, w) := Ró rng D l k - Ưy (tực l Ưy ối vợi gi£ kho£ng c¡ch Kobayashi) v  ch¿ b§t ký thnh phƯn liản thổng cừa nõ l k - Ưy Cho D l  mët tªp mð Cn Ta gåi iºm a ∈ ∂D l  mët k - iºm cõa D n¸u lim kD (z, b) = ∞; z→a õ b l im tũy ỵ D Ta gồi iºm a ∈ ∂D l  mët k - iºm cừa D náu khổng cõ dÂy kD -Cauchy no hởi tử tợi a Ró rng im peak chnh hẳnh a ph÷ìng l  mët k - iºm, måi k - iºm l  k - iºm Ta câ m»nh · sau và tẵnh k - Ưy cừa mởt têp m Cn M»nh · 2.4.1 [6] Cho D l  mët tªp mð Cn Gi£ sû ∞ l  mët k0  iºm n¸u D l  khỉng bà ch°n Ta câ c¡c i·u ki»n sau l  t÷ìng ÷ìng: i) D l k - Ưy; ii) BĐt ký im biản hỳu hÔn cừa D Ãu cõ mởt lƠn cên U cho D ∩ U l  k - ¦y; iii) BĐt ký im biản hỳu hÔn cừa D l k - im a phữỡng; iv) BĐt ký im biản hỳu hÔn cừa D l mởt k - im; 27 v) BĐt ký im biản cừa D l mởt k- im da phữỡng; vi) BĐt ký im biản cừa D l mởt k- im Chựng minh Dạ thĐy (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) v  (iv) ⇒ (v) ⇒ (iii) Ta cụng cõ (i) (vi) (nh lỵ 7.3.2[2]) Tứ gi£ thi¸t ∞ l  k -iºm suy lim inf kD (z, w) > 0, z ∈ D w→∞ Do vêy, D l hyperbolic v vẳ thá bĐt ký dÂy kD - cauchy Ãu cõ nhiÃu nhĐt mởt im tử D Vẳ bĐt ký im biản no Ãu l k - im nản mội dÂy nhữ vêy khổng cõ cĂc im tử trản D, vêy (iv) ⇒ (i) Ta ch¿ c¦n chùng minh (iii) ⇒ (iv) GiÊ sỷ ngữủc lÔi, thẳ tỗn tÔi mởt dÂy kD - Cauchy {zj } ⊂ D, zj → a ∈ D\{} Ta s chựng tọ tỗn tÔi số r > cho 3ε := inf{kD (zj , w) : j ∈ N, w ∈ D\B(0, r)} > (∗) Mt khĂc, vợi bĐt ký l, tỗn tÔi jl N v  wl ∈ D m  ||wl || > l v  kD (zjl , wl ) < l Khi â kD (wl , wm ) < 1 + + kD (zjl , zjm ), l, m ∈ N l m Náu dÂy {jl } ch gƯm mởt số hỳu hÔn cĂc phƯn tỷ cừa N, thẳ bơng cĂch xt mởt dÂy náu cƯn, ta cõ th giÊ thiát rơng jl = jm , vợi bĐt ký l v  m, â {wl } l  mët d¢y kD - Cauchy M°t kh¡c, ta câ thº gi£ thi¸t rơng jl Khi õ {wl } lÔi l mởt dÂy kD - Cauchy, vêy {zjl } l dÂy kD - Cauchy iÃu ny l vổ lỵ vẳ l mởt k'-im 28 Vêy () ữủc chựng minh BƠy giớ, ta cõ th giÊ thiát rơng kD (zl , zm ) < , vợi bĐt ký l, m, ta xt mởt ữớng cong lợp C l,m : [0, 1] → D nèi zl v  zm cho kD (zl , zm ) ≤ Z1 kD (γl,m (t); γl,m (t))dt < 2kD (zl , zm ) < 2ε ˜ D ˜ := D ∩ B(0, r) Vẳ kD (zl ; l,m (t)) < nản, γl,m ([0, 1]) ⊂ D, v  tanh−1 lD (γl,m (t), w) ≥ kD (γl,m (t)), w) > ε, t ∈ [0, 1], w ∈ D\B(0, r) B§t ¯ng thùc FD˜ (z, X) inf ω∈D\B(0,r) ˜ lD (z, ω) ≤ FD (z, X), z ∈ D suy kD˜ (zl , zm ) < 2(coth ε)kD (zl , zm ) V¼ vêy {zj } l mởt dÂy kD - Cauchy Chồn r0 > cho a l  mët ˜ := D ˆ ∩ B(a, r0 ) k -iºm cõa D l b chn nản ta cõ: Vẳ D ˜ B(a, r0 )} > inf{FD˜ (z, w) : j  1, w D\ v lp lÔi lêp luên nhữ phƯn trữợc, ta thĐy dÂy kD - Cauchy {zj } cơng l  mët d¢y kD˜ - Cauchy, i·u ny l vổ lỵ Vêy (iii) (iv) Náu l  mët iºm peak àa ph÷ìng ta câ m»nh · sau M»nh · 2.4.2 [6] N¸u ∞ l  mët iºm peak a iÃu hỏa dữợi v l mởt k  im a phữỡng cừa mởt têp m khổng b ch°n D Cn , th¼ ∞ l  mët k  iºm 29 ˜ := D\B(0, r) Chùng minh L§y r > cho ∞ l  mët k - iºm cõa D Khi â ta câ FD˜ (z, X) inf w∈D∩B(0,r) ˜ lD (z, w) FD (z, X), z ∈ D M°t kh¡c, n¸u r2 > r1 > r th¼ inf{tanh−1 lD (z, w) :z ∈ D\B(0, r1 ), w ∈ D ∩ B(0, r)} > inf{kD (z, w) :z ∈ D ∩ ∂ B(0, r1 ), w ∈ D ∩ ∂ B(0, r)} > min{kD∪B(0,r2 ) (z, w) :z ∈ ∂ B(0, r1 ), w ∈ ∂ B(0, r)} = :ε V¼ kh¡i ni»m iºm peak a iÃu hỏa dữợi l khĂi niằm a phữỡng n¶n ta câ ∞ l  mët iºm peak a i·u hỏa dữợi cừa D B(0, r2 ) Theo mằnh à 2.1.1, bĐt ký thnh phƯn liản thổng cừa têp n y l  hyperbolic v  â ε > V¼ vªy FD˜ (z, X) (coth ε)FD (z, X), z D\B(0, r1 ) GiÊ sỷ rơng tỗn tÔi mởt dÂy kD - Cauchy hởi tử án Lp lÔi lªp luªn cõa chùng minh cõa m»nh · 2.3.1, ta câ måi d¢y cõa d¢y n y ˜ ·u l  dÂy k - Cauchy iÃu ny l vổ lỵ Vªy ta câ i·u ph£i thuëc D D chùng minh 2.5 CĂc miÃn Hartogs Trong phƯn ny ta s trẳnh by cĂc ựng dửng cừa cĂc kát quÊ trản cho cĂc miÃn loÔi Harstogs Trữợc tiản ta cõ nh nghắa sau ành ngh¾a 2.5.1 [6] Cho G l  mët mi·n Cn Mët mi·n D ⊂ G × Cm ữủc gồi l mởt miÃn Hartogs trản G vợi thợ cƠn bơng m chiÃu 30 náu D = {(z, w) ∈ G × Cm : h(z, w) < 1}, â h : G × Cm → [0, ∞) l  mởt hm nỷa liản tửc trản vợi h(z, ) = |λ|.h(z, w), z ∈ G, λ ∈ ∆, w ∈ Cm Rã r ng D l  bà ch°n n¸u v  ch¿ n¸u G l  bà ch°n v  inf h > 0, GìS õ S l hẳnh cƯu ỡn v C , l miÃn giÊ lỗi náu v ch náu G l m miÃn giÊ lỗi v log h l hm a iÃu hỏa dữợi X Náu (z1 ) : = 2−j log |1 − 22j−1 z1 | , j=1 ϕ(z1 ) : = max{|z1 |, + θ(z1 )}, th¼ D := {(z1 , z2 ) ∈ ∆ × C : |z2 |eϕ(z1 ) < 1} l  mởt miÃn Hartogs giÊ lỗi b chn trản vợi thợ mởt chiÃu Gồi E0 l têp cĂc im biản (a1 , a2 ) cõa D vỵi a1 6= °t E1 := {(0, a2 ) ∈ C2 | |a2 | = 1}, E2 := {(0, a2 ) ∈ C2 e−1 < |a2 | < 1}, E3 := {(0, a2 ) ∈ C2 : |a2 | = e−1 } S Nhên xt rơng D = Ej j=0 Ta cõ vẵ dử sau: Vẵ dử 2.5.1 i) BĐt ký iºm n o cõa E0 ∪ E1 ·u l  iºm ch­n v  â, theo m»nh · 2.2.3, nâ l  mët t- iºm ii) B§t ký iºm n o cõa E2 ·u l  iºm ch­n àa ph÷ìng nh÷ng khỉng l  t- iºm àa ph÷ìng, â theo m»nh · 2.2.3, mët t-iºm àa ph÷ìng khỉng l  mët iºm ch­n to n cưc °c bi»t, theo m»nh · 2.2.2, khæng l  mët mi·n taut 31 iii) B§t ký iºm n o cõa E3 ·u khỉng l  t- iºm àa ph÷ìng v  â khỉng l  iºm ch­n àa ph÷ìng Trong tr÷íng hđp °c bi»t l  têp cĂc t- im a phữỡng Do vêy, theo mằnh à 2.2.2, vợi mởt lƠn cên cừa bĐt ký cĂc im ny D\E3 , cụng l têp tĐt cÊ cĂc iºm taut àa ph÷ìng Chùng minh i.) Ta câ ϕ l mởt hm liản tửc trản Cn , vêy c¡c iºm cõa E0 l  c¡c iºm ch­n Hìn núa, > log |z2 | → D  (z1 , z2 ) → E1 Suy c¡c iºm cõa E1 công l  iºm ch­n ii.) °t a := (0, a2 ) ∈ E2 Ta câ thº giÊ thiát rơng a2 > Chồn c (a2 , 1) v nhên xt rơng cĂc ắa fj (t) := (21−2j , ct) thuëc v o Hol(∆, D) n¸u 21−2j ≤ − log c V¼ fj (t) → f (t) := (0, ct) ·u àa ph÷ìng, f (0) ∈ D v  f ( ac2 ) = a n¶n a l  mởt t - im  thĐy rơng a l mởt im chưn a phữỡng, nhên xt Ưu tiản l náu F l  hđp cõa c¡c ¾a ríi ∆(21−2j , 2−2j ), j = 1, 2, th¼ lim θ(z1 ) = F 6z1 →0 Thªt vªy, log |1−22j−1 z1 | log vợi bĐt ký z1 / F v  b§t ký j ≥ 1, â θ(z1 ) ≥ k X −j 2j−1 log |1 − z1 | − log j=1 ∞ X 2−j , k ≥ j=k+1 °t F 6 z1 → 0, k → ∞, θ l  nûa li¶n tưc tr¶n n¶n ta câ ¯ng ¯ thùc mong mn Chó ỵ rơng náu C l thnh phƯn cừa ắa õng r∆ vỵi e−1 < r < v  z ∈ D ( ì C), thẳ (z1 ) < log(re) < 32 Theo trản, tỗn tÔi > cho náu z1 thọa mÂn bĐt ng thực n y v  |z1 | < ε, th¼ z1 ∈ F Do vêy D ( ì C) F ì C Ta nh nghắa p(z) := j trản ∆(21−2j , 2−2j ) × C, ·u n y ch¿ rơng p l mởt hm chưn trản D ( ì C) tÔi bĐt ký a vợi a1 = v  r < |a2 | < V¼ r ∈ (e1 , 1) ữủc chồn tũy ỵ, ta cõ iÃu c¦n chùng minh iii.) Tø (i), (ii) v  m»nh · 2.2.2, têp cĂc im biản m khổng l t- im l  kh¡c réng v  nâ bà chùa E3 Vẳ E3 l mởt qu Ôo ựng vợi php quay nản ta cõ iÃu cƯn chựng minh Trong [3] ta câ k¸t qu£ sau: N¸u D l  hyperbolic, thi G l hyperbolic v inf h > vợi bĐt ký KìS K G () Thêt vêy, vẳ G ì {0} D nản G l hyperbolic GiÊ sỷ rơng inf h = KìS vợi K G thẳ tỗn tÔi mởt dÂy {aj } D v mët iºm a := (a , a00 ) ∈ G × Cn , a00 6= 0, cho aj → a v  h(aj ) → j → ∞ Do c¡c ¾a fj (t) := (aj , taj 00 (h(aj )))−1 thuëc v o Hol(∆, D), fj (0) → a ˜ := (a0 , 0) ∈ D v  fj (t) vợi bĐt ký t \{ 0} Vẳ vêy z lim inf lD (z, w) = nản iÃu ny mƠu thuăn w a 33