Về họ chuẩn tắc các hàm phân hình

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Dương Thị Vân Anh VỀ HỌ CHUẨN TẮC CÁC HÀM PHÂN HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - 2017 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Dương Thị Vân Anh VỀ HỌ CHUẨN TẮC CÁC HÀM PHÂN HÌNH Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học PGS.TSKH TRẦN VĂN TẤN Thái Nguyên - 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn tận tình PGS TSKH Trần Văn Tấn Trong q trình nghiên cứu, tơi kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng, biết ơn trí thầy hướng dẫn đưa vào luận văn Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực Thái Nguyên, tháng năm 2017 Người viết luận văn Dương Thị Vân Anh Xác nhận Xác nhận Trưởng (phó) khoa chun mơn người hướng dẫn khoa học PGS TSKH Trần Văn Tấn i LỜI CẢM ƠN Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình PGS TSKH Trần Văn Tấn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Đồng thời tác giả xin nói lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, thầy cô giáo khoa Sau đại học khoa Toán quan tâm tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành tốt luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô phản biện dành thời gian đọc đóng góp ý kiến quý báu cho luận văn Cuối muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thân gia đình mình, người động viên chia sẻ khó khăn tơi thời gian qua để tơi hồn thành tốt luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả Dương Thị Vân Anh ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu iv Khái niệm họ chuẩn tắc hàm phân hình 1.1 Khoảng cách cầu 1.2 Dãy hàm phân hình 1.3 Họ hàm phân hình 1.4 Các hàm Lý thuyết Nevanlinna 10 20 Một số tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc hàm phân hình 2.1 Một số tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc hàm chỉnh hình 2.2 Một số tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc hàm phân hình 2.3 Định lý Montel mở rộng 22 22 37 49 Kết luận 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 iii Mở đầu Lý thuyết họ chuẩn tắc hàm phân hình đưa Montel từ năm đầu kỷ hai mươi: họ F hàm phân hình miền D mặt phẳng phức gọi chuẩn tắc, dãy họ, trích dãy hội tụ tập compact tới hàm phân hình hay hàm đồng vô Trong suốt 100 năm qua nhiều tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc thiết lập đơng đảo nhà tốn học Nhằm hiểu sâu nội dung Lý thuyết này, chọn nghiên cứu đề tài “Về họ chuẩn tắc hàm phân hình” Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương 1: Khái niệm họ chuẩn tắc hàm phân hình Trong chương này, chúng tơi tìm hiểu khái niệm họ chuẩn tắc, trình bày số kiến thức khoảng cách cầu, dãy hàm phân hình họ hàm phân hình Đồng thời nhắc lại số hàm Lý thuyết Nevanlinna Những kiến thức tảng để nghiên cứu chương sau Chương 2: Một số tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc hàm phân hình Nội dung chương tìm hiểu kết cổ điển Montel, Miranda, Bloch, Gu họ chuẩn tắc Trình bày chi tiết tiêu chuẩn cho chuẩn tắc hàm chỉnh hình hàm phân hình Cuối chương chúng tơi tìm hiểu kết Trần Văn Tấn, Nguyễn Văn Thìn Vũ Văn Trường mở rộng Định lý Montel tới trường hợp đạo hàm cầu bị chặn điểm thay hàm iv Chương Khái niệm họ chuẩn tắc hàm phân hình 1.1 Khoảng cách cầu Trong hình sau, phương trình mặt cầu S là: 1 x2 + y + (u − ) = (1.1) Xét số phức z = x+iy Cho p điểm mặt phẳng (Oxy) tương ứng với z , có tọa độ (x, y) Đường thẳng nối hai điểm N p giao với S điểm m khác N Ta gọi m điểm S tương ứng với z Khi tọa độ m (X, Y, u) Ta có: X = hx, Y = hy , u − = −h Trong h số dương Thay vào (1.1) ta có: x2 Và: 1 = + y + 1 + |z|2 x y |z|2 X= ,Y = ,Z = + |z|2 + |z|2 + |z|2 (1.2) Điểm S tương ứng với ∞ điểm N có tọa độ (0, 0, 1) Định nghĩa 1.1.1 Cho z1 , z2 hai điểm mặt phẳng phức mở S b = C ∞ m1 , m2 hai điểm S tương ứng z1 , z2 rộng C Chiều dài đoạn thẳng m1 m2 định nghĩa khoảng cách cầu z1 , z2 kí hiệu |z1 , z2 | Để tìm biểu thức |z1 , z2 | Chia trường hợp: 1) Cả z1 , z2 hữu hạn Cho zj = xj + iyj (j = 1, 2) tập kj = + |zj |2 (j = 1, 2) Từ (1.2), ta có: (k1 k2 |z1 , z2 |)2 =(k2 x1 − k1 x2 )2 + (k2 y1 − k1 y2 )2 + (k1 − k2 )2 =k22 k1 + k12 k2 − 2k1 k2 (x1 x2 + y1 y2 + 1), k1 k2 |z1 , z2 |2 = |z1 |2 + |z2 |2 − 2(x1 x2 + y1 y2 ) (1.3) Tiếp theo sử dụng mối quan hệ 2xj = zj + zj , 2iyj = zj − zj (j = 1, 2), ta thấy vế phải (1.3) |z1 − z2 |2 Vậy ta có cơng thức: |z1 , z2 | = |z1 − z2 | 1 (1 + |z1 |2 ) (1 + |z2 |2 ) (1.4) 2) Một z1 z2 hữu hạn số cịn lại vơ hạn Ví dụ z1 = x1 + iy1 hữu hạn z2 = ∞ Khi đó: x21 y12 |z1 , z2 | = + + (1 + |z1 |2 )2 (1 + |z1 |2 )2 (1 + |z1 |2 )2 = + |z1 |2 đó: |z1 , z2 | = 1 (1 + |z1 |2 ) (1.5) 3) Cả z1 , z2 vô hạn Hiển nhiên |z1 , z2 | = Từ Định nghĩa 1.1.1, bất đẳng thức tam giác: |z1 , z3 | |z1 , z2 | + |z2 , z3 | (1.6) b Ta xác định Cố định cho điểm zj (j = 1, 2, 3) C cơng thức: 1 , | z1 z2 b Cố định cho điểm zj (j = 1, 2) C |z1 , z2 | = | (1.7) b Khi đó: Bổ đề 1.1.2 Cho z1 , z2 a 6= ∞ ba điểm C |z1 − a, z2 − a| > |a, ∞|2 |z1 , z2 | Chứng minh Giả sử zj 6= ∞(j = 1, 2) Từ Bổ đề 1.1.2 ta có cơng thức: |z1 − a, z2 − a| = |z1 − z2 | 1 , (1 + |z1 − a|2 ) (1 + |z2 − a|2 ) bất đẳng thức: + |ζ1 − ζ2 |2 =1 + |ζ1 |2 + |ζ2 |2 − 2Re(ζ1 ζ2 ) B , ta có: |z1 , z2 | > µ Chứng minh Nếu |z1 | A, |z2 | > B, z2 6= ∞, đó: |z1 − z2 | 1 (1 + |z1 |2 ) (1 + |z2 |2 ) z1 1−| | z2 > 1 (1 + |z1 |2 ) (1 + )2 |z2 |2 A 1− B > 1 (1 + A2 ) (1 + ) B Điều z2 = ∞ |z1 , z2 | = 1.2 Dãy hàm phân hình Định nghĩa 1.2.1 b gọi Một dãy điểm zn (n = 1, 2, · · · ) C hội tụ khoảng cách cầu, số dương ε tương ứng với số nguyên dương N cho, với n > N , m > N , ta có: |zn , zm | < ε (1.8) b hội tụ đối Nếu dãy điểm zn (n = 1, 2, · · · ) C b cho: với khoảng cách cầu, tồn điểm Z C Bổ đề 1.2.2 lim |zn , Z| = n→+∞ (1.9) Z gọi giới hạn dãy zn (n = 1, 2, · · · ) khoảng cách cầu Chứng minh Đầu tiên ta thấy tồn điểm Z Nếu lim |zn , ∞| = 0, n→∞ Z = ∞ điểm Ngồi ta tìm số dương ε0 dãy tăng số nguyên dương nk (k = 1, 2, · · · ) cho |znk , ∞| > ε0 (k = 1, 2, · · · ), tức znk hữu hạn |znk | < (1 + |znk |2 ) = 1 |znk , ∞| ε0 Dãy znk (k = 1, 2, · · · ) bị chặn Cho Z 6= ∞ điểm giới hạn dãy znk (k = 1, 2, · · · ) Khi với số dương η số nguyên dương K bất kì, tương ứng số nguyên dương k cho k > K, |znk − Z| < η Mà: nk > k, |znk , Z| |znk − Z|, Ta có: n0 > K , |zn , Z | < η, (n = nk ) Từ dãy fn (z)(n = 1, 2, ) ta trích dãy fnk (k = 1, 2, ) C0 - dãy D Từ Định lý 1.2.7, k → +∞, fnk (z) hội tụ địa phương đến hàm giới hạn F (z) D khoảng cách cầu Từ định lý phủ hữu hạn, ta có: lim |fnk (z), F (z)| = k→+∞ E Mặt khác từ Định lý 1.2.8, F (z) hàm phân hình D ∞ Trong hai trường hợp, từ bất đẳng thức tam giác (1.6) Bổ đề 1.2.4 ta thấy hàm |F (z), a| liên tục D Cho số ε > 0, để k0 số nguyên dương cho k > k0 , ta có: |fnk (z), F (z)| < ε, (2.36) E Từ (2.35), (2.36) bất đẳng thức: |F (z), a| |F (z), fnk (z)| + |fnk (z), a|, ta thấy k > k0 , ta có: |F (z), a| < ε + z∈E , nk đó: |F (z), a| = 0, z∈E có điểm z0 ∈ E cho F (z0 ) = a F (z) hàm phân hình D Mặt khác, từ điều kiện 2) Bổ đề 2.2.6 bất đẳng thức: |fnk (z), a| |fnk (z), F (z)| + |F (z), a|, ta tìm : δ z∈σ điều cho thấy F (z) không a Khi F (z0 ) = a = ∞, từ Định lý max |F (z), a| > 1.2.5, ta tìm hình trịn Υ : |z − z0 | < ρ thuộc D số nguyên dương k∗ cho hàm fnk (z)(k > k∗ ) F (z) chỉnh hình Υ lim |fnk (z) − F (z)| = k→+∞ k >k 41 Υ Khi từ định lý biết, fnk (z) − a có không điểm Υ, k đủ lớn, điều mâu thuẫn với điều kiện 1) Bổ đề 2.2.6 Định lý 2.2.7 Cho miền D, hai tập đóng bị chặn σ, E điểm b )(j = 1, 2, 3) số δ(0 < thuộc D, có ba giá trị phân biệt aj (aj ∈ C δ 1), ta tìm số α(D, σ, E, a1 , a2 , a3 , δ) > phụ thuộc vào D, σ, E, aj (j = 1, 2, 3) δ có tính chất sau: Nếu f (z) hàm phân hình D thỏa mãn điều kiện: 1) f (z) không lấy giá trị aj (j = 1, 2, 3) D; 2) max |f (z), a1 | > δ ; z∈E Khi ta có: |f (z), a1 | > α(D, σ, E, a1 , a2 , a3 , δ) z∈E (2.37) Đây dạng tổng quát định lý Schottky trường hợp hàm phân hình Chứng minh Cho F họ hàm phân hình D thỏa mãn điều kiện 1), 2) Định lý 2.2.7 Từ Định lý 2.2.1, họ F chuẩn tắc D Từ Bổ đề 2.2.6, có số α > cho với hàm f (z) ∈ F ta có: |f (z), a| > α z∈E Số α có tính chất cần thiết Định nghĩa 2.2.8 Cho f (z) hàm phân hình siêu việt C Cho Γ : z = z(t)(0 t < +∞) đường cong, z(t) hàm có giá trị phức liên tục cho: lim z(t) = ∞ t→+∞ (2.38) b giá trị Nếu: Cho a ∈ C lim f {z(t)} = a, t→+∞ (2.39) a gọi giá trị tiệm cận f (z) Γ đường tương ứng xác định 42 Định lý 2.2.9 Cho f (z) hàm phân hình siêu việt C Nếu f (z) có giá trị tiệm cận a, họ hàm phân hình (C): fn (z) = f (2n z)(n = 1, 2, ), (2.40) không chuẩn tắc miền ω : < |z| < Chứng minh Khơng tính tổng qt, ta giả sử a 6= ∞ Nếu 1 họ = (n = 1, 2, ) a = ∞, xét hàm f (z) fn (z) f (2n z) Chia hai trường hợp: 1) f (z) có số hữu hạn cực điểm Trong trường hợp ta tìm số dương R cho f (z) chỉnh hình với R < |z| < +∞ có kì dị cốt yếu điểm z = ∞ Giống chứng minh Định lý 2.1.5, họ (2.40) không chuẩn tắc miền ω 1) f (z) có vơ hạn cực điểm Trong trường hợp ta tìm dãy fnk (z)(k=1,2, ) dãy (2.40), cho với k , hàm fnk (z) có cực điểm miền E : |z| Cho Γ : z = z(t)(0 t < +∞) đường cong xác định Định nghĩa 2.2.8 Giả sử |z(0)| < 2n1 họ (2.40) chuẩn tắc miền ω Khi từ dãy fnk (z)(k = 1, 2, ) ta trích dãy fmh (z)(h = 1, 2, ) C0 - dãy ω , hàm giới hạn F (z) hàm phân hình ω ∞ khoảng cách cầu Xét hình trịn |z| = r(1 r 2) Với h ta tìm th cho: |z(th )| = 2mh r z(th ) , đó: 2mh |zh | = r, fmh (zh ) = f {z(th )} Hiển nhiên th → +∞, h → +∞ Tập zh = Từ (2.39) ta có: lim fmh (zh ) = a h→+∞ Mặt khác từ Định lý 1.2.7 định lý phủ hữu hạn, h → +∞, fmh (z) hội tụ đến F (z) E khoảng cách cầu Khi từ bất đẳng thức: |F (zh ), a| |F (zh ), fmh (zh )| + |fmh (zh ), a|, 43 ta thấy |F (z), a| = F (z) phải hàm phân hình |z|=r ω lấy giá trị a hình trịn |z| = r Khi r(1 r 2) tùy ý, F (z) đồng với số a Nhưng điều mâu thuẫn với thực tế với h, hàm fmh (z) có cực điểm E Định lý 2.2.10 Cho f (z) hàm phân hình siêu việt C Để họ (2.40) không chuẩn tắc miền ω : < |z| < , điều kiện cần đủ hàm |z|∂(z, f ) khơng bị chặn C, ∂(z, f ) đạo hàm cầu f (z) Chứng minh Đầu tiên, từ (2.40) ta có: ∂(z, fn ) = 2n ∂(2n z, f ) (2.41) Giả sử họ (2.40) chuẩn tắc miền ω Khi từ Định lý 1.3.12 định lý phủ hữu hạn, dãy ∂(z, fn )(n = 1, 2, ) bị chặn miền E : |z| 2, tức có số dương M cho với n > 1, ta có: ∂(z, fn ) M, E Do từ (2.41) 2n |z|∂(2n z, f ) |z|M 2M, E Điều tương đương với bất đẳng thức: |z|∂(z, f ) 2M, với 2n |z| 2n+1 Khi n > tùy ý, ta kết luận hàm |z|∂(z, f ) bị chặn C Ngược lại có số dương M cho: |z|∂(z, f ) M , C, với z ∈ ω ta có: M0 ∂(z, fn ) = ∂(2 z, f ) < 2M |z| n n 44 Do dãy ∂(z, fn )(n = 1, 2, ) bị chặn ω từ Định lý 1.3.12 họ (2.40) chuẩn tắc ω Xét hàm phân hình siêu việt f (z) C cho họ (2.40) không chuẩn tắc miền ω : < |z| < Từ Định lý 1.3.6 có điểm z0 ∈ ω cho họ (2.40) không chuẩn tắc z0 Cho Υ : |z − z0 | < δ hình b có số vơ hạn trịn thuộc ω Từ Định lý 2.2.1, với giá trị a ∈ C số nguyên dương n cho fn (z) lấy giá trị a Υ, nhận nhiều b Do giống trường hợp hàm nguyên siêu việt, hai giá trị a ∈ C |z0 | cn (n = 1, 2, ) dãy hình trịn (2.16) với δ , tập ∞ [ b số vô hạn lần, nhận nhiều mở Ω = cn , f (z) lấy giá trị a ∈ C n=1 b Ta thấy khơng có vấn đề với số dương ε, hai giá trị a ∈ C góc A : |argz − θ0 | < ε(z = |z0 |eiθ0 ) với tia L : z = z0 t(0 t < +∞) b số vô hạn lần, nhận nhiều phân giác, f (z) lấy giá trị a ∈ C b Tia L gọi hướng Julia f (z) hai giá trị a ∈ C Định lý 2.2.11 Nếu f (z) hàm phân hình siêu việt C cho hàm |z|∂(z, f ) không bị chặn C, f (z) có hướng Julia Định lý 2.2.12 Cho f (z) nột hàm phân hình siêu việt C cho hàm |z|∂(z, f ) khơng bị chặn C Khi cho đường cong z = ϕ(t) thỏa mãn điều kiện (C), ta tìm điểm z0 miền < |z| < 4, cho đường cong z = z0 ϕ(t) đường cong Julia f (z) 2.2.2 Định lý Gu Định lý 2.2.13 Cho D miền, a b 6= hai số phức số nguyên ν > cho F họ hàm f (z) phân hình D cho phương trình: f (z) = a, f (ν) (z) = b, khơng có nghiệm D Khi họ F chuẩn tắc D Chứng minh Đầu tiên xét trường hợp a = 0, b = Cho z0 điểm thuộc D Γ : |z − z0 | < ρ hình trịn thuộc D Cho f (z) hàm 45 f (z0 + ρζ)(|ζ| < 1) Ta tìm số dương ρν Kν phụ thuộc vào ν cho hình trịn |ζ| < hai bất 32 đẳng thức: |F (ζ)| < Kν , | | < Kν , F (ζ) họ F đặt : F (ζ) = cố định Tập : Kν0 = Kν max(ρν , ), ρν ρ, hai bất đẳng thức: 32 |f (z)| < Kν0 , | | < Kν0 , f (z) hình trịn |z − z0 | < cố định Do từ Hệ 1.3.9, họ F chuẩn tắc D Xét trường hợp tổng quát Từ trường hợp đặc biệt, họ F1 hàm: f (z) − a , f (z) ∈ F, b chuẩn tắc D Từ Hệ 1.3.9, họ F2 hàm: g(z) = bg(z) = f (z) − a, f (z) ∈ F, chuẩn tắc D, từ Định lý 1.3.12 họ F2 liên tục D khoảng cách cầu Khi từ Bổ đề 1.1.2 ta có: |f (z) − a, f (z0 ) − a| > |a, ∞|2 |f (z), f (z0 )|, họ F liên tục D khoảng cách cầu, F chuẩn tắc D Bây xét hàm phân hình siêu việt f (z) C Ta tìm điều kiện họ: f (2n z) fn (z) = (n = 1, 2, ), 2nν hàm phân hình C khơng chuẩn tắc miền ω : (2.42) < |z| < Đặt: µ(r, f ) = |f (z)| (0 < r < +∞) |z|=r 46 (2.43) Ta nói hàm f (z) thỏa mãn điều kiện (C), có tập s điểm khoảng < t < 4, bao gồm vơ số điểm có điểm tụ t0 ( < t0 < 4) , cho với t ∈ s, ta có: µ(2n t, f ) lim = (2.44) n→+∞ (2n t)ν Hiển nhiên nếu: µ(r, f ) = 0, (2.45) r→+∞ rν f (z) thỏa mãn điều kiện (C) Đặc biệt có đường cong liên lim tục z = z(t)(0 t < +∞) với lim z(t) = ∞, cho hàm f {z(t)} bị t→+∞ chặn t đủ lớn, t > t0 , (2.45) cố định Hiển nhiên f (z) có giá trị tiệm cận hữu hạn (2.45) cố định Định lý 2.2.14 Cho f (z) hàm phân hình siêu việt C Nếu f (z) thỏa mãn điều kiện (C), họ (2.42) không chuẩn tắc miền ω : < |z| < Chứng minh Chia hai trường hợp: 1) f (z) có số hữu hạn cực Trong trường hợp ta cần tìm số dương R cho f (z) chỉnh hình với R < |z| < +∞ có điểm kì dị cốt yếu điểm z = ∞ Khi phương pháp sử dụng chứng minh Định lý 2.1.16 ta thấy họ (2.42) không chuẩn tắc ω 2) f (z) có vơ hạn cực Trong trường hợp tìm dãy fnk (z)(k = 1, 2, ) dãy (2.42), cho với k hàm fnk (z) có cực miền E : |z| Bây giả sử họ (2.42) chuẩn tắc ω Khi từ dãy fnk (z)(k = 1, 2, ) ta trích dãy fmh (z)(h = 1, 2, ) C0 - dãy ω Cho F (z) hàm giới hạn khoảng cách cầu Xét tập s xác định cho t ∈ s Khi cho h → +∞, fmh (z) hội tụ đến F (z) hình trịn |z| = t khoảng cách cầu Mặt khác, từ (2.42) ta có: |fmh (z)| = |z|=t 2mh ν 47 µ(2mh t, f ) Khi từ (2.44) bất đẳng thức : |F (z), 0| |F (z), fmh (z)| + |fmh (z), 0|, ta có: |F (z), 0| = |z|=t hình trịn |z| = t, F (z) có khơng điểm Khi F (z) ≡ 0, điều không phù hợp với thực tế h → +∞, fmh (z) hội tụ đến F (z) miền E khoảng cách cầu với h, hàm fmh (z) có cực E Định lý 2.2.15 Cho f (z) hàm phân hình siêu việt C Nếu f (z) thỏa mãn điều kiện (C), họ f {ϕ(tn )z} (n = 1, 2, ), {ϕ(tn )}ν không chuẩn tắc miền ω : < |z| < fn (z) = Định lý 2.2.16 Cho fn (z)(n = 1, 2, ) dãy hàm phân hình miền D an (n = 1, 2, ) dãy bị chặn số phức Nếu họ F : fn (z)(n = 1, 2, ) chuẩn tắc trong D, họ F1 : fn (z) + an (n = 1, 2, ) chuẩn tắc D Chứng minh Khi F chuẩn tắc D, từ Định lý 1.3.6, F liên tục D khoảng cách cầu Cho: |an | M (n = 1, 2, ) Từ Bổ đề 1.1.2, |fn (z), fn (z0 )| =|(fn (z) + an ) − an , (fn (z0 ) + an ) − an | > |an , ∞|2 |fn (z) + an , fn (z0 ) + an | 1 > |fn (z) + an , fn (z0 ) + an |, + M2 họ F1 liên tục D khoảng cách cầu, F1 chuẩn tắc D 48 2.3 Định lý Montel mở rộng Trong phần này, chúng tơi tìm hiểu kết Trần Văn Tấn, Nguyễn Văn Thìn Vũ Văn Trường [8] mở rộng Định lý Montel tới trường hợp đạo hàm cầu bị chặn điểm thay hàm Định lý 2.3.1 Cho F họ hàm phân hình D ⊂ C Giả sử với tập compact K ⊂ D, tồn i) số nguyên dương (có thể +∞) `1 , , `q thỏa mãn q − 2, Pq j=1 < `j ii) hàm phân hình a1f , , aqf (f ∈ F) D, số dương ε, M cho σ(aif (z), ajf (z)) ≥ ε với z ∈ D, ≤ i, j ≤ q, i 6= j  (k) !# (z) ≤ M, sup (f (k) )# (z) ≤ M, sup f z∈K:f (z)=ajf (z)6=∞ z∈K:f (z)=ajf (z)=∞ với f ∈ F, j ∈ {1, , q}, k = 0, , `j − Ở đây, ta ký hiệu σ b khoảng cách cầu C Khi F chuẩn tắc Để chứng minh định lý trên, ta cần bổ đề sau: Bổ đề 2.3.2 (Bổ đề Zalcman, [9]) Cho F họ hàm phân hình đĩa đơn vị D Khi F không chuẩn tắc z0 ∈ D, với α, thỏa mãn −1 < α < 1, tồn 1) số thực r, < r < 1, 2) điểm zn , |zn | < r, zn → z0 , 3) dãy số thực dương ρn → 0+ , 4) hàm fn ∈ F cho gn (ξ) = fn (zn + ρn ξ) → g(ξ) ραn hội tụ tập compact C theo metric cầu, g(ξ) làm hàm phân hình khác thỏa mãn g # (ξ) g # (0) = có bậc không lớn 49 Bổ đề 2.3.3 (xem Grahl-Nevo, [5]) Cho {aα , bα }α∈I họ cặp hàm phân hình miền D ⊂ C Giả sử tồn số dương ε cho σ (aα (z), bα (z)) ≥ ε với α ∈ I z ∈ D Khi họ {aα }α∈I {bα }α∈I chuẩn tắc Chứng minh Định lý 2.3.1 Khơng tính tổng quát, giả sử D đĩa đơn vị D Giả sử F không chuẩn tắc z0 ∈ D Khi đó, theo Bổ đề 2.3.2, với α = tồn 1) số thực r, < r < 1, 2) điểm zv , |zv | < r, zv → z0 , 3) số thực dương ρv → 0+ , 4) hàm fv ∈ F cho gv (ξ) = fv (zv + ρv ξ) → g(ξ) (2.46) hội tụ tập compact thuộc C, với g hàm phân hình khác Khi với j ∈ N, ta có gv(j) → g (j) tập compact C \P,  gv (j)  (j) → tập compact C \Z g (2.47) (2.48) theo metric Euclid, với P, Z tập không điểm, cực điểm g + |z0 | } ⊂ D, theo giả thiết, tồn P i) số nguyên dương (có thể +∞), `1 , , `q thỏa mãn qj=1 < `j q − 2, Lấy K := {z : |z| ≤ ii) hàm phân hình a1fv , , aqfv (f ∈ F) D, số thực dương ε M cho σ(aifv (z), ajfv (z)) ≥ ε với z ∈ D, ≤ i, j ≤ q, i 6= j, và: sup  (fv(k) )# (z) ≤ M, z∈K:fv (z)=ajfv (z)6=∞ sup z∈K:fv (z)=ajfv (z)=∞ 50 fv (k) !# (z) ≤ M, với v ≥ 1, j ∈ {1, , q}, k = 0, , `j − Bỏ qua `j = 1, không tính tổng qt, giả sử q ≥ `j ≥ với j = 1, , q Từ Bổ đề 2.3.3, ta giả sử {ajfv }v≥1 hội tụ tập compact C theo metric cầu tới hàm phân hình aj (hoặc ∞) với j = 1, , q Khi Ajv (ξ) := ajfv (zv + ρv ξ) hội tụ tập compact C tới số aj (z0 ) Từ giả thiết khoảng cách cầu cặp điểm thuộc {a1 (z), , aq (z)} ta có a1 (z0 ), , aq (z0 ) đôi phân biệt Bây ta chứng minh khẳng định sau: Với j ∈ {1, , q}, aj (z0 ) 6= ∞ khơng điểm g − aj (z0 ) có bội `j Cố định j Với không điểm ξ0 g(ξ)−aj (z0 ), aj (z0 ) 6= ∞, nên g chỉnh hình ξ0 Theo Định lý Hurwitz, tồn giá trị ξv (với v đủ lớn) ξv → ξ0 cho Ajv (ξv ) 6= ∞ fv (zv + ρv ξv ) − ajfv (zv + ρξv ) = gv (ξv ) − Ajv (ξv ) = ◦ Để ý z0 ∈K , nên zv + ρv ξv ∈ K với v đủ lớn Từ ajfv (zv + ρξv ) → aj (z0 ) 6= ∞, ta giả sử |fv (zv + ρv ξv )| = |ajfv (zv + ρξv )| ≤ + |aj (z0 )| (2.49) Ta có (k+1) |fv (zv + ρv ξv )| (k) + |fv (zv + ρv ξv )|2 ≤ M, (2.50) với k = 0, , `j − với v đủ lớn Đặt M1 := M · (1 + (1 + |aj (z0 )|)2 ), Mn+1 := M · (1 + Mn2 ), với số nguyên dương n Ta chứng minh bất đẳng thức sau quy nạp: (k)