Các phương pháp điều khiển đo lường hiện đại và ứng dụng

Trang 1

TỔNG CÔNG TY CÔNG NGHIỆP TÀU THỦY VIỆT NAM CƠNG TY CƠ KHÍ - ĐIỆN - ĐIỆN TỬTÀU THỦY

Chương trình KHCN cấp nhà nước KC 06

"UNG DUNG CONG NGHE TIEN TIEN TRONG SAN XUAT SAN PHAM XUẤT KHAU VA SAN PHAM CHU LUC”

DỰ ÁN

CHẾ TẠO MỘT SỐ PHẦN TỬ VÀ THIẾT BỊ ĐIỀU KHIỂN,

ĐO LƯỜNG QUAN TRỌNG TRÊN TÀU THỦY

BẰNG PHƯƠNG PHAP CHUAN MODULE VA UNG DỤNG CÁC CÔNG NGHỆ TIÊN TIẾN

Mã số KC 06 DA.13.CN

Chuyên đề: CÁC PHƯỞNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN, ĐO LƯỜNG HIỆN ĐẠI VÀ ỨNG DỤNG

PGS,TS NGUYÊN DOÃN PHƯỚC

Trang 2

HỢP DONG: 645/HD/KC06-DA-13-CN

CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN, ĐO LUGNG HIEN DAI VA UNG DUNG

Người thực hiện: — PGS.TS Nguyễn Doãn Phước

Bộ môn ĐKTĐ, Khoa Điện, Trường ĐHBK Hà Nội

Trang 4

LỜI NÓI ĐẦU

Trong những năm gần đây, các phương pháp điều khiển phi tuyến và điều khiển

thích nghỉ các đối tượng phi tuyến phát triển khá nhanh, tạo tiển để cho việc giải quy ết

một loạt các bài toán điều khiển đạt được chất lượng vượt bậc mà trước đây là không thể, Điển hình trong số đó là phương pháp điểu khiển phi tuyến dựa trên nền hình học ví

phân, điểu khiển thích nghỉ ISS, điều khiển thụ động (paasive), các phương pháp thiết kế

bộ quan sát trạng thái đối tượng phi tuyến để “đo lường” những đại lượng không thể đo

được trực tiếp

“Tài liệu này sẽ tổng quan lại những phương pháp điều khiển, đo lường hiện đại nêu

trên Nó được thực hiện trong khuôn khổ hợp đồng số 645/HĐ/KC06-DA~13-0N và có nội dụng như sau:

Phần 1: _ Tổng quan về các phương phép điều khiển thích nghi hiện dal 5

1.1 Cơ sở nền tẳng Lý thuyết Lyapunov 5

1.1.1 Khái niệm ổn định Lyapunov và tiêu chuẩn xét ổn định %

4.1.2 Thiết kế bộ điều khiển 8

Hàm điều khiển Lyapunov 8

Phương pháp thiết kế cuốn chiếu (backelepping) 12

1.2 - Điều khiển thính nghi khang nhiéu (disturbance attenuation), 15

1.2.1 Định nghĩa tính ẩn định IS8 và ham ISS-CLF 16

1.2.2 Điều khiển nén miền hấp dẫn (damping) 18

1.2.3 Thiết kế cuốn chiếu hàm IS8-CLF (dieturbanoe backetepping) 21

1.2.4 Điều khiển ổn định ISS kháng nhiễu hệ thống 24

1.3 Điều khiển tuyến tính hóa chính xác trên nền hình họa vị phân 27 43.1 Céng cu toan hoo: Hinh hes vi phan 2z

Bao ham Lie 2

Phép nhân Lie (hay phép ngoặc Lie) 2

Tiéu chun Frobenius 2

14.2 Bậc tương đối 30

4.3.3 Dạng mô hình chuẩn (norrnal form) 22 1.3.4 Tuyén tinh héa chinh xac quan hé vao-ra 2 4.3.5 Tuyén tính hóa chính xác quan hệ vao-trang thai 36

Trang 5

Phần 2: _ Để xuất mội phương phép điều khiển thích nghi khẳng nhiễu mới

và kểt quả ứng dụng †hu được 2.1 Nguyên tắc chung của phương pháp

2.1.1 Bước 1: Tuyển tính hóa chính xác

2.12 Bước 2: Điều khiển theo mỏ hình mẫu để kháng ni

2.18 Những trưởng hợp mở rộng của phương pháp

2.2_ Một số kết quả ứng dụng của phương pháp

2.2.1 Ung dụng trong điều khiển động cơ di bộ nguồn kép

2.2.2 Ứng dựng để điều khiển kháng nhiễu phản hồi đầu ra cho các đối tượng tuyến tính bất định

Phdn 3: Những phương phép đo giên tiếp (hay quan sắt) cắc biển trang

thói của hệ thống phi tuyển

3.1 Cân phương pháp thiết kế bộ quan sát phi tuyến 3.1.1 Bộ quan sát Luenberger mở rộng

3.1.2 Quan sat theo nguyén ly trust (sliding mode observer)

3.18 Bộ quan sát có hệ số khuếch đại lớn (high gain observer) 3.2 Bản về nguyên lý tách cho hệ phi tuyến (separation prinsiple)

Phần 4: _ Tải liệu tham khdo

Trang 6

Phẩn 1: Tổng quan về các phương phép điều khiển thích nghi

hiện đại

1.1 Cơ sở nền tảng: Lý thuyết Lyapunov

4.1.1 Khái niệm ổn định Lyapunov và tiêu chuẩn xét ổn định Xét hệ mô tả bởi

dx

gq foe a

GiÁ sử hệ cân bằng tại gốc tọa độ, tức là #(0,0)=0, thi bị wiếu táu thời đánh bật ra khối

điểm cân bằng 0 và đưa tới một điểm cân bằng nào đó x;=0, Nếu aau đó:

— Hệ tự quay trổ về một lân cận nào đó của 0 thì nó được gợi là ổn định tại 0 (ổn định

Lyapunov)

~ Hệ bự quay trở về 0 thì nó được goi la dn dink tigm ofin tai 0

Như vậy, hệ (1.1) có thể có nhiều điểm cân bằng và hệ có thé én định tại điểm cân bằng này song lại không ổn định ở một điểm cân bằng khác

“Theo định nghĩa trên, để xét tính ổn định Lyapunov tại 0 của hệ, ta phải xét xem

nghiệm z() cña phương trình vi phân ứng với =0

dx

at f&u=0)=ƒ() với &(0)=xp (1.2)

có đi về lân cận gốc (hoặc thậm chí kết thúc tại 0) hay không

“Tiêu chuẩn Lyapunov là một công cụ kiểm tra tính ổn định của hệ (1.1) mà không

cần phải tìm nghiệm g(¢) theo (1.2) Nó được giải thích như sau: Giả sử bao quanh gốo tọa độ 0 có họ cáo đường cong khép kín ø (hình 1.1) Các đường cong này có thể được xem như

biên của các lân lận của điểm gốc 0 Để kiểm tra xem quỹ đạo trạng théi x(t) và đi từ

điểm trạng thái đầu xụ cho trước nhưng bày ý) mô tả quá trình bự do của hệ, có tiến gi

tọa độ 0 hay không, ta chỉ cần xét xem quỹ đạo trạng thái x(t) có cất tất od các đường

cong thuộc họ ø từ bên ngoài vào bên trong hay không và nếu điểu đó xây ra thì chấc chấn œ(1) phải só hướng tiến về gốc tọa độ và kết thúc tại đó,

Trang 7

Tinh 1.1: Tạo họ các đường cong kăn chúa gối lọa độ bằng hàm xác định dường,

Họ các đường cong ø khép kín chứa điểm gốc tọa độ 0 bên trong được xây dựng bằng

cáo đường đồng mức của một hàm xáo định đương Hàm xác định đương V(œ) có tính chất

là khi ta cất nó bằng một mặt p]

ø Ÿ=Ä song song với đáy (không gian trạng thái) và chiếu thiết điện xuống đáy thì ta sẽ được một đường cong khép kín ”y chứa điểm gốc tọa độ 0 Dung cong vg ứng với k nhỗ hơn thì nằm bên trong đường cong ting véi k lén hon (hình 1.1), Nói cách khác:

hị ch, © v,, nm bén trong 0,

Do vector gradV luén vuéng gée véi đường cong u¿ và chỉ chiểu tăng theo È nên nó sẽ có hướng chỉ từ trong ra ngoài đường cong ø (hình 1.1),

“Tiếp theo, ảo có:

4V ds ade a | oT

ma = lại là tiếp tuyến của quỹ đạo trạng thái z#), nên với điều win cũ, góc Ø lạo bổi hai vector gradV va = phai là một góo tà (lớn hơn 90, bức là quỹ đạo trạng thái

(1) sẽ cất tất cả cáo đường cong ø¿ theo hướng bừ ngoài vào trong

Vậy, nếu tổn tại hàm Ly apunov V(x), théa man:

a) Xác định đương, bức là V(z)>0 với #0 và V(œ)=0 @ zF0, ») L, việc ƒ) <0 (đạo hàm của nó xác định bán âm),

Trang 8

với z là nghiệm tự đo của hệ thống thì hệ sẽ đổ» định tại điểm gốc toa 49 0 Khi d6 V(x) được gọi là hàm Iyapunop Nếu đếu bằng trong điều kiện b) chi xdy ra khi z=0, tứ là

LV: x ƒGÒ xáo định âm, thì hệ là ổn định tiệm cận tại 0 Hage

Một trong những hàm xác định đương, rất thích hẹp với những bài toán điều khiển

tuyến tính, là hàm thực đạng toàn phương: Vio = 2"@z trong đó @ 14 m6t ma tran vudng of a chiéu thich hgp (theo chiéu cia vector x) Do đó: Vig) = 2"@2 = CHRD nên các phát biểu sau là tưởng đương: a) Vữ)= z Qx>0 với mọi >0, b) V(x) = c”Qz>0 với mọi #0,

Trang 9

Phương trình (1.8) với nghiệm Q được gọi là phương trình Iyapunop Phương trình 1yapunov với Á là ma trận bền và P đối xứng, xác định đương cho trước luôn có nghiệm Q xác định đương

1.1.2 Thiết kế bộ điểu khiển

Hàm điều khién Lyapunov

Xét đối tượng phi tuyến cân bằng bại gốc, có mô hình (1.1) Nhiệm vụ của bài toán

điều khiển được đặt ra 4 đây là thiết kí

hệ kín (hình 1.2) được én định (tei 0)

ộ điều khiển phản hổi trạng thái =w(x) sao cho

Mật trong những phương pháp đơn giản thực hiện bài toán trên là sử dụng biểu

chuẩn ẩn định Lyapunoy Một cách tóm tất, nó bao gồm các bước: ~ Tìm một hàm (2) xác định đương, khả vì — Xác định hàm =w{(x) để có ave) _ E2 Giá) E i

Hình 1.2: Ung dung tiêu chudn Lyapunov “để thiết hế bộ điều khiển HD be

Phudng phép thiét ké nh3 ham xée dinh dudng V(z) trên đây được xem như một công cụ

toàn năng trong lĩnh vực điều khiển phi tuyến cho đối tượng có mỗ hình phức tạp, chẳng

hạn như không đừng, không autonem, thậm chí mô tả không chính xác đối tượng, hoặc có

những tham aố mô hình bất định (œneeriairidies) Tất nhiên rằng bộ điều khiển „=„(~)

tìm được theo (1⁄9 phụ thuộc chủ yếu vào cấu trúc hàm xác định dung V(x) đã chọn Hơn na phương trình (1.4) cũng chỉ s6 thể có nghiệm w= u(x) néu nut o6 inf Ly <0

Mật hàm xác định đương, khả vị V(£) thôa mãn [36]

inFE,V =intl 2) at ul a OOO g vu) Ì<0 khí «#0

được gọi là hàm điều khiển Lyapunov (héim CLF - Control Lyapunov function)

Trang 10

Ví dụ 1.1: Khải niệm hàm điều khiển Lyapunov Gho đối tượng phi tuyến với mô hình:

(1.6)

Hệ này có hàm điều khiển Lyapunov V(2)= +22) vì cùng với nó ta có bộ

điều khiển phản hổi trạng thái: U(Ø)Z ~Z„-1~Za— Ø(2) a6 và tính xác định âm của: 2, +29 Hey 25 +25 Zn1 2n) i 2,972, đến ƒ@)+ S raf-ag ment 2, [2-1 te, tae) tu] = abd 22 x

Trang 11

trong đó ¿ là ký hiệu chi vector mm ” Be = (1 ay ey eR)” và các hầm a;(z;), 1SiSm-1 duige xée định truy hồi theo aula) = 4i +(44)

cian) = atatha)tala)+ sta) as)

aa)= sata thlalte aoa) t (e+ 4 ala) Zant

với ký higu vector & (x) Ala)tx Sale) = Far Gna) te sẽ chuyển hệ truyền ngược (1.7) về đạng (1.6) đã xét ð ví dụ 1.1 có ae, Ona Az) = f(z) + 1 (X) và do đó nó sẽ được điều khiển ổn định tiệm cận tại gốc tọa độ bằng bộ điều khiển: UZ) = —#n-1~Za— Ø(2) m âu,

Mn — đc g(En-a) ~ tn ~ Gna nea) ~ fal) — 5

Ví dụ 1.2: Khái niệm hàm điều khién Lyapunov Đối tượng phi tuyến:

Trang 12

~Z†Zg -2gteg a9)

có hàm điểu khiển Lyapunov V(z)= (4+4+ g +22) vì cùng với nó ta có bộ điều

khiển phần hổi trạng thái: (2 ~2„~ Ø2) (110) va tinh xée định âm cỗa: a, +2, eq +25 na 2n) : —#n-1 Tến f+u = Bana) (ea an) + ele eta] =TSỂn (6, TgJŸ~ T8, 4 2n)” om

Ví dụ 1.3: Khải niệm hàm điều khiển Lyapunov Xét hệ nhiều đều vào có cấu trúc afine:

f)+H()1 10

Trang 13

Nếu trong miễn Z hàm 7V xác định âm, bức là:

x€Z và z0 => 1V<0 (1.13)

thi ta có thể đễ đàng thấy duge V(z) cling a@ 1A ham CLF cia (1.11) và một trong các bộ

điều khiển phản hổi trạng thái w=r(z) tưởng ứng làm đối tượng ổn định tiệm cận toàn

cục là:

(1.14)

trong đó 7() là một hàm xác định đương được chọn bất kỳ, vi bên cạnh điểu kiện (1.13) khi z€Z xác nhận tính xác định âm cña Seoul = WV + gs v= thi khiceZ ta ofing 06 by (1.14) =a) - LV - [/(2+H(2u] = UV + (Vy oe" iy = le@) =-7( 1 Phương pháp thiết kế cuốn chiếu (back=tapping) Cho hé (nar te)= Fle) (18) 8(Ea-1iE„)†U =g(g)+ (118 trong đó: a £5 Gee) ER”

Xét riêng hệ con (1.16) của mô hình tổng quát trên mà ở đó x„ có vai trồ như bín

hiệu điều khiển ảo Giả sử đã biết hàm ŒCLF Ý(x„-¡) của (1.1) cũng như bộ điều khiển ổn định tiệm cận tương ứng x„=0(x„-¡) Khi đó, để tìm hàm CLP V(z)=W(x„-q,x„) và

Trang 14

bộ điểu khiển ổn định tiệm cận u(x) cho đối tượng chung gồm (1.15) và (1.16) ta có định

lý sau

Định lý 1.2 ([22)): Gọi V(x„_¡) là hàm GLF của (1.16) và z„=p(x„„¡) là bộ điểu khiển khả vi bướng ứng thỗa mãn ø(0)=0 Khi đó;

Ve) = Vea ta) = Vile Dt Ae) (11

véi (x)= Ø(„-+,x„) xác định đường, không bị chặn theo z„ (hợp thức theo z„), khả, vi và thỗa mãn: Aaa 19? (Ea 1)) = (1.18) ¬ — (19 sẽ là hàm CLP của hệ chung gồm (1.15) và (1.16), đẳng thời sã ule -(2) [xs: ma fo) Za„.« 2 | khi xeV “ito bấtkỳ khi xeV trong đó: S={£eR”" | 2= p„-x) } và 7()“(„-1,<„) là hàm được chọn tùy ý, nhưng thöa mãn ne) 20, Veer" (1.21) 7(0,«„)=0, @ (122)

sẽ là một bộ điểu khiển tưởng ứng làm đối tượng ổn định tiệm cận tại gốc 0

Về định lý 1.2 ta có một số điểu bàn thêm như sau:

1) Hàm 7(z) được chọn theo (1.21) và (1.22) không bất buộc phải là hàm của tất cả các biến #ị, #„, =:, x„ Chẳng hạn như ta có thể chỉ chọn ?(4)= x2

Trang 15

bộ điều khiển (1.20) sẽ trổ thành: w= >| n2)+ tL Oka (10 ftensl ra (128) 3) Do u(z) IB tay ý khi ceG cũng như ?(2), x) là những hàm được chọn gần như bùy ý,

chỉ cần thỏa mãn cáo điểu kiện khá rộng mổ (1.18), (1.19) và (1.21), (1.22) nên ta luôn xáo định được 1/(), g@£) sao cho bộ điều khiển (1.20) có tính tiền tực trong không gian

trạng thái, chẳng hạn với

Ax) = 7) = |ƒ(©~f(

Nếu ham CLF V(x) xác định theo (1.17) cồn só thêm tinh SCP thi ta cồn có thể xáo định được một bộ điều khiển „(£) không những liên bục mà cồn thỗa mãn:

2 =1) |

wpe 6

4 Nếu V() là hàm ƠLE của một hệ phi tuyến nào đó và /(2) là một hàm bất kỳ thuộc lốp E» có đạo hàm luôn đương thì ¿(Ÿ(@)) cũng sẽ là hàm ƠLP của hệ đó Từ đây, hàm GLP (1.17) cồn có thể là:

Vs) = HV Ga) Aka tn)

Ví dụ 1.4: Thiết kế bộ điều khiển cuốn chiếu

Trang 16

và bộ điểu khiển (1.20) cho đối tượng đã cho là: 2 u@= -(2) [rots âm esbezel tts) ơƠx( su; Chọn tiếp: dữ) = 20x ta)” va me) = 6atertsl)f ta sẽ 06:

2P= (xyrrira)(1+81), — Ô#= GgrayraÐ) âm ân và bộ điều khiển trở thành liên tục trong không gian trạng thái:

we) = -[(egte,t af) (1+ 20)( ap tag) tee gtey]

Hơn thế nữa nó cin théa man u(Q)=0 +

1.2 Điều khiển thích nghi kháng nhiễu (disturbance attenuation)

1.2.1 Định nghĩa tính ổn định ISS và hàm ISS-CLF Xét hệ có nhiễu tác động mô tả bỗi

dx ‘flu du) (1.24)

trong đó:

= x(¢) lA vector bién trang thái,

~ d{(t) là vector cáo tín hiệu nhiễu không mong muốn táo động vào hệ thống (gợi là tín higu disturbance),

= u(t) 1A vector cfc tin hiệu điểu khiển

Giả sử rằng hệ (1.24) cân bằng tại gốc tọa độ, tức là ƒ(0,0,0) = 0, Để xét tính ổn

Trang 17

ứng với điểu kiện đầu z(0)=z¿ cho trước Ta sẽ ký hiệu nghiệm đó là x,#) để nhấn

mạnh rằng nó cồn phụ thuộc oào vector các tín hiệu nhiễu đ(1) Xét về mặt bản chất,

veobor đ(#) trong (1.25) eó vai trò như một tín hiệu vào khơng kiểm sốt được của hệ (nhiễu, hay tín hiệu tác động từ những hệ kháe), béi vay có thể xem nó như là vector các

tín hiệu ngoại sinh (exogenous signals)

“Từ nghiệm quỹ đạo trạng thái tự do x(,đ) ta thấy hệ (1.24 là ẩn định tiệm cận tại

tš: ngu

Bmzf,4) =0 = với mọi đút) (1.26)

C6 thé dé dang thay, do có aự hiện điện của tín hiéu nhiéu d(t) nên khả năng để hệ

(1.24 s6 được chất lượng ổn định (1.26) là rất khó Bồi vậy thay vì chết lượng đó, Soniag

đưa ra một khái niệm ổn định mổ rộng khác là ổn định ISS, viết tất của Input to State

Stability, định là ổn định oào -ưượng thái, nếu như tên tại một lân cận Á nào đó của gốc tọa độ OQ sao cho cáo quỹ đạo trạng thái tự ảo z(2,ở) của hệ (1.24, không phụ thuộc nhiễu 3đ), luôn tiến về Á và ở lại trong đó

Hinh 1.3: Minh họa khái niệm én dinh ISS

Bài toán thiết kế bộ điều khiển tạo ra cho hệ (1.24) có được tinh én dinh ISS véi lan A, gọi là miễn hấp dẫn (atzaetơr), càng nhỏ càng tốt, được gợi là bài toán điều khiển

thich nghi khang nhiéu (disturbance attenuation),

Tổ tiện cho việc phân tích tính én định 185 cũng như thực hiện bài toán diéu khiển

thích nghỉ kháng nhiễu, người ta đã đưa ra khái niệm I88 nêu trên thành một công thức mô tả như sau:

Định nghĩa 1.1: Xét hệ (1.24) e6 tác động nhiễu đ(#) với mô hình trạng thái không bị kích

thích (1.25), trong đó vector nhiéud(#) được giả thiết là bị chặn

sup|ldŒ)| =[đlz < œ :

Nếu tốn tại một hàm ?{2), z>0 thuộc lớp E (không âm và đơn điệu tăng) và một hàm

Alz,t), z,t20 thudc lép KA (thuéc lép theo biến z và đơn điệu giảm, tiến về 0 theo biến ?), thổa mãn:

Trang 18

Ixứ.#Ð| < zo|2)+#(|Izllz), Y‡>0 (1.27)

thi hg (1.25) duge goi là ổn định ISS va moi quy dao trang théi x(?,d) sẽ tiến về lân cận A của gốc tọa độ Ö xác định bởi (goi 1A mién attractor):

A ={eer"| |x] < z(#l=)} (1.28)

Binh ly 4.3: Cho hé (1.26) Néu có hai hàm y;, 2 thuge lép Kx (thuge lép K va tién téi oo) va hai ham 73,0 thuge lép K oing nhu mét ham tron V(x) théa man:

a) (le) <V@ < m(la), hay V() xác định đương và hợp thức,

b) Từ fel 2 old) suyraduge tyÝ = TC /(sở) <=e(lá) = “

thì hệ sẽ ổn định 18 với hàm y thuộc lớp K cho trong điều kiện (1.27) là:

}= HỆ sỹ, s

Hàm V(œ) khi đó được gọi là hừm ISS—Lyapunov

Ví dụ 1.8: Khái niệm ổn định ISS

Trang 19

“Từ định lý trên, ta cồn suy ra được một số các hệ quả của nó được phát biểu chung trong định lý sau:

Binh ly 4.4: Cho hé (1.25) Gọi z(1,g) là nghiệm của nó ứng với điểu kiện đầu xạ Khi đó

các phát biểu sau là tương đương: a) Hệ là ổn định 188

bì Hệ có hàm IS8-Lyapunov V(œ)

) Tén tai ham V() khả vị, xác định đương và hợp thức thổa mãn (gọi là dạng tiêu

tắn qủa điều kiện ổn định 198):

v= © rad) < -oleb toatl (1.29)

trong a6 0,0,¢K v8 |, le > [2s

đ) Tên tại ham pz) thuéc lép Kva ham A(z,t) thuộc lớpKA để có:

led] S max{Alzoht) , Ido}, Vi>0 (130)

Guối cùng, tưởng bự như hàm CLF, ti khéi nigm ổn định 188 ta cũng có hàm điểu

khiển I188-Ly apunov định nghĩa như sau:

Định nghĩa 4.2: Một hàm V(z) khả vị, xác định đương, hợp thức sẽ được gọi là hàm điều

khiển 1SS-Lyapunoo (viết tất thành ISS—CLIF) cho đối tượng có nhiễu đ() mô tả bởi

(1⁄24, nếu như tần tại ít nhất một bộ điều khiển phản hổi trạng thái u(x) sao cho

V(+) là hàm 1S8-Lyapunov của hệ kín, tức là có:

& fedu) < =e(le)+2(d) aay

trong a6 0, 7K va [olla >I rl

1.2.2 Điều khiển nén miền hấp dẫn (damping)

Như đã nói, nhiệm vụ của bài toán điểu khiển thích nghỉ kháng nhiễu (dfsurbanoe

altenuation) là thiết kế bộ điều khiển (phân hổi trạng thái) cho đối tượng có nhiễu đ(2) để

với nó hệ kín là ổn định IS8 và có miễn hấp dẫn Á càng nhỏ càng tối

“Trong mục này, la sẽ xét bài toán điểu khiển kháng nhiễu cho lớp các đối tượng có nhiễu đữ) táo động ở đầu vào với mô hình trạng thái đạng chung như sau:

Trang 20

7@6)+h(© [+ ø”G940)] (1.32)

trong đó thành phần bất định ở) được giả thiết là có chuẩn |||„ hữu hạn Nhiệm vụ đặt ra là phải thiết kế bộ điều khiển phản hổi trạng thái z=r(£) sao cho hệ kín (bao gồm

đối tượng và bộ điều khiển) là ẩn định ISS Định lý 1.5: Nếu hệ: a at Fa)th(xv

có ham CLF V(x) và một bộ điều khiển ổn định tiệm cận toàn cục (x), tức là:

nde) < Vs rele) với ?ryzeKe wv Gz Orne] < Wo (4) < WŒÔ < 2;(l4J) với øi,o;eK thì VŒ) cũng là hàm 186-G1F của hệ (1.32), vì cùng với b phản hổi trạng thái điều khiển ổn định 188 ue) =» - Za xo, eo „ |e 38) nó sẽ có miễn hấp dẫn toàn cục A (global attractor) 2, } A={xeR" | lá < #2 s?zs4

Ví dụ 16: Điều khiển nén miễn hấp dẫn Xét đối tượng có mô hình: de a xŸ+u+ain(x)4.0) với d(t) không biết trước, nhưng bị chặn bởi | đ||„ Đặt: v= utgx)d(t) ta thấy ngay đối tượng tương ứng 2 Safty

có hàm điều khiển Lyapunov

Trang 21

V(«) na ốc và bộ điều khiển phần hổi trạng thái ø=ø(x) làm nó ổn định như sau: v = ve) = -x-2? veg _ ‘ % =

> Fate) = -W@) số We)= = fel? = 2i(JeDSØse)

> del) = oF'eD = fe] = ði k>0 = 'Vậy bộ điều khiển nền miễn hấp dẫn (1.35) cña đối tượng sẽ là: tu) = —-xỄ~k “.ˆ và với bộ điểu khiển trên, hệ thống có miễn hấp dẫn: A=k:l pistes

Ví dụ 17: Điều khiển nén miễn hấp dẫn

Trang 22

=

ta sẽ được tính xác định âm của:

ov [5 suuổ } axd-xbtxe(xgtv) <0, Var0

ax aug

“Từ đây suy ra, đối tượng có nhiễu tác động đã cho được diéu khiển ổn dinh ISS bang bộ điều khiển phản hổi trạng thái

0

u(g) = x9 R(x, £2) ()› -(1th)xy trongđó R>0 và

2 1

A=t&eR {zeR” | lel we jz] =

4.2.3 Thiétké cuén chiéu ham ISS-CLF (disturbance backstepping)

Bay gid ta xét bài loán điều khiển kháng nhiễu cho đối tượng c6 nhiễu tác động với mô hình truyền ngược: dx, it natty FG, 9 at * (1.34) Hn = gore @eru dt

trong đó đ(1), e(1) là vector các tín hiệu nhiễu không mong muốn tác động vào đối tượng (không biết trước), „() là tín hiệu điểu khiển, và:

“xố eal OE Bent OR

Bài toán thiết hế quốn chiếu bộ điêu khiển thích nghỉ kháng nhiễu được đặt ra ð đây

là tY ham ISS-CLF Vj (z,-1) cling nhu bé diéu khiển ẩn định 188 z„=ø(x„-¡) của đối

tượng con:

Fy) tEG,- vd (1.35)

được giả thiết là đã biết, ta phải xác định ham ISS-CLF V(x) và bộ điểu khiển ẩn định 188 w(z) cho đối tượng casoade truyền ngược (1.34)

Định lý 16: Nếu đối bượng con (13B) có hàm I88-0LF V¡(z„-¡) và bộ điều khiển ẩn định 186 tướng ứng z„=0(x„_¡) khả vị, thỗa mãn ø(0)=0, thì hàm xác định đương V(œ),

Trang 23

được xây dựng theo (1.17) cho trong định lý 1.2, cũng sẽ là một hàm I88-GLF của đối

tượng truyền ngược (1.34), đồng thời bộ điều khiển:

_(2e)" Ae + ®L|_2P

usw] (&,) [OP "a, Pea

b&tky khi ceV C4) | bor khi xeV ẨNNN- trong đó a) u’(x) được xáo định theo công thức (1.20) cho trong định lý 1.2, b) pì>1, pạ>1, kị>0 và kạ>0 là những hằng số chọn tày ý, 9) — 4œ) là một hàm xác định đương bất kỳ, hợp thức theo z„, a g={ger" |< 2?(„-1) }

là một bộ điều khiển ẩn định ISS tương ứng của nó,

Ngồi ra, ln tổn tại ít nhất một bộ điểu khiển ổn định 188 liền tue Hon nữa, nếu

ham V(x) odn 6 tinh SCP thi 9 edn 06 u(0)=0

Vidy 4.8: Thiết kế bộ điều khiển ổn định ISS

Xét đối tượng mô tả bai

de_{ xf tap +ein(q)d z:É)

at layegtutide a) (ee

trong đó d+(1), đạ() là cáo tín hiệu nhiễu,

Trang 24

trong đó hằng số k>0 là tùy ý Với k được chọn càng lồn, miễn hấp đẫn Á; thu được sẽ càng nhổ

Ấp dụng định lý 1.6 véi @(x,)=sin(x,), &(x)=<] +2, ta duge bộ điểu khiển ổn định

186 cho đối tượng đã cho:

đụ

xe tebe Pz

“a

u()= wa-(2) |e2+2|l-s-|

trong &6 py>1, pg>1, hị>0 và hz>0 là những hằng số bày ¥ Chon hàm g(œ) xác định đương, không bị chặn theo xạ, thôa mãn (1.18) và (1.19) cũng như Â(z) xáo định đương,

không bị chặn theo zz, như sau:

A6) =2øØ() = [Flerte)-flere)]? = [Cb re 2)-Ce key sin?e)]?

= (xdte, toy the, aintx,)? ta sẽ được: Ê# = (+ +ey+hersinBe,)[32x,+1+bsinŠz, +hx, sin(2z2)], Dee tegtheainte, Suy ra ug) = w(x) -(abte tegthe,sin’x,) - Feb + be — Fi ((3x4+L+thainEr++bessin(2e1))ein(ei)]® — Py và như vậy, tính liên bạc cña u(z) chi cdn phy thugev20 w’(x) 06 lién tye hay khéng “Từ công thức (1.20) của định lý 1.2 có: + "=—| 22 OY pce) ap fx) w(x) ( 22) [xe +g, fewer () Béi vậy, nếu chọn tiếp 7(z)= Â(œ) ta sẽ di đến thành phần ø°(z) liên bạc như sau w(x) = —(SỆ+xi+xp+keiainEz1)—K¡—

~ [2x,+1thkein2e, the ysin(2xq)] (x2txg)-xy xq

Trang 25

Ngoài ra, ta cồn có thể d& dàng nhận thấy bộ điều khiển lién tuc u(x) tim duge 1A

tha man thém u(0)=0 #

4.2.4 Điều khiển ổn định ISS kháng nhiễu hệ thống

“Tiếp theo, sau đây ta sẽ xét bài toán điều khiển kháng nhiễu cho lớp cáo đối tượng

số nhiễu đ(#) tác động trực tiếp bên trong với mô hình trạng thái:

42-2) +owarHou (1.36)

trong đó Œ(x) là ra trận kiểu xxr (n hàng, r cột) và #f(x) là raa trận kiểu nxm, vdin la

số biến trạng théi (€R”), r là số cáo tín hiệu nhiễu (đ4eR”) và ø là số các tín hiệu đầu vao (weR™)

Sau day ta a8 ky higu che vector hang cla G(x) là ø,(<),Ø,(£), « (3) và của

TH là hà), ha), » By(g) Nhiệm vụ của bài toán điểu khiển kháng nhiễu là phải thiết kế bộ điểu khiển phản hồi trạng thái #=r(£) cho đối tượng (1.36) sao cho cùng với nó, hệ kín trở thành ổn định 188 theo đ(¿) và có miễn hấp dẫn À càng nhỗ càng tối,

Sự tên tại của lời giải cho bài toán này đã được chứng mình trong các tài liệu của Đraly hay Sontag Tuy nhiên cáo lài liệu đó lại không chỉ ra được một phương pháp cụ thể

nào để xác định bộ điểu khiển Định lý sau đây là một đóng góp của để tài bà đấp sự khiếm khuyết đó, Để chỉ ra được bộ điều khiển cụ thể (1.38), (1.39), định lý đã đưa thêm

vào điều kiện (13T) Điểu kiện này có thể làm hẹp miễn đối tượng thích ứng cho định lý,

aong lại giải quyết được triệt để bài toán là chỉ ra được một bộ điều khiển cụ thể và một

xuiển hếp dẫn tương ứng với nó,

Định lý 17: Giả sử V(œ) là hàm ƠLE của đối tượng, S=ƒf()*G) và v(x) là bộ điều khiển phản hỗi trạng thái tương ứng, tứo là: 1£) < Y(© < z(4) — với te av 2; L@+H()ø(9] < -WŒ)

ale) = W@ s exile) vỗ Øi,2;eKE

Si dung ky higu vector a(x) và miễn Z giống như công thức (1.12) cña ví dụ Lã Ky hiệu tiếp:

Trang 26

ch di Vậy thì a) _ Nếu tổn tại một hằng aố p>1 để với mọi xeZ luôn of: Eyer 4 (|? < =e(|z|), (1.37) với ø là hàm thuộc lép K théa man: Luge o> —| ti đó

Wola» Ha, one ae sec

thì V(z) cũng là hàm ISS-CLF eda déi tugng (1.36) và: u (x) = Đ(,)—Rfe(x), (R>0 tày chọn) (2.38) 1à một bộ điểu khiển ổn định S8 tưởng ứng, trong đó khi HEE x£Z (1.39) ty ý khi ceZ Nhà bộ điều khiển (1.28) này, hệ kín gồm đối tượng (1.36) và bộ điểu khiển (1.38) sẽ có miễn hếp dẫn:

A={xeR"| kem (HE) a (=) 4 Reg (40)

b) Luén tổn tại bộ digu khién én dinh ISS u(c) theo cấu trúc (1.38) có tinh liên tực Chứng mảnh: Xem trong báo cáo kết quả [28] của để tài ð phân 4

Vĩ dụ 1.9: Thiết kế bộ điều khiển ổn định ISS với đổi tượng có nhiễu hệ thống

Gho đối tượng có nhiễu, mô tả bởi #-E2]*Ä)*ll* f@ di) WS 6 thé thay 461 tugng khéng có nhiễu tương ứng (đ=0) suy ra từ đối tượng đã cho có hàm CLF 1 1

Vig) = pat t ple tat

Trang 27

và bộ điểu khiển ẩn định tiệm cận toàn cục:

-n(œ@)~ 1V

1Ð { ata

bất kỳ nếu x€Z

nếu #Z

trong 46 (x) 18 ham xáo định đương chọn bùy ý

Trang 28

HQ) = Bang Defy) + af (opt of [TÃ +16(xạ+ sŸ)+32 ¿+ s;)"] x

4.3 Điều khiển tuyến tính hóa chính xác trên nền hình học vi phân

4.3.4 Cơng cụ tốn học: Hình học vi phân Đạo hàm Lie ho một hàm vé huéng v(x), Dao ham Lie cia né doc theo quỹ đạo trạng thái bự đo xí?) cđa hệ khơng bị kích thích: (1.41) được hiểu là v(x) Lyv(x) =P aor F(x) (1.42)

“Thực ra phép tính đạo ham Lyv(x) cla v(z) đã được biết đến từ tiêu chuẩn 1yapunov Nó đo sự thay đổi giá trị cña ø(£) đọc theo cŒ) là nghiệm của (1.41)

Ham Lyo(z) cũng là hàm vô hướng giống như ø (2) và có các tính chất sau 1) Cho métvector ham f(z) va hai ham vé huéng v(g), w(x) Khi a6 a8 có Lygol) = Lye(a)-w(e) 2) Cho hai vector ham f(x), g(x) vA mét ham vé huting » (x), Vay thi a(t) Lgl yv(e) = — B2)= (aly): wl) vũ dutey = He oa we), +] ax Be,” Ay a, 3) Cho vector ham ƒ(2), một hàm vô hướng (+) và một a6 nguyén k, Vay thi 1 age deft)

Phép nhân Lie (hay phép ngoặc Lie)

Trang 29

Cho hai vector ham f(z) và g(2) Phép nhân Lie của chúng được hiểu là:

[Z.z] = (1.48)

Song song cùng với ký hiệu [ƒ, ø], mà người ta vẫn gợi là ngoặc vudng Lie (Lie bracket),

phép nhân Lie định nghĩa như trên thường còn được viết thành:

[fg] = ade

Như vậy kết quả của phép nhân Láe của hai vector ham f(x) và g(x) lại là một vector hầm Nó đo tốc độ thay đổi của vector a(z) doc theo quỹ đạo trạng théi ty do x(t)

của hệ (1.41) Phép tính nhân Lie có những tính chất sau:

1) Cho hai vector ham f(x), g(x) và một aố nguyên Ä Vậy thì

[Z,g]=-[ø,f] — Giính phản đố xứng)

adjg = ad, adf* ¢ = [f,adf*g]

2) Cho hai vector ham f(x), a(x), va hàm vô hướng ø(z) Vậy thì Tnggitt = sayy Up Lge Lyle

3) Cho hai vector ham f(x), g(x), hai ham v6 huénga(z), (x) Vay thi

Is£,sz] = #57, 1+ [1yb)2z~(z,z)5£

4) Véi che vector ham v(x), Belz), B(x) và hai số thựerạ, ry 06:

[rizatrave, 2) = riler, 2] + rales, 2] [A, rivatreve] = ral, zl + rel, vel

5) Bavector ham f(x), g(x), h(a) luén théa man tinh déng dang Jacobi: (é.te.2)] + [z.lx.£]] + [x[7, z]] = ®

6) Néu hai vector f(x), (x) tiếp tuyến với một đa tạp thì [ƒ, ø]()= ad g(2) cũng là

mét vector tiép tuyến với đa tạp đó

tu chuẩn Frobanius

Trang 30

Dưới khái niệm hờm mở rộng của hình học vi phân người ta hiểu một ánh xạ À gần mỗi phần tử cña không gian veotor n chiều R” thành một không gian veotor con À(£) với đ chiều (đấm) trong R”

Argh A)

Vì là một không gian vector có số chiều bằng ở nên trong A(z) phải tốn tại d vector ile) Đ2(E), bạ(2) độc lập tuyến tính sao cho Á(z) là tập hợp của tất cễ cáo vector

e(£) dạng bổ hợp tuyến bính của chúng, tức là

wes Env) eA) voi mọi reR 5

Nói cách khác:

A(&)= span(0i(2), 0a(X), « , P2)

Ham mé rong A(z) có số chiều ở với bộ cơ 98 py(z), vole), - » Bale) trong lan

& duge goi là xoẩn (involutive) néu tích 1ie cña hai phần tổ bất kỳ thuộc A(z) cũng thuộc A() Nói cách kháo, từ lạ (2) và 2z(2) là hai phần bử bất kỳ thuộc A(£) thì cũng sẽ có

[21 2o(2)] €A(®) Nhu vay, khi x cố định thì hàrn mổ rộng xoắn là một đại aố 1úe C6 thé thấy, cần và đủ để

A(&)= span( (2), volo), « , b2())

là hàm mô rộng xoấn là:

[z;(,zz(©)] <A(2) với mợi 14(,jSđ,

Moi ham mé rng A(x)= apan(y(x)) 06 af chiéu bang 1 là xoấn, vì

yo 22

ho hàm mổ rộng A(z) có số chiểu bằng đ Hàm mở rộng trực giao, ký hiệu bồi AT (œ), được hiểu là không gian veotor con gồm các phần tử ;ø (z) là vector hàng thốa

mãn:

At(2= {0 Œœ) | m”=0 và p(2)eA()}

Vậy thì

đìmA T(g)=n—~đ

trong đó œ là số chiểu cđa khơng gian vector các phần tử x, Nếu ký hiệu:

Trang 31

+

A 0= apan( tu (4), 105,2(2), , 2(4))

sẽ cồn có thêm:

wa ale) v,()=0 véi mgi 1SkSn-d và Isisd

Xé mét ham méréng A(x)CR” ed so chiéu bang d Néu tén tai n¬d hàm oò hướng

maar, Marg(e)y oo » my(e) sao chờ

AM) = spanBm,i(G), đma,sG9, «, đa ())

oối đm ;(©),Í=d+ 1, vn là lý hiệu

đơn(2= 209) ( % 8m() - 8m) „ 8 -m,(4) ñn ` ân ` ân

thi A(x) gol là tích phân được hoàn loàn Theo Probenius, cần vic di dé A(z) tich phan

được hoàn toàn là nó phải xoắn 1.3.2 Bậc tương đổi Xét hệ tuyén tinh SISO được mô tả bằng hàm truy ển đạt hợp thức chat Tố la 1 + gọn oty=nbths+ dy test trong &6 men (1.44)

Thi đó, bác tương đối được hiểu là higu r=(n-m)21

Trang 32

Tim =0 khi k>zmL oo gir nên chuỗi trên trổ thành tổng của hữu hạn z phần tử đầu tiên: “Từ đây, để vế trái bằng giá trị hữu hạn È thì cẩn và đủ là: (1.46) #0 khi ker-1 {3 khi 0<R<r-2

Nói cách khác, bậc tướng đối r=w—rm cồn có thể được xáo định trực tiếp từ mô hình trạng thái (1.46) cña hệ theo công thức (1.46)

Chuyén aang hé phi tuyến và với aự gợi ý của công thức tính (1.46), khái niệm bậc tướng đối của hệ SISO có mô hình afñne theo tín hiệu vào w

FoF Mau

y= a(x) (1.47)

được định nghĩa như sau:

Bo tưởng đối lại điểm trạng thái x của hệ (L4) là số Lự nhiên Ð mà trong lân cận & théa min: 1yigj2=|70 Khi 0<k<r~e Os tràn “18 #0 khi k=r-1 g(a)=e"x, hai cong thtte (1.46) C6 thé thay duge ngey rang véi f(<)=Ax, A(x)= và (1.48) sẽ đồng nhất, vi

1}a(@O=g 7A1 cm U1g(©=g A*E

Ghủ ÿ: Hệ phi tuyến (1.47) có thể có bậc tưởng đối khác nhau ở những điểm trạng

Trang 33

Lyla) = Ly Leal) Lnlhaley)

“Trong quá trình sử dụng công thức (1.48) để xác định bậc tưởng đối, ta oó tính chất hữu ích sau của nó

Cho hei vector him f(x), h(x) ve mét ham v6 hutdng gx) Vey thi hai phat biểu sau là lưỡng đường: a) Tạg(4)= IyLrg()= 12a()=0 (149) bd) lạ g2)“ Hư ưG)= ch =Ù „800 (1.50) 4.3.3 Dang méhinh chudn (normal form)

Trang 34

1D mạặQ =1 lg@) với k=lL,3, ,

2) m—r hàm cồn lei mg(z), k=r+l, ,m được chon aao cho z=m(x) trổ thành một vỉ phôi trong lân cận x (df#omorphism) Những hàm như vậy luôn tổn lại, thậm chí,

người ta bao giờ cũng cồn tìm được ø~r ham mg(x) 6 Lymy(x)=0, k=rtl, ,m để #Pzm(z) là một vi phổi, ta sẽ được: ag dx ax dt Eyal) + Tyee) u = Lpgl)= m= 29 OLse a EP SE = L}glx) + Iglyale)u = Hale)= ma(a)=25 TỊ a(6) + Tạ DỰ g(3)w = TƑ 8(4)=: mụ (4) Tyga) + Lyle us Lean) + Lạ 1ˆ gỤm ”(2)) u= ø (ø) +ö(2)u sa) 8) ôm ¡ de ox dt ()= si) = pms) + Lgl U= Lym > a m,(#)+ Inm,(@)u= Lym,(m"(@)= ¢y (2) sạ_,(2) Suy ra: >ị ez na 2, "` (61) Srl “(2 Zn Gyr (2) a

"Tổng kết lại, ta đi đến két luan: “Phép d& truc toa dé vi phôi:

Trang 35

a) Ly atx) 2= m(x) =| Lp tg(x) Mp1) m, (x) trong dé: Tạm (=0, k=r+l, vn,

sẽ chuyển hệ (LÁT) qó bậc lương đổi r vé dang chudn (1.61), tức là dụng mà tín liệu điều khiển u chỉ xuất hiện đuy nhất trong một phường trinh"

1.3.4 Tuyến tính hóa chính xác quan hệ vào-ra

ho hệ afñne với mô hình (1.47) bậo œ (só n biến trạng thái) Nếu như hệ có bậc tưởng đối r định nghĩa theo (1.48) thỗa mãn r=n thì đạng mô hình chuẩn của nó sẽ như sau: (152) trong đó: 5 ¬.- và: a= Tale), 5= 12 1Ƒ s3) "Từ đây ta thấy, nếu đặt: ¡ð = a(2)+B(2)u & - -a(2)+ip_ Has) 1 » (1.53) #2) đƑ 4X) Lhe a(x) P(e) ae)

thì hệ sẽ chuyển được về đạng tuyến tính theo biến trang thdi z nhu au:

Trang 36

z+| ` | = Ag+bi (1.54) (1.55) p()+4(4):0

Hinh 1.4: Didu khiển tuyến tính hóa chính xác quan hệ uào~ra đổi tượng a[fine

Ví dụ 1.40: Thiết kế bộ điều khiển tuyến tính hóa chính xác quan hệ vào-ra Gho đối tượng phi tuyến bậc hai (»= 3) di: % 0 ¬ at C2) Q» yearn f2 Mã) = šÔSs of Jes

1z Ty a()= 1ạxz=(0 s(}£te Tale)=(0 oI “ ain ty =

nên đối tượng có bào tương đối r=2 trong toàn bộ không gian trạng thái Vậy, đối tượng sẽ

được tuyến tính hóa chính xác bằng bộ điều khiển phản hổi trạng thái 1= p() tq(4):0 -1a(z) = = sing , Ey Ly alc)

Hệ kín gồm đối tượng và bộ điều khiển sẽ có mô hình

Trang 37

0 1) (0 2-( 2z): #=zi=(L 0z Giữa biến trạng thái cũ x và biến trạng thái mới z só quan hệ: sứ) aja) SAS |“: x aa} (tea) (a 5 _ Tuyến tính hóa chính xác quan hệ vào-trạng thái

Như ta thấy ở mục trên, để có được bộ điều khiển tuyến tính hóa chính xác (1.53) cho đối tượng phi tuyến SISO affine theo tín hiệu vào u (1.47) thì cần phải só giả thiết đối tượng (1.4T) có bậc tưởng đối r=m Điều này không phải lúc nào cũng được thỗa mãn

Đối với những hệ affine (1.47) có bậc tưởng đối r<n, và để tuyến tính hóa chính xá nó, ít nhất là ð quan hệ vào-trạng théi, tức là chỉ cần đưa nó được về đạng (1.64) cồn lại không quan tâm tới đầu ra (1B), người ta sẽ tìm một đều ra khác ƒ=4(z) gọi là đầu ra hình thức, để với nó có được: =0 khi 0<k<m-2 (1.66) #0 khi ken-1 1,192(2=| tức là hệ dx (+ WE) ae 5= Ma)

có bậo tương đối r=w Khi đó, ta sẽ lại có được bộ điều khiển tuyến tính hóa chính xác cho nó, được gọi là bộ điều khiển tuyến tính hóa chính xác quan hệ vào-trạng thái

Vấn để cồn lại là tìm ham A(x) như thế nào để được (1.66) Dựa theo tính tương đương cña (1.49) và (1.60), ta sẽ tim A(z) thda man =0 khi 0<k<m-2 #0 khi kon-1 Bax) ax Lago ad} W(x) -{ Ax) Ox m

(B®), ad, We), « ad? ?h(x))=0) sư)

Như vậy, hệ (1.4T) sẽ tuyến tính hóa chính xác vào-trạng thái được khi và chỉ khi nó điểu khiển được và phương trình vi phân (1T) có nghiệm hay A(x), hàm mổ rộng:

A@=span(h(x), ad,h(x), ,adf*R(x)) (1.58)

Trang 38

phải tích phân được Theo tiêu chuẩn Frobenius, điểu kiện này tương đương với A(£) phải xoắn Vậy: "ân uà đủ để hệ (LÁT) tuyến tính hóa quan hệ oào “trạng thái điợn là

— Nó phải điều khiển được, pà — Hàm mô rộng (1.B8) phải xoắn”

Nếu hàm mỗ rộng (1.68) xoấn thì Ä(z) sẽ được xác định một cách khá đơn giản từ phương trình (1.õT)

Trang 39

nén [A(x), ad h() | 18 phy thuge tuyén tinh vao h(x) vA adyh(x), hay

[A(2), ad; h(x)] € A(x)

và như vậy A(z) 1A ham mé réng xoắn

“Tiếp tục, để tìm 4(z), ta đi từ phương trình (1.57)

oO 0

22 (,ad,se)= 29 [[o| , |Z~ _: % ||] "Í