Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Học sinh giỏi 99 Tỉnh Sơn La ĐỀ BÀI Câu 1: (4,0 điểm) A a) Rút gọn biểu thức: b) Cho biểu thức x 1 1 2x x x x x x x x x2 x x x với x 0, x 1 P x3 12 x 31 2023 3 Tính giá trị biểu thức P x 16 16 Câu 2: (4,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình y 2 x a parabol (P) có phương trình: y ax (a 0) a) Tìm a để đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A vàB Chứng minh A B nằm bên phải trục tung b) Gọi x A , xB hoành độ A vàB Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x A x B x A x B Câu 3: (4,0 điểm) a) T Giải hệ phương trình: b) 6 x xy x 1 y 2 x y 1 a b2 9ab 11 a b 11 a , b Cho Chứng minh rằng: Nếu Câu 4: (6,0 điểm) Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Gọi BD CE hai đường cao ABC Gọi R giao điểm BD với (O ) (R khác điểm B ), S giao điểm CE với (O) (S khác điểm C ) Tia AO cắt BC M cắt cung nhỏ BC N Tia BO cắt AC P Tia CO cắt AB F Chứng minh rằng: a) Tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC b) DE // SR AN tia phân giác góc SAR MB.MC PC.PA FA.FB 1 PB FC c) MA Câu 5: (2,0 điểm) x, y, z thỏa mãn xyz 1 Chứng minh rằng: a) Cho số thực dương xy yz zx x yz y 1 z 1 x 1 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 b) Xét 100 số tự nhiên liên tiếp 1, 2,3, ,100 Gọi A số thu cách cách tùy ý 100 số thành dãy, B số thu cách đặt cách tùy ý dấu cộng vào chữ số A Chứng minh A B không chia hết cho 2046 -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: (4,0 điểm) A a) Rút gọn biểu thức: x 1 x x x x P x 12 x 31 b) Cho biểu thức: 1 x x x x x x 1 x x với x 0, x 1 2023 3 Tính giá trị biểu thức P x 16 16 Giải a) Với x 0, x 1 , ta có: A x 1 x x x x 1 x x x x x x 1 x x x 1 1 x x x x x 1 x x x x 1 A x 1 x x 1 x x 1 x x x x x 1 x 1 x x x x x x 1 x x x x x x x 1 x x 1 x x x x x x 1 x x 1 x x 1 x 2 x x 1 x x 1 x 2 x x 1 A Vậy x 2 x x , với x 0, x 1 3 x 3 16 16 1 1 1 b) Ta có: Thay x vào biểu thức P , ta được: P 23 12.2 31 2023 2 12023 1 3 Vậy với x 16 16 biểu thức P có giá trị Câu 2: (4,0 điểm) d P Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng có phương trình y 2 x a parabol có y ax a phương trình: d P a) Tìm a để đường thẳng cắt parabol hai điểm phân biệt A B Chứng minh A B nằm bên phải trục tung b) Gọi x A , xB hoành độ A B Tìm giá trị nhỏ biểu thức: CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 T x A xB x A x B Giải d P a) Ta có hoành độ giao điểm đường thẳng parabol nghiệm phương trình ax x a ax x a 0 * hoành độ: ' 1 a d cắt P hai điểm phân biệt phương trình * có hai nghiệm phân biệt ' a3 a Kết hợp với điều kiện a , ta có: a * Với a , phương trình có hai nghiệm phân biệt, theo định lí Viet, ta có: x A xB a x x a a A B a xA x A xB a xB xA xB a 0 a Với , ta có: Do hai điểm A B có hồnh độ dương nên A B nằm bên phải trục.tung x A xB a x x a b) Theo câu a, ta có: A B 1 T 2a a a a Khi đó: Vì a nên áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương, ta 1 T 2a 2 2a 2 a a được: 0 a 1 TM a 2 2a a Dấu “=” xảy T 2 a Vậy: Câu 3: (4,0 điểm) 6 x xy x 1 y x y 1 a) Giải hệ phương trình: a b2 9ab 11 a b2 11 b) Cho a, b Chứng minh rằng: Nếu Giải 6 x xy x 1 y x y 1 a) Giải hệ phương trình: CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 2 Ta có: x xy x 1 y x 3xy x y x 0 x(2 x - y) - (2x - y) +(3x - 1)= (2 x - y +1) (3x - 1)= x 0 x y 0 * Với: * Với: 2 3x 0 x y y 2 x y Thay x vào phương trình , ta có: x y 0 y 2 x 2 Thế y vào phương trình x y 1 , ta có: x 0 x x 0 x (5 x 4) 0 x ) x 0 y 1 ) x y 5 1 2 1 2 3 ; ; ; ;(0;1); ; 3 3 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm: a b2 9ab 11 a b2 11 b) Cho a, b Chứng minh rằng: Nếu 2 Ta có: a b 9ab 11 a b 2ab 11ab 11 (a b) 11ab 11 ( a b) 11 a b 11 (vì 11 số nguyên tố) 2 Mặt khác: a b (a b)(a b) a b 11 nên (a b)(a b) 11 2 Hay a b 11 (điều phải chứng minh) Câu 4: (6,0 điểm) Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Gọi BD CE hai đường cao ABC Gọi R giao điểm BD với (O ) (R khác điểm B ), S giao điểm CE với (O) (S khác điểm C ) Tia AO cắt BC M cắt cung nhỏ BC N Tia BO cắt AC P Tia CO cắt AB F Chứng minh rằng: b) Tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC b) DE // SR AN tia phân giác góc SAR MB.MC PC.PA FA.FB 1 PB FC c) MA Giải CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 A R G F I S E K J P O H B Q D C M N a) Chứng minh: ADE ∽ ABC Vì BD CE hai đường cao ABC (GT) nên BEC BDC 90 tứ giác BEDC nội tiếp BCA AED (cùng bù BED ) Xét ADE ABC Có: DAE BAC BCA AED (cmt) ADE ∽ ABC (g – g) b) Chứng minh DE // SR AN tia phân giác góc SAR Ta có: Tứ giác BEDC nội tiếp (chứng minh trên) CBD CED (hai góc nội tiếp chắn DC ) Xét (O) có: CBR CSR (hai góc nội tiếp chắn CR ) CED CSR (CBD ) mà hai góc vị trí đồng vị DE // SR Lại có: EBD ECD (hai góc nội tiếp chắn DE ) Tức là: ABR ACS AR AS AR AS ASR cân tạiA Mặt khác: OS OR kết hợp với AR = AS suy AO đường trung trực SR ASR cân A có AO đường trung trực SR nên đồng thời đường phân giác góc SAR Do AN tia phân giác góc SAR MB.MC PA.PB FA.FB 1 PB FC c) Chứng minh: MA BO với cung nhỏ AC Q, giao điểm tia tia CO với cung nhỏ AB Gọi giao điểm tia G MN MC MN MB.MC MB MA MA MA2 Dễ thấy: MNC ∽ MBA (g – g) PQ PC PQ PA.PC PQC ∽ PAB (g – g) PA PB PB PB CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 FG FB FG FA.FB FGB ∽ FAC (g – g) FA FC FC FC MB.MC PA.PC FA.FB MN PQ FG MA2 PB FC MA PB FC Gọi H giao điểm BD CE; K giao điểm AH BC; J giao điểm AH cung nhỏ BC Ta có: AK BC BAK BCJ (hai góc nội tiếp chắn cung BJ) BAK BCH Lại có: (hai góc nội tiếp chắn cung EK) BCJ BCH CHJ cân C HK = KJ (1) Lại có : AJN 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên JN // BC MN KJ Theo định lí Ta – Lét, ta có: MA KA MN HK S HBC (2) MA KA S ABC Kết hợp với (1) ta có PQ S AHC FG S AHB PB S FC S ABC (4) ABC C/m tương tự: (3) MN PQ FG S HBC S AHC S AHB S ABC 1 MA PB FC S S S S ABC ABC ABC ABC Từ (2), (3) (4) Câu 5: (2,0 điểm) x, y, z thỏa mãn xyz 1 Chứng minh rằng: a) Cho số thực dương xy yz zx x yz y 1 z 1 x 1 b) Xét 100 số tự nhiên liên tiếp 1, 2,3, ,100 Gọi A số thu cách cách tùy ý 100 số thành dãy, B số thu cách đặt cách tùy ý dấu cộng vào chữ số A Chứng minh A B không chia hết cho 2046 Giải xy yz zx xy yz zx x yz x 1 y 1 z 1 3 y z x y z x a) Ta có: x y yz zx 3 y 1 z 1 x 1 x y z 1 x 1 y z y 1 x 1 z x y 1 z 1 3 x 1 y 1 z 1 x y z 1 x 1 y z y 1 x 1 z x y 1 z 1 3 x 1 y 1 z 1 xy yz zx 3( xy yz zx) x y z 3xyz 2( x y z ) 3( xyz xy yz zx x y z 1) (vì xyz 1 ) xy yz zx x y z x y z (*) y 1 0 y 2 y , tương tự z 2 z 1; x 2 x Ta có x y z 3 xyz 3 ; xy yz zx x y z x y 1 y z 1 z x 1 x y z Suy ra: Do để chứng minh BĐT (*) ta cần chứng minh: CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 x y 1 y z 1 z x 1 x y z x y z x y z x y z x y z x y z 3 x y z 1 0 Luôn x y z 3 Dấu “=” xảy x = y = z =1 b) Xét 100 số tự nhiên liên tiếp 1, 2,3, ,100 Gọi A số thu cách cách tùy ý 100 số thành dãy, B số thu cách đặt cách tùy ý dấu cộng vào chữ số A Chứng minh A B không chia hết cho 2046 Nhận xét: Ta thấy 2046 3 số tự nhiên m chia hết cho 2046 m chia hết cho , suy S(m) chia hết cho Với S(m) tổng chữ số số tự nhiên m + Kí hiệu: S(n) tổng chữ số số tự nhiên n Ta thấy từ tới 100 xuất 21 chữ số 1, xuất 20 chữ số từ đến Suy ra: S(A) = 21.1 + 20.(2 + + + + + + + 9) = 901 Mà: A S(A)(mod 3) tức là: A 901(mod 3) 1(mod 3) hay A không chia hết cho suy A không chia hết cho 2046 (1) + Giả sử sau đặt dấu cộng vào chữ số A, ta được: B b1 b2 bm S (b1 ) S (b2 ) S (bm ) (mod 3) S ( A) (mod 3) (Vì ta có n S (n) (mod 3) ) Suy S(B) không chia hết cho 2046 (2) Từ (1) (2) suy A B không chia hết cho 2046 -Hết CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang