50 hsg9 sóc trăng

Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Học sinh giỏi 99 Tỉnh Sóc Trăng Tự luận (10 điểm) Câu Câu Câu Câu   x   x 1 x  16 A   B  : 1   x    x  x   x x1 x (4,0 điểm) Cho hai biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  A B (4,0 điểm) a) Tìm số nguyên n cho số n  2000 n  2023 số phương 3 3 b) Cho M 1     2022 N 1     2022 Chứng minh M chia hết cho N (4,0 điểm) 2 x  y  xy 3  2 a) Giải phương trình:  x  y 6 b) Nhà bạn Hoa muốn thuê lắp đặt Internet cáp quang Khi tham khảo bảng giá hai công ty, thông tin sau: cơng ty V có thu phí lắp đặt ban đầu 500 000 đồng cước phí tháng 165 000 đồng; công ty F không thu phí lắp đặt ban đầu cước phí tháng 180 000 đồng Nếu chọn thuê công ty F sau năm bạn Hoa phải trả hết tiền? Nếu chọn công ty V , bạn Hoa phải th liên tục tháng tổng số tiền thuê phải trả chọn công ty F (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A , có AB 6 cm; AC 8cm AD đường phân giác Trên cạnh AC lấy điểm E cho CE 6 cm , tia đối tia AB lấy điểm F cho AF 4 cm Câu a) Tính diện tích tam giác ADC b) Gọi H hình chiếu E BC Trên cạnh AB lấy điểm I cho EI EH Gọi K   trung điểm IH Chứng minh CIH HBK c) Gọi G giao điểm BC EF Tính độ dài đoạn thẳng EG (4,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O , đường kính AB 2 Lấy hai điểm M , N nửa đường tròn cho MN 1 M nằm cung AN Gọi C giao điểm AM BN , I giao điểm AN BM a) Chứng minh CI  AB điểm C , I , M , N nằm đường trịn b) Tính giá trị biểu thức: CM CA  CN CB c) Tìm giá trị lớn diện tích tứ giác ABNM -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 HƯỚNG DẪN GIẢI Tự luận (10 điểm) Câu 1   x   x 1 x  16 A   B  : 1   x    x  x   x x1 x (4,0 điểm) Cho hai biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  A B Lời giải a) Rút gọn biểu thức A ĐKXĐ: x 0; x 1  x 1 A   x x1 A A A A A   x   : 1  x    x  x 1    x  1  x   :x x  1 x 1  x  x 1 x 1  x   x1  : x  x 1 x  x 1  x   x x  x  x 1 x   x 1   x   x  x 3 :  x x  x  x 1  x 1  x 1  x  1  x  x 1  x  1  x  x 1 x  x x x 3 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  A B Với x  0; x 1 ta có: T  A B  T x  16 x 3 x x  16 x 3 x  x   25 x 3   x   x   25 x 3 T 2 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: Vậy MinT 4 mãn) Câu x 3  25 x 3    x 3  x 3  25  x  3 25  x 3 25 x 3 25  x 3 x 3   10  4 x  5  x 2  x  (thỏa (4,0 điểm) CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 a) Tìm số nguyên n cho số n  2000 n  2023 số phương 3 3 b) Cho M 1     2022 N 1     2022 Chứng minh M chia hết cho N Lời giải a) Tìm số nguyên n cho số n  2000 n  2023 số phương 2  m, k   Đặt n  2000 k n  2023 m với m  k  n  2023   n  2000   m  k 23 Ta có:   m  k   m  k  23  m  k  1;  m  k  23  m  k  23;  m  k  1 Xét  m  k   1;  m  k   23 Xét  m  k   23;  m  k   Xét Xét m 12; k 11 m 12; k  11 Suy n  1879 m  12; k  11 m  12; k 11 Suy n  1879 Suy n  1879 Suy n  1879 Vậy n  1879 3 3 b) Cho M 1     2022 N 1     2022 Chứng minh M chia hết cho N Áp dụng công thức: n  n  1     n  ; Ta có: 13 12 23     12 33    3     … 2 2 k      k         k  1  n3      n   1      n  1  Cộng vế với vế đẳng thức trên, ta có: 13  23  33   n3      n  Câu M 13  23  33   20223      2022   M N Vậy: (4,0 điểm) 2 x  y  xy 3  2 a) Giải phương trình:  x  y 6 b) Nhà bạn Hoa muốn thuê lắp đặt Internet cáp quang Khi tham khảo bảng giá hai công ty, thơng tin sau: cơng ty V có thu phí lắp đặt ban đầu 500 000 đồng cước phí tháng 165 000 đồng; cơng ty F khơng thu phí lắp đặt ban đầu cước phí tháng 180 000 đồng Nếu chọn thuê công ty F sau năm bạn Hoa phải trả hết tiền? Nếu chọn công ty V , bạn Hoa phải thuê liên tục tháng tổng số tiền th phải trả chọn cơng ty F CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Lời giải 2 x  y  xy 3  2 a) Giải phương trình:  x  y 6  *  S  P 3   S  P  S  x  y ; P  xy  Đặt ta có :   S  S  S  12 0     ta có  S 6 Giải  S  P 6    S  P 6 2 S  P 3   S  4S  12 0  1  2  1 ta P 7 Suy x, y nghiệm phương trình: Với S  thay vào X  X  0   X  1  0  * vơ nghiệm (vơ lý) Nên hệ phương trình  1 ta P  Suy x, y nghiệm phương trình: Với S 6 thay vào  X   X  X  0    X 3  (thỏa)  x    x 3    *  y 3  y     Vậy hệ phương trình có nghiệm:  b) Nhà bạn Hoa muốn thuê lắp đặt Internet cáp quang Khi tham khảo bảng giá hai công ty, thông tin sau: công ty V có thu phí lắp đặt ban đầu 500 000 đồng cước phí tháng 165 000 đồng; cơng ty F khơng thu phí lắp đặt ban đầu cước phí tháng 180 000 đồng - Nếu chọn th cơng ty F sau năm bạn Hoa phải trả số tiền là: 180 000.12 2 160 000 (đồng) - Nếu chọn công ty V , bạn Hoa phải thuê liên tục số tháng để tổng số tiền thuê phải trả chọn công ty F Gọi t (tháng) số tháng cần tìm Số tiền Hoa trả chọn công ty V 165 000.t  500 000 (đồng) Số tiền Hoa trả chọn công ty F 180 000.t (đồng) Theo đề ta có: 165 000.t  500 000  180 000.t Câu  500 000  15 000.t 100 t Vậy Hoa phải th 34 tháng tổng số tiền th phải trả cho cơng ty V chọn công ty F (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A , có AB 6 cm; AC 8cm AD đường phân giác Trên cạnh AC lấy điểm E cho CE 6 cm , tia đối tia AB lấy điểm F cho AF 4 cm a) Tính diện tích tam giác ADC b) Gọi H hình chiếu E BC Trên cạnh AB lấy điểm I cho EI EH Gọi K   trung điểm IH Chứng minh CIH HBK c) Gọi G giao điểm BC EF Tính độ dài đoạn thẳng EG CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Lời giải B a) Tính diện tích tam giác ADC SACD AC DC S ACD AC     S ABD  S ACD AB  AC Ta có AB BD S ABD D Hay S ACD 4.S ABC 6.8 96    S ACD    (cm ) SABC  7 7 C A B I K' M A H E C G b) Cách 1: Kẻ EM  CI (M thuộc CI), Khi ta có CME#CAI (g.g)  CE.CA=CM.CI , tương tự ta có CE.CA = CH.CB   Do CM.CI = CH.CB suy tứ giác BIMH nội tiếp suy HBM HIM (*) , gọi    K’ giao điểm BM với IH suy H M M 0     Mặt khác EHI 90  H 90  M M , EH = EI (theo giả thiết) suy     EHI EIH  EIH M Suy tứ giác IK’ME tứ giác nội tiếp B  ' I EMI  EK 900  EK '  HI suy K’ trung điểm IH, K’ trùng với K kết hợp với (*) suy   CIH HBK (đpcm) Cách 2: Kẻ EM  CI (M thuộc CI), Khi ta có, tương tự cách ta có: CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 I K M A E H G  Trang  C Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023   BIMH nội tiếp suy HBM HIM (*) , Vì K trung điểm IH, mà EH =EI nên EK vng góc với IH Suy tứ giác IKME nội tiếp đường trịn đường kính IE, gọi G giao điểm 0     KM với AC suy KIE M 90  M 90  IMK (1) 0     Do EH = EI suy KIE EHI 90  BHI 90  IMB (2)   IMK Từ (1) (2) suy IMB suy M, K, B thẳng hàng, kết hợp vói (*) suy   CIH HBK (đpcm) c) Gọi G giao điểm BC EF Tính độ dài đoạn thẳng EG Áp dụng định lý Menelaus ta có: GB.FA.EC 1  GC.FB.EA EG.FA.CB 1  EF AB.CG GB FB.EA CG     GC FA.EC CB 11 EG AB.CG   EF FA.CB 11 18 FE 2  EG   cm  11 mà 18 EG  cm 11 Vậy Câu (4,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O , đường kính AB 2 Lấy hai điểm M , N nửa đường tròn cho MN 1 M nằm cung AN Gọi C giao điểm AM BN , I giao điểm AN BM a) Chứng minh CI  AB điểm C , I , M , N nằm đường trịn b) Tính giá trị biểu thức: CM CA  CN CB c) Tìm giá trị lớn diện tích tứ giác ABNM C N M I B A H O Lời giải a) Chứng minh CI  AB điểm C , I , M , N nằm đường trịn CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 C N M I B A O  O  có: ABM nội tiếp  A, B, M   O   đường kính AB nên ABM vuông M Xét Suy BM  AC nên BM đường cao ABC  O  có: ABN nội tiếp  A, B, N   O   đường kính AB nên ABN vng N Xét Suy AN  BC nên AN đường cao ABC Xét ABC có : BM , AN hai đường cao (chứng minh trên) BM , AN cắt I Do I trực tâm ABC nên CI  AB  CMB 90  BM  AC    90  AN  BC  CNA Xét tứ giác CMIN có:    Nên CMI  CNI 180 tứ giác CMIN nội tiếp đường trịn đường kính CI Vậy điểm C , I , M , N nằm đường trịn đường kính CI b) Tính giá trị biểu thức: CM CA  CN CB C N M H I B A H O Kẻ tiếp tuyến CH đường trịn đường kính AB 2 2 Dễ thấy CM AC CN CB CH OC  OH OC  CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Do CM CA  CN CB 2 OC    0   Ta có tam giác OMN MAN 30  ACB 60 khơng đổi nên C thuộc cung trịn nhìn cạnh AB khơng đổi góc 60 suy OC thay đổi Từ tích CM CA  CN CB khơng có giá trị cụ thể Đổi lại, tính AM CA  BN CB AM CA  BN CB  AH AB  CH AB  AB  AH  CH   AB AB  AB 2 4 Ta có: AM AC  BN BC  Vậy c) Tìm giá trị lớn diện tích tứ giác ABNM F b G A b a B D E C Cách 1: Trước hết ta chứng minh toán phụ: với tam giác nhọn ABC ta ln có:      s in C  2.sin B  C S ABC  AB AC sin BAC s in B (*) (nếu góc A khơng tù),  S ABC  AB AC.sin 1800  BAC góc A tù Kẻ đường cao AD tam giác ABC , CF vng góc với phân giác A tam giác ABC Kẻ EF vng góc với BC (Hình vẽ) Đặt AB a, AC b suy BF a  b AD a a.FE   AD  a b Ta có: FE a  b     s in C  2.sin B  C s in B Suy ra: AD AD CF FE a.FE CE        FE CE a b b a  b b( a  b ) b Dấu “ ” xảy tam ABC giác cân A Ta có điều phải chứng minh  CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268   Trang  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 F b G A b a E D C B Chú ý trường hợp tam giác ABC có góc B C góc tù ta có:     s in C  2.sin B  C s in 1800  B (nếu góc B góc tù) Chứng minh hình vẽ   Áp dụng tính chất S ABNM  S AOM  SOBN  SOMN ta C có: N M 60° A B O   ON OB.sin O   OM OA.sin 60  OM OA.sin O 2     sin O     sin O1  O    sin O  4     3 3    4 (đơn vị diện tích) Vậy diện tích tứ giác ABNM đạt giá trị lớn là: 3 dấu xảy tam giác BAC C sin 600  N L M I Cách A CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 G Q O R B  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Gọi L trung điểm MN , G, Q, R hình chiếu vng góc M , L, N AB Khi ta có: MG  NR  2.LQ 2.OL 2  S ABNM S AOM  SOBN  SOMN 1  OA.MG  ON NR  2 3   MG  NR   LQ  4 3 3 OL     4 Q Dấu “ ”xảy trùng O , tức LO vng góc với AB nên MN //BA suy tam giác ABC -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 10  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 11  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 12 