TRƯỜNG THPT ĐẠI NGÃI ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I NĂM HỌC 2011 – 2012 TỔ TOÁN Môn: TOÁN – LỚP 12 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài :150 phút Họ, tên học sinh: . Lớp : Số báo danh: Câu 1. (4 điểm) Cho hàm số 3 2 2 2 2 y x x x = − − . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số đã cho. 2. Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị ( ) C với đường thẳng 1 3 2 2 y x = − . 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) C , biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 8 . Câu 2. (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 ( ) 1 x x f x x − + = + trên đoạn 5 0; 2 . Câu 3. (2 điểm) 1. Giải phương trình: 1 5 2.5 3 0 x x− − − = . 2. Giải bất phương trình : ( ) 2 3 3 2 log 5 41 2 1 log x x − ≥ − . Câu 4. (3 điểm) 1. Cho hình lăng trụ . ABC A B C ′ ′ ′ có đáy là tam giác ABC với 13 AB = cm, 14 BC = cm, 15 CA = cm; cạnh bên vuông góc với mặt đáy và 16 AA ′ = cm. Tính thể tích khối lăng trụ . ABC A B C ′ ′ ′ . 2. Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác ABC với 3 AB a = , 4 BC a = , 0 30 ABC = ; cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy; mặt phẳng ( ) SBC tạo với mặt phẳng ( ) ABC một góc 0 45 . Tính theo a thể tích khối chóp . S ABC . 3. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với 6 AB a = , 4 BC a = ; mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ) ABCD ; cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 0 60 . Gọi M là trung điểm cạnh AB, tính theo a thể tích khối chóp . S AMCD . HẾT Học sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. MÃ ĐỀ: 01 ĐÁP ÁN ĐỀ 01 1 TRƯỜNG THPT ĐẠI NGÃI KIỂM TRA HỌC KỲ I NĂM HỌC 2011 – 2012 TỔ TOÁN Môn: TOÁN – LỚP 12 (Đáp án có 04 trang) Thời gian làm bài :150 phút ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM (MÃ ĐỀ 01) Câu Ý Nội dung Điểm 1. (4 điểm) 3 2 2 2 2 y x x x = − − 1. (2 điểm) Khảo sát hàm số đã cho a) Tập xác định: » . 0.25 b) Sự biến thiên o Đạo hàm: 2 6 4 2 y x x ′ = − − ; 1 0 1 3 x y x = ′ = ⇔ = − . 0.25 o Giới hạn: lim ; lim . x x y y →+∞ →−∞ = +∞ = −∞ 0.25 o Bảng biến thiên x −∞ 1 3 − 1 +∞ y ′ + 0 − 0 + 10 27 y −∞ 2 − +∞ 0.25 o Chiều biến thiên: + Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 1 ; 3 −∞ − và (1; ) +∞ ; + Hàm số nghịch biến trên khoảng 1 ;1 3 − . 0.25 o Cực trị: + Hàm số đạt cực đại tại 1 3 x = − và 1 10 3 27 y y = − = CĐ ; + Hàm số đạt cực tiểu tại 1 x = và CT (1) 2 y y = = − . 0.25 c) Đồ thị 0,5 ĐÁP ÁN ĐỀ 01 2 2. (1 điểm) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị ( ) C với đường thẳng 1 3 2 2 y x = − . Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: 3 2 1 3 2 2 2 2 2 x x x x − − = − (1). 0.25 3 2 1 5 3 3 (1) 2 2 0 2 2 2 1 2 x x x x x x = − ⇔ − − + = ⇔ = = . 0.25 o Với 1 x = − thì 2 y = − ; o Với 3 2 x = thì 3 4 y = − ; o Với 1 2 x = thì 5 4 y = − . Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là: ( ) 3 3 1 5 1; 2 ; ; ; ; 2 4 2 4 − − − − . 0,5 3.(1 điểm) Viết pttt của đồ thị ( ) C , biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 8 . Tiếp tuyến ∆ của đồ thị hàm số 3 2 ( ) 2 2 2 y f x x x x = = − − tại điểm ( ) 0 0 0 ; M x y (với 0 0 ( ) y f x = ) có phương trình ( ) 0 0 0 ( ) y y f x x x ′ − = − . 0.25 Ta có: ∆ có hệ số góc bằng 8 0 ( ) 8 f x ′ ⇔ = 2 0 0 6 4 10 0 x x ⇔ − − = 0 0 5 3 1 x x = ⇔ = − . 0.25 Với 0 5 3 x = thì 0 10 27 y = , ta được tiếp tuyến 1 350 : 8 27 y x∆ = − ; 0.25 Với 0 1 x = − thì 0 2 y = − , ta được tiếp tuyến 2 : 8 6 y x ∆ = + . ĐS: 350 8 27 y x= − , 8 6 y x = + . 0.25 2.(1 điểm) Tìm GTLN và GTNN của hàm số 2 2 ( ) 1 x x f x x − + = + trên đoạn 5 0; 2 . Ta có: ( ) 2 2 2 3 ( ) 1 x x f x x + − ′ = + ; 0.25 2 ( ) 0 2 3 0 1 5 5 0 0 2 2 f x x x x x x ′ = + − = ⇔ ⇔ = < < < < ; 0.25 5 23 (0) 2; (1) 1; 2 14 f f f = = = . 0.25 ĐÁP ÁN ĐỀ 01 3 Do đó: [ ] 0;2 min ( ) (1) 1; x f x f ∈ = = [ ] 0;2 max ( ) (0) 2 x f x f ∈ = = . 0.25 Câu 3 (2 điểm) 1. (1 điểm) Giải phương trình: 1 5 2.5 3 0 x x− − − = . Ta có: ( ) 2 1 5 2.5 3 0 5 3.5 10 0 x x x x− − − = ⇔ − − = . Đặt 5 x t = , ta được phương trình 2 3 10 0 t t − − = (2). 0.25 Phương trình (2) có hai nghiệm 1 2 2, 5 t t = − = . 0.25 Khi 2 t = − ta được 5 2 x = − . Phương trình này vô nghiệm. 0.25 Khi 5 t = ta được 5 5 1 x x = ⇔ = . ĐS: 1 x = . 0.25 2. (1 điểm) Giải bất phương trình ( ) 2 3 3 2 log 5 41 2 1 log x x − ≥ − . ĐK: 5 41 0 41 0 5 x x x − > ⇔ > > . 0.25 Với điều kiện đó ta có ( ) ( ) 2 3 2 2 3 2 3 3 4 log 5 41 2 1 log log 5 41 log 9 x x x x − ≥ − ⇔ − ≥ 0.25 4 5 41 9 x x⇔ − ≤ (vì cơ số 2 3 nhỏ hơn 1) 0.25 9 x ⇔ ≤ . Kết hợp với điều kiện 41 5 x > ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là 41 9 5 x < ≤ . 0.25 Câu 4 1. (1 điểm) Vì ( ) AA ABC ′ ⊥ nên 16 AA ′ = cm là chiều cao của khối lăng trụ. Thể tích V của khối lăng trụ đã cho được tính bằng công thức . ABC V S AA ′ = . 0.5 Ta tính ABC S bằng công thức Heron: ( )( )( ) ABC S p p a p b p c = − − − , với 21 p = . Từ đó 84 ABC S = (cm 2 ). 0.25 16cm 15 cm 14cm 13cm C' B' A B C A' Suy ra 84.16 1344 V = = (cm 3 ). 0.25 2. (1 điểm) Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC , tức là AH BC ⊥ (1). Ta có: ( ) SA ABC ⊥ SA BC ⇒ ⊥ (2). Từ (1) và (2) suy ra BC SH ⊥ , suy ra SHA là góc giữa hai mặt phẳng ( ) SBC và ( ) ABC . Do đó 0 45 SHA = . 0.25 ĐÁP ÁN ĐỀ 01 4 Ta có: 0 2 1 . . .sin 2 1 .3 .4 .sin 30 3 . 2 ABC S BABC ABC a a a = = = 0.25 45° 30° 4a 3a A B C S H 2 2 6 3 4 2 ABC S a a AH BC a = = = . Vì tam giác SAH vuông tại A và có 0 45 SHA = nên 3 2 a SA AH= = . 0.25 Do đó 2 3 . 1 1 3 3 . . . .3 3 3 2 2 S ABC ABC a V SAS a a = = = . 0.25 3. (1 điểm) Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Vì SAB là tam giác cân tại S nên SM AB ⊥ . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), SAB ABCD SAB ABCD AB SM SAB SM AB ⊥ ∩ = ⊂ ⊥ ( ) SM ABCD ⇒ ⊥ . 0.25 4a 60° M D A B C S Suy ra SM là đường cao của hình chóp và SCM là góc giữa SC và mặt phẳng ( ) ABCD . Do đó 0 60 SCM = . 0.25 Trong tam giác vuông BMC, ta có: 2 2 2 2 (3 ) (4 ) 5 MC MB BC a a a = + = + = . Trong tam giác vuông SMC, ta có: 0 .tan 5 .tan 60 5 3 SM MC SCM a a = = = . 0.25 Ta có: 2 2 2 24 6 18 AMCD ABCD MBC S S S a a a = − = − = . Do đó 2 3 . 1 1 . . .18 .5 3 30 3 3 3 S AMCD AMCD V S SM a a a = = = . 0.25 HẾT TRƯỜNG THPT ĐẠI NGÃI ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I NĂM HỌC 2011 – 2012 TỔ TOÁN Môn: TOÁN – LỚP 12 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài :150 phút Họ, tên học sinh: . Lớp : Số báo danh: Câu 1. (4 điểm) Cho hàm số 3 2 2 4 1 y x x = − + − . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số đã cho. 2. Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị ( ) C với đường thẳng 14 31 9 9 y x= − + . 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) C , biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 14 − . Câu 2. (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 7 1 ( ) 1 x x f x x − − + = − trên đoạn 9 2; 2 . Câu 3. (2 điểm) 1. Giải phương trình: 27 9 8.3 12 0 x x x + − − = . 2. Giải bất phương trình : 3 0,3 0,3 50 log 20 6 log 1 3 x x − ≥ − . Câu 4. (3 điểm) 1. Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác ABC với 5 3 AB = cm, 8 AC = cm, 0 60 BAC = ; cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và 10 SA = cm. Tính thể tích khối chóp . S ABC . 2. Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C ′ ′ ′ có đáy là tam giác ABC với 9 AB a = , 10 BC a = , 17 CA a = . Gọi M là trung điểm của BC . Biết đường thẳng A M ′ tạo với mặt phẳng ( ) ABC một góc 0 45 , tính thể tích khối lăng trụ . ABC A B C ′ ′ ′ theo a . 3. Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D ; 6 AB a = , 4 AD a = , 3 CD a = ; góc giữa hai mặt phẳng ( ) SAC và ( ) ABCD bằng 0 60 . Biết hai mặt phẳng ( ) SAB và ( ) SBC cùng vuông góc với mặt phẳng ( ) ABCD , tính theo a thể tích khối chóp . S ABC . HẾT Học sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. MÃ ĐỀ: 02 ĐÁP ÁN ĐỀ 02 1 TRƯỜNG THPT ĐẠI NGÃI KIỂM TRA HỌC KỲ I NĂM HỌC 2011 – 2012 TỔ TOÁN Môn: TOÁN – LỚP 12 (Đáp án có 04 trang) Thời gian làm bài :150 phút ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM (MÃ ĐỀ 02) Câu Ý Nội dung Điểm 1. (4 điểm) 3 2 2 4 1 y x x = − + − 1. (2 điểm) Khảo sát hàm số đã cho a) Tập xác định: » . 0.25 b) Sự biến thiên Đạo hàm: 2 6 8 y x x ′ = − + ; 0 0 y x ′ = ⇔ = hoặc 4 3 x = 0.25 o Giới hạn: lim ; lim . x x y y →−∞ →+∞ = +∞ = −∞ 0.25 o Bảng biến thiên x −∞ 0 4 3 +∞ y ′ − 0 + 0 − +∞ y 1 − 37 27 −∞ 0.25 o Chiều biến thiên: + Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) ;0 −∞ và 4 ; 3 +∞ ; + Hàm số đồng biến trên khoảng 4 0; 3 . 0.25 o Cực trị: + Hàm số đạt cực đại tại 4 3 x = và 4 37 3 27 y y = = CĐ ; + Hàm số đạt cực tiểu tại 0 x = và CT (0) 1 y y = = − . 0.25 c) Đồ thị 0,5 ĐÁP ÁN ĐỀ 02 2 2. (1 điểm) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị ( ) C với đường thẳng 14 31 9 9 y x= − + . Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: 3 2 14 31 2 4 1 9 9 x x x− + − = − + (1). 0.25 3 2 14 40 (1) 2 4 0 9 9 x x x ⇔ − + + − = 5 4 1; ; 3 3 x ⇔ ∈ − . 0.25 o Với 1 x = − thì 5 y = ; o Với 5 3 x = thì 23 27 y = ; o Với 4 3 x = thì 37 27 y = . Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là: ( ) 5 23 4 37 1;5 ; ; ; ; 3 27 3 27 − . 0,5 3.(1 điểm) Viết pttt của đồ thị ( ) C , biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 14 − . Tiếp tuyến ∆ của đồ thị hàm số 3 2 ( ) 2 4 1 y f x x x = = − + − tại điểm ( ) 0 0 0 ; M x y (với 0 0 ( ) y f x = ) có phương trình ( ) 0 0 0 ( ) y y f x x x ′ − = − . 0.25 Ta có: ∆ có hệ số góc bằng 14 − 0 ( ) 14 f x ′ ⇔ = − 2 0 0 6 8 14 0 x x ⇔ − + + = 0 7 3 x ⇔ = hoặc 0 1 x = − . 0.25 Với 0 7 3 x = thì 0 125 27 y = − , ta được tiếp tuyến 1 757 : 14 27 y x∆ = − + ; 0.25 Với 0 1 x = − thì 0 5 y = , ta được tiếp tuyến 2 : 14 9 y x ∆ = − − . ĐS: 757 14 27 y x= − + , 14 9 y x = − − . 0.25 2.(1 điểm) Tìm GTLN và GTNN của hàm số 2 2 7 1 ( ) 1 x x f x x − − + = − trên đoạn 9 2; 2 . Ta có: ( ) 2 2 2 4 6 ( ) 1 x x f x x − + + ′ = − ; 0.25 2 ( ) 0 2 4 6 0 3 9 9 2 2 2 2 f x x x x x x ′ = − + + = ⇔ ⇔ = < < < < ; 0.25 9 142 (2) 21; (3) 19; 2 7 f f f = − = − = − . 0.25 ĐÁP ÁN ĐỀ 02 3 Do đó: 9 2; 2 min ( ) (2) 21 x f x f ∈ = = − và 9 2; 2 max ( ) (3) 19 x f x f ∈ = = − . 0.25 Câu 3 (2 điểm) 1. (1 điểm) Giải phương trình: 27 9 8.3 12 0 x x x + − − = . Đặt 3 x t = , ta được phương trình 3 2 8 12 0 t t t + − − = (2). 0.25 Phương trình (2) có hai nghiệm 1 2 t = − và 2 3 t = . 0.25 Khi 2 t = − ta được 3 2 x = − . Phương trình này vô nghiệm. 0.25 Khi 3 t = ta được 3 3 1 x x = ⇔ = . ĐS: 1 x = . 0.25 2. (1 điểm) Giải bất phương trình 3 0,3 0,3 50 log 20 6 log 1 3 x x − ≥ − . ĐK: 3 50 20 0 6 3 5 0 x x x − > ⇔ > > . 0.25 Với điều kiện đó ta có 2 3 0,3 0,3 0,3 0,3 50 50 10 log 20 6 log 1 log 20 log 3 3 3 x x x x − ≥ − ⇔ − ≥ 0.25 2 50 10 20 3 3 x x⇔ − ≤ (vì cơ số 0,3 nhỏ hơn 1) 0.25 2 5 6 0 2 x x x ⇔ − + ≥ ⇔ ≤ hoặc 3 x ≥ . Kết hợp với điều kiện 6 5 x > ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: ) 6 ;2 3; 5 +∞ ∪ . 0.25 Câu 4 1. (1 điểm) Vì ( ) SA ABC ⊥ nên 10 SA = cm là chiều cao của khối chóp. Thể tích V của khối chóp đã cho được tính bằng công thức 1 . . 3 ABC V S SA = . 0.5 ( ) 0 2 1 . . .sin 2 1 .5 3.8.sin 60 30 cm . 2 ABC S AB AC A= = = 0.25 60 0 10cm 8cm 5 3cm A C S B Suy ra 1 .30.10 100 3 V = = (cm 3 ). 0.25 2. (1 điểm) ĐÁP ÁN ĐỀ 02 4 Vì . ABC A B C ′ ′ ′ là hình lăng trụ đứng nên ( ) A A ABC ′ ⊥ . Suy ra A MA ′ là góc giữa đường thẳng A M ′ và mặt phẳng ( ) ABC . Do đó 0 45 A MA ′ = 0.25 45 0 17a 10a 9a M B' C' A B C A' Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC nên 2 2 2 2 4 4 10 AB AC BC AM a + = − = Vì tam giác A AM ′ vuông tại A và có 0 45 A MA ′ = nên 4 10 A A AM a ′ = = . 0.25 Tính diện tích tam giác ABC bằng công thức Heron .Ta có 9 10 17 18 2 a a a p a + + = = , 2 ( 9 )( 10 )( 17 ) 36 ABC S p p a p a p a a = − − − = . 0.25 Do đó 2 3 . . 4 10.36 144 10 A B C ABC ABC V AA S a a a ′ ′ ′ ′ = = = . 0.25 3. (1 điểm) Vì hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến SB của chúng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). 0.25 60 0 C A B D S H Gọi H là điểm thuộc AC sao cho BH AC ⊥ . Suy ra SH AC ⊥ và SHB là góc giữa hai mặt phẳng ( ) SAC và ( ) ABCD . Do đó 0 60 SHB = . 0.25 Ta có: 2 . 18 2 ABCD AB CD S AD a + = = ; 2 1 . . 6 2 ACD S AD DC a = = . Suy ra 2 2 2 18 6 12 ABC S a a a = − = . Trong tam giác vuông ADC, ta có 2 2 5 AC AD CD a = + = . Ta có 2 2 2.12 24 5 5 ABC S a a BH AC a = = = . 0.25 Trong tam giác vuông SBH, ta có 0 24 24 3 .tan tan 60 5 5 a a SB BH B= = = . Do đó 3 2 . 1 1 24 3 96 3 . . . .12 3 3 5 5 S ABC ABC a a V SB S a = = = . 0.25 HẾT . TRƯỜNG THPT ĐẠI NGÃI ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I NĂM HỌC 2011 – 2012 TỔ TOÁN Môn: TOÁN – LỚP 12 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài :150 phút Họ, tên học sinh: . Lớp : Số. ĐỀ: 01 ĐÁP ÁN ĐỀ 01 1 TRƯỜNG THPT ĐẠI NGÃI KIỂM TRA HỌC KỲ I NĂM HỌC 2011 – 2012 TỔ TOÁN Môn: TOÁN – LỚP 12 (Đáp án có 04 trang) Thời gian làm bài :150 phút ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM (MÃ. a = = = . 0.25 HẾT TRƯỜNG THPT ĐẠI NGÃI ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I NĂM HỌC 2011 – 2012 TỔ TOÁN Môn: TOÁN – LỚP 12 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài :150 phút Họ, tên học sinh: . Lớp : Số