Một số ứng dụng của đa thức trong đại số tổ hợp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐẶNG THỊ QUỲNH MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC TRONG ĐẠI SỐ TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2021 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐẶNG THỊ QUỲNH MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC TRONG ĐẠI SỐ TỔ HỢP Chuyên ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN - 2021 Mục lục MỞ ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa thức nghiệm đa thức 1.2 Chuỗi lũy thừa hình thức Chương Đa thức quân cờ ứng dụng 10 2.1 Đa thức quân cờ 10 2.2 Ứng dụng tổ hợp 18 2.2.1 Hoán vị xáo trộn 18 2.2.2 Hốn vị với vị trí cấm 19 2.2.3 Bài toán đếm số hoán vị với khối ô vuông Latinh 29 Chương Một số ứng dụng khác đa thức tổ hợp 32 3.1 Lũy thừa đa thức, chuỗi lũy thừa hình thức ứng dụng 32 3.2 Nghiệm đa thức tốn phủ bảng vng 42 KẾT LUẬN 47 Tài liệu tham khảo 47 ii MỞ ĐẦU Đa thức có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác toán học giải toán sơ cấp Luận văn tìm hiểu số ứng dụng đa thức giải tốn tổ hợp Mục đích thứ luận văn nghiên cứu đa thức quân cờ (rook polynomial) ứng dụng giải toán tổ hợp Lý thuyết quân cờ (Rook Theory) mà đối tượng đa thức quân cờ nghiên cứu Kaplansky Riordan vào năm 1946 ([10]), sau mở rộng Goldman ([6], [7]) với ứng dụng nhiều phương pháp tổ hợp đại từ năm 1970 Trong năm gần Haglund đạt nhiều thành công việc gắn kết đa thức quân cờ với nhiều lĩnh vực khác toán đếm ma trận trường hữu hạn, lý thuyết biểu diễn nhóm Lý thuyết quân cờ có quan hệ gần gũi với nhiều ứng dụng lý thuyết đồ thị, người ta vận dụng đa thức quân cờ với học lượng tử đại số Weyl Còn tổ hợp đếm nói riêng, đa thức quân cờ liên quan đến hàng loạt toán đếm hoán vị, hoán vị với vị trí cấm, hình vng Latin, Luận văn trình bày số tính chất đa thức quân cờ vận dụng vào tìm hiểu số toán đếm bản, toán đếm số hoán vị, hoán vị cấm (Derangement problem, Ménage problem), tốn đếm liên quan đến hình vng Latin Luận văn trình bày định nghĩa, số tính chất số ứng dụng đa thức quân cờ theo [13, Chapter 2], [3] [2] Một số ứng dụng ví dụ tham khảo theo [11], [12], [5] [2] Mục đích thứ hai tìm hiểu số ứng dụng khác đa thức giải toán tổ hợp Trong nhiều ứng dụng luận văn chọn tìm hiểu ứng dụng tốn đếm khai triển lũy thừa đa thức, ứng dụng nghiệm đa thức liên quan đến toán phủ bảng ô vuông Đa thức trường hợp đặc biệt chuỗi lũy thừa hình thức Luận văn trình bày khai triển chuỗi lũy thừa hình thức ứng dụng toán đếm (Bài toán chia kẹo Euler) Bên cạnh việc tổng hợp số kiến thức liên quan, luận văn trình bày ứng dụng qua hệ thống vị dụ lấy từ kỳ thi học sinh giỏi nước, IMO, Bay Area Math Circle, Olympic sinh viên, Luận văn chia làm ba chương Chương trình bày số kiến thức sở đa thức, chuỗi lũy thừa hình thức Chương trình bày đa thức quân cờ, tính chất phổ biến ứng dụng số toán tổ hợp Chương trình bày số ứng dụng khác đa thức số toán đếm, toán phủ bảng vng Trong suốt q trình làm luận văn, nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình TS Trần Ngun An Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy giảng dạy lớp Cao học tốn khố 12 truyền thụ đến cho nhiều kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu khoa học Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 01 năm 2021 Đặng Thị Quỳnh Chương Kiến thức chuẩn bị Trong suốt chương này, ln giả thiết R vành giao hốn có đơn vị 1.1 Đa thức nghiệm đa thức Định nghĩa 1.1.1 Một đa thức biến với hệ số R viết dạng f (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 , a0 , , an ∈ R x kí hiệu gọi biến (hay biến không xác định) ∞ P P Ta viết đa thức dạng f (x) = xi f (x) = xi , i=0P P i = với i > n Hai đa thức xi bi x = bi với i Kí hiệu R[x] tập đa thức biến x với hệ số R Cho f (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 ∈ R[x] Ta gọi a0 hệ số tự f (x) Nếu an 6= n gọi bậc f (x) kí hiệu deg f (x) Trong trường hợp này, an gọi hệ số cao f (x) Nếu an = f (x) gọi đa thức dạng chuẩn (monic polynomial) Ta không định nghĩa bậc cho đa thức Nếu f (x) = a ∈ R f (x) gọi đa thức Các đa thức bậc gọi đa thức tuyến tính Định nghĩa 1.1.2 Với hai đa thức f (x) = P xi g(x) = P bi xi R[x], định nghĩa X f (x) + g(x) = (ai + bi )xi X X bj với k f (x)g(x) = ck xk , ck = i+j=k Khi R[x] vành giao hoán với phép cộng nhân đa thức Vành R[x] gọi vành đa thức biến x với hệ số R Phần tử không vành đa thức 0, phần tử đơn vị đa thức Để định nghĩa đa thức nhiều biến trước hết ta định nghĩa đơn thức Mỗi n số nguyên không âm i = (i1 , · · · , in ) ∈ Nn cho ta đơn thức xi11 · · · xinn n biến x1 , , xn với bậc i1 + · · · + in Chúng ta thường viết đơn thức dạng xi Với j = (j1 , , jn ) ∈ Nn , hai đơn thức xi xj i = j, tức ik = jk với k Một từ biểu thức có dạng axi với a ∈ R (được gọi hệ số từ) xi đơn thức gọi đơn thức từ Hai từ gọi đồng dạng hai đơn thức chúng Hai từ gọi chúng đồng dạng có hệ số Một đa thức tổng hữu hạn từ Nếu u = axi v = bxi hai từ đồng dạng ta ước lược tổng chúng: u + v = (a + b)xi Vì vậy, cách ước lược từ đồng dạng, đa thức f (x1 , , xn ) có biểu diễn tắc f (x1 , , xn ) = X x i i∈Nn thành tổng từ đôi không đồng dạng, có hữu hạn từ khác (tức hệ số từ khác 0), biểu diễn không kể đến thứ tự hạng tử Mỗi từ khác xuất biểu diễn tắc đa thức gọi từ đa thức Hai đa thức xi P i∈Nn P bi xi = bi với i ∈ i∈Nn Nn Bậc từ khác bậc đơn thức từ Bậc (hay bậc tổng thể) đa thức f (x1 , , xn ) 6= 0, kí hiệu deg f (x1 , , xn ), số lớn bậc từ khác không f (x1 , , xn ) Ta không định nghĩa bậc cho đa thức Đa thức đa thức đa thức bậc Các đa thức bậc gọi đa thức tuyến tính Đa thức bậc m (hay dạng bậc m) đa thức mà từ khavs khơng có bậc m Đa thức bậc hai gọi dạng toàn phương Với k ∈ {1, , n}, bậc theo biến xk đa thức số lớn số mũ xk xuất từ đa thức Định nghĩa 1.1.3 Kí hiệu R[x1 , , xn ] tập đa thức n biến x1 , , xn với hệ số R Với i, j ∈ Nn , i = (i1 , , in ) j = (j1 , , jn ), ta định nghĩa i + j = (i1 + j1 , , in + jn ) Khi R[x1 , , xn ] vành với phép cộng phép nhân X X X x i + bi xi = (ai + bi )xi ; i∈Nn X i∈Nn x i∈Nn với đa thức P i∈Nn i X i bi x = i∈Nn x i , i∈Nn P X k∈Nn k ck x , ck = X bj i+j=k bi xi ∈ R[x1 , , xn ] Vành R[x1 , , xn ] i∈Nn gọi vành đa thức n biến x1 , , xn với hệ số R Nhận xét 1.1.4 Bằng quy nạp, vành đa thức n biến R[x1 , , xn ] với hệ số R vành đa thức biến xn với hệ số vành R[x1 , , xn−1 ] Định nghĩa 1.1.5 Giả sử R vành vành S, f (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 đa thức R[x] Với phần tử α ∈ S , ta kí hiệu f (α) = an αn + · · · + a1 α + a0 ∈ S Phần tử α ∈ S gọi nghiệm f (x) f (α) = Trong trường hợp ta nói α nghiệm phương trình f (x) = S Tìm nghiệm f (x) S gọi giải phương trình đa thức f (x) = S Định lý 1.1.6 (Định lý Bézout) Cho R miền nguyên đa thức f (x) ∈ R[x], α ∈ R Điều kiện cần đủ để α nghiệm f (x) f (x) chia hết cho (x − α) Định nghĩa 1.1.7 (Nghiệm bội) Cho f (x) ∈ R[x], α ∈ R, k ∈ Z, k ≥ Ta gọi α nghiệm bội k f (x) f (x) chia hết cho (x − α)k không chia hết cho (x − α)k+1 nghĩa là: ( f (x) = (x − α)k g(x), ∀x ∈ R, g(α) 6= Nếu k = 1, ta gọi α nghiệm đơn hay gọi nghiệm, k = 2, ta gọi α nghiệm kép Bổ đề 1.1.8 Cho f (x) ∈ R[x] Phần tử a ∈ R nghiệm bội k f (x) f (x) = (x − a)k g(x) với g(x) ∈ R[x] g(a) 6= Định lý 1.1.9 Cho R miền nguyên Cho 6= f (x) ∈ R[x] a1 , a2 , , ar ∈ R nghiệm phân biệt f (x) Giả sử nghiệm bội ki f (x) với i = 1, 2, , r Khi ta có f (x) = (x − a1 )k1 (x − a2 )k2 (x − ar )kr g(x) g(x) ∈ R[x] g(ai ) 6= với i = 1, , r Hệ 1.1.10 Cho R miền nguyên f (x) ∈ R[x] đa thức khác Khi số nghiệm f (x), nghiệm tính với số bội nó, khơng vượt q bậc của f (x) 1.2 Chuỗi lũy thừa hình thức Định nghĩa 1.2.1 Một chuỗi lũy thừa hình thức R biểu thức ∞ ∞ X X j có dạng a = a(x) = aj x , cho giả sử a(x) = aj xj , b(x) = j=0 j=0 ∞ X bj xj hai chuỗi lũy thừa hình thức a(x) = b(x) j=0 aj = bj với j Tập chuỗi lũy thừa hình thức R kí hiệu R[[x]] Giả sử a(x) = ∞ X j aj x b(x) = j=0 ∞ X bj xj hai chuỗi lũy thừa j=0 hình thức Ta định nghĩa phép toán cộng, phép toán nhân R[[x]] sau: a(x) + b(x) = ∞ X j aj x + j=0 ∞ X j=0 ∞ X bj x = (aj + bj )xj , j j=0 j ∞ ∞ ∞ X X X X aj xj )( bj xj ) = ( ak bj−k )xj a(x)b(x) = ( j=0 j=0 j=0 k=0 Đối với phép nhân, R[[x]] có phần tử đơn vị 1(x) = + ∞ X 0.xj j=0 mà ta đơn giản kí hiệu Ta dễ kiểm tra thấy R[[x]] lập thành vành giao hốn có đơn vị phép cộng phép nhân R[[x]] Nếu với n ∈ N, chuỗi lũy thừa hình thức a(x) có an 6= aj = cho j > n, a(x) đa thức bậc n đơn giản viết n X aj xj hay a0 + a1 x + + an xn Hơn nữa, = cho j=0 i tập 0, 1, 2, , n − 1, số hạng xi khơng cần viết; = cho i tập {0, 1, 2, , n − 1} , xi n X đơn giản viết xi Phần tử 0(x) = 0xj , mà ta đơn giản kí j=0 hiệu 0, phần tử R[[x]] Mệnh đề 1.2.2 Chuỗi a(x) ∈ R[[x]] khả nghịch a0 khả nghịch Chứng minh Giả sử b(x) = ∞ X bj xj Khi a(x)b(x) = j=0 S Vậy Ai = 16.7!−104.6!+352.5!−664.4!+704.3!−416.2!+128.1!− i=1 16 = 35568 Do số cách xếp quân cờ lên bàn cờ × cho khơng có hai quân cờ ăn 8! − 35568 = 4752 17 2.2 Ứng dụng tổ hợp 2.2.1 Hoán vị xáo trộn Trước hết ta nhắc lại khái niệm hoán vị Định nghĩa 2.2.1 Cho số ngun dương n Một hốn vị σ có độ dài n song ánh từ tập {1, 2, , n} đến Kí hiệu Sn tập hợp tất hốn vị có độ dài n Hốn vị σ ∈ Sn cho σ (i) 6= i với i thoả mãn1 ≤ i ≤ n gọi xáo trộn tập {1, 2, , n} Số tất hoán vị biết Pn = n! Với σ ∈ Sn thỏa mãn σ (i) = j ta đặt tương ứng quân cờ vị trí (i; j) (tức dịng i cột j ) bàn cờ vng n × n Như hốn vị σ có độ dài n cho tương ứng với cách đặt n quân cờ cho không ăn lẫn bàn cờ ô vng kích thước n × n Mệnh đề 2.2.2 Cho bàn cờ vng kích thước n × n Số cách đặt n quân cờ cho không ăn lẫn bàn cờ n! Ta dễ dàng nhận thấy xáo trộn có độ dài n cách đặt n quân cờ bàn cờ ô vng n × n cho khơng có hai qn cờ “ăn nhau” khơng có qn cờ nằm đường chéo bàn cờ Bây ta tìm tất xáo trộn σ tập {1,2, , n} Bổ đề 2.2.3 (Bài tốn bì thư) Có n bì thư n thùng thư đánh số từ 1, 2, , n Bỏ ngẫu nhiên bì thư vào thùng thư cho thùng thư chứa bì thư Khi xác suất để xảy bì thư cho vào thùng thư sai địa 1− 1 1 + − + (−1)n 1! 2! 3! n! Chứng minh Gọi X tập hợp tất cách bỏ bì thư vào thùng thư (mỗi thùng thư chứa bì thư) Ak tập cách bỏ n bì thư vào n thùng thư (mỗi thùng thư chứa bì thư) mà bì thư 18 thứ k bỏ vào thùng thư có đánh số k Khi X \ (A1 ∪ ∪ An ) tập cách bỏ n bì thư vào n thùng thư (mỗi thùng thư chứa bì thư) cho khơng có bì thư gửi địa Đặt N = |X|, ta có N = n! Đặt N = |X \ (A1 ∪ ∪ An )| Đặt Nk số cách mà có k bì thư bỏ địa Ta có ! Nk = X |Ai1 ∩ ∩ Aik | = 1≤i1 ≤ ≤ik ≤n k n! (n − k)! = n k! Theo Nguyên lý bù trừ [1, Định lý 3.1] N = N − N1 + N2 − + (−1)n Nn
Do N = n! − 1!1 + 2!1 − 3!1 + (−1)n n!1 Xác xuất 2! − 3! N N = − 1!1 + + (−1)n n!1 Mệnh đề 2.2.4 Số cách đặt n qn cờ bàn cờ vng n × n cho khơng có hai qn cờ ăn khơng có qn cờ nằm
đường chéo bàn cờ n! − 1!1 + 2!1 − 3!1 + (−1)n n!1 2.2.2 Hoán vị với vị trí cấm Cho bàn cờ hình chữ nhật C kích thước m × n tập M 6= ∅ thỏa mãn M ⊂ C Tìm số hoán vị σ ∈ Sn cho σ (i) 6= j với (i; j) ∈ M Hoán vị σ thỏa mãn yêu cầu toán gọi hốn vị với vị trí cấm, tập M gọi tập cấm bàn cờ C , ô (i; j) ∈ M gọi vị trí cấm C Như tốn tìm số cách n quân cờ bàn cờ C cho khơng có hai qn cờ ăn khơng có qn cờ vị trí cấm, hệ số rn (C\M ) Tuy nhiên, để tìm số cách đặt quân cờ phức tạp, xét bàn cờ tạo bị cấm M ta dễ dàng tìm hệ số đa thức quân cờ R (M, x) từ suy số cách theo yêu cầu qua định lí sau Định lý 2.2.5 Cho bàn cờ hình chữ nhật C kích thước m × n với M tập hợp vị trí cấm Đặt p = {m, n}, gọi rk (M ) số cách đặt 19 k quân cờ khơng ăn bàn cờ M , k X (m − `)! (n − `)! rk (C\M ) = (−1)` r` (M ) (1) (m − k)! (n − k)! (k − `)! `=0 đa thức quân cờ bàn cờ C\M R (C\M, x) = p k X X k=0 ! (m − `)! (n − `)! r` (M ) xk (2) (−1)` (m − k)! (n − k)! (k − `)! `=0 Chứng minh Với ≤ k ≤ p, ta xét đặt k quân cờ C Giả sử có s dịng bàn cờ C chứa bị cấm d1 , d2 , , ds Với i thoả mãn ≤ i ≤ s ≤ {m, n}, gọi Ai (k) cách k quân cờ bàn cờ C cho có quân cờ dịng di vị trí cấm ti số vng bị cấm dịng di Khi số cách k quân cờ bàn cờ C\M s s [