Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình với đa thức đạo hàm của chúng

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M L– V‹N CH×ÌNG V‡N — DUY NH‡T CÕA LƠY THØA MËT H€M PH…N HœNH VỴI A THÙC „O H€M CÕA CHĨNG LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Th¡i Nguy¶n - 2020 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M L– V‹N CH×ÌNG V‡N — DUY NH‡T CÕA LƠY THØA MËT H€M PHN HNH VẻI A THC O HM CếA CHểNG Chuyản ng nh : TON GIƒI TCH M¢ sè : 8.46.01.02 LUŠN VN THC S TON HC Ngữới hữợng dăn khoa hồc: PGS TS H TRN PHìèNG ThĂi Nguyản - 2020 Lới cam oan Tổi xin cam oan rơng nởi dung trẳnh by luên vôn ny l trung thỹc v khổng trịng l°p vỵi · t i kh¡c Tỉi cơng xin cam oan rơng cĂc kát quÊ nảu luên vôn, ti liằu tham khÊo v nởi dung trẵch dăn Êm bÊo tẵnh trung thỹc chẵnh xĂc ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2020 Ngữới viát luên vôn Lả Vôn Chữỡng XĂc nhên cừa trững khoa ToĂn XĂc nhên cừa ngữới hữợng dăn PGS TS H€ TR†N PH×ÌNG i Líi c£m ìn Tỉi xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh tợi PGS TS H TrƯn Phữỡng, ngữới  tên tẳnh ch bÊo, tÔo iÃu kiằn v giúp ù tổi cõ thảm nhiÃu kián thực, khÊ nông nghiản cựu, tờng hủp ti liằu  hon thnh luên vôn mởt cĂch hon chnh Tổi cụng xin gỷi lới cÊm ỡn án gia ẳnh, bÔn b v cĂc ỗng nghiằp  ởng viản, giúp ù tổi quĂ trẳnh hồc têp cừa mẳnh Do thới gian v trẳnh ở cỏn hÔn chá nản luên vôn khổng trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt Chúng tổi rĐt mong nhên ữủc sỹ gõp ỵ cừa cĂc thƯy cổ v cĂc bÔn  luên vôn ữủc hon thiằn hỡn Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn! ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2020 Ngữới viát luên vôn Lả Vôn Chữỡng ii Mửc lửc Líi cam oan Líi c£m ìn Mưc lưc Mð ¦u Kián thực chuân b 1.1 1.2 CĂc hm Nevanlinna v hai nh lỵ cỡ bÊn 1.1.1 CĂc hm Nevanlinna v tẵnh chĐt 1.1.2 Hai nh lỵ cỡ bÊn 1.1.3 Quan h» sè khuy¸t v  im bọ ữủc Picard Hm ám m rởng v mởt số tẵnh chĐt 1.2.1 Mët sè kh¡i ni»m 1.2.2 Mởt số tẵnh chĐt cừa hm ám m rëng i ii iii 10 VĐn à nhĐt 17 Kát luªn T i li»u tham kh£o 40 42 2.1 2.2 Mët số khĂi niằm v kát quÊ chuân b 17 CĂc nh lỵ nhĐt 22 iii Mð Ưu Cho f l mởt hm phƠn hẳnh trản mt ph¯ng phùc C, a ∈ C ∪ {∞} Ta k½ hi»u E f (a) = f −1 (a) = {z ∈ C : f (z) = a} Ef (a) = {(z, n) ∈ C × N : f (z) = a, ordf −a (z) = n} Cho f v  g l hai hm phƠn hẳnh trản mt phng phực C v a l mởt giĂ tr phực hỳu hÔn hoc ∞ Ta nâi f v  g chung a kº c£ bëi (vi¸t ng­n gån l  CM) n¸u Ef (a) = Eg (a) Ta nâi f v  g chung a khỉng kº bëi (vi¸t ng­n gån l  IM) n¸u E f (a) = E g (a) Cho f l mởt hm phƠn hẳnh, mởt hm phƠn hẳnh a(z) ữủc gồi l hm nhọ cừa f náu T (r, a) = o(T (r, f )) Vỵi h m nhä a(z), ta nâi f, g chung h m a(z) CM (ho°c IM) n¸u h m f − a v  g − a chung giĂ tr CM (IM tữỡng ựng) Nôm 1977, Rubel v  Yang ¢ chùng minh: Cho f l  mởt hm nguyản khĂc hơng, náu f v f chung hai giĂ tr hỳu hÔn phƠn biằt a v  b kº c£ bëi th¼ f = f Nôm 1979, Mues v Steinmetz ([14])  chựng minh kát quÊ tữỡng tỹ thay iÃu kiằn CM bi IM Tø nhúng cỉng tr¼nh n y cõa c¡c t¡c gi£  nÊy sinh vĐn à nhĐt cho cĂc hm phƠn hẳnh vợi Ôo hm cừa chúng Nôm 2008, T Zhang v W L u ([16])  xem xt vĐn à nhĐt cho lụy thứa bêc n cừa mởt hm phƠn hẳnh chung mởt hm nhọ vợi Ôo hm cĐp k cừa nõ v thu ữủc mởt số kát quÊ và vĐn à ny Cử th, cĂc tĂc giÊ  ữa mởt số iÃu kiằn Ôi số º c¡c h m f n − a v  f (k) − a v  chung gi¡ trà khæng kº bëi ho°c kº c£ bëi th¼ f n = f (k) , â a(z) l  mët h m nhä K½ hi»u n0i Mj (f ) = (f ) v  P [f ] =  f (1) t X n1i  f (k) nki Mj (f ) j=1 GƯn Ơy cõ nhiÃu tĂc giÊ  m rởng nghiản cùu cõa T Zhang v  W L u cho c¡c trữớng hủp: thay thá lụy thứa bêc n cừa hm phƠn hẳnh f kát quÊ T Zhang v W L u cõa bði a thùc bªc n cõa h m õ; thay thá Ôo hm cĐp k cừa hm phƠn hẳnh f bi mởt ỡn thực chựa cĂc Ôo hm c¡c c§p Mj [f ] ho°c a thùc chùa c¡c Ôo hm P [f ] cừa hm õ Mửc ẵch chẵnh cừa luên vôn l giợi thiằu mởt số nghiản cựu gƯn Ơy cừa T Zhang, W L u, A Banerjee, B Chakraborty v  mët sè t¡c gi£ kh¡c theo hữợng nghiản cựu nõi trản Luên vôn chia lm hai chữỡng, Chữỡng chúng tổi trẳnh by mởt số kián thực cƯn chuân b, cƯn thiát cho cĂc nởi dung cừa luên vôn Chữỡng l chữỡng chẵnh cừa luên vôn, chúng tổi trẳnh by mởt số kát quÊ và vĐn à nhĐt cho cĂc hm phƠn hẳnh lụy thỳa cừa mởt hm phƠn hẳnh cõ chung mët gi¡ trà hay h m nhä vỵi ìn thùc ho°c a thực vi phƠn cừa nõ ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2020 Ngữới viát luên vôn Lả Vôn Chữỡng Chữỡng Kián thực chuân b 1.1 CĂc hm Nevanlinna v hai nh lỵ cỡ bÊn Trong lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr Nevanlinna, cĂc hm xĐp x, hm ám, hm c trững cừa mởt hm phƠn hẳnh ữủc gồi l  c¡c h m Nevanlinna, âng mët vai trá quan trång, xuyản suốt lỵ thuyát Trong phƯn ny chúng tổi giợi thiằu cĂc hm cỡ bÊn ny v tẵnh chĐt cừa chúng 1.1.1 CĂc hm Nevanlinna v tẵnh chĐt Cho f l mởt hm phƠn hẳnh trản mt phực C v r > l mởt số thỹc dữỡng nh nghắa 1.1.1 H m m(r, f ) = 2π Z2π log+ f −a f −a f − a â cf l  h» sè kh¡c nhä nh§t khai trin Taylor cừa hm f lƠn cên im 0, c1 /(f − a) l  h» sè kh¡c nhä nh§t khai triºn Taylor cõa h m 1/(f − a) lƠn cên im Nhên xt 1.1.6 Ta thữớng dũng (2) cừa nh lỵ cỡ bÊn thự nhĐt dữợi dÔng
= T (r, f ) + O(1), f a õ O(1) l Ôi lữủng b ch°n r → ∞ T r, Cho f l  mởt hm phƠn hẳnh, r > Kẵ hiằu 1 Nram (r, f ) = N r, + 2N (r, f ) − N (r, f ) f v  gåi l  h m gi¡ trà ph¥n nh¡nh cõa h m f Hiºn nhi¶n Nram (r, f ) ≥ nh lỵ 1.1.7 (nh lỵ cỡ bÊn thự hai) GiÊ sỷ f l hm phƠn hẳnh khĂc hơng trản C, a1 , , aq ∈ C, (q > 2) l cĂc hơng số phƠn biằt, õ vợi mội > 0, bĐt ng thực q  X  (q − 1)T (r, f ) ≤ N r, + N (r, f ) − Nram (r, f ) + log T (r, f ) f − a j j=1 + (1 + ε) log+ log T (r, f ) + O(1) q  X  ≤ N r, + N (r, f ) + log T (r, f ) f − a j j=1 + (1 + ε) log+ log T (r, f ) + O(1) úng vợi mồi r r0 nơm ngoi mởt têp E cõ ở o Lebesgue hỳu hÔn 1.1.3 Quan hằ số khuyát v im bọ ữủc Picard GiÊ sỷ f (z) l hm phƠn hẳnh trản C Ta k½ hi»u 1 N (r, ) ) f −a f −a = − lim sup ; δf (a) = lim inf r→∞ T (r, f ) T (r, f ) r→∞ N (r, ) f −a Θf (a) = − lim sup ; T (r, f ) r→∞ 1 N (r, ) − N (r, ) f −a f −a θf (a) = lim inf r→∞ T (r, f ) m(r, ành ngh¾a 1.1.8 f (a) ữủc gồi l số khuyát, f (a) gồi l  sè khuy¸t khỉng kº bëi, θf (a) gåi l  bêc cừa cừa số khuyát Nhên xt Náu f (z) = a vỉ nghi»m th¼ N (r, f −1 a ) = vỵi måi r suy f (a) = Chng hÔn f (z) = ez thẳ f (0) = 1 Náu N (r, ) = o(T (r, f )) â δf (a) = Nhữ vêy số khuyát f a bơng số nghiằm cừa phữỡng trẳnh quĂ ẵt so vợi cĐp tông cừa nõ Vợi mội hm phƠn hẳnh f v  a ∈ C, ta luæn câ f (a) f (a) nh lỵ sau cho ta mởt tẵnh chĐt cừa số khuyát, thữớng ữủc gåi l  bê · quan h» sè khuy¸t ành lỵ 1.1.9 Cho f l hm phƠn hẳnh khĂc hơng trản C Khi õ têp hủp cĂc giĂ tr cừa a m  Θf (a) > cịng l­m l  ¸m ữủc, ỗng thới ta cõ X
X f (a) + θf (a) Θf (a) b a∈C b aC Hằ quÊ 1.1.10 (nh lỵ Picard) GiÊ sỷ f l hm phƠn hẳnh trản C, náu f khổng nhªn gi¡ trà a1 , a2 , a3 ∈ C {} thẳ f l hm hơng Cho f l mởt hm phƠn hẳnh trản C Mởt phƯn tỷ a ∈ C ∪ {∞} ÷đc gåi l  gi¡ trà bọ ữủc Picard cừa f náu a f (C), tực l phữỡng trẳnh f (z) = a khổng cõ nghiằm trản C  ỵ rơng, náu a l mởt im bọ ữủc
Picard thẳ N r, = 0, õ f (a) = Tứ nh lỵ Picard, ta d¹ f −a d ng suy ra: M»nh · 1.1.11 Mội hm phƠn hẳnh khĂc hơng trản C cõ nhiÃu nhĐt l hai im im bọ ữủc Picard, mội hm nguyản trản C cõ nhiÃu nhĐt mởt im bọ ữủc Picard 1.2 Hm ám m rởng v mởt số tẵnh chĐt 1.2.1 Mởt số khĂi niằm Vợi hm phƠn hẳnh f , siảu bêc cừa f , kỵ hiằu bði ρ2 (f ), ÷đc x¡c ành bði ρ2 (f ) = lim sup r→∞ log log T (r, f ) log r ành ngh¾a 1.2.1 Cho p l  số nguyản dữỡng v a C {} (i) K½ hi»u N (r, a; f | ≥ p) l  hm ám k cÊ tÔi cĂc a-im cừa f m  câ bëi khỉng nhä hìn p (ii) K½ hi»u N (r, a; f ≥ p) l  h m ¸m khỉng k tÔi cĂc a-im cừa f m cõ khỉng nhä hìn p (iii) K½ hi»u N (r, a; f | ≤ p) l  h m ¸m kº c£ tÔi cĂc a-im cừa f m cõ khổng lợn hỡn p (iv) Kẵ hiằu N (r, a; f p) l hm ám khổng k tÔi cĂc a-iºm cõa f m  câ bëi khỉng lỵn hìn p nh nghắa 1.2.2 Vợi a C {} v số nguyản dữỡng p, kẵ hiằu Np (r, a; f ) = N (r, a; f ) + N (r, a; f | ≥ 2) + · · · + N (r, a; f | ≥ p) Rã r ng N1 (r, a; f ) = N (r, a; f ) nh nghắa 1.2.3 Vợi a C {} v số nguyản dữỡng p, t p (a, f ) = − lim sup r→∞ Np (r, a; f ) T (r, f ) Dạ thĐy (a, f ) ≤ δp (a, f ) ≤ δp−1 (a, f ) ≤ ≤ δ2 (a, f ) ≤ δ1 (a, f ) = Θ(a, f ) nh nghắa 1.2.4 Cho hai số nguyản n, p, nh nghắa àp = min{n, p} v àp = p + àp Khi õ ta r ng kiºm chùng Np (r, 0; f n ) ≤ µp Nµ∗p (r, 0; f ) ành ngh¾a 1.2.5 Cho f v g l hai hm phƠn hẳnh trản C v a C {} (i) Kỵ hiằu N L (r, a; f ) l  h m ¸m kº c£ tÔi cĂc a-im chung (cõ > 1) cừa f v  g thäa m¢n bëi cõa a−iºm â èi vỵi f lỵn hìn èi vỵi g 1) (ii) Kỵ hiằu NE (r, a; f ) l hm ám khổng k tÔi cĂc a-im chung cừa f v g thọa mÂn cừa aim õ ối vợi f bơng ối vợi g v bơng (2 (iii) Kỵ hiằu N E (r, a; f ) l hm ám khổng k tÔi cĂc a-im chung cừa f v g thọa mÂn cừa aim õ ối vợi f bơng ối vợi g v lợn hỡn (2 1) Tữỡng tỹ, ta nh nghắa cĂc hm N L (r, a; g), NE (r, a; g), N E (r, a; g) ành ngh¾a 1.2.6 Cho f l  mët h m phƠn hẳnh, n0i, n1i, , nki l cĂc số nguyản khổng Ơm Biu diạn n0i Mj (f ) = (f )  f (1) n1i  f (k) nki ữủc gồi l ỡn thực vi phƠn sinh bi f vợi bêc dMj = d(Mj ) = k X nij i=0 v  ë cao ΓMj = k X (i + 1)nij i=0 Têng P [f ] = t X Mj (f ) j=1 ÷đc gåi l  a thực vi phƠn sinh bi f vợi bêc d(P ) = max{d(Mj ) : j t} v  ë cao ΓP = max{ΓMj : j t} Sè d(P ) = max{d(Mj ) : j t} v k (bêc cao nhĐt cừa Ôo hm cừa f P [f ]) tữỡng ựng ữủc gồi l bêc thĐp v bêc cừa P [f ] P [f ] ữủc gồi l thuƯn nhĐt náu d(P ) = d(P ) P [f ] ÷đc gåi l a thực vi phƠn tuyán tẵnh sinh bi f náu d(P ) = 1, ngữủc lÔi P [f ] ữủc gồi l khổng tuyán tẵnh Kẵ hiằu Q = max{ΓMj − d(Mj ) : j t} = max{n1j + 2n2j + · · · + knkj : j t} T÷ìng tü, ta cụng cõ nh nghắa vợi ỡn thực vi phƠn M [f ] : λ = ΓM − dM 1.2.2 Mởt số tẵnh chĐt cừa hm ám m rởng Trong phƯn ny, ta trẳnh by mởt số bờ à và tẵnh chĐt cừa hm ám m rởng Vợi F, G l hai hm phƠn hẳnh khĂc hơng, kỵ hiằu H l  h m sau  H= 2F F 00 − F0 F −1   −  G00 2G0 − G0 G−1 (1.1) Bê · 1.2.7 ([2]) Vỵi h m phƠn hẳnh f trản mt phng phực C, ta cõ + δ2 (0, f ) ≥ 2Θ(0, f ) Chùng minh Ta câ 2N (r, 0; f ) N2 (r, 0; f ) − lim sup T (r, f ) T (r, f ) r→∞ r→∞ N2 (r, 0; f ) − 2N (r, 0; f ) ≤ lim sup T (r, f ) r→∞ ≤ 0, 2Θ(0, f ) − δ2 (0, f ) − = lim sup bê · ÷đc chùng minh Bê · 1.2.8 ([2]) Cho f l hm phƠn hẳnh khĂc hơng v M [f ] l ỡn thực vi phƠn cõ bêc dM v  ë cao ΓM Khi â T (r, M ) ≤ dM T (r, f ) + λN (r, ∞; f ) + S(r, f ) Bê · 1.2.9 ([2]) Ta câ N (r, 0; M ) ≤ T (r, M ) − dM T (r, f ) + dM N (r, 0; f ) + S(r, f ) 10 Bê · 1.2.10 ([2]) Ta câ N (r, 0; M ) ≤ dM N (r, 0; f ) + λN (r, ∞; f ) + S(r, f ) Bê à 1.2.11 ([13]) Cho f l hm phƠn hẳnh khĂc h¬ng v  °t Pn i i=0 f R(f ) = Pm j j=0 bj f l  h m húu t bĐt khÊ quy theo bián f vợi hằ số hơng sè {ai } v  {bj }, â an 6= v  bm 6= Khi â ta câ T (r, R(f )) = pT (r, f ) + S(r, f ), â p = max{n, m} Bê · 1.2.12 ([2]) Ta câ N (r, ∞; M ) ≤ dM N (r, 0; f ) + λN (r, ∞; f ) + S(r, f ) f dM Chùng minh Gåi z0 l  cüc iºm cõa f câ bªc t Khi â nâ l  mët cüc iºm cõa d f dM vợi bêc n1 + 2n2 + à à à + knk = λ Gåi z0 l  khæng iºm cõa f câ bªc s Khi â l  khỉng iºm cõa d f dM vợi bêc nhiÃu nhĐt l sdM Do â N (r, ∞; M ) ≤ dM N (r, 0; f ) + λN (r, ∞; f ) + S(r, f ) f dM Bê · ÷đc chùng minh Bờ à 1.2.13 ([2]) Vợi hai hm phƠn hẳnh khĂc hơng f1 v f2 bĐt ký ta cõ Np (r, ∞; f1 f2 ) ≤ Np (r, ∞; f1 ) + Np (r, ∞; f2 ) Chùng minh Gåi z0 l mởt cỹc im cừa fi vợi bêc ti vỵi i = 1, Khi â, z0 l  cüc im cừa f1 f2 vợi bêc nhiÃu nhĐt t1 + t2 Tr÷íng hđp Gi£ sû t1 ≥ p v  t2 ≥ p Khi â t1 + t2 ≥ p Do õ z0 ữủc tẵnh nhiÃu nhĐt p lƯn vá trĂi cừa hm ám trản, z0 ữủc im p + q lƯn vá phÊi cừa hm ám trản 11 Trữớng hủp GiÊ sû t1 ≥ p v  t2 < p Tr÷íng hđp 2.1 Gi£ sû t1 + t2 ≥ p Khi â z0 ữủc ám nhiÃu nhĐt p vá trĂi cừa hm án trản nõ ữủc ám p + q lƯn vá phÊi cừa hm ám Trữớng hđp 2.2 Gi£ sû t1 + t2 < p Tr÷íng hủp ny xuĐt hiằn t2 Ơm tực l z0 l  khæng iºm cõa f2 Khi â z0 ữủc ám nhiÃu nhĐt max{0, t1 + t2 } vá trĂi cừa hm án trản nõ ữủc ám p lƯn vá phÊi cừa hm ám Tr÷íng hđp Gi£ sû t1 < p v  t2 ≥ p Khi â t1 + t2 ≥ p Tr÷íng hủp ny cõ ữủc phƠn tẵch nhữ  lm Tr÷íng hđp Tr÷íng hđp Gi£ sû t1 < p v  t2 < p Tr÷íng hđp 4.1 Gi£ sû t1 + t2 p Khi õ z0 ữủc ám nhiÃu nhĐt p lƯn vá trĂi nõ ữủc ám max{0, t1 } + max{0, t2 } lƯn vá phÊi cừa biu thực trản Trữớng hủp 4.2 Gi£ sû t1 + t2 < p Khi â z0 ữủc ám nhiÃu nhĐt max{0, t1 + t2 } lƯn nõ ữủc ám max{0, t1 } + max{0, t2 } vá phÊi cừa hm ám trản Kát hủp tĐt cÊ cĂc trữớng hủp ta suy kát luên cừa bờ à Bờ à 1.2.14 ([10]) Vợi hm phƠn hẳnh f ta cõ Np (r, 0; f (k) ) ≤ Np+k (r, 0; f ) + kN (r, ∞; f ) + S(r, f ) Bê à 1.2.15 ([2]) Cho f l mởt hm phƠn hẳnh v  M [f ] l  mët ìn thùc vi ph¥n cõa f , â Np (r, 0; M [f ]) ≤ dM Np+k (r, 0; f ) + λN (r, ∞; f ) + S(r, f ) Chùng minh Ró rng vợi hm phƠn hẳnh f khĂc hơng bĐt ký, náu p q thẳ Np (r, f ) ≤ Nq (r, f ) 12 Ti¸p theo, k¸t hđp vỵi Bê · 1.2.13 v  Bê · 1.2.14, ta thu ÷đc Np (r, 0; M [f ]) ≤ ≤ ≤ ≤ k X i=0 k X i=0 k X i=0 k X ni Np (r, 0; f (i) ) + S(r, f ) ni {Np+i (r, 0; f ) + iN (r, ∞; f )} + S(r, f ) ni Np+i (r, 0; f ) + λN (r, ∞; f )} + S(r, f ) ni Np+k (r, 0; f ) + λN (r, ∞; f )} + S(r, f ) i=0 ≤ dM Np+k (r, 0; f ) + λN (r, ∞; f )} + S(r, f ), i·u ny ko theo kát luên cừa bờ à Bờ à 1.2.16 ([7]) Cho p, n l hai số nguyản dữỡng Khi â vỵi ε > ta câ Np (r, 0; f n ) ≤ (n − nδp (0, f ) + ε)T (r, f ) Chùng minh Ta th§y r¬ng Np (r, 0; f n ) ≤ nNp (r, 0; f ) Tø ành ngh¾a h m δp (0, f ), vỵi måi n ta câ δp (0, f ) − Np (r, 0; f ) ε + , T (r, f ) n thay thá vo bĐt ng thực trản ta cõ kát luên cừa Bờ à Bờ à 1.2.17 ([12]) Vợi hm phƠn hẳnh f v a thùc vi ph¥n P [f ] sinh bði f ta câ N (r, ∞; P ) ≤ d(P )N (r, ∞; f ) + (ΓP − d(P ))N (r, ; f ) Bờ à 1.2.18 ([6]) Vợi hm phƠn hẳnh f v a thực vi phƠn P [f ] sinh bði f ta câ  P [f ]   1 ≤ (d(P ) − d(P ))m r, + S(r, f ) m r, f f d(P ) 13 Bê · 1.2.19 ([3]) Gi£ sû P [f ] l  a thực vi phƠn sinh bi hm phƠn hẳnh khĂc h¬ng f Khi â  P [f ]  N r, ∞; f d(P ) ≤ (ΓP − d(P ))N (r, ∞; f ) + (d(P ) − d(P ))N (r, 0; f | ≥ k + 1) + QN (r, 0; f | ≥ k + 1) + d(P )N (r, 0; f | ≤ k) + S(r, f ) Bê · 1.2.20 ([7]) Cho P [f ] l a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh f , â N (r, 0; P [f ]) ≤ (ΓP − d(P ))N (r, ∞; f ) + d(P )N (r, 0; f )   + (d(P ) − d(P )) m(r, ) + T (r, f ) + S(r, f ) f Chùng minh Tø Bê · 1.2.18, ta câ d(P )m r, 1

≤ m r, + S(r, f ) f P [f ] (1.2) Sû dưng bê · 1.2.17, 1.2.18 v  b§t ¯ng thùc (1.2) ta câ 1
+ O(1) p 1
≤ T (r, P [f ]) − d(P )m r, + S(r, f ) f 1
≤ (d(P ) − d(P ))m r, + d(P )m(r, f ) + d(P )N (r, ∞; f ) f 1
+ S(r, f ) + (ΓP − d(P ))N (r, ∞; f ) − d(P )m r, f ≤ (ΓP − d(P ))N (r, ∞; f ) + d(P )N (r, 0; f )   1
+ (d(P ) − d(P )) m r, + T (r, f ) + S(r, f ) f N (r, 0; P [f ]) = T (r, P [f ]) − m r, i·u ph£i chùng minh Bê · 1.2.21 ([7]) Cho j v  p l  hai số nguyản dữỡng thọa mÂn j p+1 GiÊ sỷ P [f ] l a thực vi phƠn vợi ΓP > (k + 1)d(P ) − (p + 1) Khi â
N (j+ΓP −d(P ) r, 0; f d(P ) ≤ N (j (r, 0; P [f ]) 14 Chùng minh Gi£ sû z0 l  khæng iºm cõa f vợi bêc t Náu td(P ) < j + P d(P ) thẳ bờ à l hin nhiản Do â ta gi£ sû td(P ) ≥ j + ΓP − d(P ) X²t hai tr÷íng hđp: Tr÷íng hđp Gi£ sû t ≥ k + Khi â z0 l  khỉng iºm cõa P [f ] câ bªc ½t nh§t l  min{n0j t + n1j (t − 1) + · · · + nkj (t − k)} j = min{tdMj − (ΓMj − dMj )} j = (t + 1)d(P ) − max{ΓMj } j ≥ (j + ΓP − d(P )) + d(P ) − ΓP ≥ j, iÃu ny suy kát luên cừa bờ à Trữớng hủp Tiáp theo ta giÊ sỷ t k Khi â kd(P ) ≥ td(P ) ≥ j + ΓP − d(P ) ≥ p + + P d(P ), mƠu thuăn vẳ P > (k + 1)d(P ) − (p + 1) Bê · 1.2.22 ([7]) Cho j v p l hai số nguyản dữỡng thäa m¢n j ≥ p+1 Gi£ sû P [f ] l a thực vi phƠn thuƯn nhĐt vợi P > (k + 1)d(P ) − (p + 1) Khi â Np (r, 0; P [f ]) ≤ Np+ΓP −d(P ) (r, 0; f d(P ) ) + (ΓP − d(P ))N (r, ∞; f ) + S(r, f ) 15