Vấn đề duy nhất cho hàm phân hình liên quan đến giả thuyết bruck

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— DƯƠNG THỊ VÂN VẤN ĐỀ DUY NHẤT CHO HÀM PHÂN HÌNH LIÊN QUAN ĐẾN GIẢ THYẾT BRUCK LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2019 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— DƯƠNG THỊ VÂN VẤN ĐỀ DUY NHẤT CHO HÀM PHÂN HÌNH LIÊN QUAN ĐẾN GIẢ THYẾT BRUCK Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS HÀ TRẦN PHƯƠNG Thái Nguyên - Năm 2019 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn "Vấn đề cho hàm phân hình liên quan đến giả thuyết Bruck" trung thực không chép từ đề tài khác, thơng tin trích dẫn luận văn có nguồn gốc rõ ràng, tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm nội dung luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2019 Người viết Luận văn Dương Thị Vân Xác nhận Xác nhận Trưởng khoa chuyên môn người hướng dẫn khoa học PGS.TS Hà Trần Phương i Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS Hà Trần Phương, người bảo tận tình trực tiếp hướng dẫn tơi suốt q trình nghiên cứu để tơi hồn thành tốt luận văn Tơi xin gửi lời biết ơn chân thành tới thầy cô giáo dạy cao học trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên tận tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập nghiên cứu khoa học Nhân dịp xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè ln cổ vũ, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tồn q trình học tập Thái Ngun, tháng năm 2019 Người viết luận văn Dương Thị Vân ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục ii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Các hàm Nevanlinna tính chất 1.1.1 Một số khái niệm 1.1.2 Hai định lý 10 Các kết bổ trợ Giả thuyết Bruck vấn đề 13 22 2.1 Một số dạng tổng quát giả thuyết Bruck 22 2.2 Vấn đề liên quan đến giả thuyết Bruck 35 Tài liệu tham khảo 46 iii Mở đầu Cho f g hàm phân hình C Ta nói f g chung giá trị phức a không kể bội f −1 (a) = g −1 (a) Ta nói f g chung giá trị phức a kể bội Ef (a) = Eg (a),  Ef (a) = (z, m) ∈ C × Z+ : ordf −a (x) = m Năm 1979, E Mues and N Steinmetz chứng minh: "Với hàm nguyên khác f , f f chung hai giá trị phức phân biệt khơng kể bội đồng nhau" Như mở rộng tự nhiên, năm 1996, Bruck [2] đặt giả thuyết tiếng mà ta quen gọi giả thuyết Bruck : Giả thuyết Bruck "Cho f hàm nguyên khắc C cho ρ2 (f ) số tự nhiên ρ2 (f ) < ∞ Nếu f f chung giá trị a kể bội f −a f −a = c, c số khác " Ở ρ2 (f ) = lim sup r→∞ log log T (r, f ) log r Trong báo ([2]) tác giả chứng minh trường hợp a = Ngồi Ơng chứng minh: "Cho f hàm nguyên khắc C Nếu f f chung giá trị kể bội N (r, 0, f ) = S(r, f ) số khác " f −1 f −1 Về sau, có nhiều nhà toán học quan tâm đến việc tổng quát giả thuyết Bruck sử dụng giả thuyết để nghiên cứu vấn đề Có nhiều cách mở rộng, nghiên cứu giả thuyết Bruck cho trường hợp hàm phân hình, thay đạo hàm f đạo hàm cấp cao, Và tác giả thu nhiều kết Với mong muốn tìm hiểu vấn đề có liên quan đến giả thuyết Bruck, chọn đề tài:"Vấn đề cho hàm phân hình liên quan đền giả thuyết Bruck".Mục đích đề tài trình bày lại kết nghiên cứu gần A Banerjee and B Chakraborty [2] năm 2016 B Chakraborty [3] năm 2018 số dạng tổng quát giả thuyết Bruck sử dụng để nghiên cứu số kết vấn đề Nội dung luận văn gồm có chương: Chương trình bày số khiến thức lý thuyết Nevanlinna bổ đề để chứng minh số kết chương Chương chương luận văn, chương giới thiệu số dạng tổng quát giả thuyết Bruck vấn đề liên quan đến giả thuyết Bruck Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các hàm Nevanlinna tính chất 1.1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm chỉnh hình f mặt phẳng phức C, điểm z0 không điểm bội k f tồn hàm chỉnh hình h(z) khơng triệt tiêu lân cận U z0 cho lân cận hàm f biểu diễn dạng: f (z) = (z − z0 )k h(z) Nghĩa f (z0 ) = f (z0 ) = = f k−1 (z0 ) = f k (z0 ) 6= Với z ∈ C, ta kí hiệu: ordf (z0 ) = k z0 không điểm bội k f ordf (z0 ) = f (z0 ) 6= Định nghĩa 1.1.2 Cho hàm phân hình f mặt phẳng phức C f = f1 f2 f1 , f2 hai hàm chỉnh hình Điểm z0 khơng điểm bội k f z0 không điểm bội k f1 , z0 cực điểm bội k f z0 không điểm bội k f2 Trong mặt phẳng C, ta kí hiệu: D(z0 , r) = {z ∈ C : |z − z0 | < r} ; D(z0 , r) = {z ∈ C : |z − z0 | ≤ r} ; ∂D(z0 , r) = {z ∈ C : |z − z0 | = r} ; tương ứng hình trịn mở, hình trịn đóng đường trịn tâm z0 , bán kính r Với z0 = ta kí hiệu ngắn gọn DR = D(0, R); DR = D(0, R) Định lý 1.1.3 (Công thức Poison-Jensen [4]) Giả sử f (z) 6≡ hàm phân hình đĩa đóng DR , < R < ∞ Giả sử a1 , a2 , , ap không điểm kể bội f DR , b1 , , bp cực điểm kể bội f DR Khi với z {|z| < R} không điểm hay cực điểm f , ta có 1 + + iϕ iϕ dϕ log f (re ) dϕ = log f (re ) dϕ− log 2π 2π 2π f (reiϕ ) Định nghĩa 1.1.4 ([4]) Hàm m(r, f ) = 2π Z 2π log+ f (reiϕ ) dϕ gọi hàm xấp xỉ hàm f Kí hiệu n(r, f1 ) số không điểm kể bội, n(r, f1 ) số không điểm không kể bội f , n(r, f ) số cực điểm kể bội, n(r, f ) số cực điểm không kể bội f Dr , nk (r, f ) số cực điểm bội cắt cụt k f (tức cực điểm bội l > k tính k lần tổng nk (r, f ) Dr Định nghĩa 1.1.5 ([4]) Hàm Z r n(t, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r N (r, f ) = t gọi hàm đếm kể bội f (còn gọi hàm đếm cực điểm) Hàm Z N (r, f ) = r n(r, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r t hàm đếm không kể bội Hàm Z r nk (t, f ) − nk (0, f ) Nk (r, f ) = dt + nk (0, f ) log r t hàm đếm bội cắt cụt k , n(0, f ) = limt→0 n(t, f ); n(0, f ) = limt→0 n(t, f ); nk (0, f ) = limt→0 nk (r, f ) Số k nk (r, f ) số bội cắt cụt Mệnh đề 1.1.6 Giả sử b1 , b2 , , bN cực điểm khác f đĩa Dr , đó: N (r, f ) = N X η=1 log r + n(0, f ) log r |bη | Định nghĩa 1.1.7 ([4]) Hàm T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ) hàm đặc trưng hàm f Hàm đặc trưng T (r, f ), hàm xấp xỉ m(r, f ) hàm đếm N (r, f ) ba hàm lý thuyết phân bố giá trị, cịn gọi hàm Nevanlinna Định lý sau trình bày số tính chất hàm xấp xỉ, hàm đếm hàm đặc trưng Định lý 1.1.8 ([4]) Cho hàm phân hình f1 , f2 , , fp , đó:     p p p p X X Y Y m r, fη  ≤ m (r, fη ) + log p; m r, fη  ≤ m (r, fη ) ; η=1  N r, p X η=1  fη  ≤ η=1  T r, p X η=1 p X η=1  N (r, fη ) ; N r, η=1  fη  ≤ p X p Y η=1  fη  ≤ η=1  T (r, fη ) + log p; η=1 T r, p Y η=1 p X N (r, fη ) ; η=1  fη  ≤ p X T (r, fη ) η=1 Trong suốt luận văn sử dụng ký hiệu chuẩn định nghĩa lý thuyết phân phối giá trị Nevanlinna Định nghĩa 1.1.9 ([2]) Cho môt số nguyên dương p a ∈ C ∪ {∞}
N (r, a; f |≥ p) N (r, a; f |≥ p) kí hiệu hàm đếm (hàm đếm không kể bội) a điểm f có số bội khơng bé p;
N (r, a; f |≤ p) N (r, a; f |≤ p) kí hiệu hàm đếm (hàm đếm khơng kể bội) a điểm f có số bội không lớn p Định nghĩa 1.1.10 ([2]) Cho a ∈ C ∪ {∞} p số nguyên dương, ta kí hiệu Np (r, a; f ) = N (r, a; f ) + N (r, a; f |≥ 2) + + N (r, a; f |≥ p) Rõ ràng N1 (r, a; f ) = N (r, a; f ) Định nghĩa 1.1.11 ([2]) Cho m số nguyên dương vô a ∈ C ∪ {∞}, ta kí hiệu Em) (a; f ) tập hợp không điểm kể bội f − a với số bội không vượt m (chỉ đếm không điểm bội ≤ m) E m) (a; f ) tập không điểm không kể bội f − a với số bội không vượt m (chỉ đếm không điểm bội ≤ m) Định nghĩa 1.1.12 ([2]) Cho k số nguyên dương với a ∈ C \ {0}, cho E k) (a; f ) = E k) (a; g) Cho z0 không điểm f (z) − a với số bội p không điểm g(z) − a với số bội q Kí hiệu N L (r, a; f ) hàm đếm không kể bội a điểm z0 f g p > q ≥ thỏa mãn ordf −a (z0 ) > ordg−a (z0 ) ≥ 1;