Vấn đề duy nhất hàm phân hình khi hai đa thức chứa đạo hàm chung nhau một giá trị

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀO VIỆT HÙNG VẤN ĐỀ DUY NHẤT HÀM PHÂN HÌNH KHI HAI ĐA THỨC CHỨA ĐẠO HÀM CHUNG NHAU MỘT GIÁ TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀO VIỆT HÙNG VẤN ĐỀ DUY NHẤT HÀM PHÂN HÌNH KHI HAI ĐA THỨC CHỨA ĐẠO HÀM CHUNG NHAU MỘT GIÁ TRỊ Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hà Trần Phương THÁI NGUYÊN - 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo trung thực xác, tuân thủ qui định quyền sở hữu trí tuệ Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015 Tác giả Đào Việt Hùng ii LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Hà Trần Phương, người tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành khóa luận Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Đại học Thái Ngun dạy bảo tơi tận tình suốt q trình học tập khoa Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè người giúp đỡ chia sẻ với tác giả suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Ngun, tháng năm 2015 Tác giả Đào Việt Hùng iii Mục lục Mở đầu 1 Một số kiến thức 1.1 Các kiến thức lý thuyết Nevanlinna 1.1.1 Các hàm Nevanlinna tính chất 1.1.2 Các định lý 1.1.3 Quan hệ số khuyết 1.2 Một số tính chất hàm chung hàm nhỏ 10 1.2.1 Khái niệm mở đầu 10 1.2.2 Một số tính chất 13 Vấn đề hàm phân hình qua đa thức chứa đạo hàm 23 2.1 Trường hợp đa thức chứa đạo hàm bậc chung hàm nhỏ 23 2.2 Trường hợp đa thức chứa đạo hàm bậc chung giá trị có trọng số 36 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 45 Mở đầu Bài toán xác định hàm phân hình C thơng qua ảnh ngược tập hữu hạn nghiên cứu nhiều nhà tốn học giới: G.Pólya, R Nevanlinna, F.Gross Với a ∈ C ∪ {∞}, ta kí hiệu E(a, f ) = {z ∈ C|f (z) = a} E(a, f ) = {z ∈ C|f (z) = a kể bội } Với tập S ⊂ C ∪ {∞}, kí hiệu [ E(S, f ) = E(a, f ); a∈S E(S, f ) = [ E(a, f ) a∈S Năm 1926, R Nevanlinna chứng minh, hai hàm phân hình khác f, g thoả mãn E(ai , f ) = E(ai , g) ∀i = 1, giá trị phân biệt, f g phải trùng Một vấn đề tự nhiên đặt Gross ([5]) vào năm 1976: tồn tập hợp hữu hạn S , điều kiện E(S, f ) = E(S, g) kéo theo f ≡ g ? Năm 1995, H.X Yi ([13]) trả lời câu hỏi Gross cho trường hợp hàm nguyên năm 1998, G Frank M Reinders xem xét cho hàm phân hình Trong thực tế, câu hỏi Gross phát biểu sau: khẳng định tồn hay không đa thức P cho với cặp hàm phân hình khác f g ta có f ≡ g P (f ) P (g) chung giá trị giá trị CM? Một cách tự nhiên, ta đưa câu hỏi sau: tồn hay không đa thức chứa đạo hàm d cho với cặp hàm phân hình khác f g ta có f ≡ g d(f ) d(g) chung giá trị CM? Đã có số cơng trình cơng bố theo hướng nghiên cứu Chẳng hạn, I Lahiri R Pal ([8]), A Benerjee S Mukhejee ([3]), C Meng ([9]), Các tác giả đưa điều kiện đại số để hai hàm phân hình đồng hai đa thức chứa đạo hàm bậc chúng chung giá trị Với mục đích tìm hiểu số kết nghiên cứu theo hướng này, chọn đề tài “Vấn đề hàm phân hình hai đa thức chứa đạo hàm chung giá trị” Mục đích luận văn trình bày lại số kết nghiên cứu gần C Meng ([9]) S Shahoo and S Seikh ([10]) điều kiện đại số xác định hàm phân hình qua đa thức chứa đạo hàm bậc Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Một số kiến thức bản, trình bày kiến thức sở, cần thiết cho việc chứng minh kết chương như: lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna, hàm phân hình chung giá trị Chương 2: Vấn đề hàm phân hình qua đa thức chứa đạo hàm, trình bày số điều kiện đại số để hai hàm phân hình trùng hai đa thức chứa đạo hàm bậc chúng chung giá trị Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác Giả Đào Việt Hùng Chương Một số kiến thức 1.1 Các kiến thức lý thuyết Nevanlinna 1.1.1 Các hàm Nevanlinna tính chất Với số thực x > 0, kí hiệu: log+ x = max{log x, 0} Khi log x = log+ x − log+ (1/x) Cho f hàm phân hình C, r > 0, với ϕ ∈ [0; 2π], ta có dϕ gọi hàm xấp xỉ hàm f Bây ta định nghĩa hàm đếm Cho f hàm phân hình r > Kí hiệu n(r, 1/f ) số không điểm kể bội, n(r, 1/f ) số không điểm không kể bội f , n(r, f ) số cực điểm kể bội, n(r, f ) số cực điểm không kể bội f Dr = {z ∈ C : |z| r|} Định nghĩa 1.2 Hàm Zr n(t, f ) − n(0, f ) N (r, f ) = dt + n(0, f ) log r t gọi hàm đếm kể bội f (còn gọi hàm đếm cực điểm) Hàm Zr N (r, f ) = n(t, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r t gọi hàm đếm khơng kể bội Trong n(0, f ) = lim n(t, f ), n(0, f ) = lim n(t, f ) t→0 t→0 Định nghĩa 1.3 Hàm T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ) gọi hàm đặc trưng hàm f Các hàm đặc trưng T (r, f ), hàm xấp xỉ m(r, f ) hàm đếm N (r, f ) ba hàm lý thuyết phân bố giá trị, cịn gọi hàm Nevanlinna Định lý sau số tính chất hàm xấp xỉ, hàm đếm, hàm đặc trưng Định lý 1.1 Cho hàm phân hình f1 , f2 , · · · , fp , đó: (1) (2) (3) m(r, m(r, N (r, p X ν=1 p Y ν=1 p X ν=1 fν ) ≤ fν ) ≤ fν ) ≤ p X ν=1 p X ν=1 p X ν=1 m(r, fν ) + log p; m(r, fν ); N (r, fν ); (4) (5) (6) N (r, T (r, T (r, p Y fν ) ≤ ν=1 p X ν=1 p Y fν ) ≤ fν ) ≤ ν=1 p X ν=1 p X ν=1 p X N (r, fν ); T (r, fν ) + log p; T (r, fν ) ν=1 Tiếp theo ta đề cập đến số hàm đếm mở rộng thường dùng chứng minh định lý xác định hàm phân hình Cho f hàm phân hình r > 0, kí hiệu nk (r, f ) số cực điểm bội cắt cụt k Dr f (tức cực điểm bội l > k tính k lần tổng nk (r, f )) Hàm Zr Nk (r, f ) = nk (r, f ) − nk (0, f ) + nk (0, f ) log r t gọi hàm đếm bội cắt cụt k , nk (0, f ) = lim nk (r, f ) t→0 Số k nk (r, f ) gọi số bội cắt cụt Cho f hàm phân hình mặt phẳng phức C Một hàm phân hình a(z) gọi hàm nhỏ f T (r, a) = S(r, f ), tức T (r, a) = r→∞ T (r, f ) lim Cho a số (hữu hạn hay vô hạn) hàm nhỏ f Kí hiệu nk) (r, 1/(f − a)) số không điểm kể bội, nk) (r, 1/(f − a)) số không điểm phân biệt f − a Dr với bội không vượt k ; n(k (r, 1/(f − a)) số không điểm kể bội, n(k (r, 1/(f − a)) số không điểm phân biệt f − a Dr với bội k Đặt Nk) (r, )= f −a 1 ) − nk) (0, ) f −a f −a + nk) (0, ) log r, t f −a Zr nk) (t, N k) (r, )= f −a 1 ) − nk) (0, ) f −a f −a + nk) (0, ) log r, t f −a Zr nk) (t, N(k (r, )= f −a Zr n(k (t, 1 ) − n(k (0, ) f −a f −a + n(k (0, ) log r, t f −a N (k (r, )= f −a Zr n(k (t, 1 ) − n(k (0, ) f −a f −a + n(k (0, ) log r, t f −a nk) (0, 1 1 ) = lim nk) (t, ), nk) (0, ) = lim nk) (t, ), t→0 t→0 f −a f −a f −a f −a n(k (0, 1 1 ) = lim n(k (t, ), n(k (0, ) = lim n(k (t, ) t→0 t→0 f −a f −a f −a f −a Dễ thấy         1 1 Nk r, = N r, +N (2 r, +· · ·+N (k r, f −a f −a f −a f −a  N r, h   + N (2 r, h   = N2 r, h    ≤ N r, h Kí hiệu nE (r, a; f, g), (nE (r, a; f, g)) số không điểm kể bội (không kể bội) không điểm chung bội f − a g − a n0 (r, a; f, g), (n0 (r, a; f, g)) số không điểm kể bội (không kể bội) tất không điểm chung f − a g − a Đặt Zr NE (r, a; f, g) = nE (t, a; f, g) − nE (0, a; f, g) + nE (0, a; f, g) log r, t Zr N E (r, a; f, g) = nE (t, a; f, g) − nE (0, a; f, g) + nE (0, a; f, g) log r, t Zr n0 (t, a; f, g) − n0 (0, a; f, g) + n0 (0, a; f, g) log r, t N0 (r, a; f, g) = Zr N (r, a; f, g) = n0 (t, a; f, g) − n0 (0, a; f, g) + n0 (0, a; f, g) log r t nE (0, a; f, g) = lim nE (t, a; f, g), nE (0, a; f, g) = lim nE (t, a; f, g), t→0 t→0 n0 (0, a; f, g) = lim n0 (t, a; f, g), n0 (t, a; f, g) = lim n0 (t, a; f, g) t→0 t→0 Các hàm NE (r, a; f, g), (N E (r, a; f, g)) gọi hàm đếm kể bội (hàm đếm không kể bội) không điểm chung bội f − a g − a, N0 (r, a; f, g); (N (r, a; f, g)) hàm đếm kể bội (hàm đếm không kể bội) tất không điểm chung f − a g − a 1.1.2 Các định lý Định lý sau cách viết lại công thức Jensen, gọi Định lý thứ Định lý 1.2 (Định lý thứ nhất) Cho f 6≡ hàm phân hình C Khi đó, với r > 0, ta có:     1 (1) T (r, f ) = m r, + N r, + log |cf | f f (2) Với số phức a ∈ C,     1 T (r, f ) − m r, − N r, f −a f −a