Ứng dụng của tổng bình phương đa thức trong bài toán tối ưu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐINH THỊ HỒNG THƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA TỔNG BÌNH PHƯƠNG ĐA THỨC TRONG BÀI TOÁN TỐI ƯU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2022 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐINH THỊ HỒNG THƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA TỔNG BÌNH PHƯƠNG ĐA THỨC TRONG BÀI TỐN TỐI ƯU Ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Hồ Minh Toàn THÁI NGUYÊN - 2022 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan thực việc kiểm tra mức độ tương đồng nội dung luận văn qua phần mềm Turnitin cách trung thực đạt kết mức độ tương đồng 2% Bản luận văn kiểm tra qua phần mềm cứng nộp để bảo vệ trước hội đồng Nếu sai tơi hồn tồn chịu trách nhiệm Thái Nguyên, ngày 15 tháng 07 năm 2022 TÁC GIẢ CỦA SẢN PHẨM HỌC THUẬT Đinh Thị Hồng Thương i LỜI CẢM ƠN Trong trình học tập, nghiên cứu hoàn thiện luận văn, tác giả nhận động viên khuyến khích tạo điều kiện giúp đỡ nhiệt tình thầy giáo, gia đình, bạn bè đồng nghiệp Với lòng biết ơn sâu sắc, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy Khoa Tốn - Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên với tri thức quý báu tâm huyết để truyền đạt kiến thức cho chúng tơi suốt q trình học tập Tác giả xin chân thành cảm ơn TS Hồ Minh Tồn tận tình hướng dẫn, bảo, tạo điều kiện giúp đỡ tơi có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn Luận văn thực Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên hỗ trợ phần Trung tâm quốc tế Đào tạo Nghiên cứu Toán học, Viện Toán học, mã đề tài ICRTM02-2020.05 Trong trình nghiên cứu hồn thiện luận văn, chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận nhiều ý kiến đóng góp q thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 07 năm 2022 Tác giả Đinh Thị Hồng Thương ii Danh mục chữ viết tắt ký hiệu SMP Strong moment problem - toán moment mạnh MP Moment problem - toán moment PSD Ma trận nửa xác định dương SDP Semi-definite programming - quy hoạch nửa xác định iii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Danh mục chữ viết tắt ký hiệu iii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kí hiệu kết ma trận 1.1.1 Các kí hiệu 1.1.2 Ma trận nửa xác định dương 1.2 Tổng quan toán Moment tổng bình phương 1.2.1 Bài toán thứ 17 Hilbert 1.2.2 Biểu diễn đa thức biến dương 1.2.3 Bài toán Moment chiều 10 1.2.4 Điều kiện SMP MP 11 1.3 Bài toán Monment tập nửa đại số compact 13 Chương Ứng dụng tổng bình phương đa thức tốn tối ưu 16 2.1 Quy hoạch nửa xác định 16 2.1.1 Nón ma trận nửa xác định 17 2.1.2 Quy hoạch nửa xác định 20 2.2 Tối ưu toàn cục 24 2.3 Tối ưu có ràng buộc 28 Kết luận 34 iv MỞ ĐẦU Toán học lề then chốt ngành khoa học có ứng dụng rộng rãi thực tiễn Ngày có nhiều nhà toán học tập trung nghiên cứu phát triển lý thuyết toán học, đặc biệt lý thuyết tối ưu Cho g = {g1 , , gm } họ m đa thức n biến (x1 , , xn ) Kí hiệu K(g) tập nghiệm thực hệ bất phương trình đa thức g1 (x) ≥ 0, , gm (x) ≥ K(g) gọi tập nửa đại số đóng sở ứng với họ g K(g) tập đóng khơng gian Euclid n chiều Trong trường hợp tất đa thức họ g bậc K(g) bị chặn K(g) đa diện lồi tốn tìm giá trị cực trị đa thức thực K(g) tốn quy hoạch tuyến tính Trong trường hợp K(g) compact, nhờ định lý biểu diễn dương (Positivstellensat) K Schmudgen M Putinar, J.B Lasserre xây dựng dãy thuật toán semidefinite programming để tìm giá trị tối ưu đa thức tập compact K(g) Trong trường hợp K(g) khơng bị chặn, định lý biểu diễn dương Putinar Schmudgen lúc đúng, thuật tốn Lasserre nói tìm cận (cận trên) giá trị infimum (supremum, tương ứng) đa thức K(g), nói chung nhiều ví dụ cho thấy thuật tốn chưa tìm giá trị tối ưu Có nhiều cách tiếp cận để khắc phục vấn đề Ví [3], để tìm infimum đa thức f tập không bị chặn K(g), tác giả giá trị cần tìm giá trị infimum f giao K(g) với tập K(r − f ) Nếu giả thiết thêm, tồn số thực r để K(g, r − f ) compact ta tìm giá trị infimum theo thuật tốn xấp xỉ Lasserre đề cập trên tập compact K(g, r − f ) Ở cách khác, tác giả [11], thực số phép biến đổi đơn thức biến tập khơng bị chặn K(g) thành tập compact giá trị infimum khơng thay đổi Khi ta áp dụng thuật toán xấp xỉ Lasserre tập compact sau đổi biến Ngồi ra, cịn số nỗ lực khác để tìm cực trị tập khơng bị chặn K(g), nhiên, tất cố gắng có hạn chế giải số lớp tập khơng bị chặn K(g) (tức có nhiều giả thiết thêm) Vì nói, trường hợp họ đa thức g tốn xây dựng thuật tốn để tìm cực trị đa thức K(g) nói chung tốn mở Mục đích đề tài trình bày số kết tiêu biểu việc ứng dụng toán biểu diễn đa thức vào việc tìm cực trị đa thức tập nửa đại số đóng K(g) thơng qua xấp xỉ Lasserre Ngồi ra, chúng tơi trình bày tổng quan Bài tốn Tổng bình phương Bài toán Moment vành đa thức thực Luận văn gồm chương: Chương 1: Trình bày kiến thức sở ma trận xác định dương, tổng quan tốn Moment tổng bình phương toán Moment tập nửa đại số compact Chương 2: Trình bày ứng dụng tổng bình phương đa thức toán tối ưu, gồm toán quy hoạch nửa xác định, tối ưu toàn cục tối ưu có ràng buộc Chương Kiến thức chuẩn bị Một số kí hiệu thường dùng kết biểu diễn đa thức dương toán Moment trình bày chương Ngồi định lý biểu diễn dương cổ điển, kết chương (các định lý biểu diễn dương) viết K Schmudgen [10] M Putinar [9] trình bày lại sách [5, 6] Các kí hiệu kết trình bày luận văn dựa vào sách M Marshall [6] Vì nội dung luận văn tập trung trình bày lại ứng dụng biểu diễn dương đa thức vào tốn tối ưu nên chúng tơi bỏ qua nhiều chứng minh độc giả tìm chứng minh chi tiết sách đề cập 1.1 Một số kí hiệu kết ma trận 1.1.1 Các kí hiệu - Z, Q, R C kí hiệu vành số nguyên, trường số hữu tỉ, trường số thực trường số phức - Z+ , Q+ , R+ kí hiệu tập số ngun khơng âm, số hữu tỉ không âm, số thực không âm - Với n ≥ 1, kí hiệu ngắn gọn vành đa thức R [x1 , , xn ] R [x], x viết gọn cho n biến (x1 , , xn ) + n α - Với α = (α1 , , αn ) ∈ (Z ) , x := X1α1 Xnαn |α| := n X i=1 α x αi bậc - Với tập S ⊂ Rn , I(S) ideal R [X] xác định sau: I(S) = {f ∈ R [X] | f (x) = 0, ∀x ∈ S} - Với tập S ⊂ Rn , Z(S) tập nghiệm S : Z(S) = {x ∈ Rn |f (x) = 0, ∀f ∈ S} 1.1.2 Ma trận nửa xác định dương Với x ∈ Rn ,ta coi x vectơ cột/ ma trân cột, ∥x∥ chuẩn x, q ∥x∥ := x21 + + x2n Khi đó: xT x = (x1 , , xn ) = x21 + + x2n = ∥x∥2   x x x1 xn  1    T xx =     xn x1 xn xn ma trận vuông cấp n Mệnh đề 1.1 Cho A ma trận thực đối xứng cấp n Các mệnh đề sau tương đương: xT Ax ≥ 0, ∀x ∈ Rn Mọi giá trị riêng A không âm Tồn ma trận vuông U cấp n cho A = U T U A tổ hợp tuyến tính khơng âm ma trận có dạng xxT , x ∈ Rn Từ giả thiết A ≥ 0, B ≥ nên ⟨A, B⟩ ≥ Do T ⟨F0 , Z⟩ + c x = ⟨F0 , Z⟩ + = ⟨F0 , Z⟩ + * = F0 + m X i=1 m X ci x i xi ⟨Fi , Z⟩ i=1 m X + xi Fi , Z i=1 = ⟨F (x), Z⟩ ≥ Do ta có (2.1.4) Kí hiệu d∗ giá trị tối ưu toán đối ngẫu (2.1.3) p∗ giá trị tối ưu tốn (2.1.2) d∗ ≤ p∗ (theo (2.1.4)) Hiệu p∗ − d∗ gọi khoảng cách đối ngẫu Khơng giống với tốn quy hoạch tuyến tính, khoảng cách đối ngẫu khơng phải lúc Ví dụ 2.2 Xét quy hoạch nửa xác định:    x1          x1         ≥0 x x            0 x1 + Tập ràng buộc xác định x1 = 0, x2 ≥ Do p∗ = Bài tốn đối ngẫu   max −Z33  Z22 = 0, Z12 + z21 + z33 = 1, Z ≥ 22 Tập ràng buộc tập ma trận có dạng   a b      0 0 ,   b với a ≥ b2 Vì d∗ = −1 Trong nhiều trường hợp, khoảng cách đối ngẫu sau Định lý 2.1 Xét điều kiện sau: (1) Trong Bài toán SDP (2.1.2), tồn vectơ x cho F (x) > (2) Trong Bài toán đối ngẫu (2.1.3), tồn ma trận đối xứng Z với Z > ⟨Fi , Z⟩ = ci , i = 1, , m Nếu hai điều kiện thỏa mãn p∗ = d∗ Chứng minh (1) Hệ  m X    ci xi < p∗   i=1 m X    xi Fi ≥  F0 + i=1 khơng có nghiệm (x1 , , xm ) theo định nghĩa p∗ Do ta định nghĩa ma trận     ∗ −ci p  , F0′ =   Fi′ =  Fi F0 hệ F0′ + x1 F1′ + + xm Fm′ > khơng có nghiệm Theo bổ đề tách, tồn ma trận PSD Z ′ ̸= cho ⟨Fi′ , Z ′ ⟩ = 0, i = 1, , m, ⟨F0′ , Z ′ ⟩ ≤   T z00 z  Z′ =  z Z 23 Ta có ⟨Fi , Z⟩ = z00 ci , i = 1, , m ⟨F0 , Z⟩ + z00 p∗ ≤ Ta z00 ̸= Nếu z00 = z = theo tính xác định Z ′ so Z ′ ̸= suy Z ̸= Sự tồn Z kéo theo hệ F0 + x1 F1 + + xm Fm > khơng có nghiệm, điều trái với giả thiết Dó z00 ̸= nên z00 > Ta giả sử z00 = Thì Z điểm thuộc tập ràng buộc toán đối ngẫu với −⟨F0 , Z⟩ ≥ p∗ Do d∗ ≥ −⟨F0 , Z⟩ ≥ p∗ ≥ d∗ nên p∗ = d∗ = ⟨F0 , Z⟩ Nếu hai điều kiện mệnh đề thỏa mãn hai tập ràng buộc toán SDP tốn đối ngẫu khác rỗng (có thể thay “cận đúng” “cận đúng” “giá trị lớn nhất” “ giá trị nhỏ nhất”) 2.2 Tối ưu tồn cục Xét tốn tối ưu khơng ràng buộc: Cho f ∈ R[x], tính xấp xỉ giá trị tối ưu f∗ = inf{f (x)|x ∈ Rn }, f ∗ = sup{f (x)|x ∈ Rn } Vì f ∗ = − (−f )∗ ) nên ta cần tập trung vào tốn thứ nhất, tức tính xấp xỉ f∗ Nếu bậc f bậc lẻ f∗ = −∞ Vì cần xét trường hợp bậc f chẵn Rõ ràng f − f∗ không âm f∗ hữu hạn Một điều kiện mạnh tính khơng âm tổng bình phương Lấy d số nguyên lớn bậc đa thức f (d > deg(f )) xét R[x]d không gian vectơ thực R[x] chứa tất đa thức có bậc nhỏ d Kí hiệu Xd tập hợp tất ánh xạ tuyến tính L : R[x]d −→ R cho L(1) = L(p2 ) ≥ với đa thức p có d bậc khơng vượt q Định nghĩa: f+ = inf {L(f ) | L ∈ Xd } , 24 + n f = sup λ | f − λ ∈ Mệnh đề 2.2 X R[x] o i) f+ ≤ f∗ ii) f + = f+ Chứng minh (i) Cho x ∈ Rn , ta có hàm số tuyến tính Lx : R[x]d −→ R xác định Lx (p) = p(x), ∀p ∈ R[x] Khi đó, Lx ∈ Xd Do f+ ≤ Lx (f ) = f (x), ∀x ∈ Rn Do f+ ≤ f∗ X (ii) Đầu tiên f + ≥ f+ Giả sử f − r = p2i tổng bình phương R[x] L ∈ Xd Vì f − r có bậc khơng vượt q d d (vì f có bậc khơng vượt d) nên deg(pi ) ≤ , ta có X  X
L(f − r) = L p2i = L p2i ≥ Và L(1) = nên L(f − r) = L(f ) − L(r) = L(f ) − rL(1) = L(f ) − r Do L(f ) ≥ r Lấy inf với L sup với r, ta có f+ ≥ f + Bây ta cần bất đẳng thức ngược lại f+ ≤ f + Đặt M = X R[x]2 M [d] = M ∩ R[x]d , tập M chứa đa thức có bậc khơng vượt q d Ta tồn đa thức L ∈ Xd cho L(g) < Vì M (d) đóng R[x]d M [d]∨∨ = M [d] Giả sử g đa thức bậc không vượt d g ∈ / M [d] Vì M [d]∨∨ = M [d], tồn hàm số tuyến tính L ∈ M [d]∨ cho L(g) < Nếu L(1) ̸= L(1) > 0, ta giả sử L(1) = nên L ∈ Xd Mặt khác L(1) = áp dụng giả thiết −1 ∈ M [d] để lấy L0 ∈ M [d]∨ cho L0 (−1) < (nên L0 (1) = −L0 (−1) > Ta giả sử L0 (1) = nên L0 ∈ Xd Đặt L′ = sL + L0 với s ∈ R, s ≥ Thì L′ ≥ M [d] L(1) = nên L′ ∈ Xd Và L′ (g) = sL(g) + L0 (g), L(g) < nên L′ (g) < với s đủ lớn Áp dụng với g = f − r với r ∈ R thấy f − r tổng bình phương, f − r ∈ / M [d] tồn L ∈ Xd cho 25 L(f − r) < Vì L(1) = hay L(f ) < r f+ ≤ L(f ) ≤ r Suy f+ ≤ f + Mệnh đề chứng minh • Tính f+ Kí hiệu R[x]d tập tất đa thức có bậc khơng vượt q d Khi R[x]d khơng gian vectơ thực có sở gồm đơn thức bậc không vượt d : {xα = xα1 xαnn | | α |= α1 + + αn ≤ d} Đa thức f có bậc khơng q d biểu diễn theo sở sau: f= X fα xα , |α| ≤ d, fα ∈ R α Mỗi phần tử L ∈ Xd đồng dãy hữu hạn Sα := L(xα ) X d pα pβ xα+β Với đa thức p có bậc khơng vượt q p2 = X Do L(p ) = pα pβ Sα+β ≥ Vì ma trận (Sα+β )α,β nửa xác định dương Do để tính f+ cần giải toán SDP sau:  X   fα Sα min r = α   (Sα+β ) PSD S0 = α,β n Trong đó, α ∈ (Z+ ) , |α| ≤ d Ma trận (Sα+β )α,β ma trận đối xứng   d + n N ×N , N số phần tử tập hợp α ∈ (Z ) | |α| ≤ • Tính f + Theo Định lý Choi-Lam-Renick ([6, Lemma 4.3.1]), đa thức g ∈ R[x] có bậc khơng vượt q d tổng bình phương g biểu diễn dạng g= X α,β 26 Aαβ X α+β , d với A = (Aα,β )α,β PSD Trong đó, |α|, |β| ≤ , ma trận A đối X Aαβ X α+β lập xứng N × N với N Nếu f − r = α,β phương trình hệ số, f − r = A00 fγ = X Aαβ với γ ̸= Vì α+β=γ để tính f + cần giải tốn SPD sau    max r     X  Aαβ với γ ̸= fγ =   α+β=γ     (Aαβ ) ≥ α,β Như nhờ SDP, tính cận tồn cục đa thức thực f Về khía cạnh tốc độ tính tốn, phương pháp vượt trội so với phương pháp đại số thông qua nhiều phép tính tốn thử nghiệm Ngồi ra, số phép tính tốn thử nghiệm đó, có nhiều phép tính cho thấy cận tìm phương pháp tốt Cụ thể xét ví dụ sau ([6, Example 10.4.2]): Ví dụ 2.3 Cho k số nguyên dương cố định cho trước (trong bảng mô tả cho k chọn 100 1000) Các mẫu thử đa thức n biến có bậc d chẵn f (x1 , , xn ) = xd1 + + xdn + g (x1 , , xn ) , g ∈ Z [x1 , , xn ] đa thức có bậc khơng vượt d − hệ số g lấy ngẫu nhiên, độc lập khoảng −k k (k số nguyên dương cố định)(do họ phụ thuộc vào tham số n, d, k) Số mẫu thử chọn ngẫu nhiên: 27 d\n | 11 13 15 | 500 500 500 100 10 10 − | 500 100 10 − − − − | 500 10 − − − − − 10 | 500 − − − − − − Thời gian trung bình để chạy thuật tốn (tính giây): d\n | 0.5 4.4 11 13 15 | 0.2 | 0.3 21.1 1046 − − − − | 1.2 669 − − − − − 10 | 6.6 − − − − − − 52 361 194 − Trong tất trường hợp, độ lệch f + = f+ f∗ bé Ngoài ra, nhờ kết Hilbert biểu diễn đa thức dương, ta có kết sau: Mệnh đề 2.3 Giả sử f ∈ R[x] có bậc chẵn d ≥ Nếu n = hay d = (hoặc n = d = 4) f+ = f∗ 2.3 Tối ưu có ràng buộc Tương tự tốn tối ưu tồn cục, xây dựng phương pháp giải tốn tối ưu có ràng buộc Phương pháp J B Lasserre đưa năm 2001 [4] Đặt K = K(g) ⊆ Rn tập nửa đại số đóng sở f ∈ R[x] Tính cận đúng: f∗ = inf{f (x)|x ∈ K} Đặt M = Q(g) mô đun bậc hai sinh g = (g1 , , gm ) ta có ( ) m X X M = σ0 + σi gi | σi ∈ R[x]2 i=1 28 Lấy số nguyên d ≥ deg(f ) Như mục trước, ta xét ( m ) X X M [d] = σ i gi | σ i ∈ R[x]2 , g0 = 1, deg(σi , gi ) ≤ d i=1 Rõ ràng M [d] ⊂ M Xd tập tất ánh xạ tuyến tính L : R[x]d −→ R cho L(1) = L(p) ≥ với đa thức p ∈ M [d] Định nghĩa f+,d = inf {L(f ) | L ∈ Xd } , fd+ = sup {r ∈ R | f − r ∈ M [d]} Khi ta có tính chất sau: Mệnh đề 2.4 i) fd+ ≤ f+,d ≤ f∗
ii) fd+ d , (f+,d )d dãy tăng iii) fd+ = f+,d M ∩ −M = {0} Chứng minh i) Nếu x ∈ K Lx xác định Lx (g) = g(x) thuộc Xd Do f+,d ≤ Lx (f ) = f (x) Suy f+,d ≤ f∗ Nếu f − r ∈ M [d] L ∈ Xd L(f − r) ≥ Vì L ánh xạ tuyến tính L(1) = nên r ≤ L(f ) Suy fd+ ≤ f+,d Vì fd+ ≤ f+,d ≤ f∗ ii) Áp dụng R[x] không gian R[x]d+1 M [d] ⊆ M [d + 1], ta có + f −r ∈ M [d] hay fd+ ≤ fd+1 Và L ∈ Xd+1 hạn chế L R[x]d , kí hiệu L′ thuộc Xd rõ ràng L′ (f ) = L(f ) Suy f+,d ≤ f+,d+1 Có thể coi việc tính tốn f+,d tốn quy hoạch nửa xác định SDP việc tính tốn fd+ toán đối ngẫu quy hoạch nửa xác định Khơng giống với trường hợp đối ưu tồn cục, khơng có khẳng định cho khoảng cách đối ngẫu iii) Chứng minh tương tự phần chứng minh ii) Mệnh đề 2.2 Nói chung, số f+,d giới hạn dãy d → ∞ nhỏ giá trị infimum f∗ f K Trong trường hợp miền K compact, ta có kết sau: 29 Mệnh đề 2.5 Nếu M Archimedean fd+ −→ f∗ d −→ ∞ Hiển nhiên fd+ ≤ f+,d ≤ f∗ nên suy f+,d −→ f∗ d −→ ∞ Chứng minh Lấy r ∈ R, r < f∗ f − r > K nên theo Định lý s X biểu diễn Putinar ta có biểu diễn f − r = σi gi với σi ∈ R[x]2 Chọn i=1 d số lớn bậc σi gi , ta có f − r ∈ M [d] nên fd+ ≥ r Nhắc lại K compact M = Q(g) chưa Archimedean X Tuy nhiên ta lấy M = Q(g, k − x2i ) với k số thực dương đủ lớn để K nằm hình cầu bán kính k Khi M Archimedean Phương pháp tính fd+ f+,d Ta giả thiết gi ̸= deg(gi ) ≤ d, với i = 1, , s • Tính f+,d Đồng ánh xạ tuyến tính L : R[x]d −→ R với họ y = (yα ), |α| ≤ d, yα ∈ R yα := L(xα ) Vì L(1) = 1, nên y0 = Do ta có biến tùy ý yα , |α| ≤ d, α ̸= Điều kiện L ≥ M [d] tương đương với điều kiện  d  L(p2 ) ≥ với deg(p) ≤ ,  L(p gi ) ≥ với deg(p) ≤ d − deg(gi ) , i = 1, , s X X X fα yα Nếu Viết f = fα xα Do đó, L(f ) = fα yα = f0 + p = pα xα p2 = X pα pβ xα+β X α̸=0 nên L(p2 ) = pα pβ y α+β Do α,β α,β ta cần ma trận đối xứng M (y) = (yα+β )α+β PSD Đây d ma trận N0 × N0 N0 số số α cho |α| ≤ X X α+β α+β 2 Tương tự p gi = pα pβ x gi = pα pβ giγ x nên L(p gi ) = α,β X α,β,γ pα pβ giγ yα+β+γ Đặt Ni số số α cho |α| ≤ α,β,γ 30 d − deg(gi ) M (gi ∗ y) ma trận đối xứng Ni × Ni với phần tử vị X giγ yα+β+γ Chú ý M (1 ∗ y) = M (y) Vì ta trí (α, β) γ cần ma trận M (gi ∗ y) với i = 0, , s g0 = ma trận nửa xác định dương Điều tương đương với ma trận khối chéo F (y) = diag (M (g0 ∗ y), , M (gs ∗ y)) PSD Ma trận F (y) s s X X Ni × Ni i=1 i=1 (α) Với |α| ≤ d, định nghĩa e(α) := eβ   0 β ̸= α (α) eβ :=  1 β = α Do e(α) (α ̸= 0) sở chuẩn tắc không gian vectơ sinh X biến y = (yα ), |α| = d, α ̸= 0, tức y = yα e(α) với y = (yα ), |α| = d, α ̸= X F (y) = F0 + y α Fα , |α|≤d,α̸=0
với Fα := F e(α) Để tính f+,d , ta phải giải tốn  X   f γ yγ min γ̸=0   F (y) ≥ Đây tốn SDP • Tính fd+ : Cho r ∈ R cho f − r = σ0 + σ1 g1 + + σs gs , σi tổng bình phương đa thức có bậc khơng vượt   d − deg(gi ) (i) (i) , i = 0, , s Ta có Ni × Ni -ma trận A = Aαβ α,β 31 PSD cho σi = X (i) (i) Aαβ xα+β Đồng hệ số, sử dụng Fα khối α,β chéo thứ i Fα có βγ , phần tử vị trí (β, α) X gi s, ta có β+γ+δ=α  s X  (i)   f − r = A  00 gi0 = ⟨F0 , A⟩,     f =   α s X i=0 X (i) Aβγ giδ = ⟨F0 , A⟩ với α ̸= 0, i=0 β+γ+δ=α
A ma trận khối chéo A := diag A(0) , , A(s) Nên để tính fd+ , ta cần max r, tức f − r = max −(f0 − r) = −⟨F0 , A⟩ với điều kiện ràng buộc fα = ⟨Fα , A⟩ với |α| ≤ d, α ̸= A ≥ Đây toán đối ngẫu toán SDP Chú ý X X Z ma trận đối xứng có kích cỡ Ni × Ni ta biểu
diễn ma trận khối chéo Z ′ := diag Z (0) , , Z (s) việc thay phần tử bên khối chéo Rõ ràng Z PSD Z ′ fα = ⟨Fα , ZA⟩ = ⟨Fα , Z ′ ⟩ Xét toán tối ưu đa thức tập ràng buộc không bị chặn, cụ thể tập ràng buộc K = K(g) tập nửa đại số đóng sở khơng compact Khi Định lý biểu diễn Putinar Schmudgen khơng cịn Vì tính hội tụ giá trị infimum f∗ dãy xấp xỉ fd+ f+,d không đảm bảo Vì có nhiều nỗ lực khắc phục nhược điểm Sau kết [3] Lấy c số dương cho tồn x0 ∈ K : f (x0 ) ≤ c Khi ta e với dễ dàng có f∗ = inf{f (x) | x ∈ K} = inf{f (x) | x ∈ K} e = K ∩ {x ∈ Rn |c − f (x) ≥ 0}, tồn x∗ ∈ K : f (x∗ ) = f ∗ K e Vì tốn tối ưu trên, tập K tồn x∗ ∈ K e Từ lớp đẹp mà tốn hồn tồn thay tập K giải mơ-đun bậc hai Q(g, f − c) (là mơ-đun 32 e ) có tính chất Archimedean, bậc hai ứng với đa thức sinh K Q(g) khơng có tính chất Archimedean, K khơng compact Khi đó, áp dụng Mệnh đề 2.5, ta có kết sau [3, Theorem 4.1]: Hệ 2.1 Cho K = K(g) tập nửa đại số khác rỗng Rn Lấy x0 ∈ K c số dương cho f (x0 ) ≤ c Giả sử mô-đun bậc hai Q(g, c − f ) có tính chất Archimedean Khi đó: f∗ = inf{f (x) | x ∈ K} = sup{r|f − r ∈ Q(g, c − f )} = lim sup{r|f − r ∈ Qk (g, c − f )} k→+∞ Hơn nữa, f∗ = f (x∗ ) với x∗ ∈ K nói chung f∗ = max{r|f − r ∈ Qk (g, c − f )}, với số k Tức là, f∗ đạt sau giải số hữu hạn tốn SDP Ngồi ra, Định lý biểu diễn dương Schmudgen cho trường hợp tập K dải ([7]) hay tập nửa đại số có thớ compact ([8]) Vì ta có kết Mệnh đề 2.5 f∗ tính qua thuật tốn xấp xỉ Lasserre 33 KẾT LUẬN Với kiến thức sở Chương ma trận xác định dương, kiến thức tổng quan toán Moment tổng bình phương tốn Moment tập nửa đại số compact, dựa việc nghiên cứu đọc hiểu tài liệu [10],[9], [5, 6] , luận văn đã: Trình bày điều kiện để ma trận xác định dương, nửa xác định dương tính chất chúng; Bài toán quy hoạch nửa xác định, toán đối ngẫu nó, cách tính (xấp xỉ) giá trị infimum p∗ (Định lý 2.1); Trình bày tốn tối ưu tồn cục (khơng ràng buộc) cách tính cận toàn cục đa thức thực f ; Trình bày tốn tối ưu có ràng buộc phương pháp giải 34 Tài liệu tham khảo [1] Bochnak J , Coste M., and Roy M -F.(1998), Real algebraic geometry, Springer, 36 [2] H V Hà and T S Phạm, Genericity in polynomial optimization, (2017), vol of Series on Optimization and Its Applications, World Scientific [3] Jeyakumar V., Lasserre J B., Li G (2014) "On polynomial optimization over non-compact semi-algebraic sets", J Optim Theory Appl 163, pp 707–718 [4] Lasserre J.B (2001) "Global optimization with polynomials and the problem of moments", SIAM J Optim.11, pp 796-817 [5] Lasserre J.B (2009), Moments, Positive Polynomials and their Applications, Imperial College Press, London [6] Marshall M (2008) Positive polynomials and sum of squares, Mathematical Surveys and Monographs, 146, American Mathematical Society, Providence, RI [7] Marshall M (2010) "Polynomials non-negative on a strip",Proc Amer Math Soc., 138(5), pp 1559-1567 [8] Powers V.(2004), "Positive polynomials and the moment problem for cylinders with compact cross-section", J Pure Appl Algebra, 188(13), pp 217-226 35 [9] Putinar, M (1993) "Positive polynomials on compact semi-algebraic sets," Indiana Univ Math J, 42, no 3, pp 969-984 [10] Schmă udgen K (1991) "The K-moment problem for compact semialgebraic sets," Math Ann 289 , 203-206 (1991) [11] Du T Trang, Toan M Ho, Polynomial Optimization on Some Unbounded Closed Semi-Algebraic Sets, J Optim Appl 183 352-363 (2019) 36