Phân tích tín hiệu trong miền thời gian và tần số

Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số 54    Thông thường ta giả sử hệ thống là tuyến tính và bất biến theo thời gian (Linear Time-Invariant Systems) LTI để thuận lợi trong việc phân tích và thiết kế. Hệ thống cũng thường xét là hệ thống nhân quả và đã thư giãn (nghĩa là khi chưa có tín hiệu vào thì tín hiệu ra bằng 0).  5.1.1  của hệ thống h(n) là tín hiệu ra của hệ thống khi tín hiệu vào là xung lực đơn vị (n) IIR -  (Finite duration Impulse Response) là hệ thống có đáp ứng xung hữu hạn, nó hiện hữu trong một khoảng thời gian hữu hạn. Hệ thống này chỉ đòi hỏi bộ nhớ hữu hạn để lưu trữ tín hiệu và thời gian xử lý cũng hữu hạn. Ví dụ: h(n) = [0 ,2 ,3 ,0.5 ,3, 2, 1, 0] -  ( Infinite duration Impulse Response) là hệ thống có đáp ứng xung vô hạn, nó hiện hữu ở mọi thời gian từ n = -  đến n = + . Hệ thống này cần bộ nhớ lớn vô hạn để lưu trữ tín hiệu và thời gian xử lý cũng rất lớn. Ví dụ: h(n) = [… ,2 ,3 ,0.5 ,3, 2, 1, ….] Tín hiệu vào x(n)=(n) Hệ thống tuyến tính và bất biến thời gian (LTI) Tín hiệu ra y(n)=h(n) Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số 55   Từ phương trình vào ra của hệ thống ta có thể tính đáp ứng xung bằng cách cho tín hiệu vào là xung lực đơn vị (n). Ví dụ: Hệ thống mô tả bởi phương trình hiệu số tín hiệu vào ra: y(n)= 1.5 y(n-1) – 0.85 y(n-2) + 2 x(n) Thế x(n) = (n) thì y(n) chính là đáp ứng xung h(n) h(n)= 1.5 h(n-1) – 0.85 h(n-2) + 2 (n) ở n = 0: h(0) = 1.5 h(-1) – 0.85 h(-2) + 2 (0) Nếu hệ thống phi nhân quả ta cần biết h(-1), h(-2) mới tính được h(0). Nếu hệ thống nhân quả, h(n) = 0 ở n  -1 ta có thể tính đáp ứng h(0) = 1.5 h(-1) – 0.85 h(-2) + 2 (0) = 2 h(1) = 1.5 h(0) – 0.85 h(-1) + 2 (1) = 3 h(2) = 1.5 h(1) – 0.85 h(0) + 2 (2) = 2.8 … h(n) có vô hạn số hạng  hệ thống IIR 5.2 () 5.2.1  Ký hiệu: y(n) = H[x(n)] Hay: )n(y)n(x H  Tín hiệu vào x(n)=(n) x(n) bất kỳ Hệ thống tuyến tính và bất biến thời gian (LTI) Tín hiệu ra y(n)=h(n) y(n)=x(n)*h(n) Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số 56 Ví dụ: Xét tín hiệu rời rạc: x(n) = [0,1,4,-1,2,3,0] Khi đó: x(0) = x(0)δ(n-0) = -1 x(1) = x(1)δ(n-1) = 2 x(-1) = x(-1)δ(n+1) = 4 ….  x(n) = x(-2)δ(n+2) + x(-1)δ(n+1) + x(0)δ(n-0) + x(1)δ(n-1) + x(2)δ(n-2)    sau: x(n) = ….+ x(-1)δ(n+1) + x(0)δ(n-0) + x(1)δ(n-1) + x(2)δ(n-2) +… hay     k )kn()k(x)n(x Tín hiệu ra của hệ thống là:            k )kn()k(xH)n(xH)n(y Hệ thống  thì đáp ứng đối với tín hiệu x(n) bằng tổng đáp ứng với các thành phần δ(n-k) với trọng số x(k) của x(n) nên:                  kk )kn(H)k(x)kn()k(xH)n(xH)n(y Hệ thống là n thì: H[δ(n-k)] = h(n-k) Vậy đáp ứng đối với tín hiệu vào bất kỳ x(n) của hệ thống tuyến tính và bất biến thời gian (LTI) có đáp ứng xung h(n) là:     k )kn(h)k(x)n(h*)n(x)n(y Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số 57 Đây là công thức tính tích chập của tín hiệu rời rạc gọi là tổng nhân chập. Khi biết đáp ứng xung của hệ thống ta có thể tính đáp ứng thời gian của hệ thống với bất cứ tín hiệu vào x(n) nào nên đáp ứng xung là đặc tính thời gian của hệ thống.  Các bước tính tổng chập: 1. Đổi biến số n thành biến tạm k,  x(k), h(k). 2. Tạo ảnh gương (gấp ảnh) h(-k) của h(k) . Ở n = 0 tính     k )k(h)k(x)0(y 3. Dịch chuyển h(-k) bằng cách thêm thông số trượt n  h(n-k). Cho n=1,2,3… để h(n-k) dịch chuyển phải (về tương lai), ở mỗi giá trị của n tính tổng nhân chập. Tăng n lên cho đến khi thấy tổng nhân chập tiếp tục bằng 0 (tức h(n-k) đã trượt khỏi x(k)). 4. Cho n = -1,-2,-3… để h(n-k) dịch chuyển trái (về quá khứ), ở mỗi giá trị của n tính tổng nhân chập cho đến khi thấy tổng nhân chập tiếp tục bằng 0 (tức h(n-k) đã trượt khỏi x(k)).  y = N x + N h - i  Ví dụ: Tín hiệu vào và đáp ứng xung lần lượt là : x(n) = [ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 0] h(n) = [ 0 , 2 , 0 , 2 , 0] Tìm tín hiệu ra. Giải: Tiến hành các bước như trên, có 2 cách thực hiện: dựa vào đồ thị hoặc biểu thức chuỗi. Ta có N y = N x + N h -1 = 4+3-1=6 * Tính tín : Thực hiện tổng nhân chập: Đổi biến số n thành biến số tạm k, viết x(k), h(k Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số 58 n = 0: n = 1 : n = 2 : 1 1 2 2 3 4 3 4 k x(k) 0 -1 1 2 0 2 2 k h(k) -1 h(-k) -1 0 -2 2 2 k -3 1 x(k)h(-k) -1 0 -2 2 k -3 1   k 2 h(1-k) 0 1 -1 2 2 k -2 2 x(k)h(1-k) 0 1 4 -2 2 -1 k   k 4 h(2-k) 1 2 0 2 2 k -1 3 x(k)h(2-k) 1 2 0 2 6 k -1 3   k 8 Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số 59 n = 3 : n = 4 : n = 5 : n = 6: h(3-k) 2 3 1 2 2 k 0 4 -1   k 12 4 k 3 x(k)h(3-k) 2 1 8 0 4 -1 h(4-k) k 4 2 2 2 5 0 3 1 -1   k 6 2 x(k)h(4-k) 1 0 6 k -1 3 4 5 h(5-k) 5 1 k 3 2 2 6 4 2 0 -1 h(6-k) 6 2 k 4 2 2 7 5 3 1 0 -1 1   k 0 x(k)h(6-k) k 4 3 2 5 0 6 7 -1   k 8 x(k)h(5-k) k 3 2 1 8 0 4 -1 5 6 Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số 60 n = -1: n = -2: Vậy tín hiệu ra : y(n) = […0 , 2 , 4 , 8 , 12 , 6 , 8 , 0…] *  Đổi biến số n thành biến số tạm k , viết x(k) , h(k): x(k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 0 ,…] h(k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 2 , 0 , 0 ,…] n = 0 : h(-k) = […0 , 0 , 2 , 0 , 2 , 0 , 0 , 0 , 0 ,…] x(k)h(-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 0 , 0 , 0 ,…]   k 2 n = 1 : h(1-k) = […0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 2 , 0 , 0 , 0 ,…] x(k)h(1-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 4 , 0 , 0 , 0 ,…]   k 4 n = 2 : h(2-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 2 , 0 , 0 ,…] h(-1-k) -2 -1 -3 2 2 k -4 0 1 2 3 4   k 0 -2 x(k)h(-1-k) k 1 0 -1 2 -3 3 4 -4 h(-2-k) -3 -2 -4 2 2 k 3 -1 0 1 2 4   k 0 -2 x(k)h(-2-k) k 1 0 -1 2 -3 3 4 -4 Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số 61 x(k)h(2-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 6 , 0 , 0 ,…]   k 8 n = 3 : h(3-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 2 , 0 ,…] x(k)h(3-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 4 , 0 , 8 , 0 ,…]   k 12 n = 4 : h(4-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 2 ,…] x(k)h(4-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 6 , 0 , 0 ,…]   k 6 n = 5 : h(5-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 2 , 0 ,…] x(k)h(5-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 8 , 0 , 0 , 0 ,…]   k 8 n = 6 : h(6-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 2 , 0…] x(k)h(6-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0…]   k 0 n = -1 : h(-1-k) = […0 , 2 , 0 , 2 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,…] x(k)h(-1-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,…]   k 0 n = -2: h(-1-k) = […0 , 2 , 0 , 2 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,…] x(k)h(-2-k) = […0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,…]   k 0 Vậy tín hiệu ra : y(n) = […0 , 2 , 4 , 8 , 12 , 6 , 8 , 0…] Ví dụ: Đáp ứng xung của hệ thống h(n)=[0,1,2,1,-1,0] và tín hiệu vào là x(n)=[0,1,2,3,1,0]. Tìm tín hiệu ra y(n). Giải: Ta có N y = N x + N h -1 = 4+4-1=7 Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số 62  Tiếp tục đến n = 6 ta thấy tổng nhân chập bằng 0. Sau đó thực hiện với n= -1, -2, Kết quả là: y(n) = [0, 1, 4, 8, 8, 3 , -2, -1, 0]  i : x(k) = [0, 0, 0, 1, 2, 3, 1, 0] h(k) = [0, 0, 1, 2, 1,-1, 0] n = 0: h(-k) = [0,-1, 1, 2, 1, 0] x(k) h(-k) = [ 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0]      k 4)0(y n = 1: h(1- k) = [0, 0,-1, 1, 2, 1, 0] -3 -2 -1 0 1 2 3 1 1 2 -1 h(k) k k -2 -1 0 1 2 3 4 1 1 2 3 x(k) -3 -2 -1 0 1 2 3 1 1 2 -1 h(-k) k k -2 -1 0 1 2 3 4 2 2 x(k)h(-k) n = 0 4 k   -2 -1 0 1 2 3 4 1 1 2 -1 h(1-k) k k -2 -1 0 1 2 3 4 1 4 x(k)h(1-k) n = 1 8 k   3 Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số 63 x(k) h(-k) = [0 , 0, 0, 1, 4, 3, 0]      k 8)1(y n = 2: h(2- k) = [0, 0, 0, -1, 1, 2, 1, 0] x(k) h(-k) = [0 , 0, 0,-1, 2, 6, 1, 0]      k 8)2(y Tương tự tính với các giá trị n khác ta cũng được kết quả như trên. Ví dụ: Tìm y(n)= x(n)*h(n) a. x(n) = [0,1,2,3,0], h(n) = [0,1,2,1,0] b. x(n) = [0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 0], h(n) = [0, 1, 2, -1, 1, 0] Giải: a. y(n) = [0, 1, 4, 8, 8, 3, 0] b. y(n) = [0, 1, 3, 3, 5, 3, 7, 4, 3, 3, 0, 1, 0]  1. Tính chất giao hoán x(n)*h(n) = h(n)*x(n) 2. Tính kết hợp [x(n)*h 1 (n)]*h 2 (n) = x(n)*[h 1 (n)*h 2 (n)] Ví dụ: Cho hệ thống như hình trên.Tìm y(n) biết: x(n) = [0,1,2,3,0], h 1 (n)= [0,1,2,1,0], h 2 (n) = [0, 1, 1, 0] Giải:  Cách 1: y(n) = [x(n)*h 1 (n)]*h 2 (n) [...]... Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số Trong trường hợp tín hiệu ngõ vào là nhân quả, nghĩa là x(n)=0 khi n < 0 thì: y( n )  n  h (k ) x (n  k ) hệ thống và tín hiệu nhân quả k 0 Hay y( n )  n  x (k )h (n  k ) hệ thống và tín hiệu nhân quả k 0 5.2.5 Tìm phƣơng trình hiệu số vào ra từ đáp ứng xung Khi biết đáp ứng xung của hệ thống ta có thể suy ra phương trình tín hiệu vào ra... khứ, lúc này: 71 Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số 1 y(n )  [ x (n )  x (n  1)  x (n  2)  x (n  3)  x (n  4)] 5 Như vậy tín hiệu ra y(n) là trị giá trung bình chung quanh x(n-2) thay vì x(n) 5.5.2 Lọc đệ quy Ở lọc đệ quy tín hiệu ra phụ thuộc vào tín hiệu vào ở mọi thời điểm và cả tín hiệu ra trước đó (hệ thống có sự hồi tiếp) Phương trình hiệu số của lọc đệ quy là: N k... j.n d  Tín hiệu vào Tín hiệu ra Hệ thống LTI Miền thời gian: x (n )  F Miền tần số: X() h (n )  F  H() y( n ) F  Y()  x (n ) * h (n ) (Định lý nhân chập)  X()H() Trong đó X(), Y(), H() lần lượt là biến đổi Fourier rời rạc thời gian của x(n), y(n), h(n): X ()    x(n).e  j.n n  Y ()    y(n).e  j.n n  83 Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số H ()... vậy tín hiệu ra là : y(n)  He jn Tín hiệu ra cùng pha với tín hiệu vào nhưng thường là khác pha khi H() có dạng phức 86 Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số 5.9.4 Đáp ứng tần số của lọc m c nối tiếp và song song Mắc nối tiếp: H() = H1()H2() … Mắc song song: H() = H1() + H2() +… 9.5 Đáp ứng tần số phát biểu theo hệ số của lọc Đối với lọc phi đệ quy (FIR) có phƣơng trình hiệu. .. 0.2[x(n-2)+x(n-1)+x(n) + x(n+1) + x(n+2)] Tín hiệu ra ở thời điểm n là trung bình cộng của tín hiệu vào ở thời điểm đó và hai thời điểm kế trước (quá khứ) và hai thời điểm kế sau (tương lai) 84 Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số Giải : Thế x(n) bằng (n) thì y(n) sẽ là đáp ứng xung h(n) : h(n) = 0.2[(n-2)+  (n-1)+  (n) +  (n+1) +  (n+2)] Đáp ứng tần số là: H ()    h(n).e  j.n... Cũng giống như các lọc tương tự, các lọc số tác động lên tín hiệu số vào khiến phổ tần số (gồm phổ biên độ và phổ pha) của tín hiệu ra khác với tín hiệu số vào Và cũng giống như lọc tương tự, lọc số gồm các loại thông thấp, thông cao, thông dải, chắn dải Lọc tuyến tính và bất biến thời gian (LTI) được đặc trưng bởi đáp ứng xung h(n) Đáp ứng đối với tín hiệu vào x(n) bất kỳ là nhân chập của h(n) với... trực tiếp tín hiệu ra và vào bằng phương trình hiệu số Xét từ phương trình hiệu số hay cấu trúc của lọc người ta chia lọc làm hai loại là đệ quy và phi đệ quy 5.5.1 Lọc phi đệ quy và FIR Lọc mà tín hiệu ra chỉ tùy thuộc vào tín hiệu vào được gọi là phi đệ quy Phương trình hiệu số của lọc phi đệ quy là: y( n )  N  b k xn  k  k N Trong đó bk là hệ số của lọc Giới hạn của tổng thường là –N và N hữu... Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số H  1 1  0.8 cos   j0.8 sin  H   H ()  arctg 1 1  0.8 cos 2  0.8 sin 2  1 1.64  1.6 cos  0.8 sin  1  0.8 cos  5.9.2 Đáp ứng bi n đ phát biểu theo decibel (dB) H dB  20 log10 H 5.9.3 Hàm ri ng và trị ri ng của lọc số Ta muốn tìm các tín hiệu qua lọc số không thay đổi Cụ thể, tín hiệu x(n) vào sao cho tín hiệu ra... Khi tín hiệu vào là xung lực đơn vị (n), tín hiệu ra là đáp ứng xung h(n) : h (n )  N  b k n  k   b n k N 70 Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số Vậy đối với lọc phi đệ quy đáp ứng xung chính là các hệ số lọc hay nói rõ hơn là hệ số ở một thời điểm là đáp ứng xung ở thời điểm đó  Phương trình của lọc phi đệ quy theo đáp ứng xung: y( n )  N  h(k )xn  k  k N Và nếu... k N Đáp ứng xung cho bởi phương trình hiệu số tuyến tính có hệ số không đổi: h (n )  M N k 1 k N  a k h(n  k)   bk n  k  75 Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số 5.6 XỬ LÝ KH I V XỬ LÝ MẪU Tùy thuộc vào sự ứng dụng và phần cứng mà một hệ thống lọc (FIR hoặc IIR) có thể xử lý khối hay xử lý mẫu Ở xử lý khối, tín hiệu được lấy mẫu và lưu trữ thành một khối các mẫu Khối . tuyến tính và bất biến thời gian (LTI) có đáp ứng xung h(n) là:     k )kn(h)k(x)n(h*)n(x)n(y Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số 57 Đây là công thức tính tích chập. x(n) bất kỳ Hệ thống tuyến tính và bất biến thời gian (LTI) Tín hiệu ra y(n)=h(n) y(n)=x(n)*h(n) Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số 56 Ví dụ: Xét tín hiệu rời. Chương 5: Phân tích trong miền thời gian và miền tần số 54    Thông thường ta giả sử hệ thống là tuyến tính và bất biến theo thời gian