Phân tích tín hiệu trong miền thời gian và tần số

5.1 ĐÁP ỨNG XUNG 5.1.1 Đáp ứng xung của hệ thống hn là tín hiệu ra của hệ thống khi tín hiệu vào là xung lực đơn vị n 5.1.2 Hệ thống FIR và IIR - Hệ thống FIR Finite duration Impulse

Chương 5

PH N T CH TRONG MI N TH I GI N V

MI N T N S

Thông thường ta giả sử hệ thống là tuyến tính và bất biến theo thời gian

(Linear Time-Invariant Systems) LTI để thuận lợi trong việc phân tích và thiết kế

Hệ thống cũng thường xét là hệ thống nhân quả và đã thư giãn (nghĩa là khi chưa có tín hiệu vào thì tín hiệu ra bằng 0)

5.1 ĐÁP ỨNG XUNG

5.1.1 Đáp ứng xung của hệ thống h(n) là tín hiệu ra của hệ thống khi tín hiệu vào là

xung lực đơn vị (n)

5.1.2 Hệ thống FIR và IIR

- Hệ thống FIR (Finite duration Impulse Response) là hệ thống có đáp ứng xung

hữu hạn, nó hiện hữu trong một khoảng thời gian hữu hạn Hệ thống này chỉ đòi hỏi bộ nhớ hữu hạn để lưu trữ tín hiệu và thời gian xử lý cũng hữu hạn

Ví dụ: h(n) = [0 ,2 ,3 ,0.5 ,3, 2, 1, 0]

- Hệ thống IIR ( Infinite duration Impulse Response) là hệ thống có đáp ứng

xung vô hạn, nó hiện hữu ở mọi thời gian từ n = -  đến n = +  Hệ thống này cần bộ nhớ lớn vô hạn để lưu trữ tín hiệu và thời gian xử lý cũng rất lớn

Ví dụ: h(n) = [… ,2 ,3 ,0.5 ,3, 2, 1, ….]

Tín hiệu vào

x(n)=  (n) Hệ thống

tuyến tính và bất biến thời gian (LTI)

Tín hiệu ra y(n)=h(n)

5.1.3 Tính đáp ứng xung từ phương trình tín hiệu vào ra

Từ phương trình vào ra của hệ thống ta có thể tính đáp ứng xung bằng cách cho tín hiệu vào là xung lực đơn vị (n)

Ví dụ: Hệ thống mô tả bởi phương trình hiệu số tín hiệu vào ra:

y(n)= 1.5 y(n-1) – 0.85 y(n-2) + 2 x(n)

Hệ thống tuyến tính và bất biến thời gian (LTI)

Tín hiệu ra y(n)=h(n)

y(n)=x(n)*h(n)

) n ( x H )

n

(

y

Hệ thống tuyến tính thì đáp ứng đối với tín hiệu x(n) bằng tổng đáp ứng với các thành

phần δ(n-k) với trọng số x(k) của x(n) nên:

)kn(H)k(x)

kn()k(xH

)n(xH)

n(h

*)n(x)

n

(

y

Đây là công thức tính tích chập của tín hiệu rời rạc gọi là tổng nhân chập

Khi biết đáp ứng xung của hệ thống ta có thể tính đáp ứng thời gian của hệ thống với bất cứ tín hiệu vào x(n) nào nên đáp ứng xung là đặc tính thời gian của hệ thống

5.2.2 Cách tính tổng nhân chập

Các bước tính tổng chập:

1 Đổi biến số n thành biến tạm k,  x(k), h(k)

2 Tạo ảnh gương (gấp ảnh) h(-k) của h(k)

0(y

3 Dịch chuyển h(-k) bằng cách thêm thông số trượt n  h(n-k) Cho n=1,2,3…

để h(n-k) dịch chuyển phải (về tương lai), ở mỗi giá trị của n tính tổng nhân chập Tăng n lên cho đến khi thấy tổng nhân chập tiếp tục bằng 0 (tức h(n-k) đã trượt khỏi x(k))

4 Cho n = -1,-2,-3… để h(n-k) dịch chuyển trái (về quá khứ), ở mỗi giá trị của n tính tổng nhân chập cho đến khi thấy tổng nhân chập tiếp tục bằng 0 (tức h(n-k) đã trượt khỏi x(k))

Lưu ý: N y = N x + N h -1 với N i là chiều dài của i(n)

-1 0 -2

2 2

k -3 1

x(k)h(-k)

-1 0 -2

2

k -3 1

2 2

k -2 2





k

8



k

8 x(k)h(5-k)

* Tính tín hiệu ra theo phương pháp biểu thức chuổi :

Đổi biến số n thành biến số tạm k , viết x(k) , h(k):

* Tính tín hiệu ra theo phương pháp đồ thị:

0(y

8)

2(y

Tương tự tính với các giá trị n khác ta cũng được kết quả như trên

x(n)*h2(n) = [0, 1, 3, 5, 3, 0]

x(n)*h1(n) + x(n)*h2(n) = [0, 1, 5, 11, 13, 6, 0]

Hai cách tính cho kết quả giống nhau

* Công thức chuỗi hình học hữu hạn:

x 1

x 1 x x

0 n

n n

1 x

1

x 1 lim x

x

x

x

1

1 n

n 0 n

n 2

Nếu |x| > 1 chuỗi phân kỳ (tiến về vô cực)

5.2.4 Đáp ứng của hệ thống LTI nhân quả

Hệ LTI nhân quả là hệ chỉ phụ thuộc vào trạng thái của hệ thống tại thời điểm hiện tại và quá khứ mà không phụ thuộc vào thời điểm tương lai Do đó, tại n = n0:

k

0 k

Như vậy, hệ thống LTI là nhân quả nếu và chỉ nếu đáp ứng xung cũng là nhân quả Từ

đó, ngõ ra của hệ thống nhân quả là:

) k n ( x ) k ( h )

n

(

Trong trường hợp tín hiệu ngõ vào là nhân quả, nghĩa là x(n)=0 khi n < 0 thì:

) k n ( x ) k ( h )

) k n ( h ) k ( x )

n

(

5.2.5 Tìm phương trình hiệu số vào ra từ đáp ứng xung

Khi biết đáp ứng xung của hệ thống ta có thể suy ra phương trình tín hiệu vào

0 n 0

vòng kiểm soát, và có thể trở nên quá lớn (tiến về vô hạn) làm bão hòa các mạch điện

tử hoặc vượt khả năng bộ nhớ

Hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc thời gian là ổn định khi tín hiệu vào có biên độ hữu hạn thì tín hiệu ra có biên độ cũng hữu hạn (bounded input bounded output - BIBO) Nghĩa là: nếu tồn tại số Mx sao cho: |x(n)| ≤ Mx < ∞ thì tồn tại số My sao cho:

n(x

*)n(h)n(y

Lấy trị tuyệt đối :

k

)k(hM

)kn(x)k(h)

kn(x)k(h)

n(y

Giải:

Vì hệ thống nhân quả nên điều kiện của h(n) là:

a a

a a

(

1 2

0 n n

|a

|1a

1 n

0 n n

Vậy điều kiện ổn định là |a|<1, lúc đó h(n) giảm theo hàm mũ về 0 khi n lớn vô hạn Ví dụ h(n) = ( 0.5)n u(n) là nhân quả và ổn định, h(n) = ( 2)n u(n) là nhân quả

và bất ổn định

5.4 ĐÁP ỨNG CHU N TI P

Trong thực tế ta thường gặp trường hợp tín hiệu được đưa vào hệ thống rồi tắt

đi Phản ứng của hệ thống hi vừa đƣa tín hiệu vào hay tín hiệu vừa bị t t đi gọi

là đáp ứng chuyển tiếp (hay quá đ , hay giao thời) Đáp ứng này thường khác với

đáp ứng ổn định hay đáp ứng vững, là đáp ứng khi tín hiệu đã được đưa vào hoặc tắt

sau một thời gian dài Đáp ứng chuyển tiếp là đ c tính quan trọng của hệ thống,

nó nói l n tính chất và tốc đ phản ứng của hệ thống Thường ta muốn hệ thống đạt

đến sự ổn định càng nhanh càng tốt nhưng phải trơn tru

5.4.1 Đáp ứng bậc

Đáp ứng xung của hệ thống không cho biết trực tiếp đáp ứng chuyển tiếp của

hệ thống Khi tín hiệu vào hệ thống là hàm bậc đơn vị x(n)=u(n) thì tín hiệu ra y(n)=s(n) được gọi là đáp ứng bậc Hàm bậc đơn vị u(n) là tổng tích lũy hay còn gọi

là tổng chạy của xung lực đơn vị (n):

) k n ( )

n ( u

Nên đáp ứng bậc của hệ thống LTI là tổng chạy của đáp ứng xung của nó:





 n

0 k

) k ( h )

n ( s

Ngược lại đáp ứng xung có thể suy ra từ đáp ứng bậc:

5.5 LỌC PHI ĐỆ QUI (FIR) V ĐỆ QUI (IIR)

Hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc thời gian (hay còn gọi là các bộ xử lý tín hiệu

số, DSP) phổ biến nhất là lọc số (digital filter) Lọc số được cấu tạo bằng mạch điện

tử (phần cứng) hoặc chương trình (phần mềm) hoặc kết hợp cả hai Cũng giống như các lọc tương tự, các lọc số tác động lên tín hiệu số vào khiến phổ tần số (gồm phổ biên độ và phổ pha) của tín hiệu ra khác với tín hiệu số vào Và cũng giống như lọc tương tự, lọc số gồm các loại thông thấp, thông cao, thông dải, chắn dải

Lọc tuyến tính và bất biến thời gian (LTI) được đặc trưng bởi đáp ứng xung h(n) Đáp ứng đối với tín hiệu vào x(n) bất kỳ là nhân chập của h(n) với x(n) Tuy nhiên nhiều khi ta liên hệ trực tiếp tín hiệu ra và vào bằng phương trình hiệu số Xét từ phương trình hiệu số hay cấu trúc của lọc người ta chia lọc làm hai loại là đệ quy và phi đệ quy

5.5.1 Lọc phi đệ quy và FIR

Lọc mà tín hiệu ra chỉ tùy thuộc vào tín hiệu vào được gọi là phi đệ quy Phương trình hiệu số của lọc phi đệ quy là:

kx n k b

Vậy đối với lọc phi đệ quy đáp ứng xung chính là các hệ số lọc hay nói rõ hơn là hệ số

ở một thời điểm là đáp ứng xung ở thời điểm đó

 Phương trình của lọc phi đệ quy theo đáp ứng xung:

k n x ) k ( h )

k n x ) k ( h )

n

(

y

Đây chính là dạng tổng nhân chập trực tiếp Trên lý thuyết giới hạn của tổng có thể là

- và , hoặc 0 và  (nếu lọc là nhân quả) tức lọc phi đệ quy có thể là lọc IIR (đáp ứng xung lâu vô hạn) Nhưng trên thực tế đáp ứng xung của lọc phi đệ quy có số hạng hữu hạn, hoặc có số hạng vô hạn nhưng giảm nhanh khi n lớn lên có thể bỏ đi khi trở nên không đáng kể (nếu số hạng là vô hạn ta không thể tính tín hiệu ra) Vậy lọc phi đệ quy chính là lọc FIR

1 )

đã lưu trữ sẵn Còn xử lý trong thời gian thực thì hệ thống phải nhân quả Lúc bấy giờ

ta tính trung bình các mẫu từ hiện tại trở lại quá khứ, lúc này:

4 n ( x ) 3 n ( x ) 2 n ( x ) 1 n ( x ) n ( x [ 5

1 )

1 k

ky ( n k ) b x n k a

Phương trình lọc phi đệ quy thể hiện tín hiệu ra là nhân chập của các hệ số bn

(chính là đáp ứng xung h(n)) với tín hiệu vào x(n) Ở phương trình đệ quy các hệ số

ak, bk không trực tiếp liên quan đến đáp ứng xung Đáp ứng xung của lọc nhận được bằng cách cho tín hiệu vào x(n) là xung lực đơn vị (n) trong phương trình hiệu số của lọc rồi tìm tín hiệu ra

- +

Để tìm đáp ứng xung ta thế x(n) bởi (n) và y(n) bởi h(n):

Vậy:

y(n) = y(n-1) + 0.2[x(n+2) – x(n-3)]

Đây là phương trình hiệu số của lọc đệ quy

Đáp ứng xung cho bởi:

Như vậy đáp ứng xung của hai hệ thống đệ quy và phi đệ quy giống nhau vì hai

hệ thống tương đương nhau, với đáp ứng xung lâu hữu hạn (FIR)

Ví dụ trên cho thấy với cùng m t đ c tính lọc, lọc đệ quy cần ít số hạng hơn lọc phi đệ quy n n hiệu quả hơn về m t tính toán và thực hiện Tuy nhiên nếu

không chọn lựa các hệ số thích hợp, hệ thống đệ quy có thể bất ổn định

Ví dụ:

Một lọc thông dải đệ quy nhân quả có phương trình hiệu số:

y(n) = 1.5y(n-1) – 0.85y(n-2) + x(n)

Tìm phương trình của lọc phi đệ quy tương đương

Giải:

Lọc đệ quy cho bởi phương trình trên có 3 số hạng tức có 3 hệ số Để tìm phương trình của lọc phi đệ quy tương đương trước tiên ta tìm đáp ứng xung tính từ phương trình hiệu số đã cho:

k n x ) k ( h )

n

(

Đối với lọc nhân quả giới hạn dưới là 0

Ở lọc FIR các số hạng đáp ứng xung chính là các hệ số của lọc và việc thực hiện mạch lọc cần số lượng phép nhân, phép cộng và bộ nhớ hữu hạn Ở lọc IIR số lượng phép nhân, phép cộng và bộ nhớ trở nên vô hạn Để việc tính toán hiệu quả người ta mô tả hệ thống dưới dạng phương trình hiệu số có bậc hữu hạn (cùng dạng với phương trình hiệu số của lọc đệ quy)

1 k

ky ( n k ) b x n k a

) n ( y

Đáp ứng xung cho bởi phương trình hiệu số tuyến tính có hệ số không đổi:

1 k

kh ( n k ) b n k a

) n (

5.6 XỬ LÝ KH I V XỬ LÝ MẪU

Tùy thuộc vào sự ứng dụng và phần cứng mà một hệ thống lọc (FIR hoặc IIR)

có thể xử lý khối hay xử lý mẫu Ở xử lý khối, tín hiệu được lấy mẫu và lưu trữ thành một khối các mẫu Khối các mẫu này được nhân chập với đáp ứng xung của hệ thống

để tạo khối các mẫu ra (tín hiệu ra) Nếu tín hiệu vào dài quá hoặc vô hạn thời gian, nó được phân thành từng khối có độ dài vừa phải để nhân chập với đáp ứng xung rồi cộng các kết quả lại một cách phù hợp Vì xử lý trên các dữ liệu đã lưu trữ sẵn nên hệ thống xử lý khối có thể lã nhân quả hoặc phi nhân quả Xử lý khối không cần phải cấp tốc như xử lý thời gian thực nên được giải quyết bằng phần mềm

Trong xử lý mẫu, mẫu tín hiệu hiện hành được xử lý một lần cùng với các mẫu

kế trước (đã được lưu trữ), mẫu tiếp theo cũng được xử lý cùng các mẫu kế trước nó (bỏ đi mẫu cũ nhất) Cách này được dùng trong xử lý thời gian thực liên quan đến các tín hiệu đến liên tục Việc xử lý mẫu được thực hiện hiệu quả bởi các bộ xử lý tín hiệu

số (digital signal processor - DSP) Kiến trúc và tập lệnh của các bộ xử lý này được tối

ưu hóa cho việc xử lý thời gian thực

5.7.1 Tương quan chéo

Tương quan gồm tương quan chéo và tự tương quan Tương quan chéo giữa hai tín hiệu năng lượng x(n) và v(n) được định nghĩa:

về sự liên hệ giữa hai tín hiệu x(n) và v(n)

 m xn m  x nR

5.8.1 Biến đổi Fourier thuận và biến đổi Fourier nghịch

Nếu dãy x(n) thoả mãn điều kiện:

thì sẽ tồn tại phép biến đổi Fourier như sau:

n j n

e)n(x)

n ( x [

FT X  hay : x ( n )  FT X(  )

X(): còn gọi là tần phổ của tín hiệu

Biến đổi Fourier nghịch:

n(

(X [ IFT   Hay : X(  ) IFT  x ( n )

Do tính chất tuần hoàn của hàm mũ ej , nên X(ej) là hàm tuần hoàn của biến  với chu kỳ 2:

)e(e

)n(xe

)n(x)

e

n

n 2 k ( j n

) 2 k (

Các tín hiệu số x(n) có năng lượng hữu hạn:

luôn thỏa mãn điều kiện khả tổng tuyệt đối, do đó luôn tồn tại biến đổi Fourier

) n ( u

Hàm u(n) không thoả mãn điều kiện khả tổng tuyệt đối nên không tồn tại biến đổi Fourier

1 0

n

n 2 n

n j 1 2 0

n

n j n 2 n

n j n

2 n

1 j

1 2 1

1 n

2 [ FT

ee

.)]

n(u

n

)n

n j

ee

)

n()]

n([

k)] (n ).e en

([FT

1 n

1

N

N(n)rect

Hàm rect N (n) thoả mãn điều kiện khả tổng tuyệt đối nên tồn tại biến đổi Fourier, :

0 n

n j n

n j

e

e e

e ).

n ( rect )]

n (

rect

[

FT

N N

5.8.2 Các dạng biểu diễn của hàm X()

Vì X( ) là hàm phức, nên có thể biểu diễn nó dưới các dạng: phần thực và phần

ảo, mô đun và argumen, độ lớn và pha

)n(x)

(

n

n j n

X ( ) Im[ ( )] x(n).sin( n)

2 Dạng mô đun và argumen

) ( j X

)(arctg)

e(Arg)

(

R X I X j

X

X() được gọi là phổ biên độ của x(n),

() được gọi là phổ pha của x(n),

Phổ biên độ là hàm chẵn và đối xứng qua trục tung :      

Phổ pha là hàm lẻ và phản đối xứng qua gốc toạ độ: () = - (-)

3 Dạng độ lớn và pha

) ( j A ) ( j A

X(  )  (  ) e    (  ) e  Hàm độ lớn A() có thể nhận các giá trị dương hoặc âm, và:

0 A

) ( Khi

) ( Khi )]

( [ Arg

Một cách tổng quát, có thể viết:

 Sign A ( ) 

) ( A

) ( A

1 2

1 2

) ( A

1 2

) ( ) (

Ví dụ: Hãy xác định các hàm phần thực và phần ảo, mô đun và argumen, độ lớn và

Hàm phần ảo: XI()cos(2).sin()

Mô đun: X(  )  cos2(2 ) cos2(  )  cos2(2 ) sin2(  )  cos(2 )

)

cos(

)sin(

)

cos(

arctg)

(

2 2

Hàm độ lớn: A(  )  cos(2 )

Hàm pha: ( )

) cos(

) cos(

2

2 1

5.8.3 Các đ c tính của biến đổi Fourier rời rạc

Các đặc tính của biến đổi Fourier rời rạc thời gian cũng có những đặc tính tương tự như biến đổi Fourier liên tục thời gian

1 n

2 x

5.9 ĐÁP ỨNG T N S CỦ HỆ TH NG LTI

5.9.1 Đáp ứng tần số

Biến đổi Fourier của đáp ứng xung h(n) của hệ thống là:

n j n

H() được gọi là đáp ứng tần số hay đặc tính tần số của hệ thống Ngược lại đáp

ứng xung là biến đổi nghịch của H():

n(

2 1

) ( H ) ( X )

( Y )

( H )

( X

F F

F

) n ( h

* ) n ( x ) n ( y )

n ( h )

n ( x

Miền tần số:

n j n

H() thường là số phức nên ta viết:

) ( j e ) ( H ) ( I jH ) ( R H )

Đáp ứng tần số H() hiện hữu nếu hệ thống là ổn định BIBO tức là:

Khi đáp ứng xung h(n) là thực (có giá trị thực), đáp ứng biên độ |H()| là hàm chẵn và đáp ứng pha H() là hàm lẻ

Đáp ứng biên độ phát biểu theo decibel (dB)

)(Hlog20)

)(Y)(H









0 n 8

0 )

n

n j

e 8 0 1

1 e

8 0 e

) n ( h H

Để tính thành phần thực ảo ta nhân tử số và mẫu số với lượng liên hợp phức của mẫu

sin 8 0 j cos 8 0 1 e

8 0 1 e 8 0 1

e 8 0 1 H

j j

cos 8 0 1

sin 8 0

HI

Để tìm phổ biên độ, viết hàm mũ phức theo hàm lượng giác:

1sin

8.0cos

8.01

1H

2 2

sin 8 0 arctg )

Khi cho tín hiệu vào là hàm sin phức:

x(n)ejn cosn jsinn

Đáp ứng là:

n j k

k j k

) k n ( j

ee

)k(he

)k(h)

Thỏa mãn điều kiện trên

Vậy hàm riêng của các lọc số là ej  n và trị riêng chính là đáp ứng tần số

e ) k ( h )

(

Tín hiệu ra cùng pha với tín hiệu vào nhưng thường là khác pha khi H() có dạng phức

5.9.4 Đáp ứng tần số của lọc m c nối tiếp và song song

Mắc nối tiếp: H() = H1()H2() …

Mắc song song: H() = H1() + H2() +…

.9.5 Đáp ứng tần số phát biểu theo hệ số của lọc

Đối với lọc phi đệ quy (FIR) có phương trình hiệu số là:

kx n k b

) n ( y

Trong đó bk là hệ số của lọc Với x(n)= ejn

n j N

N k

k j k N

N k

) k n ( j

b)

n(

k j

ke b )

( H

Đối với lọc đệ quy (lọc IIR), gọi H() là đáp ứng tần số của lọc thì:

  j n

eH)n(

1 k

ky ( n k ) b x n k a

) n ( y

) k n ( j k M

1 k

) k n ( j k

n j

e b e

) ( H a e

) ( H

) k ( j k

N

N k

) k ( j k

M

1 k

) k n ( j k n

j

N

N k

) k n ( j k

ea1

eb

eae

eb)

(H

Như vậy khi biết các hệ số của một bộ lọc ta thế vào biểu thức trên để có đáp ứng tần số mà không cần tìm đáp ứng xung và tìm biến đổi Fourier rời rạc

Để ý đối với lọc phi đệ quy các hệ số ak = 0 nên còn lại biểu thức tử số là đáp ứng của lọc phi đệ quy Để tính biên độ và pha ta viết: