Phân tích kết cấu dầm nhiều lớp dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao và phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học

Luận văn Thạc sỹ Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng ĐỀ TÀI: PHÂN TÍCH KẾT CẤU DẦM NHIỀU LỚP DÙNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO VÀ PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐẲNG HÌNH HỌC (ANALYSIS OF MULTI-LAYER BEAM USINGHIGH-ORDER SHEAR DEFORMATION THEORYAND ISOGEOMETRIC METHOD) HV: Vũ DiễmTrang Lớp: CHXD1- ĐH Mở TP.HCM Tai Lieu Chat Luong i Luận văn Thạc sỹ Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn “Phân tích kết cầu dầm nhiều lớp dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao phƣơng pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học” nghiên cứu tơi Ngồi trừ tài liệu tham khảo đƣợc trích dẫn luận văn này, tơi cam đoan tồn phần hay phần nhỏ luận văn chƣa đƣợc công bố đƣợc sử dụng để nhận cấp nơi khác Khơng có sản phẩm nghiên cứu ngƣời khác đƣợc sử dụng luận văn mà khơng đƣợc trích dẫn theo quy định Luận văn chƣa đƣợc nộp để nhận cấp trƣờng đại học sở đào tạo khác TP.Hồ Chí Minh, tháng năm 2015 VŨ DIỄM TRANG HVTH: Vũ Diễm Trang Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM ii Luận văn Thạc sỹ Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng TÓM TẮT NỘI DUNG CỦA LUẬN VĂN Tên đề tài nghiên cứu “Phân tích kết cấu dầm nhiều lớp dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học” Luận văn áp dụng lý thuyết dầm bậc cao để nghiên cứu kết cấu dầm nhiều lớp Các kết lý thuyết xác định đƣợc phân bố ứng suất biến dạng cắt ngang theo suốt chiều dày dầm nhiều lớp, không bỏ qua ảnh hƣởng lực cắt ngang nhƣ lý thuyết dầm cổ điển, lực cắt số qua bề dày dầm theo lý thuyết dầm Timosheko Điểm quan trọng áp dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học (IsoGeometric Analysis – IGA) để giải toán ứng xử học kết cấu dầm nhiều lớp theo lý thuyết dầm bậc cao (bậc 5) Phƣơng pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học phƣơng pháp số tích hợp cơng cụ hỗ trợ thiết kế hình học (Computer Aided Design – CAD) phân tích phần tử hữu hạn (Finite Element Analysis – FEM) thành mơ hình thống nhất, điều có nghĩa phân tích đẳng hình học sử dụng hàm NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline) có CAD để mơ tả dạng hình học đồng thời xấp xỉ biến chƣa biết việc phân tích Việc kết hợp phƣơng pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học để nghiên cứu ứng xử học kết cấu dầm nhiều lớp dựa lý thuyết dầm bậc cao (bậc 5) cho đƣợc kết tin cậy so với số mơ hình khác Do kết cấu dầm đƣợc mơ hình chiều, nên đặc trƣng hình học xác dùng IGA khơng lợi Tuy nhiên, luận văn khai thác tính liên tục đạo hàm bậc cao hàm sở (hay hàm dạng IGA) để phát huy hiệu kết hợp với lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Do đó, để phát huy ƣu điểm mơ tả hình học xác IGA, việc nghiên cứu cho dầm cong hứa hẹn cho công việc tƣơng lai Để kiểm chứng tính tin cậy hiệu lý thuyết áp dụng phƣơng pháp IGA, kết đạt đƣợc luận văn đƣợc so sánh với kết tính tốn lời giải khác công bố nhƣ: lời giải giải tích, lời giải xác 3D, mơ hình lý thuyết khác đƣợc nêu báo cơng bố tạp chí uy tín Các kết số phân tích tĩnh, dao động tự phân tích ổn định HVTH: Vũ Diễm Trang Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM iv Luận văn Thạc sỹ Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng đƣợc đƣa với điều kiện biên khác nhau, thông số vật liệu khác dƣới tác dụng tải phân bố đều, tải trọng phân bố hình sin Từ khóa liên quan: Phƣơng pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học, IGA, hàm NURBS, lý thuyết dầm bậc cao, dầm nhiều lớp, dầm composite, phân tích tĩnh, ổn định, dao động tự HVTH: Vũ Diễm Trang Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM v Luận văn Thạc sỹ Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ii LỜI CẢM ƠN iii TÓM TẮT NỘI DUNG CỦA LUẬN VĂN .iv MỤC LỤC vi DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ, BIỂU ĐỒ viii DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU .xi DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT xii CHƢƠNG : MỞ ĐẦU 1.1 Giới thiệu chung 1.2 Tình hình phát triển việc nghiên cứu phân tích kết cấu dầm nhiều lớp giới 10 1.3 Tình hình nghiên cứu liên quan đến kết cấu dầm nhiều lớp nƣớc 11 1.4 Mục tiêu nghiên cứu 12 1.5 Quy mô nghiên cứu 13 1.6 Bố cục luận văn 14 CHƢƠNG : CƠ SỞ LÝ THUYẾT 15 2.1 Sơ lƣợc lý thuyết vật liệu composite 15 2.2 Chuyển vị, biến dạng, ứng suất dầm nhiều lớp 17 2.3 Dạng yếu mơ hình dầm composite 20 CHƢƠNG : PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐẲNG HÌNH HỌC 27 3.1 Giới thiệu hàm B-splines NURBS 27 3.2 Lý thuyết hàm sở B-spline knot vector[16] 29 3.3 Hàm NURBS 31 3.4 Cơng thức đẳng hình học dầm composite nhiều lớp dựa lý thuyết dầm bậc cao 32 CHƢƠNG : CÁC ỨNG DỤNG SỐ 35 4.1 Phƣơng pháp so sánh kết 35 4.2 Phân tích tĩnh 36 4.3 Phân tích dao động tự 61 4.4 Phân tích ổn định 68 CHƢƠNG : KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN 75 TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 HVTH: Vũ Diễm Trang Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM vi Luận văn Thạc sỹ Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng PHỤ LỤC 81 PHỤ LỤC A: ĐOẠN CODES CHÍNH VIẾT CHO PHÂN TÍCH TĨNH DẦM NHIỀU LỚP CHỊU TẢI TRỌNG PHÂN BỐ HÌNH SIN 81 PHỤ LỤC B: ĐOẠN CODES CHÍNH VIẾT CHO PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA DẦM NHIỀU LỚP 89 PHỤ LỤC C: ĐOẠN CODES CHÍNH VIẾT CHO PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH CỦA DẦM NHIỀU LỚP 95 HVTH: Vũ Diễm Trang Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM vii Luận văn Thạc sỹ Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ, BIỂU ĐỒ Hình 1.1: Các loại vật liệu composite: đẳng hƣớng, trực hƣớng [53] Hình 1.2: Hình ảnh loại vật liệu composite-Nguồn: internet Hình 1.3: Vật liệu composite sử dụng kết cấu ngành xây dựngNguồn: internet Hình 1.4: Lan can bờ biển đƣợc sản xuất từ vật liệu composite-Nguồn: internet Hình 1.5: Hình ảnh hệ sàn composite ứng dụng thực tế-Nguồn: internet Hình 1.6: Hình ảnh thực tế cơng trình xây dựng sử dụng loại dầm compositeNguồn: internet Hình 1.7: Vật liệu composite FGM chế tạo động đốt trong, động phản lựcNguồn: internet Hình 1.8: Máy bay F-22 Raptor đƣợc cấu tạo từ vật liệu hợp kim compositeNguồn: internet Hình 1.9: Hình ảnh tàu Happy Days biển đƣợc thiết kế phần mềm mô ANSYS chế tạo vật liệu composite (Photo by Neil Rabinowitz) Hình 1.10: Tàu chiến, tàu ngầm đƣợc chế tạo vật liệu composite-Nguồn: internet Hình 1.11: Hình ảnh cánh trực thăng trực thăng đƣợc chế tạo vật liệu composite-Nguồn: internet Hình 1.12: Hình ảnh minh họa hệ thống lý thuyết tính tốn dầm Hình 2.1: Mơ hình cấu trúc loại vật liệu composite nhiều lớp [53] 15 Hình 2.2: Hệ trục vật liệu (1, 2, 3) hệ trục quy chiếu chung (x, y, z) [53] 16 Hình 2.3: Kích thƣớc hình học hệ tọa độ dầm nhiều lớp 16 Hình 3.1: Sơ đồ minh họa tham số hàm NUBRS IGA [16] 28 Hình 3.2: Sự khác FEM IGA[16] 29 Hình 3.3: Sự khác Nodes (FEM) knot vector (IGA) [16] 29 Hình 3.4:Hàm sở B-splines 1D – 2D [11] 30 Hình 3.5:Sơ đồ khối tính tốn chungtrong phƣơng pháp IGA [16] 31 Hình 4.1:Kích thƣớc hình học tải trọng tác dụng lên dầm nhiều lớp 35 Hình 4.2: Minh họa phân chia phần tử điểm điều khiển 36 Hình 4.3: So sánh độ võng vị trí dầm lớp (0/90/0), gối tựa đơn, 40 Hình 4.4: So sánh độ võng vị trí đầu mút dầm lớp (0/90/0), 40 Hình 4.5: So sánh ứng suất mặt phẳng dầm 2lớp (0/90), gối tựa đơn, 44 Hình 4.6: So sánh ứng suất cắt ngang dầm 2lớp (0/90), gối tựa đơn, 44 HVTH: Vũ Diễm Trang Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM viii Luận văn Thạc sỹ Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng Hình 4.7: So sánh ứng suất mặt phẳng dầm 2lớp (0/90), 45 Hình 4.8: So sánh ứng suất cắt ngang dầm 2lớp (0/90), đầu ngàm, 45 Hình 4.9: So sánh ứng suất mặt phẳng dầm 2lớp (0/90), đầu ngàm, 46 Hình 4.10: So sánh ứng suất cắt ngang dầm 2lớp (0/90), đầu ngàm, 46 Hình 4.11: So sánh ứng suất mặt phẳng dầm Cantilever lớp (0/90), chịu tải trọng phân bố đều, L/h=5 47 Hình 4.12: So sánh ứng suất cắt ngang dầm Cantilever 2lớp (0/90), 47 Hình 4.13: So sánh độ võng vị trí dầm lớp (0/90), 48 Hình 4.14: So sánh độ võng vị trí dầm lớp (0/90), 48 Hình 4.15: So sánh độ võng vị trí dầm lớp (0/90), 49 Hình 4.16: So sánh độ võng vị trí đầu mút dầm lớp (0/90), 49 Hình 4.17: So sánh ứng suất vị trí dầm lớp (0/90/0), gối tựa đơn, 51 Hình 4.18: So sánh ứng suất vị trí dầm lớp (0/90/0), đầu ngàm, 51 Hình 4.19: So sánh ứng suất vị trí dầm lớp (0/90/0), đầu ngàm, 52 Hình 4.20: So sánh ứng suất vị trí đầu mút dầm lớp (0/90/0), 52 Hình 4.21: So sánh ứng suất vị trí dầm lớp (0/90/0), gối tựa đơn, 52 Hình 4.22: So sánh ứng suất vị trí dầm lớp (0/90/0), đầu ngàm, 53 Hình 4.23: So sánh ứng suất vị trí đầu mút dầm3 lớp (0/90/0),1 đầu ngàm, đầu tự do, L/h=4, chịu tải trọng phân bố hình sin 53 Hình 4.24: So sánh độ võng vị trí dầm lớp (0/90/0), 55 Hình 4.25: So sánh độ võng vị trí dầm lớp (0/90/0), 55 Hình 4.26: So sánh độ võng vị trí dầm lớp (0/90/0), 56 Hình 4.27: So sánh độ võng vị trí đầu mút dầm lớp (0/90/0), 56 Hình 4.28: So sánh ứng suất  x vị trí dầm, dầm lớp (0/90/0), 57 Hình 4.29: So sánh ứng suất  x vị trí dầm, lớp (0/90/0), đầu ngàm, đầu gối tựa đơn, chịu tải trọng phân bố hình sin 57 Hình 4.30: So sánh ứng suất  x vị trí dầm, dầm lớp (0/90/0), 58 Hình 4.31: So sánh ứng suất  x vị trí đầu mút dầm Cantilever, lớp (0/90/0), 58 Hình 4.32: So sánh ứng suất  xz vị trí dầm, dầm lớp (0/90/0), gối tựa đơn, 59 Hình 4.33: So sánh ứng suất  xz vị trí dầm, dầm lớp (0/90/0), 59 Hình 4.34: So sánh ứng suất  xz vị trí dầm, dầm3 lớp (0/90/0), 60 Hình 4.35: So sánh ứng suất  xz vị trí đầu mút dầmCantilever, lớp (0/90/0), 60 HVTH: Vũ Diễm Trang Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM ix Luận văn Thạc sỹ Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng Hình 4.36: Hình dạng Mode 1 =9,316 dầm lớp (0/90/0), gối tựa đơn, L/h =5 62 Hình 4.37: Hìnhdạng Mode 2 =22,4 dầm lớp (0/90/0), gối tựa đơn, L/h =5 63 Hình 4.38: Hình dạng Mode 3 = 39,08 dầm lớp (0/90/0), gối tựa đơn, L/h =5 63 Hình 4.39: Hình dạng Mode 1 = 11,048 dầm10 lớp (0/90)5, gối tựa đơn, L/h =10.64 Hình 4.40: Hình dạng Mode 2 = 33,2418 dầm 10 lớp (0/90)5, gối tựa đơn, L/h =10 64 Hình 4.41: Hình dạng Mode  = 58,148 dầm 10 lớp (0/90)5, gối tựa đơn, L/h =10 65 Hình 4.42: Dầm lớp (0/90/0), gối tựa đơn, L/h =5, Pcr= 8,613 70 Hình 4.43: Dầm lớp (0/90/0), đầu ngàm, đầu gối tựa đơn, L/h =5, Pcr= 10,32 70 Hình 4.44: Dầm lớp (0/90/0), đầu ngàm, L/h =5, Pcr= 12,729 71 Hình 4.45: Dầm Cantilever, lớp (0/90/0), L/h =5, Pcr= 4,736 71 HVTH: Vũ Diễm Trang Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM x Luận văn Thạc sỹ Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU Bảng 2.1: Một vài hàm dạng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao 19 Bảng 4.1: Kết so sánh chuyển vị vị trí nhịp (SS, CS, CC), đầu mút dầm (CF) dầm lớp (0/90/0) 36 Bảng 4.2: Kết so sánh chuyển vị vị trí nhịp (S-S), đầu mút dầm (C-F) dầm lớp (0/90/0) 37 Bảng 4.3: Kết so sánh ứng suất mặt phẳng  xx dầm lớp 38 Bảng 4.4: Kết so sánh ứng suất cắt  xz dầm lớp [0/90/0] 39 Bảng 4.5: Kết chuyển vị vị trí nhịp(SS, CS, CC), đầu mút dầm (CF) dầm lớp (0/90) 41 Bảng 4.6: Kết ứng suất mặt phẳng  xx dầm lớp (0/90) 42 Bảng 4.7: Kết ứng suất cắt ngang  xz dầm lớp (0/90) 42 Bảng 4.8: Kết so sánh chuyển vị vị trí dầm gối tựa đơn lớp [0/90/0] 50 Bảng 4.9: Kết chuyển vị vị trí dầm, ứng suất dầm lớp (0/90/0), gối tựa đơn 53 Bảng 4.10: Kết so sánh tần số dao động tự dầm lớp(0/90/0) 61 Bảng 4.11: Kết so sánh tần số dao động tự dầm 10 lớp (0/90)5 61 Bảng 4.12: So sánh tần số dao động tự không thứ nguyên dầm lớp (0/90/90/0), L/h = 15 66 Bảng 4.13: Kết so sánh tần số dao động tự dầm lớp [0/90/90/0], 67 Bảng 4.14: Kết so sánh tần số dao động tự dầm lớp  /   68 Bảng 4.15: Kết so sánh tải trọng tới hạn dầm lớp(0/90/0) 69 Bảng 4.16: So sánh tải trọng tới hạn dầm lớp (0/90/0), gối tựa đơn 72 Bảng 4.17: So sánh tải trọng tới hạn dầm Cantilever lớp (0/90/0) 72 Bảng4.18: Kết so sánh tải trọng tới hạn dầm Cantilever lớp (0/90) 73 Bảng 4.19: Kết so sánh tải trọng tới hạn dầm lớp  /   74 HVTH: Vũ Diễm Trang Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM xi Luận văn Thạc sỹ Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng Với thông số VL1 nhƣ trên, áp dụng lý thuyết dầm bậc cao kết hợp với phƣơng pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học luận văn tính đƣợc tần số dao động tự dầm Các kết so sánh với kết đƣợc công bố Shi and Lam [58], Thuc P.Vo [58] nhƣ sau: Bảng 4.12: So sánh tần số dao động tự không thứ nguyên dầm lớp (0/90/90/0), L/h = 15 Mode S-S C-S C-C C-F Shi and Lam [58] 2,497(0,4) 3,526(1,2) 4,619(2) 0,919(0,7) Thuc P.Vo [58] 2,496(0,4) 3,604(0,9) 4,634(1,7) 0,922(0,4) 2,506 3,570 4,714 0,926 Shi and Lam [58] 8,436(1,1) 9,473(2,5) 10,416(3,9) 4,905(1,4) Thuc P.Vo [58] 8,481(0,6) 9,642(0,7) 10,923(0,9) 4,916(1,2) Bậc -IGA 8,533 9,711 10,823 4,977 Shi and Lam [58] 15,593 16,420(4,3) 17,172(6,4) 11,488(2,8) (2,6) 15,868(0,9) 16,813(1,9) 17,575(3,9) 11,599(1,8) 18,272 11,817 Bậc -IGA Điều kiện biên Lý thuyết áp dụng Thuc P.Vo [58] Bậc -IGA 16,012 17,139 Ghi chú: số in nghiêng đặt dấu ngoặc % chênh lệch So sánh kết luận văn với kết tính tốn đƣợc cơng bố Shi and Lam [58], Thuc P.Vo [58] Bảng 4.12 kết tính tốn luận văn xác Mode 1,2,3 Chênh lệch cao 6,4% Mode thứ có điều kiện biên C-C so với mơ hình tính tốn Shi and Lam [58] Với mơ hình Thuc P.Vo [58] chênh lệch cao khoảng 1,9% Mode thứ 3, chênh lệch thấp khoảng 0,4% Mode Với thông số VL2 nhƣ trên, vận dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao kết hợp với phƣơng pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học, tính đƣợc giá trị tần số dao động tự Các kết đƣợc so sánh với kết đƣợc công bố M.Lezgy-Nazargah [30], kết giải nghiệm xác Kauria cộng [19] kết giải chƣơng trình ANSYS [55] HVTH: Vũ Diễm Trang Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM 66 Luận văn Thạc sỹ Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng Bảng 4.13: Kết so sánh tần số dao động tự dầm lớp [0/90/90/0], điều kiện biên S-S L/h 10 20 Nghiệm Nghiệm M.Lezgy- xác [19] ANSYS [55] Nazargah [30] 9,34 (0,7) 9,34 (0,7) 9,37 (0,4) 9,41 27,22 (1,2) 27,24 (1,2) 27,28 (1,1) 27,59 46,42 (2,2) 46,47 (2,2) 46,31(2,5) 47,52 10,64 (0,3) 10,64 (0,3) 10,67 (0,1) 10,68 37,37 (0,7) 37,40 (0,7) 37,50 (0,4) 37,67 71,74 (1,2) 71,85 (1,2) 71,99 (1,1) 72,78 Mode Bậc -IGA Ghi chú: số in nghiêng đặt dấu ngoặc % chênh lệch Bảng 4.13 so sánh kết tính tốn luận văn với kết đƣợc cơng bố giải nghiệm xác 2D [19], phần mềm ANSYS [55], M.Lezgy-Nazargah cộng [30] Nhìn vào Bảng 4.13 kết tính tốn luận văn xác so với lời nghiệm xác 2D [19] nghiệm giải phần mềm ANSYS [55], chênh lệch cao khoảng 2,2% Mode thứ so sánh với lời giải M.Lezgy-Nazargah cộng [30] chênh lệch lớn 2,5% Điều chứng minh đƣợc xác lý thuyết tính tốn đƣợc áp dụng luận văn 4.3.3 Dầm lớp  /   (góc  góc hƣớng sợi cáclớp vật liệu) Xét dầm composite gồm lớp  /   chiều dày lớp nhƣ Sử dụng điều kiện biên để phân tích: đầu dầm ngàm (C-C) Các thông số vật liệu nhƣ sau: E1 L  40; G12  G13  0, E2 ; G23  0, 5E2 ;12  0, 25;   1;  10 E2 h Với thông số vật liệu nhƣ trên, kết tính tốn tần số dao động tự từ luận văn đƣợc so sánh với kết đƣợc công bố Thuc P.Vo [58] Ta có: HVTH: Vũ Diễm Trang Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM 67 Luận văn Thạc sỹ Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng Bảng 4.14: Kết so sánh tần số dao động tự dầm lớp  /   Lớp [0/15] [90/-90] Lý thuyết áp dụng ĐK biên : C-C Thuc P.Vo [58] 20,108(4) Bậc -IGA 20,939 Thuc P.Vo [58] 6,141(0,3) Bậc -IGA 6,160 Ghi chú: số in nghiêng đặt dấu ngoặc % chênh lệch Kết tính tần số dao động tự dầm lớp điều kiện biên C-C luận văn so với kết công bố Thuc P.Vo [58] Bảng 4.14có sai số 0,3% với trƣờng hợp lớp vật liệu trực hƣớng 4% hƣớng xếp lớp vật liệu 150 Chênh lệch nhỏ chấp nhận đƣợc chứng minh tính xác, linh động lý thuyết áp dụng luận văn vào việc tính tốn ứng xử học dầm nhiều lớp với xếp khác lớp vật liệu 4.4 Phân tích ổn định 4.4.1 Dầm lớp [0/90/0] trực hƣớng Trong phần thực phân tích ổn định dầm cấu tạo vật liệu composite trực hƣớng lớp [0/90/0], lớp có chiều dày nhƣ Sử dụng điều kiện biên sau để phân tích: đầu gối tựa đơn tự (S-S); đầu dầm ngàm, đầu dầm gối tựa đơn (C-S); đầu dầm ngàm (C-C); đầu dầm ngàm, đầu dầm tự (C-F) Các thơng số vật liệu tính tốn nhƣ sau: VL1 : VL2 : VL3 : E1 E2 E1 E2 E1 E2  40; G12  G13  0, E2 ; G23  0, 5E2 ;12  0, 25  10; G12  G13  0, E2 ; G23  0, 5E2 ;12  0, 25  40; G12  G13  0, 5E2 ; G23  0, 2E2 ;12  0, 25 HVTH: Vũ Diễm Trang Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM 68 Luận văn Thạc sỹ Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng Tải trọng tới hạn không thứ nguyên để so sánh phần đƣợc tính Pcr L2 công thức Pcr  E2bh3 Với thông số VL1 nhƣ trên, áp dụng lý thuyết dầm bậc cao kết hợp với phƣơng pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học ta tính đƣợc kết tải trọng tới hạn Kết đƣợc so sánh với kết giải phƣơng pháp giải tích (nghiệm xác) dựa lý thuyết dầm bậc ba Reddy [9], Thuc P.Vo [42], [58] nhƣ sau: Bảng 4.15: Kết so sánh tải trọng tới hạn dầm lớp (0/90/0) L/h S-S C-S C-C C-F Reddy [9] 8,613 9,814 11,652 4,708 Thuc P.Vo [42],[58] 8,609 - - 4,704 Bậc -IGA 8,818 10,320 12,729 4,736 2,3% 5,1% 9,2% 0,7% Reddy [9] 18,832 25,857 34,453 6,772 Thuc P.Vo [42],[58] 18,814 - - 6,762 Bậc -IGA 18,946 26,237 35,328 6,781 0,6% 1,4% 2,4% 0,1% Thuc P.Vo [42],[58] 27,050 - - 7,599 Bậc -IGA 27,127 - - 7,614 % sai số với Reddy 10 % sai số với Reddy 20 Điều kiện biên Lý thuyết áp dụng % sai số với Reddy 0,3% 0,2% So sánh kết luận văn với kết tính tốn nghiệm giải tích Reddy (hàm dạng bậc 3) qua Bảng 4.15 ta thấy kết luận văn xác, sai số dƣới 1% so với lời giải xác áp dụng điều kiện biên S-S, C-F, riêng trƣờng hợp điều kiện biên C-C, C-S, sai số lớn khoảng 9,2% HVTH: Vũ Diễm Trang Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM 69 Luận văn Thạc sỹ Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng Cũng Bảng 4.15, kết luận văn so sánh với kết giải phƣơng pháp dầm bậc cao mơ hình dạng hình sin Thuc P.Vo [42], [58] kết tính toán luận văn chênh lệch cao khoảng 0,7% Đồ thị biểu diễn tải trọng tới hạn dầm với điều kiện biên tỷ lệ L/h khác đƣợc trình bày từ Hình 4.42 đến Hình 4.45 0.25 w(x) 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x Hình 4.42: Dầm lớp (0/90/0), gối tựa đơn, L/h =5, Pcr= 8,613 0.2 w(x) 0.15 0.1 0.05 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x Hình 4.43: Dầm lớp (0/90/0), đầu ngàm, đầu gối tựa đơn, L/h =5, Pcr= 10,32 HVTH: Vũ Diễm Trang Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM 70 Luận văn Thạc sỹ Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng -0.02 -0.04 -0.06 -0.08 w(x) -0.1 -0.12 -0.14 -0.16 -0.18 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 x Hình 4.44: Dầm lớp (0/90/0), đầu ngàm, L/h =5, Pcr= 12,729 0.9 0.8 0.7 w(x) 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x Hình 4.45: Dầm Cantilever, lớp (0/90/0), L/h =5, Pcr= 4,736 HVTH: Vũ Diễm Trang Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM 71 Luận văn Thạc sỹ Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng Các thông số vật liệuVL2, VL3 đƣợc sử dụng với việc áp dụng lý thuyết dầm bậc cao kết hợp phƣơng pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học, kết luận văn tính đƣợc giá trị tải trọng tới hạn dầm Các kết đƣợc so sánh với kết công bố Thuc P.Vo [42], Aydogdu [58] nhƣ sau: Bảng 4.16: So sánh tải trọng tới hạn dầm lớp (0/90/0), gối tựa đơn L/h Lý thuyết áp dụng Vật liệu Vật liệu Thuc P.Vo [42] 4,71(0,9) 5,895(1.5) Aydogdu [58], [42] 4,726(0,6) 5,896(1,5) 4,754 5,807 6,777 (0,7) 14,857(2,7) - - 6,824 14,461 Thuc P.Vo [42] 7,620 (0,6) 24,655(1,2) Aydogdu [58], [42] 7,666 (0,04) 24,685 (1,4) 7,669 24,348 Bậc -IGA 10 Thuc P.Vo [42] Aydogdu [58], [42] Bậc -IGA 20 Bậc -IGA Ghi chú: số in nghiêng đặt dấu ngoặc % chênh lệch Bảng 4.17: So sánh tải trọng tới hạn dầm Cantilever lớp (0/90/0) L/h Lý thuyết áp dụng Thuc P.Vo [58] 1,694(0,6) Aydogdu [58] 1,704(0,06) Bậc -IGA 10 Thuc P.Vo [58] Aydogdu [58] Bậc -IGA 20 Vật liệu 1,705 1,905 (0,6) 1,917 Thuc P.Vo [58] 1,966 (0,6) Aydogdu [58] 1,979 (0,05) Bậc -IGA 1,978 Ghi chú: số in nghiêng đặt dấu ngoặc % chênh lệch Kết tải trọng tới hạn dầm lớp, sử dụng điều kiện biên S-S, C-F Bảng 4.16, Bảng 4.17 đƣợc tính tốn theo phƣơng pháp phần tử hữu hạn HVTH: Vũ Diễm Trang Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM 72 Luận văn Thạc sỹ Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng đẳng hình học, kết hợp lý thuyết dầm bậc cao luận văn so sánh với kết công bố Thuc P.Vo [42], Aydogdu [58] xác, chênh lệch khoảng 0,05% - 2,7% Do chênh lệch nhỏ nên chứng minh đƣợc tính xác khả ứng dụng lý thuyết 4.4.2 Dầm lớp [0/90] trực hƣớng Phân tích ổn định dầm vật liệu composite trực hƣớng có cấu tạo lớp [0/90], chiều dày lớp nhƣ với điều kiện biên: đầu dầm ngàm, đầu dầm tự (dầm Cantilever; C-F) để phân tích.Thơng số vật liệu nhƣ sau: VL1 : VL2 : E1 E2  10; G12  G13  0, E2 ; G23  0, 5E2 ;12  0, 25 E1 L  40; G12  G13  0, E2 ; G23  0, 5E2 ;12  0, 25;  10 E2 h Áp dụng lý thuyết dầm bậc cao kết hợp với phƣơng pháp đẳng hình học thơng số vật liệu VL1 ta tính đƣợc giá trị tải trọng tới hạn dầm Cantilever lớp Các kết đƣợc so sánh với kết công bố Thuc P.Vo [42], Aydogdu [58] nhƣ sau: Bảng 4.18: Kết so sánh tải trọng tới hạn dầm Cantilever lớp (0/90) L/h Lý thuyết áp dụng Thuc P.Vo [58] 0,539 (0,7) Aydogdu [58] 0,542 (0,2) Bậc -IGA Thuc P.Vo [58] 10 Aydogdu [58] Bậc -IGA 20 Vật liệu 0,543 0,557 (0,5) 0,560 Thuc P.Vo [58] 0,562 (0,5) Aydogdu [58] 0,565 (0,5) Bậc -IGA 0,565 Ghi chú: số in nghiêng đặt dấu ngoặc % chênh lệch HVTH: Vũ Diễm Trang Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM 73 Luận văn Thạc sỹ Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng Bảng 4.18 trình bày so sánh giá trị tải trọng tới hạn phân tích ổn định dầm lớp trực hƣớng với kết công bố Thuc P.Vo [42], Aydogdu [58] ta thấy kết tính tốn luận văn xác, chênh lệch nhỏ 1% Điều chứng minh đƣợc xác linh động lý thuyết phần tử hữu hạn đẳng hình học kết hợp lý thuyết dầm bậc cao để phân tích kết cấu dầm nhiều lớp Sử dụng thông số vật liệuVL2, áp dụng lý thuyết dầm bậc cao kết hợp với phƣơng pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học ta có kết tải trọng tới hạn dầm So sánh kết với kết xác khác dùng lý thuyết dầm bậc cao hình sin Thuc P.Vo [58] đƣợc cơng bố Ta có Bảng kết so sánh nhƣ sau: Bảng 4.19: Kết so sánh tải trọng tới hạn dầm lớp  /   Lớp Lý thuyết áp dụng ĐK biên : C-C [90/-90] Thuc P.Vo[58] 3,050 (0,3) Bậc -IGA 3,059 Ghi chú: số in nghiêng đặt dấu ngoặc % chênh lệch So sánh kết tính tốn luận văn với kết đƣợc công bố Thuc P Vo [58] Bảng 4.19 kết tính tốn luận văn xác, chênh lệch khoảng 0,3% Qua việc phân tích kết nhƣ trên, ta thấy khả tính tốn xác, linh động, vận dụng đƣợc với nhiều loại kết cấu dầm nhiều lớp lý thuyết phần tử hữu hạn đẳng hình học IGA kết hợp với lý thuyết biến dạng dầm bậc cao (bậc 5) lý thuyết đƣợc áp dụng để tính tốn luận văn HVTH: Vũ Diễm Trang Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM 74 Luận văn Thạc sỹ Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng CHƢƠNG : KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN Kết đạt đƣợc luận văn áp dụng phƣơng pháp để phân tích kết cấu dầm nhiều lớp phƣơng pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học (IGA) dựa lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (bậc 5) Tính hiệu độ tin cậy phƣơng pháp đƣợc chứng minh qua việc so sánh kết tính tốn phƣơng pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học - IGA so với phƣơng pháp đƣợc công bố rộng rãi báo quốc tế (phƣơng pháp giải tích, phƣơng pháp giải nghiệm 3D, phƣơng pháp số khác) Bên cạnh độ tin cậy cao, phƣơng pháp đem đến hiệu kinh tế số phƣơng pháp khác tiết kiệm chi phí tính tốn (dùng bậc tự do), hàm dạng mơ hình (đa thức bậc 5) tính tốn thuận lợi mơ hình khác (hàm mũ, hàm logarit, hàm lƣợng giác) Trong phƣơng pháp này, điều kiện ứng suất triệt tiêu mặt dƣới dầm đƣợc thỏa mãn Vì bỏ qua hệ số ảnh hƣởng cắt, tính tốn đƣợc kết xác, gần với thực tế ứng xử học dầm Từ kết tính tốn luận văn, ta thấy phƣơng pháp phần tử hữu hạn đảng hình học - IGA đem lại kết xác cao so với kết từ lời giải xác, giải tích phƣơng pháp số khác đƣợc công bố tạp chí có uy tín giới…Chƣơng trình tính tốn đƣợc viết ngơn ngữ lập trình Matlab với gói tính tốn đồng từ phân tích tĩnh, ổn định, đến dao động Do đó, ta tính thuận lợi đƣợc nhiều tốn kết cấu dầm composite nhiều lớp, với loại vật liệu khác nhau, điều kiện biên khác nhau, xếp khác hƣớng sợi dự đoán đƣợc ứng xử học dầm thông qua giá trị ứng suất, biến dạng, chuyển vị dầm composite nhiều lớp vị trí chiều dài dọc theo chiều dày dầm Với ƣu điểm nhƣ trên, ta áp dụng phƣơng pháp biến dạng cắt bậc cao kết hợp phƣơng pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học (IGA) để phân tích khả ứng xử học kết cấu dầm nhiều lớp vào thực tế tính tốn để làm tăng độ xác hiệu cơng tác thiết kế ngành học xây dựng ứng dụng Một kỳ vọng xa phƣơng pháp vận dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học (IGA) sử dụng hàm sở NURBS với hỗ HVTH: Vũ Diễm Trang Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM 75 Luận văn Thạc sỹ Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng trợ chƣơng trình lập trình tốn để tạo nên sản phẩm phần mềm tính tốn ứng xử học kết cấu xây dựng ngành khoa học khác để phục vụ cho học thuật, nghiên cứu chí hữu ích cho kỹ sƣ Nghiên cứu luận văn đƣợc thực kết cấu dầm nhiều lớp, việc mở rộng hƣớng nghiên cứu phƣơng pháp sang nghiên cứu kết cấu dầm cong, tấm, vỏ, vòm composite hƣớng phát triển khác phƣơng pháp Đó hƣớng phát triển có tiềm năng, đem lại hiệu kinh tế, độ xác cao lĩnh vực nghiên cứu sử dụng rộng rãi ngành xây dựng, nhiều ngành khoa học ứng dụng giới HVTH: Vũ Diễm Trang Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM 76 Luận văn Thạc sỹ Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A.S.Sayyad, 2012, “Static flexture and free vibration analysis of thick isotropic beams using different higher order shear deformation theories”, Int.J of APPL Math and Mech, No 8(14), pp 71-87 [2] A.S.Sayyad, Yuwaraj M.Ghugal, 2011, “Flexure of thick beams using New Hyperbolic Shear Deformation Theory”,Int.J of Mechanics, Issue 3, Volume [3] A.S.Sayyad, Y.M.Ghugal, 2011, “Effect of transverse shear and transverse normal strain on bending analysis of cross-ply laminated beams”, Int.J.of Appl Math and Mech, (12), pp 85-118 [4] Ajay G.Dahake, Dr.Yuwaraj M Ghugal, November 2012,“Flexure of thick simply supported beam using Trigonometric Shear Deformation Theory”,Int.J of Scientific and Research Publications, Volume 2, Issue 11 [5] Aydogdu M, 2009, “A new shear deformation theory for laminated composite plates”, Compos Struct, 89 (1) pp.94-101 [6] A.Okasha EI-Nady, Hani M.Negm, 2012, “Analysis of Arbitrarily Laminated Composite Beams using Chebshev Series”,Int.J of Composite Materials, 2(5), pp 72-78 [7] A.A.Khdeir & J.N.Reddy,1997, “An exact solution for the bending of thin and thich cross-ply laminate beams”, Elsevier - Composite Structures, 37, pp 195-203 [8] A.A.Khdeir & J.N.Reddy,1994, “Free vibration of cross-ply laminated beams with arbitrary boundary conditions”,Pergamon – Int.J.Engng Sci, Vol.32, No.12, pp.1971-1980 [9] A.A.Khdeir & J.N.Reddy, 1997, “Buckling of cross-ply laminated beams with arbitrary boundary conditions”,Elsevier - Composite Structures, Vol.37, No.1, pp.1-3 [10] Ambartsumyan, S.A, 1958, “On the theory of bending plates”, Izv Otd Tech Nauk AN SSSR, 5, pp.69-77 [11] Chien H.Thai, A.J.M.Ferreira, R.C.Batra, H.Nguyen-Xuan,2014, “Isogeometric analysis of laminated composite and sandwich plates using a new inverse trigonometric shear deformation theory”,European Journal of MechanicsA/Solids, 43, pp.89-104 [12] H.Arya, R.P.Shimpi, and N.K.Naik, 2002, “A zigzag model laminated composite beams”, Composite Structure, 56:2124 [13]Huu-Tai Thai, Thuc P Vo, Trung-Kien Nguyen, Jaehong Lee, 2015, “Sizedependent behavior of functionally graded sandwich microbeams based on the modified couple stress theory”, Composite Structures (SCIE).123, pp 37–349 [14] J.V.Araujo Dos Santos, J.N.Reddy, 2012, “Free vibration and buckling analysis for beams with a Modified couple-stress theory”,Int.J of Applied Mechanics, Volume 4, No.3 [15] J.A.Cottrell, A Reali, Y Bazilevs, T.J.R Hughes, 15 August 2006, “Isogeometric analysis of structural vibrations”, Computer Methods in HVTH: Vũ Diễm Trang Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM 77 Luận văn Thạc sỹ Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng Applied Mechanics and Engineering, Volume 195, Issues 41–43, pp 5257– 5296 [16] J.Austin Cottrell, Thomas J.R.Hughes, Yuri Bazilevs,“Isogeometric Analysis”,Wiley [17] Kahrobaiyan, M R,2012,“A strain gradient functionally graded Euler-Bernoulli beam formulation”, International Journal of Engineering Science, No.52, pp 65-76 [18] Kong, S., Zhou, S., Nie, Z & Wang, K, 2008, “The size-dependent natural frequency of Bernoulli-Euler micro-beams”,International Journal of Engineering Science, No 46, pp 427-437 [19] Kapuria, S., Dumir, P.C., Jain, N.K., 2004, “Assessment of zigzag theory for static loading, buckling, free and forced response of composite and sandwich beams”, Composite Structures, 64, pp 317-327 [20] Kaczkowski Z, 1968, “Plates In: Statical calculations”, Arkady, Warsaw [21] L.Beirão da Veiga, C.Lovadina, A Reali, 2012, “Avoiding shear locking for the Timoshenko beam problem via isogeometric collocation methods”, Comput Methods Appl Mech Engrg, No 241–244, pp 38–51 [22] Levinson M., 1981, “A new rectangular beam theory”, J Sound Vib, 74(1), pp.81-7 [23] Loc V.Tran, Chien H.Thai, Hien T Le, Buntara S.Gan, Jaehong Lee, H.NguyenXuan,2014, “Isogeometric finite element analysis of laminated composite plates based on a four variable refined plate theory”, Engineering Analysis with Boundary Elements, Vol 47, pp 68-81 [24] Levy M, 1877, “Memoire sur la theorie des plaques elastique planes”, J Math Appl, 30, pp.219-306 [25] Mantari JL, Oktem AS, Guedes Soares C, 2011, “Static and dynamic analysis of laminated composite and sandwich plates and shells by using a new higherorder shear deformation theory”, Compos Struct, 94 (1), pp.37-49 [26] M.Endo, N.Kimura, 2007, “An alternative formulation of the boundary value problem for the Timoshenko beam & Mindlin plate”, Journal of Sound and Vibration, No.301, pp 355-373 [27] M Karama, K.S.Afaq, S.Mistou, 2003, “Mechanical behaviour of laminated composite beam by the new multi-player laminated composite structures model with transverse shear stress continuity”,Int J Solids and Structures, No 40, pp 1525-1546 [28] M.Lezgy-Nazargah, M.Shariyat, S.B.Beheshti-Aval, 2010, “A refined high-order global-local theory for finite element bending and vibration analyses of laminated composite beams”, Acta Mech.Spinger-Verlag [29] M.Kameswara Rao, Y.M.Desai, M.R.Chitnis, “Free vibrations of laminated beams using mixed theory” [30] M.Lezgy-Nazargah, M.Shariyat, S.B.Behesti-Aval, 2010, “A refined higherorder gilobal-local theory for finite element bending and vibratio analyses of laminated composit beams”, Springer-Varlag, Acta Mech [31] Murty AVK, 1984, “Toward a consistent beam theory”, AIA J, 22 (6) pp.811-6 HVTH: Vũ Diễm Trang Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM 78 Luận văn Thạc sỹ Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng [32] Prabhat Kumar Sinha, Rohit, January-April(2013), “Analysys of complex composite beam by using Timoshenko beam theory & finite element method”, Int.J of designand manufacturing technology, ISSN 09767002(Online), Volume 4, Issue 1, pp.43-50 [33] Pagano, N.J., 1969, “Exact solution for composite laminates in cylindrical bending”, J.Compos Mater.3, pp 398-411 [34] Panc V, 1975, “Theories of elastic plates”, Prague: Academia [35] Reddy JN, 1984, “A simple higher-order theory for laminated composite plates”, ASME-J Appl Mech, No 51, pp 745-52 [36] Reissner E, 1975, “On transverse bending of plates, including the effect of transverse shear deformation”, Int J Solids Struct, 11(5), pp.569-73 [37] Stephan NG, Levinson MA, 1979, “A second-order beam theory”,J Sound Vibrat, No 67, pp 293-305 [38] Stein M, 1986, “Nonlinear theory for plates and shells including the effect of transverse sharing”, AIAAJ, 24 (9), pp.1537-44 [39] Soldatos KP, 1992, “A transverse shear deformation theory for homogeneous monoclinic plates”,Acta Mech, 94 (3-4), pp.195-220 [40] T.J.R.Hughes, A.Cottrell and Y.Bazilevs, 2005, “Isogeometricanalysis: CAD, finite elements, NURBS, exact geometry and meshrefinement”,Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, No.194(39-41), pp 4135–4195 [41] Tran Vinh Loc, Vu Duy Thang, Thai Hoang Chien, Luong Van Hai, Nguyen Xuan Hung, 2012, “Phân tích phi tuyến hình học dao dộng dầm mỏng phƣơng pháp đẳng hình học(Geometric nonlinear and dynamic analysis of thin beams by isogeometric approach)”, Báo cáo Hội Nghị Cơ học toàn quốc [42] Thuc-Vo, June 11-13, 2012, “Vibration and Buckling of cross-ply composite beams using refined shear deformation theory”, 2nd International Conference on Advanced Composite Materials and Technologies for Aerospace Applications, Wrexham, UK [43]Thuc P Vo, Huu-Tai Thai, Trung-Kien Nguyen, Alireza Maheri, Jaehong Lee, 2015, “Static behaviour of functionally graded sandwich beams using a quasi-3D theory”,Composites Part B: Engineering, (SCI), 68, pp.59-74 [44]Thuc P Vo, Huu-Tai Thai, Trung-Kien Nguyen, Alireza Maheri, Jaehong Lee, 2015, “A quasi-3D theory for vibration and buckling of functionally graded sandwich beams”, Composite Structures (SCIE), 119, pp 1-12 [45]Trung-Kien Nguyen, Ba-Duy Nguyen, “A new higher-order shear deformation theory for static, buckling and free vibration analysis of functionally graded sandwich beams”, Journal of Sandwich [46]Thuc P Vo, Huu-Tai Thai, Trung-Kien Nguyen, Alireza Maheri, Jaehong Lee, 2014, “Finite element model for vibration and buckling of functionally graded sandwich beams based on a refined shear deformation theory”, Engineering Structures (SCI), 64, pp 12-22 [47]Thuc P Vo, Huu-Tai Thai, Trung-Kien Nguyen, Fawad Inam, 2014,“Static and vibration analysis of functionally graded beams using refined shear deformation theory”, Meccanica, 46 (1), pp 155-168 HVTH: Vũ Diễm Trang Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM 79 Luận văn Thạc sỹ Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng [48]Trung-Kien Nguyen, Thuc P Vo, Huu-Tai Thai, 2013, “Static and free vibration of axially loaded functionally graded beams based on the first-order shear deformation theory”, Composite Part B: Engineering (SCI), 55, pp 147157 [49]Trung-Kien Nguyen, Ba-Duy Nguyen, 2014, “Free vibration analysis of functionally graded sandwich beams based on a high-order shear deformation theory”, Journal of Science and Technology, 52 (2C), pp 240249 [50]Trung-Kien Nguyen, 2014, “Analysis of the effect of the homogenization methods on the shear correction factor of functionally graded beams”, International Journal of Engineering Research and Technology, (9), pp 1458-1461 [51]Trung-KienNguyen, Nguyen Ba Duy, 2013, “Free vibration analysis of functionally graded sandwich beams based on a higher-order shear deformation theory”, Tuyể n tập công trình khoa học Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ XI , TP.HCM 7-9/11/2013, 1, pp 392-400 [52]Trung-Kien Nguyen, 2012, “Improved transverse shear stiffness of the functionally graded Timoshenko beams”,Proceeding of International Conference on Green Technology and Sustainable Development, 2930/9/2012 Ho Chi Minh City, 1, pp 87-92 [53] Trần Thị Nam Thu, 2010, “Mơ hình hóa tính tốn kết cấu cánh Turbine gió kiểu trục đứng theo lý thuyết chuyển vị bậc phƣơng pháp phần tử hữu hạn”, Luận văn Thạc sỹ kỹ thuật Trường ĐH Thái Nguyên [54] Touratier M, 1991, “An efficient standard plate theory”, Int J Eng Sci, 29 (8) pp.901-16 [55] Vidal, P., Polit, O.,2008, “A family of sinus finite elements for the analysis of rectangular laminate beams”,Composite Structures, 84, pp 56-72 [56] Vo, T.P and Thai, H-T, 2012.02.010, “Static behavior of composite beams using various refined shear deformation theories”,Composite Structures, 94(8): 2513-2522 http://dx.doi.org/10.1016/j.compstruct [57] Vo, T.P and Thai, H.T.,2012.06.001,“Vibration and buckling of composite beams using refined shear deformation theory”,International Journal of Mechanical Sciences, 62(1), pp: 67-76,http://dx.doi.org/10.1016/j.ijmecsci [58] Vo, T.P., Thai, H.T and Inam, F., 2012, “Axial-flexural coupled vibration and buckling of composite beams using sinusoidal shear deformation theory” Archive of Applied Mechanics, In Press, http://dx.doi.org/10.1007/s00419012-0707-4 [59] Y.M.Ghugal, A.G.Dahake, 2012, “Flexural analysic of deep beam subjected to parabolic load using refined shear deformation theory”, Applied and Computational Mechanamics,No 6, pp.163-172 [60] Yang F, Chong ACM, C Lam DC, Tong P, 2002, “Couple stress based strain gradient theory for elasticity”,Int J Solids Struct, No 39; pp 2731-43 HVTH: Vũ Diễm Trang Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM 80