Phân tích phi tuyến hình học tấm đa lớp dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc ba và phần tử tứ giác trơn misq20

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH HUỲNH VĂN CHÂU PHÂN TÍCH PHI TUYẾN HÌNH HỌC TẤM ĐA LỚP DÙNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC BA VÀ PHẦN TỬ TỨ GIÁC TRƠN MISQ20 Tai Lieu Chat Luong LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT XÂY DỰNG TP Hồ Chí Minh - Năm 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan luận văn “Phân Tích Phi Tuyến Hình Học Tấm Đa Lớp Dùng Lý Thuyết Biến Dạng Cắt Bậc Ba Và Phần Tử Tứ Giác Trơn MISQ20” nghiên cứu tơi Ngoại trừ tài liệu tham khảo trích dẫn luận văn này, tơi cam đoan toàn phần hay phần nhỏ luận văn chưa công bố sử dụng để nhận cấp nơi khác Khơng có sản phẩm/nghiên cứu người khác sử dụng luận văn mà khơng trích dẫn theo quy định Luận văn chưa nộp để nhận cấp trường đại học sở đào tạo khác Tp HCM, ngày 01 tháng 08 năm 2017 Huỳnh Văn Châu ii LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Nguyễn Văn Hiếu Thầy đưa gợi ý để hình thành nên ý tưởng đề tài, hướng dẫn cho suốt q trình hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn q Thầy Cơ giảng dạy chương trình cao học nghành Xây Dựng - Trường Đại Học Mở TP.HCM truyền dạy kiến thức cho Những kiến thức tạo thành tảng vững để thực luận văn Luận văn thạc sĩ hoàn thành thời gian quy định với nỗ lực thân, nhiên khơng thể khơng có thiếu sót Kính mong q Thầy Cơ dẫn thêm để tơi bổ sung kiến thức hồn thiện thân Xin trân trọng cảm ơn Tp HCM, ngày 01 tháng 08 năm 2017 Huỳnh Văn Châu iii TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ Luận văn phát triển mơ hình tính tốn phần tử hữu hạn cho kết cấu đa lớp dùng xấp xỉ chuyển vị phần tử MISQ20 với lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) Trong đó, lý thuyết HSDT sử dụng kết hợp với phần tử bậc thấp có hàm xấp xỉ liên tục C0 để tiết kiệm chi phí tính tốn đảm bảo độ xác cao tốn Việc xây dựng phương trình phi tuyến hình học dựa theo cách tiếp cận Total Lagrangian chuyển vị thời điểm so với trạng thái ban đầu xem lớn Lý thuyết biến dạng nhỏ-chuyển vị lớn Von-Karman sử dụng thiết lập công thức phi tuyến phần tử tứ giác trơn Nghiệm xấp xỉ phương trình cân phi tuyến hình học đạt thơng qua phương pháp giải lặp Newton-Rapshon với tiêu chuẩn hội tụ thích hợp Các loại kết cấu có hình dạng khác vng, tam giác, hình trịn, hình bình hành, gấp chọn để thực mơ số đánh giá ứng xử Các kết số luận văn so sánh với kết cơng bố trước đó, điều nhằm chứng minh tính hiệu phần tử tứ giác trơn MISQ20-HSDT phân tích phi tuyến hình học kết cấu đa lớp Thông qua luận văn góp phần nâng cao kiến thức hiểu biết lĩnh vực phân tích kết cấu sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn cải tiến MỤC LỤC MỤC LỤC DANH MỤC HÌNH VÀ ĐỒ THỊ DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Chương 1: Giới thiệu 1.1 Cơ sở hình thành luận văn 1.2 Mục tiêu nghiên cứu 1.3 Phương pháp nghiên cứu 1.4 Ý nghĩa đề tài 1.5 Tóm tắt chương luận văn Chương 2: Tổng quan tình hình nghiên cứu 12 2.1 Sơ lược hướng tiếp cận đa lớp 12 2.2 Phương pháp PTHH trơn 15 Chương 3: Tấm Reissner-Mindlin theo lý thuyết HSDT 17 3.1 Trường chuyển vị 17 3.2 Trường ứng suất nội lực 20 3.3 Phương pháp PTHH dùng lý thuyết HSDT 22 3.4 Phương pháp PTHH trơn dùng lý thuyết HSDT 25 3.5 Thuật tốn phi tuyến hình học 30 Chương 4: Các ví dụ số thực 33 4.1 Phân tích tuyến tính số dạng 33 4.2 Phân tích tuyến tính gấp đa lớp dạng consol tải phân bố 38 4.3 Phân tích phi tuyến hình học vng đa lớp 40 4.4 Phân tích phi tuyến đa lớp hình bình hành tải phân bố 46 4.5 Phân tích phi tuyến tròn đẳng hướng tải phân bố 50 4.6 Phân tích phi tuyến đẳng hướng hình tam giác tải phân bố 53 4.7 Phân tích phi tuyến gấp 55 Chương 5: Kết luận kiến nghị 60 5.1 Kết luận 60 5.2 Kiến nghị 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO 63 PHỤ LỤC CODE MATLAB 67 DANH MỤC HÌNH VÀ ĐỒ THỊ Hình 1.1.Tấm đa lớp điển hình (Nguồn: Internet) Hình 2.1.Tấm đa lớp theo lý thuyết LW ESL 12 Hình 3.1 Trường chuyển vị theo HSDT 17 Hình 3.2 Quy ước dấu chịu uốn 18 Hình 3.3 Tấm đa lớp hệ tọa độ tổng thể 21 Hình 3.4 Làm trơn phần tử cách chia nhỏ nc=1 phần tử 25 Hình 3.5 Modified Newton-Rapshon 31 Hình 3.6 Increment Secant Newton-Rapshon 31 Hình 3.7 Phương pháp Full Newton-Raphson 32 Hình 4.1 Lưới chia hình bình hành 33 Hình 4.2 Chia lưới 48 phần tử ¼ trịn 35 Hình 4.3 Chia lưới tam giác 37 Hình 4.4 Tấm đa lớp dạng consol 38 Hình 4.5 Tấm gấp dạng consol, biểu đồ độ võng so sánh 39 Hình 4.6 Tấm vuông khớp [0/90/90/0] tỷ lệ a/h=10, 20, 40, chịu tải phân bố đều, quan hệ độ võng tải trọng chuẩn hóa 40 Hình 4.7.Tấm vng ngàm, tỷ lệ a/h=100, quan hệ tải trọng độ võng chuẩn hóa 42 Hình 4.8 Tấm vng ngàm, tỷ lệ a/h=125 chịu tải phân bố đều, quan hệ tải trọng độ võng 45 Hình 4.9.Hình bình hành chia lưới 8x8 46 Hình 4.10 Hình bình hành ngàm [0/90/90/0] tỷ lệ a/h=20, chịu tải phân bố đều, quan hệ tải trọng độ võng chuẩn hóa 47 Hình 4.11 Hình bình hành ngàm [0/90/90/0] tỷ lệ a/h=10 100, chịu tải phân bố đều, quan hệ tải trọng độ võng chuẩn hóa 48 Hình 4.12 Hình bình hành ngàm [-45/45/45/-45] tỷ lệ a/h=20, chịu tải phân bố đều, quan hệ tải trọng độ võng chuẩn hóa 49 Hình 4.13 Hình bình hành ngàm [-45/45/45/-45] tỷ lệ a/h =10 100, chịu tải phân bố đều, quan hệ tải trọng độ võng chuẩn hóa 50 Hình 4.14 Chia lưới 27 phần tử ¼ hình trịn 51 Hình 4.15 Tấm trịn đẳng hướng liên kết ngàm chịu tải phân bố đều, quan hệ tải trọng độ võng chuẩn hóa 52 Hình 4.16 Tấm đằng hướng hình tam giác dạng hình vng 53 Hình 4.17.Tấm đẳng hướng hình tam giác hình vuông, liên kết ngàm chịu tải phân bố đều, quan hệ tải trọng độ võng chuẩn hóa 54 Hình 4.18.Tấm gấp đẳng hướng dạng hai đầu ngàm 55 Hình 4.19 Tấm gấp đẳng hướng dạng hai đầu ngàm, quan hệ tải trọng chuyển vị 56 Hình 4.20 Tấm gấp đa lớp dạng hai đầu ngàm 57 Hình 4.21 Tấm gấp đa lớp dạng hai đầu ngàm, quan hệ tải trọng-độ võng chuẩn hóa 58 Bảng 4.1.Tấm bình hành đa lớp [0/90/0] [45/-45/45] tỷ lệ a/h=100, tải trọng phân bố độ võng chuẩn hóa 34 Bảng 4.2 Tấm tròn ngàm chịu tải phân bố đều, bảng so sánh giá trị độ võng chuẩn hóa 36 Bảng 4.3.Tấm tam giác ngàm chịu tải phân bố đều, bảng so sánh giá trị độ võng chuẩn hóa 37 Bảng 4.4 Tấm gấp dạng consol, giá trị độ võng so sánh 39 Bảng 4.5 Tấm vuông khớp [0/90/90/0] tỷ lệ a/h=10,20,40, chịu tải phân bố đều, quan hệ độ võng chuẩn hóa tải trọng chuẩn hóa 41 Bảng 4.6.Tấm vuông ngàm, a/h=100, quan hệ tải trọng độ võng chuẩn hóa 43 Bảng 4.7.Tấm vng ngàm, a/h=100 chịu tải phân bố đều, quan hệ tải trọng độ võng theo số phương pháp 45 Bảng 4.8.Tấm tròn đẳng hướng R/h=50 chịu tải phân bố đều, tải trọng độ võng chuẩn hóa 52 Bảng 4.9 Độ võng chuẩn hóa tam giác vng phân tích phi tuyến hình học 54 Bảng 4.10 Tấm gấp đẳng hướng, quan hệ tải trọng độ võng chuẩn hóa 57 Bảng 4.11.Tấm gấp đa lớp, quan hệ tải trọng độ võng chuẩn hóa 59 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU ESL Lý thuyết lớp tương đương (Equivalent Sigle-Layer) LW Lý thuyết nhiều lớp (Layer-wise) CLPT Lý thuyết cổ điển (Classical Laminated Plate Theory) FSDT Lý thuyết biến dạng cắt bậc (First-order Shear DeformationTheory) HSDT Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (Higher-order Shear Deformation Theory) FEM Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method) SFEM Phương pháp phần tử hữu hạn trơn (Smoothed Finite ElementMethod) DOFs Bậc tự (Degrees of Freedom) FGM Vật liệu chức (Functionally Graded Material) TL Total Lagrangian UL Update Lagrangian MISQ20 Mixed Integration Smoothed Quadrilateral Element MISQ24 Mixed Integration Smoothed Quadrilateral Element with drilling degrees of freedom MITC Mixed Interpolation Tersorial Componemt NURBS Non-uniform Rational B-spline RBF Radial Basic Function SCF Shear Correction Factor FRP Fiber Reinforced Polymer Chương 1: Giới thiệu 1.1 Cơ sở hình thành luận văn Tấm đa lớp (Composite or laminated plates) vật liệu tổng hợp nên từ hai hay nhiều loại vật liệu khác nhau, nhằm mục đích tạo nên vật liệu mới, ưu việt bền so với vật liệu ban đầu Rất nhiều đòi hỏi khắt khe kỹ thuật đại (như nhẹ, chịu kéo nén tốt, chịu nhiệt,…) mà có vật liệu đa lớp đáp ứng nổi, giữ vai trị then chốt cách mạng vật liệu Hình 1.1.Tấm đa lớp điển hình (Nguồn: Internet) Trong năm gần ứng dụng loại vật liệu vào sống rộng lớn khó kể hết Có thể tóm gọn lại số lĩnh vực sau đây: Nghành công nghiệp hàng không: Tấm đa lớp dùng để thiết kế kết cấu khung xương, thân máy bay, cánh, phận dẫn hướng Theo thống kê hãng máy bay Boeing, Boeing Dreamliner 787 sử dụng đến 50% composite toàn trọng lượng Điều làm giảm trọng lượng máy bay, tiết kiệm nhiên liệu, giảm ô nhiễm môi trường tăng hiệu kinh doanh Nghành cơng nghiệp đóng tàu: Tấm đa lớp sử dụng rộng rãi việc chế tạo loại tàu thuyền, xuồng cỡ nhỏ, cano Điều mang lại lợi ích cao 55 4.7 Phân tích phi tuyến gấp 4.7.1 Phân tích phi tuyến gấp đẳng hướng tải phân bố Tấm phẳng vuông kích thước 2x2m, chiều dày 0.05m chịu tải trọng phân bố q = 6.104 Pa, liên kết ngàm Hình 4.18 Thơng số hình học vật liệu sau: Modul đàn hồi E=3.109Pa, hệ số poison ν=0.3, góc gấp θ=90o Bài tốn giải với lưới chia 10x10 cho panel Độ võng phân tích phi tuyến wc lấy điểm A trung tâm Ví dụ số nhằm khảo sát làm việc phần tử MISQ20-HSDT cho tốn có phương thay đổi đột ngột hệ tọa độ tổng thể Hình 4.18.Tấm gấp đẳng hướng dạng hai đầu ngàm 56 Khơng có nhiều báo gấp liên quan đến tính tốn phi tuyến gấp, kết so sánh với tính tốn theo phương pháp Liew (Liew et al., 2007) ANSYS (Liew et al., 2007) theo FSDT liệt kê Bảng 4.10 Biểu đồ quan hệ tải trọng chuyển vị Hình 4.19 cho thấy MISQ20-HSDT có độ tương thích tốt với kết tính tốn khác, sai số kết so với (Liew et al., 2007) lớn 3% Một điều thú vị ANSYS (Liew et al., 2007) chia lưới 50x50 cho tấm, MISQ20 với lưới chia 10x10 kết tốt biểu đồ Khi toán giải với lưới chia 15x15 kết cho gần với kết tính tốn từ ANSYS Qua ta thấy phần tử MISQ20 có cho kết tốt tốn phân tích phi tuyến gấp Điều lần chứng minh khả làm việc Cấp tải (kPa) đa dạng phần tử Độ võng chuẩn hóa, wc /h Hình 4.19 Tấm gấp đẳng hướng dạng hai đầu ngàm, quan hệ tải trọng chuyển vị 57 Bảng 4.10 Tấm gấp đẳng hướng, quan hệ tải trọng độ võng chuẩn hóa Độ võng chuẩn hóa A, wc/h Luận văn Luận văn Liew ASYS 10x10 15x15 12 0.311 0.297 0.300 0.293 24 0.653 0.624 0.631 0.619 36 1.034 0.987 1.001 0.983 48 1.457 1.390 1.413 1.388 60 1.927 1.838 1.900 1.842 P (kPa) 4.7.2 Phân tích phi tuyến gấp đa lớp tải phân bố Tấm gấp tạo thành từ phẳng đa lớp [-45/45/45/-45], kích thước liên kết ngàm hình Hình 4.19 chịu tải trọng phân bố q Chiều dài cạnh a=1, chiều dày h=0.025m Thông số vật liệu sau: E1=2.5 x107 Pa, E2=106 Pa, G12=G13=5x105 Pa, G23=2.105 Pa, μ12=0.25 Hình 4.20 Tấm gấp đa lớp dạng hai đầu ngàm 58 Kết số phân tích tuyến tính so sánh với tính tốn (Tran Ich Thinh, 2012) (Liew et al., 2009) theo FSDT Hiện chưa có cơng bố phân tích phi tuyến hình học trường hợp để đem so sánh, nên kết phi tuyến trình bày mang tính lần cơng bố tham khảo cho nghiên cứu sau Dựa vào Bảng 4.11 Hình 4.19, ta thấy khơng có chênh lệch lớn kết phân tích tuyến tính kết đem so sánh, kết gần Kết phân tích phi tuyến hình học trình bày có đường quan hệ tải trọng độ võng tương thích với kết phân tích 4.7.1 Nguyên nhân trường hợp tăng tải trọng độ cứng kết cấu có xu hướng giảm, tốc độ tăng độ võng nhanh so với trường hợp phân tích tuyến tính Phân tích cho thấy khả làm việc tốt MISQ20-HSDT Tải trọng chuẩn hóa qa 4/E2h4 trường hợp gấp phân tích tuyến tính phi tuyến hình học Độ võng chuẩn hóa, wc /h Hình 4.21 Tấm gấp đa lớp dạng hai đầu ngàm, quan hệ tải trọng-độ võng chuẩn hóa 59 Bảng 4.11.Tấm gấp đa lớp, quan hệ tải trọng độ võng chuẩn hóa Giá trị độ võng w*=wc/h số phương pháp Luận văn Luận văn (Tran, 2012) (Liew, 2009) NLinear Linear Linear Linear 25.6 0.164 0.161 0.160 0.161 51.2 0.336 0.321 0.320 0.321 76.8 0.517 0.482 0.481 0.482 102.4 0.706 0.642 0.641 0.643 128 0.906 0.803 0.802 0.803 153.6 1.116 0.963 0.962 0.964 179.2 1.337 1.124 1.123 1.124 204.8 1.570 1.285 1.284 1.285 230.4 1.817 1.445 1.444 1.445 256 2.077 1.606 1.596 1.570 P* 60 Chương 5: Kết luận kiến nghị 5.1 Kết luận Qua sở lý thuyết trình bày Chương số ví dụ số tiêu biểu vấn đề phi tuyến hình học kết cấu đa lớp Chương rút số kết luận sau:  Phần tử MISQ20 cho kết tốt áp dụng HSDT để giải vấn đề tuyến tính phi tuyến hình học tốn đa lớp  Mức độ sai lệch lời giải tuyến tính so với lời giải phi tuyến kết cấu lớn Lời giải phi tuyến cho kết gần giống với ứng xử thật kết cấu, quan trọng thực tế  Tấm đa lớp hình bình hành, ảnh hưởng góc xiên α lớn kết độ võng Khi góc α lớn kết độ võng nhỏ, góc α lớn sai số với nghiệm giải tích lớn Có thể sử dụng kết luận để điều chỉnh vuông không thỏa mãn trạng thái giới hạn II  Tấm tam giác cho kết độ võng nhỏ nhiều so với vng có diện tích, điều mang ý nghĩa quan trọng thay vuông số trường hợp đặc biệt để thỏa mãn điều kiện độ võng  Khi phân tích phi tuyến hình học, dày nhạy cảm so với mỏng có ảnh hưởng lực cắt, cho kết độ võng lớn  Tấm đa lớp dạng trịn có kết chuyển vị trọng tâm lớn nhanh bị phi tuyến hình học so với vng diện tích cấp tải  Cấu hình đa lớp định khả làm việc tấm, điều cho thấy phải cân nhắc chọn lựa cấu hình phù hợp với điều kiện thực tế  Phần tử MISQ20 kết hợp với tích phân giảm (Reduced Integation ) ma trận độ cứng chống cắt, cho kết tốt mỏng Điều có ý nghĩa giảm chi phí tính tốn 61  Kết tính tốn MISQ20 có xu hướng cho kết cận trên, kết cho gần với kết thực nghiệm  Phần tử MISQ20 phân tích phi tuyến gấp cho kết tốt lưới chia thấp, đồng nghĩa với khối lượng tính tốn nhẹ  Phần tử tứ giác nút với ưu điểm đơn giản tính tốn nhẹ so với phần tử nút miền liên tục Co, nên điều đem lại hiệu kinh tế cao 5.2 Kiến nghị Luận văn đưa số kết luận quan trọng số hạn chế cần nghiên cứu thêm như:  Nên xem xét phân tích phi tuyến hình học mộ số dạng tấm/vỏ đặc biệt khác như: tròn rỗng, vng rỗng, vỏ trụ, vỏ lõm để hồn thiện thêm cho nghiên cứu  Vấn đề tải tâp trung, tải phân bố đường thẳng, phân bố hình sin cho toán phi tuyến chưa nghiên cứu luận văn  Các dạng liên kết (ngàm, khớp, tự do) chu vi tấm/vỏ chưa nghiên cứu nhiều luận văn  Phương pháp phân tích phi tuyến Newton-Raphson không khảo sát cho trường hợp Snap-throught Snap-back kết cấu, nên dạng kết cấu phức tạp chưa xem xét Đề nghị xem xét sử dụng phương pháp ArcLength để khảo sát trường hợp nghiên cứu sau  Lý thuyết chịu uốn Reissner-Mindlin theo (K Wisniewski, 2010) bên cạnh ưu điểm mô tốt cho chịu uốn dựa xấp xỉ đơn giản C0, nhược điểm lý thuyết liên quan đến góc xoay quanh trục z vng mặt (Drilling rotation) Vì biến dạng xây dựng công thức biến dạng lớn Green giả thiết Reissner nên hồn tồn khơng phụ thuộc vào góc xoay quanh trục z Trong đó, để xây dựng 62 tốn tổng thể địi hỏi bậc tự xoay quanh trục z phải kể đến thực Do nghiên cứu mở rộng nghiên cứu phát triển phần tử có bậc tự xoay quanh trục z 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO Ahmad, S., Irons, B.M., Zienkiewicz, O.C., 1970 Analysis of thick and thin shell structures by curved finite elements Int J Numer Methods Eng 2, 419– 451 doi:10.1002/nme.1620020310 Arya, H., Shimpi, R.P., Naik, N.K., 2002 A zigzag model for laminated composite beams Compos Struct 56, 21–24 doi:10.1016/S0263-8223(01)00178-7 Belytschko, 1989 Improvements In Low-Order Shell Elements For Explicit Transient Analysis Broutman, Krock, 1967 Modern Composite Materials Addison-Wesley Pub Co Chakrabarti, A., Sheikh, A.H., 2003 Buckling of Laminated Composite Plates by a New Element Based on Higher Order Shear Deformation Theory Mech Adv Mater Struct 10, 303–317 doi:10.1080/10759410306754 Clough, 1964 Analysis of thin arch dams by the finite element method Crisfield, M.A., 1997 Non-linear finite element analysis of solids and structures Vol 1: Essentials, Reprinted as paperback ed Wiley, Chichester Đặng Trần Phương Anh, 2016 Phân tích phi tuyến hình học kết cấu vỏ đa lớp sử dụng phần tử MISQ24 Đoàn Thị Hải Yến, 2015 Phân Tích Phi Tuyến Hình Học Tấm Fgm Dùng Phần Tử Tứ Giác Trơn Và Lý Thuyết Biến Dạng Cắt Bậc Cao Dvorkin, 1984 A Continuum Mechanics Based Four-Node Shell Element For General Non-Linear Analysis E Providos, 1990 “On the Geometrically Nonlinear Constant Moment Triangle (with a note on drilling rotations),” Ph.D Thesis, Brunel University, Ferreira, A.J.M., Carrera, E., Cinefra, M., Roque, C.M.C., Polit, O., 2011 Analysis of laminated shells by a sinusoidal shear deformation theory and radial basis functions collocation, accounting for through-the-thickness deformations Compos Part B Eng 42, 1276–1284 doi:10.1016/j.compositesb.2011.01.031 Ge, Z., Chen, W., 2002 A refined discrete triangular Mindlin element for laminated composite plates Struct Eng Mech 14, 575–593 doi:10.12989/sem.2002.14.5.575 Gunderson, R., Haisler, W.E., Stricklin, J.A., Tisdale, P.R., 1969 A rapidly converging triangular plate element AIAA J 7, 180–181 doi:10.2514/3.5068 H Nguyen-Van, 2007 A simple and accurate four-node quadrilateral element using stabilized nodal integration for laminated plates Tech Sci Press Horrigmoe, G., Bergan, P.G., 1978 Nonlinear analysis of free-form shells by flat finite elements Comput Methods Appl Mech Eng 16, 11–35 doi:10.1016/0045-7825(78)90030-0 64 Hughes, T.J.R., 2000 The finite element method: linear static and dynamic finite element analysis Dover Publications, Mineola, NY K Wisniewski, 2010 Finite Rotation Shells Springer Kant, T., Swaminathan, K., 2002 Analytical solutions for the static analysis of laminated composite and sandwich plates based on a higher order refined theory Compos Struct 56, 329–344 doi:10.1016/S0263-8223(02)00017-X Lee, S.J., Kim, H.R., 2013 FE analysis of laminated composite plates using a higher order shear deformation theory with assumed strains Lat Am J Solids Struct 10, 523–547 doi:10.1590/S1679-78252013000300005 Levy, 1942 Square plate with clamped edges under normal pressure producing large deflections Tech Rep Natl Advis Comm Aero-Naut 847, 1942 Liew, K.M., Peng, L.X., Kitipornchai, S., 2009 Analysis of Symmetrically Laminated Folded Plate Structures Using the Meshfree Galerkin Method Mech Adv Mater Struct 16, 69–81 doi:10.1080/15376490802544301 Liew, K.M., Peng, L.X., Kitipornchai, S., 2007 Geometric non-linear analysis of folded plate structures by the spline strip kernel particle method Int J Numer Methods Eng 71, 1102–1133 doi:10.1002/nme.1984 Liu, G.R., Nguyen, T.T., 2010 Smoothed finite element methods Taylor & Francis, Boca Raton Liu, G.R., Nguyen, T.T., Dai, K.Y., Lam, K.Y., 2007 Theoretical aspects of the smoothed finite element method (SFEM) Int J Numer Methods Eng 71, 902–930 doi:10.1002/nme.1968 Liu, W.K., Law, E.S., Lam, D., Belytschko, T., 1986 Resultant-stress degeneratedshell element Comput Methods Appl Mech Eng 55, 259–300 doi:10.1016/0045-7825(86)90056-3 Milford, R.V., Schnobrich, W.C., 1986 Degenerated isoparametric finite elements using explicit integration Int J Numer Methods Eng 23, 133–154 doi:10.1002/nme.1620230111 Nguyễn Hoài Nam, 2013 Phân tích phi tuyến hình học kết cấu tấm/vỏ dày sử dụng phần tử hữu hạn trơn MISQ20 Nguyen Quang Trung, 2013 Phân Tích Kết Cấu Tấm Nhiều Lớpdùng Lý Thuyết Biến Dạng Cắt Bậc 3bằng Phần Tử mitc3+Được Làm Trơn Trên Phần Tử Nguyen Van Hieu, 2009 Development and application of assumed strain smoothing finite element technique for composite plate/shell structures University Of Southern Queensland Nguyen-Thanh, N., Kiendl, J., Nguyen-Xuan, H., Wüchner, R., Bletzinger, K.U., Bazilevs, Y., Rabczuk, T., 2011 Rotation free isogeometric thin shell analysis using PHT-splines Comput Methods Appl Mech Eng 200, 3410– 3424 doi:10.1016/j.cma.2011.08.014 Nguyen-Van, H., Nguyen-Hoai, N., Chau-Dinh, T., Nguyen-Thoi, T., 2014 Geometrically nonlinear analysis of composite plates and shells via a 65 quadrilateral element with good coarse-mesh accuracy Compos Struct 112, 327–338 doi:10.1016/j.compstruct.2014.02.024 Parisch, H., 1981 Large displacements of shells including material nonlinearities Comput Methods Appl Mech Eng 27, 183–214 doi:10.1016/00457825(81)90149-3 Putcha, N.S., Reddy, J.N., 1986 A refined mixed shear flexible finite element for the nonlinear analysis of laminated plates Comput Struct 22, 529–538 doi:10.1016/0045-7949(86)90002-7 Reddy, J N, 1984 A Simple Higher Order Theory for Laminated Composite Plates Reddy, J.N., 2004 Mechanics of laminated composite plates and shells: theory and analysis, 2nd ed ed CRC Press, Boca Raton Roque, C.M.C., Ferreira, A.J.M., Neves, A.M.A., Soares, C.M.M., Reddy, J.N., Jorge, R.M.N., 2011 Transient analysis of composite and sandwich plates by radial basis functions J Sandw Struct Mater 13, 681–704 doi:10.1177/1099636211419132 Schoop, H., 1989 A simple nonlinear flat element for large displacement structures Comput Struct 32, 379–385 doi:10.1016/0045-7949(89)90049-7 Singh, J., Shukla, K.K., 2012 Nonlinear flexural analysis of laminated composite plates using RBF based meshless method Compos Struct 94, 1714–1720 doi:10.1016/j.compstruct.2012.01.001 Soldatos, K.P., 1992 A transverse shear deformation theory for homogeneous monoclinic plates Acta Mech 94, 195–220 doi:10.1007/BF01176650 Stander, N., Matzenmiller, A., Ramm, E., 1989 An assessment of assumed strain methods in finite rotation shell analysis Eng Comput 6, 58–66 doi:10.1108/eb023760 Surana, K.S., 1983 Geometrically nonlinear formulation for the curved shell elements Int J Numer Methods Eng 19, 581–615 doi:10.1002/nme.1620190409 Thai, C.H., Ferreira, A.J.M., Bordas, S.P.A., Rabczuk, T., Nguyen-Xuan, H., 2014 Isogeometric analysis of laminated composite and sandwich plates using a new inverse trigonometric shear deformation theory Eur J Mech - ASolids 43, 89–108 doi:10.1016/j.euromechsol.2013.09.001 Thai, C.H., Tran, L.V., Tran, D.T., Nguyen-Thoi, T., Nguyen-Xuan, H., 2012 Analysis of laminated composite plates using higher-order shear deformation plate theory and node-based smoothed discrete shear gap method Appl Math Model 36, 5657–5677 doi:10.1016/j.apm.2012.01.003 Touratier, M., 1991 An efficient standard plate theory Int J Eng Sci 29, 901– 916 doi:10.1016/0020-7225(91)90165-Y Tran Ich Thinh, 2012 Bending and vibration analysis of Multi-folding laminate composite plate Using finite element method VAST 34, 185–202 Tran, L.V., Lee, J., Nguyen-Van, H., Nguyen-Xuan, H., Wahab, M.A., 2015a Geometrically nonlinear isogeometric analysis of laminated composite plates 66 based on higher-order shear deformation theory Int J Non-Linear Mech 72, 42–52 doi:10.1016/j.ijnonlinmec.2015.02.007 Tran, L.V., Nguyen-Thoi, T., Thai, C.H., Nguyen-Xuan, H., 2015b An Edge-Based Smoothed Discrete Shear Gap Method Using the C -Type Higher-Order Shear Deformation Theory for Analysis of Laminated Composite Plates Mech Adv Mater Struct 22, 248–268 doi:10.1080/15376494.2012.736055 Trần Văn Dần, 2013 Tối ưu hóa dựa độ tin cậy composite laminate giải thuật di truyền phần tử CS-DSG3 Trần, Văn Phát, 2012 Phân tích độ tin cậy Composite có chứa lớp áp điện dùng phương pháp phần tử hữu hạn trơn cạnh Trương đức thái, 2016 phân tích kết cấu nhiều lớpbằng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (hsdt)dùng phần tử mitc3 kết hợp kỹ thuật làm trơn nút Upadhyay, A.K., Shukla, K.K., 2012 Large deformation flexural behavior of laminated composite skew plates: An analytical approach Compos Struct 94, 3722–3735 doi:10.1016/j.compstruct.2012.06.015 Urthaler, Y., Reddy, J.N., 2008 A Mixed Finite Element for the Nonlinear Bending Analysis of Laminated Composite Plates Based on FSDT Mech Adv Mater Struct 15, 335–354 doi:10.1080/15376490802045671 Vũ Diễm Trang, 2015 Phát tính kết cấu dầm nhiều lớp dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học Whitney, J.M., Pagano, N.J., 1970 Shear Deformation in Heterogeneous Anisotropic Plates J Appl Mech 37, 1031 doi:10.1115/1.3408654 Wilt, T.E., Saleeb, A.F., Chang, T.Y., 1990 A mixed element for laminated plates and shells Comput Struct 37, 597–611 doi:10.1016/0045-7949(90)90048-7 Zhang, Y.X., Cheung, Y.K., 2003 A refined non-linear non-conforming triangular plate/shell element Int J Numer Methods Eng 56, 2387–2408 doi:10.1002/nme.667 Zhang, Y.X., Kim, K.S., 2006 Geometrically nonlinear analysis of laminated composite plates by two new displacement-based quadrilateral plate elements Compos Struct 72, 301–310 doi:10.1016/j.compstruct.2005.01.001 Zhang, Y.X., Kim, K.S., 2004 Two simple and efficient displacement-based quadrilateral elements for the analysis of composite laminated plates Int J Numer Methods Eng 61, 1771–1796 doi:10.1002/nme.1123 Zhang, Y.X., Yang, C.H., 2009 Recent developments in finite element analysis for laminated composite plates Compos Struct 88, 147–157 doi:10.1016/j.compstruct.2008.02.014 Zienkiewicz, 1968 Arch dams analysed by a linear finite Zienkiewicz, O.C., Taylor, R.L., Too, J.M., 1971 Reduced integration technique in general analysis of plates and shells Int J Numer Methods Eng 3, 275– 290 doi:10.1002/nme.1620030211 67 PHỤ LỤC CODE MATLAB % Problem : Linear Bending Analysis of laminate plate HSDT witth MISQ20 element % Two Boundary conditions are used, simply supported and clamped % clear clc disp('Please wait Programme is under Run') % Transverse uniform pressure on plate % -Pfinal=13790; % Final load value loadstepno=20; % Number of steps to achieve final load Maxupdateintforce=100; lambda=1/loadstepno; deltaP = -lambda*Pfinal; % Geometrical and material properties of plate % -a = 1; %m % length of the plate (along X-axis) b = a;%m % breadth of the plate (along Y-axis) h = 01 ; %mm % plate thickness disp('a/h ratio') a/h % Nx=10; Ny=10; %Number of mesh element in x and y store(1,1)=0; store(1,2)=0; % materials cof1=-4/(3*h^2); cof2=-4/h^2; e1=206.84e9; e2=e1; miu12=0.316; miu21=miu12*e2/e1; g12=e1/2/(1+miu12);g13=g12; g23=g12; %number of layer theta=[0 90 90 0]*pi/180; nplayer=size(theta,2); E_module(1,1:nplayer)=e1; E_module(2,1:nplayer)=e2; nuy(1,1:nplayer)=miu12; nuy(2,1:nplayer)=miu21; G(1,1:nplayer)=g12; G(2,1:nplayer)=g23; G(3,1:nplayer)=g13; z=zeros(1,nplayer+1); for i=1:nplayer+1 z(i)=z(i)-h/2+(i-1)*h/nplayer; laminate thu i end % toa mat duoi cua tam 68 A1=zeros(3,3);B=zeros(3,3);D1=zeros(3,3);E=zeros(3,3);F1=zeros(3,3);H=zer os(3,3);A2=zeros(2,2);D2=zeros(2,2);F2=zeros(2,2); for i=1:nplayer [Q,Qs]=CALCQ(i,theta,E_module,nuy,G); [Q_Bar]=CALCQBAR(i,theta,Q); [Q_Bars]=CALCQBARS(i,theta,Qs); A1=A1+Q_Bar*(z(i+1)-z(i)); B=B+0.5*Q_Bar*(z(i+1)^2-z(i)^2); D1=D1+(1/3)*Q_Bar*(z(i+1)^3-z(i)^3); E=E+(1/4)*Q_Bar*(z(i+1)^4-z(i)^4); F1=F1+(1/5)*Q_Bar*(z(i+1)^5-z(i)^5); H=H+(1/7)*Q_Bar*(z(i+1)^7-z(i)^7); A2=A2+Q_Bars*(z(i+1)-z(i)); D2=D2+(1/3)*Q_Bars*(z(i+1)^3-z(i)^3); F2=F2+(1/5)*Q_Bars*(z(i+1)^5-z(i)^5); end % Dbm=[A1 B cof1*E; B D1 cof1*F1; E cof1*F1 cof1^2*H]; Dbm=[A1 B cof1*E; B D1 cof1*F1; E cof1*F1 cof1^2*H]; Ds=[A2 cof2*D2; cof2*D2 cof2^2*F2]; D=blkdiag(Dbm,Ds); [coordinates, nodes] = MeshRectanglularPlate(a,b,Nx,Ny,1) ; % for node connectivity counting starts from towards +y axis and new row again start at x=0 nel = length(nodes) ; nnel=4; ndof=7; nnode = length(coordinates) ; sdof=nnode*ndof; edof=nnel*ndof; % % % % % % number of elements number of nodes per element number of dofs per node total number of nodes in system total system dofs degrees of freedom per element P=0; u=zeros(nnode,1); v=zeros(nnode,1); w=zeros(nnode,1); uu=zeros(7*nnode,1); % setting force equal to zero % nodal uu vector is for loadstep=1:loadstepno P=P+deltaP; typeBC = 'CC' ; for updateintforce=1:Maxupdateintforce method % This is loop for Newton-Raphson [kks,kkt,force,bcdof,k_li,kb,ks,k_nl,k_nlse,k_g,eldisp,Bmb,Bmb_nl,H,G,bb, area]=SDF_hvc(P,Dbm,Ds,coordinates,nodes,nel,nnel,ndof,sdof,edof,uu,typeB C,loadstep,updateintforce); totaldof=1:sdof; activedof=setdiff(totaldof,bcdof); 69 du=zeros(sdof,1); residual=kks(activedof,activedof)*uu(activedof)-force(activedof); residualnorm=norm(residual); du(activedof) = -kkt(activedof,activedof)\residual; uu=uu+du; norm(du); w = uu(3:7:sdof) ; f_node = force(3:7:sdof); disp(['P=',num2str(P),' loadStep=',num2str(loadstep),' resi=',num2str(residualnorm)]); if residualnorm